第3章 数列 知识点
数列知识点归纳总结
数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的数称为项，n称为项数。
2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。
数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。
二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。
2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。
（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。
3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。
三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。
2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。
3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。
四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。
2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。
3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。
五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。
数列的有关知识点总结
数列的有关知识点总结一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是指按照一定的顺序排列的一组数，这组数称为数列的项。
数列通常用符号{an}或(an)表示，其中an表示第n个数列的项。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个常见的数列，其第n 个项表示为an=n。
1.2 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为不同的类型。
常见的数列包括等差数列、等比数列、等差数列、递减数列、递增数列等。
不同类型的数列具有不同的性质和规律，需要根据具体情况选择适当的方法进行研究和分析。
1.3 数列的通项公式对于某些特定的数列，可以通过观察数列的规律和性质，得到其通项公式。
通项公式可以表示数列的第n个项与n之间的关系，通常用公式an=f(n)表示，其中f(n)为关于n的函数。
通过通项公式，可以方便地计算数列的任意项，从而更好地理解数列的规律和性质。
1.4 数列的性质数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、敛散性等。
这些性质对于研究数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数列的特点。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列的相邻两项之差是一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，公差为2。
2.2 等差数列的通项公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列的首项，d为公差，n为项数。
通过这个通项公式，可以方便地计算等差数列的任意项。
2.3 等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、求和性质等。
这些性质对于研究等差数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析等差数列。
2.4 等差数列的求和公式对于等差数列，有求和公式Sn=n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
通过这个求和公式，可以方便地计算等差数列的前n项和。
三、等比数列3.1 等比数列的定义等比数列是指数列的相邻两项之比是一个常数的数列，这个常数称为公比。
数列的基本知识点
数列的基本知识点一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
数列概念知识点总结
数列概念知识点总结一、数列的基本概念1.数列的定义数列指的是按照一定的次序依次排列的一列数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
有限的数列通常用下标表示，如$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$；无限的数列通常用$n$表示，如$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$。
2.数列的通项公式数列中的每一项都有特定的位置和数值，数列中的每一项都可以用某种规律或公式表示出来，这种表示每一项的公式被称作数列的通项公式。
通常用$a_n$或$u_n$表示数列的第$n$项，通项公式可以写为$a_n=f(n)$或$u_n=f(n)$。
3.数列的前n项和数列的前n项和指的是数列中从第1项到第n项的和，通常用$S_n$表示，即$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$。
4.数列的递推关系数列中的每一项通常都可以通过前一项或前几项的关系来确定，这种关系被称为数列的递推关系。
数列的递推关系可以用公式表示出来，比如$a_{n+1}=a_n+2$。
5.等差数列等差数列是一种常见的数列，指的是一个数列中相邻两项的差都相等。
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。
6.等比数列等比数列也是一种常见的数列，指的是一个数列中相邻两项的比都相等。
等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，其中$q$为公比。
二、常见数列1.等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项的差都相等的数列，其中差值称为公差。
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
2.等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项的比都相等的数列，其中比值称为公比。
等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中每一项的值都是前两项的和，数列的通项公式为$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，其中$a_1=1,a_2=1$。
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列的知识点主要包括：
1. 常数数列：数列中的每一项都相等。
2. 等差数列：数列中的每一项与前一项的差是一个常数，称为公差。
3. 等比数列：数列中的每一项与前一项的比是一个常数，称为公比。
4. 通项公式：求解等差数列和等比数列的通项公式，用于求解数列中任意一项的值。
5. 数列的前n项和：求解数列的前n项和，包括等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
6. 递推公式：由已知的几项数值推导出数列中任意一项与前一项之间的关系。
7. 数列的性质：等差数列的性质包括：任意一项等于首项加上它与首项之间的项数的乘积；等比数列的性质包括：任意一项等于首项乘以公比的项数-1次方。
8. 数列的应用：数列作为一种重要的数学模型在实际问题中有广泛的应用，如金融领域中的复利计算、电路中的电流、物理学中的运动等。
这些是高中数学数列部分的主要知识点，掌握这些知识点可以帮助学生解决各种数列相关的问题。
高三数学数列知识点总结归纳
高三数学数列知识点总结归纳数列作为数学中的重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。
掌握数列的相关知识点是高三学生成功应对数学考试的关键。
本文将对高三数学数列知识点进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和应用数列知识。
一、等差数列等差数列是高中数学中最常见的数列类型之一。
等差数列的特点是，数列中每两个相邻的数之间的差都相等，这个差被称为公差。
1.通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个数，a1表示首项，d表示公差。
2.前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = [n/2] * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，[]表示取整函数。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型。
等比数列的特点是，数列中每两个相邻的数之间的比值都相等，这个比值被称为公比。
1.通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1表示首项，r表示公比。
2.前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
三、数列的性质与判断除了上述常见的等差数列和等比数列，数列还有一些重要的性质，学生们需要掌握如下内容：1.递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来求得下一项的公式。
对于等差数列和等比数列而言，递推公式分别为an = an-1 + d和an = an-1 * r。
2.数列的有界性数列的有界性是指数列中的数是否有上界或下界。
有界数列是指存在上界或下界的数列，无界数列是指没有上界或下界的数列。
3.数列的单调性数列的单调性是指数列中的数的排列顺序是否单调递增或单调递减。
如果数列中的数依次递增，则称该数列是递增数列；如果数列中的数依次递减，则称该数列是递减数列。
四、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用，以下是其中一些常见的应用场景：1.复利问题等比数列可应用于复利问题中，比如银行存款利息的计算等。
数列知识点
数列知识点数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定顺序排列的数组成。
数列的知识点包括数列的定义、分类、性质以及数列的求和等。
以下是数列知识点的总结：1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，通常用小写字母表示，如数列{a_n}。
2. 数列的分类：- 有穷数列：项数有限的数列。
- 无穷数列：项数无限的数列。
- 等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
- 等比数列：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。
3. 数列的性质：- 单调性：数列的项按照大小顺序单调递增或递减。
- 有界性：数列的项值在一定的范围内变动，即存在上下界。
- 收敛性：数列的项值随着项数的增加趋向于一个固定值。
4. 数列的通项公式：数列的通项公式是表示数列中第n项的公式，如等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。
5. 数列的求和：- 等差数列求和公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)，其中S_n 是前n项和。
- 等比数列求和公式：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r 是公比，且|r| < 1。
6. 数列的极限：数列的极限是指数列的项值随着项数的增加趋向于某个值的性质，记作lim (n→∞) a_n = L。
7. 数列的递推关系：数列的递推关系是指通过数列中前一项或几项来确定下一项的公式，如斐波那契数列的递推关系为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)。
8. 数列的应用：数列在数学分析、概率论、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
9. 数列的收敛判别法：- 比较判别法：通过比较数列与已知收敛性数列的项来确定数列的收敛性。
- 比值判别法：通过计算数列项的比值来判断数列的收敛性。
- 根值判别法：通过计算数列项的n次方根来判断数列的收敛性。
10. 数列的级数：数列的级数是指将数列的项相加形成的无穷和，如级数∑a_n。
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第三章 数列
一、数列的概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）
2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示。
（通项公式不唯一）
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……; (2) 图解法:由(n,a n )点构成;
(3) 解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1
(4) 递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,an=1+2a n-1
4、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列
5、任意数列{a n }的前n 项和的性质 Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n ()
()
⎩⎨
⎧
≥-==-2111n S S n S a n n n
6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨
⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11
n n
n n a a a a 考虑数列的单调性
二、数列通项的求法
1、 由等差，等比定义，写出通项公式
2、 利用迭加a n -a n-1=f(n)、迭乘a n /a n-1=f(n)、迭代
3、一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比数列
4、利用换元思想
5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明
6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 三、等 差 数 列
1．定义：)()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数
2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质: ()()n
m a a d d n m a a n
m n m --=
-+=,1
()q p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中
(){}{}{}{}{}.
,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数
则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数列，公差为md 。
(5)等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等差数列，公差为n 2d 。
(6)若等差数列的项数为2n ，则有1
,
+=
=-n n
a a S S nd S S 偶
奇奇偶。
（7）等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n n -=+=，1
1
-+=n n S S 偶
奇。
（8）{}n a 为等差数列，()n n a n S 1212-=-。
（9）通项公式是a n =An+B ()0≠A 是一次函数的形式；前n 项和公式()02≠+=A Bn An S n 是不含常数项的二次函数的形式。
（注当d=0时，S n =na 1, a n =a 1）
（10）若a 1>0，d<0，S n 有最大值，可由不等式组⎩⎨⎧≤≥+0
01n n a a 来确定n 。
若a 1<0，d>0，S n 有最小值，可由不等式组⎩⎨⎧≥≤+0
1n n a a 来确定。
6．等差数列的判定方法
(1)定义法: )()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 7．知三求二(n n S a n d a ,,,,1),要求选用公式要恰当.
3．设元技巧: 三数:d a a d a +-,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+--
四、等 比 数 列
1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
)(1
为不等于零的常数q q a a n
n =+ 2．通项公式：11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q m n m
n
3．前n 项和：⎪
⎩
⎪⎨⎧≠≠--=--==)
10(11)1()
1(111q q q
q a a q
q a q na S n n n
且
注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=
5．等比数列性质:
()n m n
m
n m n m a a q q a a --±==,1
()q p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p ⋅=+=⋅=⋅+=+2
,2,,,2则若则若在等比数列中。
(){}{}{}{}
.,,,1,
,,,,1),0(,.,,3q q
p
pq q pq a b a b a a m m a q p b a n n n n n n n n n 且公差分别为也为等比数列则数列
且公分别为均为等比数列若⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等比数列，公比为
q m 。
(5)等比数列的前n 项和也构成一个等比数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等比数列，公比为q n 。
6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若
{}为等比数列数列n n
n a N n q a a ⇔∈=*+)(1
(2)等比中项法:若{}为等比数列数列
且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*
++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想
①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论
②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> ()1(1
11-=--+q q
a a a n n n )
{}为递减数列等比数列
时或n a q a q a ,10,01,011<<>><
六．数列的求和
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()
1(11q q
q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论
2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和：如：求2
2
2
2
2
2
12979899100-++-+- 的和。
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：
1
11)1(1+-=+n n n n
)121
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
6．公式法求和 6
)
12)(1(212
2
2
++=
+++n n n n
23
33]2
)1([21+=+++n n n 7．倒序相加法求和
8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等。