高中数学高考命题中创新意识和实践能力的初步探究
核心素养下高中数学试题的创新与研究
核心素养下高中数学试题的创新与研究摘要：数学素养是教育发展中不断强调和重视的能力，社会不断发展以及科学技术不断进步的背后，都离不开数学核心素养的支持。
重视数学核心素养的培育是教育改革不断发展的趋势所在。
高中阶段是教学发展最为成熟，学生思维达到顶峰的时期，所以高中数学试题对数学素养的考察是试题制定者的重要研究方向。
关键词：素养导向；高中数学；试题创新研究引言：新时代背景下，高中数学课堂由原本的理论知识、解题方法的简单讲述转变为注重数学核心素养的培养。
高中数学知识难度系数大，且知识量多，传统的高中数学课堂将解题方法看得过于重要，导致课堂氛围低迷，既浪费了宝贵的授课时间，也忽视了学生的想法和探究欲望。
所以由于课堂模式的固定性，使试题优化方面也产生了问题。
创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。
一个没有创新的国家很难跻身世界先进国家之列。
高中生数学创新能力的培养贯穿于数学课堂教学的全过程。
在数学教学过程中，教师应特别重视学生创新能力的培养，使高中生数学创新能力的培养贯穿于数学课堂教学的全过程。
抓住机遇，让学生进行类比、促进、探究和提问，培养学生的数学创新能力，培养学生的综合能力，为终身学习打下坚实的基础。
使学生养成独立分析、探究、解决和拓展问题的习惯。
数学创新能力的培养比数学知识的传授更为重要。
数学创新能力的培养有助于学生形成良好的数学思维品质和运用数学思维方法的能力。
本文从数学核心素养导向为切入点，分析研究高中数学试题的创新。
一、以生活为背景，应用情境日常化数学来源于生活，回归于生活。
教师在进行试题设计时要根据日常生活的实际情况，运用数学语言将其表达出来，使试题应用情境更加日常化，让学生在做题时能够有迹可循，同时也能锻炼学生善于捕捉生活中数学知识的能力，在日常生活中探索，在日常生活中提高。
例如，针对教材中的阅读与思考中的问题，立足于生活，设置情境类问题，如“广告数据的可靠性研究”、“相关关系的强与弱”等，挖掘其中数据分析和数学运算等思想，让学生的学习回归生活，试题设计更加通俗化、生活化。
数学教学中学生创新精神与实践能力的培养
数学教学中学生创新精神与实践能力的培养当今世界各国之间的竞争越来越表现为科学技术和人才的竞争。
科技的发展、知识的创新越来越决定着一个国家、一个民族的发展进程。
如何培养创新精神、实施创造教育, 这是每个教育工作者面临的崭新课题。
创新是教与学的灵魂, 是实施素质教育的核心。
数学教学蕴含着丰富的创新教育素材, 数学教师要根据数学的规律和特点, 在数学教学中培养学生的创造思维、激发创造力。
这不仅是素质教育对我们提出的基本要求也是时代对我们的要求。
以下是我对数学教学中如何培养学生创新能力与实践能力的培养一些体会。
1.培养学生的创新情感和良好的个性品质创新情感是指创造的动机、探索的兴趣、严谨的态度、顽强的意志、契而不舍的精神等情感因素, 它成为创造力培养和发展的立足点。
美国学者阿瑞提在《创造的秘密》一书中提出: “尽管创造者要具有一定的智力, 但高智商并不是高创造力的先决条件。
”可见, 创新过程并不仅仅是纯粹的智力活动过程, 它还需要以创新情感为动力, 以良好的个性品质作后盾。
创新教育必须将创新情感与创新能力的培养协同起来。
在数学教学中, 可以穿插讲述伟人的故事、科学家的故事, 激励学生树立“为中华之崛起而读书”的远大理想, 让学生感受坚强信念给予人类攀越一座又一座科学高峰的力量。
通过语言的沟通和感情的交流, 给学生以精神上的鼓励。
((2.提高学生的创造能力创造能力是指人在某一领域内表现出来的独特、杰出、非凡而有价值的才能。
它不是单一能力, 而是以创造性思维为核心的各种能力的综合, 用以掌握的信息, 重新分类组织转换, 敏锐的想象, 推测与创新, 根据已有的各种信息果断地选择最佳方案。
成功的创新有三个不可缺少的因素, 即创新意识, 创新思维和创新技能.2.1创新意识创新意识的培养是在小学美术教育中实施创新教育的基础内容之一。
人人都有创造能力, 只是开发培养与否。
心理学家曾做过这样一个试验: 把一个跳蚤放在一个瓶子里, 给它罩上一个透明的玻璃板, 它一跳就撞回来了, 一跳又撞回来了。
浅谈数学中的创新意识
论文摘要：创新意识是指人们根据社会和个体生活发展的需要，引起创造前所未有的事物或观念的动机，并在创造活动中表现出的意向、愿望和设想。
数学科作为一门相对比较抽象的学科，实际上处处都体现创新意识的重要。
义务教育阶段的学生，是一个个充满想象的活生生的个体，作为义务教育阶段的数学老师，理应创设各种情境，贯彻培养学生想象与创新能力的理念，为培养学生的创新能力、想象能力，为学生展开想象的翅膀而营造良好的环境。
一个缺少创新的民族是要灭亡的，一个缺少创新的教师是失败的，一个缺少创新的学生是被淘汰的。
只有创新的世界，才是和谐的。
当然，要想完美的创新，我们还有很多要做的。
关键词：创新意识；兴趣；创新思维；策略创新意识是指人们根据社会和个体生活发展的需要，引起创造前所未有的事物或观念的动机，并在创造活动中表现出的意向、愿望和设想。
它是人类意识活动中的一种积极的、富有成果性的表现形式，是人们进行创造活动的出发点和内在动力。
是创造性思维和创造力的前提。
教师的创新意识应该指：在一定条件下，教师依据自身素质，在变革教育的过程或实践中，发现和认识有意义的新知识，新思想，新方法，教育规律，教育特点，教育结构，理论和原理等有组织的高度完善的知觉和自觉的思维。
伴随着新议论的基础课程改革的实施，培养学生的创新意识新时代的要求。
学生的创新就是怎样去实施教师给我们设计的任务。
当今世界是一个以创新为特征的知识经济时代，创新是知识经济时代竞争的核心。
适应这种形势，教育改革已成为刻不容缓的任务；而当今的新课程改革正体现了创新思想。
要想把今天的学生培养成未来社会需要的人才，即创新人才，这就需要我们教师在教学改革中重视教学观念，重视人的个性和才能的发展，重视学生思想观念中想象能力的培养，才能培养出创新人才。
一、数学教学中培养学生创新意识能力的重要性。
数学科作为一门相对比较抽象的学科，实际上处处都强调了学生的想象力之重要。
从平面图形到空间图形，从数到式，……如果离开了学生的想象力，那么数学学习也将苍白无力，困难异常了。
基于高考试卷分析的高中数学教学探究
课堂艺术基于高考试卷分析的高中数学教学探究■姚全刚摘要：近年来随着教育不断改革，高考内容对于学生不同能力的考查形式也发生了相应变化。
2020年全国高考命题落实立德树人的根本任务，在试卷中倡导德智体美劳“五育并举”。
全国各地高考数学试卷已从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变。
这给我们的启示是，要推进精准教学实践适应教学考评转变，具体措施是优化校本教材，深耕原则方法，培养阅读习惯，把脉教学动态。
关键词：高考数学；高中数学教学；教学启示一、高中数学课程标准与考试大纲的相关内容随着教育改革的不断推行，高中数学课程标准指出，教师要突出学生的主体地位，培养学生良好的品德与人格，在教学中帮助学生树立正确的价值观念和数学核心素养。
这些教学理念提醒教师要在教学中明确教学目标，针对教学内容，呼应高考内容改革理念对学生进行规范教学。
因此在高考内容改革的背景下，数学就是围绕学生进行综合培养，通过高考进行考查，通过试题检验学生的数学思想、数学能力、数学文化、数学意识、数学的核心素养等。
二、高考改革背景下高中数学教学的有效策略1.开展生活化教学高中数学内容较为抽象，学科难度较大，不易理解，许多学生都会在学习新知识的时候无法理解，不容易跟上老师的讲课进度，从而导致日后学习知识拖延、成绩掉队等诸多问题。
从近年来高考出题形式变化来看，高考题目与生活之间的联系日益紧密，所以进行生活化教学既是适应考试的需要，也是为了帮助学生更好地理解题目意思，提升数学实践能力。
例如2020年高考理科数学全国Ⅱ卷第4题，将北京天坛作为切入点，考查学生的计算能力和对数列求和的掌握情况。
此外教师教学时可以引入生活中的实例，帮助学生从解题转向解决问题。
例如2020年理科数学全国Ⅱ卷第3题，给出实例，以新冠肺炎疫情为背景，结合时事，考查学生对概率统计的基本掌握情况。
因此教师在讲概率统计时可以举出相应实例，以便学生化抽象为具象，更好地理解并掌握相关知识点。
(数学)高考数学创新题的几个命题方向
高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢？下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析．创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a a B ．1622-+a a C ．16- D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解 题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得.针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-= .22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21 a a ,R a n ∈,121=+++n a a a 请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a 求证：na a a n 122221≥++ . (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=22221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= 2222122n a a a x nx ++++-=因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆ ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++ 【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+- 由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ nx x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰21212210211dx x dx x xdx dx n .11210dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n .2ln )21(1=+⨯+ n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+13221)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C _____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210n C ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ n n 等号左边的式子相比，只多了个系数,in C 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n n n n n n n x x C x C x C C +=+++++ 对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnn n nnn x x C x C x C )1(221+=+++++ 两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn ⎰⎰⎰++=+++⎰ (210)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C ++⨯ 3)21( 11+n 11)21(1+=+n C n n n ].1)23[(1-+n 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢？联想到我们熟知的等式：++++ 22101x C x C C n n n n n n x Cn x )1(+=+ 是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5t a n (θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b 则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ．创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x x x x x x x x x 321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y 321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z y z z z y z z z 321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=- 现有2n 个正数的数表A 排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a ,n a a a a 2232221 ,n a a a a 3333231 ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a 321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ija 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式． 每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q,16))(2(81)2(4243424ja a j d j a a j =--+=-+=∴.2)21(44i i j ij ja a ==∴-⋅【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．针对性练习：定义},,,max{21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b 记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ．创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键．针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,, 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文？ 【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题．针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ．(1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ； (3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+ 如果),,3,2( =∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-= +-+-+-=-++∴1()11()()(x x a f x a f ,2)1-=x由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数， 为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数． 设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立，∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x =，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --=则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(1dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x xx ,,21和,,21 y y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i =在数出其中满足≤i y =i x f i )((()),,2,1N 的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(1⎰的近似值为________.3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论： ①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列． 其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A =其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q (2)若集合},2,,8,4,2{nA = 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m . 2．解析：由题意知本题是求,)(1dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i =的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈NN11)(1⎰dx x f 即⋅≈⎰NN dx x f 11)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11 +=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈=得,)2(n nna f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a ,2n na nn=∴ .2n n a =∴ 答案：①③④．4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值， 所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{nA = 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤< 当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+11 当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a < 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+- 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列， 考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个， 或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个．所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。
高考数学创新型试题浅析
高考数学创新型试题浅析创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题。
自从1999年教育部明确提出高考命题“要遵循教学大纲，又不拘泥于大纲”，在试题设计上要“增加应用型和能力型的题目”，要“更加注重对考生能力和素质的考查”。
近几年来，特别是2001年，为了考查学生在新情况中的迁移能力、创新能力、灵活应用所学知识的能力，出现了不受大纲字句约束，然而所考内容大体在高中数学范围内的问题。
我们暂称为创新性问题。
如2001年高考试题中的第12题的设计就是如此，这类试题的设计既不超越数学大纲，又不拘泥于大纲，情景新颖，富有时代气息，有科学依据，切合实际，贴近生活。
这类试题，对于培养学生创新意识，创造性思维极为有利。
因此在研究高考和指导高考复习中，实在不能轻视和放松对这类试题的研究。
下面通过的对近几年的高考试题中出现的此类试题的分析，谈一下对这类试题的认识，不当之处，请批评指正。
一、近几年高考中创新型题的特点与趋向1.突出数学思想和能力的考查，富有时代生活气息。
由于不再将知识点的覆盖面作为命题追求的指标，这就给试题的更新解除了束缚。
一些看来与高中数学内容没有太多联系，却能分辩出学生能力高下的好题，都纳入了命题人员的视野。
如【例1】（2001年高考试题第12题）如图，示他们有网络相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点A向结点B传递信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A）26 （B）24 （C）20 （D）19分析：该题有很多考生不理解题意，利用常规不等式或函数最值的解法不易找到突破口，且易走入误区，其实根据直觉只要类比成“水流量”的最大值即可。
也可以理解为“木桶效应”原理，木桶盛水的多少不取决于长的木板，而取决于最短的木板，就是取每条线路的最小值之和，也就是从上到下最小值和：3+4+6+6＝19。
本题从立意上具有四个特点：（1）时代性。
高中数学创新思维能力的培养研究
高中数学创新思维能力的培养研究
高中数学创新思维能力的培养是一项重要的教育任务，对学生综合素质的提高具有积
极的促进作用。
本文将从数学教学方法、课程设计以及学生自主学习等方面探讨如何培养
高中学生的数学创新思维能力。
数学教学方法对于培养学生的创新思维能力至关重要。
传统的数学教学往往侧重于知
识的传授和计算技能的训练，忽视了学生的思维能力的培养。
我们应该采用启发式教学方法，通过引导学生思考、提出问题、找寻解决方法等方式，激发学生的创新思维。
在讲解
数学概念的时候，可以给学生提出一个问题，让他们思考并探索解决方法，从而培养他们
的问题解决能力。
数学课程设计也是培养学生创新思维能力的重要环节。
传统的数学课程往往将知识点
划分为独立的章节，学生只需要记忆和应用这些知识点即可。
而现代数学课程的设计应该
注重培养学生的综合运用能力和创新思维能力。
可以通过设计一些开放性问题或者项目，
要求学生进行研究和探索，这不仅能够培养学生的创新思维，还能够提高他们的合作能力
和实践能力。
学生自主学习是培养创新思维能力的重要途径。
学生应该被鼓励独立思考和主动学习，通过自己的努力和实践来发现问题和解决问题。
教师可以提供一些相关的学习资源和案例，引导学生进行自主学习，并及时给予指导和反馈。
学生还可以参加一些数学竞赛和研究项目，通过与其他同学的交流和比赛，不断提高自己的创新思维能力。
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析从2004年开始，全国高考11个省市独立命题。
高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看， 原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。
笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。
一、考查数学交流评价的试题在我国2003年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的.典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容:甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么(ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧?乙:那不成体统，哪有那样的事?甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢?以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好?(A)S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ⊄A ，A 是集合}；(C) S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(D) S ⊂S ，{A|A ⊂A ，A 是集合}.评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化.二、考查凸显数学文化的试题数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。
数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。
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高中数学高考命题中创新意识和实践能力的初步探究
作者：刘福朕
来源：《读与写·中旬刊》2019年第02期
摘要：高中阶段数学学科在于激发学生创新性意识，训练创新思维模式。
学生的实践应用能力的培养，一直以来是高中阶段数学学科主要培育的方向。
新的教学改革实施。
要求高中的数学教学应该，以教学目标为纲要，但是也不应拘泥于教学纲要。
在历年的高考试题设计上都有新的突破，出现新的考察点。
随着时代的发展，高中数学考级侧重点也有了新的变化，对于学生的创新意识以及实践能力有了新的要求。
近几年来为了考察学生数学学科的创新能力，知识的灵活运用。
出现了较多，不受大纲约束的题型。
但是所考察的内容依然是高中数学范围内的问题。
这些创新的题型，并没有超出教学的范围。
但又不拘泥于教学纲要。
其不仅富有时代气息，又具有创造创新意识符合现阶段的教学要求。
对于学生的综合能力的考察有了一个新的高度。
关键词：高考数学;新题型;创新与实践
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2019）05-0153-01
随着课程改革的不断推进，高考数学学科的题型在不断地变化更新。
对于学生的考察点也有了新的侧重。
近几年来的高考题型中出现了较多，比较新颖的题型。
这些题型，不拘泥于教学大纲，出题新颖切合实际，贴近生活。
这些题型重在考查学生的创新意识以及学生所具备的创新性思维模式。
因此，在高中数学学科指导复习过程中，对于这一系列的问题应该更加重视。
笔者就近几年来教学的经验以及对于高考试题的总结，得出以下几点结论：
1.高考新题型的特点与考察趋势
1.1重视数学能力与数学思想，具有时代感。
由于数学学科高考考查点的更新，不再是机械化的将所有的知识点作为命题者所命题的标准，这就使得，高考数学学科的命题更为活跃。
高考的试题不再受到教学纲要，知识点考察的束缚。
一些在高考中出现的题型，表面上看来与高中数学关系并不是很密切，但这是这些题型是能够考查学生的综合能力的。
这些好的考察题型成为命题所考虑的素材范围。
1.2重视学生的创新实践能力的考察。
随着高考数学学科考察点的变化，对于学生的创新能力以及学生学科实践应用能力有了更高的要求。
高考在考查学生这些特征的过程中，对于学生的继续学习的学习的能力，也纳入到考察的范围当中。
而高中高中学习的知识的应用基础将作为后续学习的铺垫。
1.3考察学生的实际问题解决能力。
高考中出现的新题型，一般给出了这种运算的定义和运算的概念，进而让学生进行某种推理，或者是指向性的证明。
这种解决问题的形式，是新高考环境下的一种新考察形式。
重在考察学生在新的情境状态下，解决问题的能力。
这种考查方式逐渐的被近几年的高考命题所采纳。
其比较侧重于学生的实际解决问题的能力的考察。
1.4注重学生的思维方式。
学生的思维方式可以分为逻辑推理以及合情推理两大方面。
这两种方式中，前者考查学生的是验证真理的方式。
后者则是学生的思维发散形式的考察。
要提升学生的实践应用能力以及创新型思维模式，就应该重视合情推理这种思维模式的培养。
2.教学中注意的几个问题
2.1注重学生综合能力的培养。
在现实的数学教学过程中，应当加强学生对于数学概念理解与应用，将数学公式合适应用，强化学生对于定理概念的把握，训练学生的创新思维能力和学生求异思维形式。
2.2复习中新题型的介入。
在数学高考复习过程中，适当的将一些新的题型引入到复习环节当中，让学习学生逐渐地进行思考，并解决这些难题。
这也是极为重要的一个环节。
2.3知识与能力并重。
在复习的过程中，将所学到的知识进行相应的整合，划分成许多个模块，在应用的过程中，合理灵活地进行应用，在解决实际问题的过程中，提升自己的思维速度，快速的建立反应机制，用自己所学到的知识灵活地解决这些难题。
2.4提升学生的学习能力水平。
这种水平指的是，学生的一种认知程度。
主要包含了学生的学习策略，学习态度以及学习方法等方面的认知。
学生在学习的过程中，遇到困难主要是因为自己的认知程度不够高。
解决能力较低，因此提高这一因素有以下几种方式：
首先在学习的过程中，学生要自我要求自己，从思维方式、运算速度、质量等方面。
每当学生达到一个具体的目标，可以做到快速、准确、完整。
其次，学生在解决问题的过程中，应该时刻保持着高度的警觉性。
随着问题的发展应当思索自己也是否理解题意;是否已经把握这道题;有没有忽略所存在的一些潜在问题。
在解决问题的过程中，是否抓住了其目的目标;有没有明白目标之间的关系;是否解题偏移等。
还应该思考，这种解答方式是否正确;是否能够实现最终目标;是不是还有其他类的解决办法或者是已完成的思路中是否有大疏落;有没有将题目理解清楚等，让学生时刻保持着警惕心解决问题。
结语
在高考复习的过程中，积极的鼓励学生多方面分析找出自己的不足。
归纳自己问题所在，并制定出下一阶段的计划。
在新的教育背景下，数学高考试题改革有了新的动向。
高考数学中涉及到的考察内容更为宽广，对于学生的阅读能力、数学符号、学生的理解力都有相应的考察。
随着高考的不断更新，对于学生的创新意识，学生解决问题过程中的实践能力，有了更高的要求。
这就使得在培养学生的过程中应该，更加注重学生创新性思维形式与学生知识的实际应用能力等方面能力的培养，为学生以后的道路奠定基础。
参考文献：
[1]刘莉萍.浅析高考数学中的“新定义型”试题[J].数学学习与研究：教研版，2015（20）：132-132.
[2]王静楠.新课程背景下对高考数学试题的分析与研究[D].信阳师范学院，2017.
[3]赵思林.以创新意识立意的高考数学命题的新特点[J].中学数学，2009（15）：4-7.。