椭圆高考题赏析-(带解析)
高考真题与模拟训练 专题21 椭圆(试题版)
专题24 椭圆第一部分 真题分类21．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤； 当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ． 【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．22．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．98．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan 55k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率． 【解析】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，122222tan 5532PF F ∠==- 所以255k =, 由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21121125=sin 5PF PF PF F ⨯=∠，于是12452PF a PF +==，即25a =，所以25525c e a ===． 故答案为：255；55．63．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为63.（1）证明：3a b ；（2）若点93,1010M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①330x y --=；②2213x y +=.【分析】 （1）由21be a=-可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； ②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【解析】（1）222222613c c a b b e a a a a -⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，33b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当93,1015⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部时，22293331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得3310b >. 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则121292103210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，121239y y x x +=-+， 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212193333y y x x x x y y -+⎛⎫=-=-⨯-= ⎪-+⎝⎭， 所以，直线l 方程为3931010y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33y x =-. 所以，直线l 的方程为330x y --=；②联立()2223331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，()()()1212121212123131433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=+-⋅-=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==， 因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.64．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =． （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）60x y -+=.【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215x y +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MP BFk k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故066y =，0566x =-， 所以，直线l 的方程为66166x y -+=，即60x y -+=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切. 65．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F ，且离心率为63． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得3a =，进而可得2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN =； 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得222241313k k k+⋅=+，进而可得1k =±，即可得解. 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距2c =且63c e a ==，所以3a =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线():2MN y k x =-即20kx y k --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得2211k k =+，解得1k =±，联立()22213y x x y ⎧=±-⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122,3243x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =+⋅+-⋅=,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=+⋅+-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22224113k k k =+⋅+3=， 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:2MN y x =-或2y x =-+，所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =． 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 66．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求. 【解析】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.67．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值． 【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【解析】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=. (2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边， 故12223DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.68．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得 5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =， BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且 ||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为 N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或 (3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=，∴APQ 面积为： 15518522185⨯⨯=， 综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于难题.69．（2020·全国高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =. 【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值； （2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x yc c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12； （2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=， 联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=， 曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.70．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【解析】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b =-.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，(0,3)c ，(0,3)c -，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y+=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.71．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．72．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标． 【答案】（1）22143x y +=； （2）3(1,)2E --.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.73．（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=. 【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．55B ．33C ．22D ．32【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，∴直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， ∵124AF F π∠=，∴14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， ∴2224a c c -=，即225a c =， ∴21555e e =⇒=， 故选：A2．已知点(),A m n 在椭圆22142x y +=上，则22m n +的最大值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．因为22n -≤≤，所以202n ≤≤，所以2244n ≤-≤，即2224m n ≤≤+．因此，22m n +的最大值4. 故选：B.3．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)， 圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点， 由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，由124x x +=．122y y +=， 可得2122122y y b k x x a-==--，由21k --，即有22112b a， 则椭圆的离心率221(0c b e a a==-∈，2]2． 故选：C4．椭圆22145x y +=上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．25D ．6【答案】D【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2226a b +=. 故选：D5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．11e e +-r +21e e-R B ．11e e +-r +1ee-R C ．11e e +-r +21ee+R D ．11e e -+r +1ee+R 【答案】A【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)ce a=∈，（c 为半焦距；a 为长半轴） 地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e +=-，1r Rc e e+=-， 如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ， 所以远地点离地面的距离为11r R r R n a c R e R e e ++=+-=+-=--11ee +-r +21e e- 故选：A ．6．已知椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23，则实数m =（ ） A ．2± B ．5±C ．7±D ．3±【答案】B【解析】解：椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23， 可得2222422()43m m m +--=+，解得5m =±． 故选：B ．二、填空题7．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________. 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF = 故答案为：28．能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.9．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.【答案】22. 【解析】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，22c e a ∴==， 故答案为：22. 三、解答题10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点43,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率32e =.所以2222312b e a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得223114a b+=， 联立方程组可得222231144a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+，122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，121212120343434343333AQ BQ y y kx m kx mk k x x x x +++=+=+=----， 即()()1221434333kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121243832033kx x m k x x m ⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭得()()224383244814033k m km m k m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简得3m k =-，直线l 的方程为()3y k x =-， 所以，直线l 恒过定点)3,0.11．已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，P 是椭圆E 的上顶点，O 为坐标原点且3tan 3PFO ∠=. （1）求椭圆的离心率e ；（2）已知()1,0M ，()4,3N ，过点M 作任意直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点.设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若122k k +=，求椭圆E 的方程.【答案】（1）32；（2）2214x y +=.【解析】（1）由题可得OF c =，OP b =，3tan 3OP b PFO OF c ∴∠===，即3=c b ， 22+2a b c b ∴==，3322c b e a b ∴===； （2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆()2222114y k x x y b b⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22222148440k x k x k b +-+-=， 则()()422264414440k kkb ∆=-+->，即222240k b k b -+>，则2122814k x x k +=+，221224414k b x x k-=+， ()()12121212121313334444k x k x y y k k x x x x ------+=+=+-∴---()()()121212122538242416kx x k x x k x x x x -++++==-++，()2222222222448253824141424484161414k b k k k k k k k b k k k -⋅-+⋅++++∴=--⋅+++， 即()()2110b k --=对任意k 成立，即21b =，则椭圆方程为2214x y +=，当直线斜率不存在时，则直线方程为1x =，则()()121,,1,A y B y ，且120y y += 此时12121233662141433y y y y k k --+--+=+===----，满足题意， 综上，椭圆方程为2214x y +=.。
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。
三年高考(2020)高考数学试题分项版解析专题17椭圆理(含解析)
专题17椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读 要求 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握 选择题 解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握椭圆的定义、几何图 形、标准方程及简单性质掌握填空题 解答题 ★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握 解答题 ★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程 2能熟练运用几何性质（如范围、对 称性、顶点、离心率）解决相关问题 3能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题 ，判断位 置关系及解决相关问题 4本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主 ，与 向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强 ，分值约为12分，难度较大.2020年咼考全景展示【答案】D详解：因为 "叽为等腰三角形所以卩0市2=2&由AP 斜率为6得, tanAPAF 2 二 巴 A ainAPAF 2 二 COSA PAF 2 二6 订131.【2020年理数全国卷II 】已知x y,耳/是椭圆「丁訂心旳的左，右焦点，是」的左顶点，点在过|且斜率为aB.的直线上, 1r 一 d ；；，贝y 的离心率为A.C.D.【解析】分析：先根据条件得 PR=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率由正弦定理得sim.PAf 2AF 2 sin£APF 2所以 选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 心:詞的方程或不等式，再根据卜;':订的关系消掉£得到的关系式，而建立关于应绥的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.2 .【2020年浙江卷】已知点 F (0 , 1)，椭圆4 +y 2=mm >1)上两点A , B 满足川「=2也，则当m F _____________ 时, 点B 横坐标的绝对值最大. 【答案】5【解析】分析先根1S 条件得到"坐标间的关系，代入椭圆方程解得歩的纵坐标」即得F 的福坐折关于從 的函数关系，晶后扌魁®二次函数性质确定最值朝去.i 羊解；设机％化莎},由和=2而甯-冷=23 -乃=2仕- 1)“ -yi = 2上-3・因为上占在椭圆上:所仪手+百=忆于■疋=r +总比-3)£ =玳上手+山-f}1 = 了与亍+ F 孑=m 对应相减得Ji =宁，疋=- 10m+ 9] 4j 当且仅当用=5吋取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 于函数最值的探求来使问题得以解决W : —— + = 1(口 > I )A 0)3.【2020年理北京卷】已知椭圆线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ___________双曲线N 的离心率为 ___________ . 【答案】^2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 •关系，即得双曲线 N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得卜一匸^力]，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为汀认I ,再根据椭圆定义得 ： ，所以椭和:|x=±-^圆M 的离心率为双曲线N 的渐近线方程为加，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的(或者多个)变量的函数，然后借助.若双曲线N 的两条渐近由八計、诂尸，可得ab =6,从而a =3, b =2•所以，椭圆的方程为(n)设点P 的坐标为(X 1,y 1),点Q 的坐标为(X 2, y 2).由已知有y 1>y 2>0,故卩叮八泊=倾斜角为 n n 2n ——=tan - = 3』 / 3m + n m + 3 m——=4* AC = 2.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于I;虫箱的方程或不等式，再根据卜黒的关系消掉E 得到的关系式，而建立关于|怎冷•:的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.4.【2020年理数天津卷】设椭圆 (a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B 已知椭圆的离心率为 3 ,点A 的坐标为顾，且丨皿一；. (I )求椭圆的方程; (II )设直线l与椭圆在第一象限的交点为 P,且I 与直线AB 交于点Q 若(O 为原点)，求k 的值.11【答案】(i )|；(n )2或想【解析】分析：(I)由题意结合椭圆的性质可得 a =3, b =2.则椭圆的方程为.(n)设点P 的坐儿=i\可得.由1 •据此得到关于k 的方程，解方程可得 k 的值为 或标为(X 1 ,yj ,点Q 的坐标为(X 2, y 2).由题意可得5y 1=9y 2.由方程组1°2k11详解：(I)设椭圆的焦距为2c ,由已知知,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .由已知可得，I"：-打，■‘,X i ,因为sin^OAB 而/ 71 1叔1_曾•OA两，故1饨| =佝2.由|卩Q厂4呵°，可得5y i=9y2.由方程组，y-kx, x2 y2—+ 5-^U q 4消去X , 可得J恣1=瓷易知直线AB的方程为x+y - 2=0,由方程组•消去2kx,可得.由5y i=9y2,可得5 (k+1)=,两边平方，整理得11 = 0,解得丹―旳.又t= 11 1 11或 厉•所以，k 的值为2或函’点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、 弦长、斜率、三角形的面积等问题.W(1, m)(m > 0).为 上一点，且悴;“阳咔感：剧.证明：两， , 成等差数列，并求该数 列的公差.【答案】（1）【解析】分析：⑴ 设而不求，利用点建法进行证明。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析
高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
2021年北京市高考数学专题复习：椭圆(含答案解析)
2021年北京市高考数学专题复习：椭圆
1．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3
2，已知点P(0，3
2
)到椭圆的最远
距离是√7，求椭圆的标准方程．
2．设b＞0，椭圆方程为x2
2b2+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2＝8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，
b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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考点36 椭圆典型高考数学试题解读与变式(解析版)
x2 + y2 =1 B． 3
x2 + y2 =1 C． 12 8
x2 + y2 =1 D． 12 4
【方法技巧归纳】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二
是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，
利用定义和余弦定理可求 PF1 ·PF2 ，通过整体代入可求其面积等．
【变式
1 】【由利用定义根据周期求方程变为利用椭圆定义求周长】过椭圆
x2 4
+
y2
=1
的左焦点
F1 作直线 l
交椭圆于 A, B 两点， F2 是椭圆右焦点，则 ABF2 的周长为（
）
A． 8
B． 4 2
C． 4
D． 2 2
【答案】 A
x2 + y2 【例 2】【2014 全国大纲卷】已知椭圆 C ： a2 b2
= 1 (a b 0) 的左、右焦点为 F1 、F2 ，离心率为
3 3，
过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若 AF1B 的周长为 4 3 ，则 C 的方程为（
）
x2 + y2 =1 A． 3 2
【答案】A
（
k
为直线斜率)．
（3）直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法：
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式 (直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中点 点差法(结果要检验 0 )
3 【变式 1】【第（2）问变定点问题为定值问题】已知中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 2 的椭
圆 C 过点
备战高考数学(精讲+精练+精析)专题10.1椭圆试题文(含解析)
专题10.1 椭圆试题 文【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B2. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A3．【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =时，证明：32k <<.【解析】（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故2212121||1|2|34k AM k x k +=++=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得22121||43k k AN k +=+.由2||||AM AN =得2223443kk k =++，即3246380k k k -+-=.设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.4．【2016高考北京文数】已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.5．【2016高考天津文数】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率. 【解析】（1）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.6. 【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．7.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．32 D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221a c -≥，203c <≤， 03c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是3(0,]2，故选A ．8．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 【答案】229. 【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 5（Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 【解析】（Ⅰ）由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b .进而b b ac b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫⎝⎛=65,6b a NM .又()b a ,-=，从而有()22225616561a b b a -=+-=⋅，由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅，故AB MN ⊥.10. 【2014大纲，文9】已知椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=【答案】A11.【2014辽宁，文15】 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 【答案】12【解析】设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上，设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12·|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.12.【2014新课标2，文20】设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b【解析】（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34， ∴2324b ac =，又222a b c =+，解之：12c e a ==或2-（舍）， 故：直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12；（Ⅱ）由题意知：点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =……①∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a =--，∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a--，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上，∴4222291641b c a a b+=……② 联立①、②解得：7a =，27b =. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．预测2017年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a +=(122||a F F >). 注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>.给定椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>，要根据,m n 的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中,,a b c 关系为：222a b c =+. 【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线2213x y -=的左右焦点为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211216x y += B ．221128x y += C ．2211612x y += D ．221812x y +=【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，即2c =，又离心率为12，即12c a =，解得4a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆的方程为2211612x y +=，故选C ． 2. 【2016届广西柳州高中高三4月高考模拟】已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积为222b ，则12cos F PF ∠= . 【答案】13.【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a顶点长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b )长轴顶点(0，±a )，短轴顶点(±b,0)对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率e ＝ca∈(0，1)，其中c ＝a 2－b 2 2.点00(,)P x y 与椭圆22221x y a b +=关系（1）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔2200221x y a b +=；（3）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a -===221b a -⇒21b e a=-. 4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,a c a c -+].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】1. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】椭圆()22211y x b b+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若FAB ∆的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ） A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若若1F AB ∆为等腰直角三角形，且0190=∠B AF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A 21B ．212-C ．22．22【答案】A【解析】∵2AF x ⊥ 轴，∴2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭， ．∵1F AB 为等腰直角三角形，∴122||F F AF = ，∴222222221b c ac b a c e e a=∴==-∴=-，， ，化为()22100e e e +-=>， ．解得22212e -+== ．故选：A ．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知椭圆C:22193x y +=，直线:l 2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，且PA =PB ，则直线l 的方程为 ． 【答案】20x y --=或20x y ++=2. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(22212x y -+=及点()2,0A -，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．２．离心率的求法椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c或,a b的方程，通过这个方程解出ca或b a ，利用公式cea=求出，对双曲线来说，221bea=+，对椭圆来说，221bea=-.3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长21212||1||PP k x x =+-或122121||1||P P y y k=+-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： ()2121212||4x x x x x x -=+-，()2211212||4y y y y y y -=+-.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件. 5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时，则x a ≤，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．7．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义． 二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】设斜率为22的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点P,Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A 、22 B 、23 C 、21 D 、31【答案】B2. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知某椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 是椭圆上的任意一点，且PAB ∆21，若已知()3,0M -，)3,0N ，点Q 为椭圆上的任意一点，则14QN QM+的最小值为（ ） A ．2 B ．94C ．3D ．322+【答案】B【解析】设(cos ,sin ),AB:1xP a y aθθ+=-，因此PAB ∆面积为221|cos sin 1|211221a a aθθ--++=≤+2a =，24QM QN a +==，1414()14149=()(5)(52)4444QM QN QN QM QN QM QN QM QN QM QM QN QM QN +++=++≥+⋅=，当且仅当2QM QN =时取等号，选B.3. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】椭圆()222:106x y C a a +=>6则实数a 为（ ）A ．6555．6555．555【答案】C4. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A ．2[,1]3 B ．[1,9] C ．2[,9]3 D ．6[,3]3【答案】B【解析】设),(00y x A ,因22200()(1)MA BA MA BM MA MA x y ⋅=⋅+==-+,且2020411x y -=,故2000322(11)4MA BA x x x ⋅=-+-≤≤，所以min 342()221493MA BA ⋅=⨯-⨯+=， max 3()42(2)294MA BA ⋅=⨯--+=,故应选B.5. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>,其长轴长为4且离心率为32,在椭圆1C 上任取一点P , 过点P 作圆()222:32C x y ++=的两条切线,PM PN ,切点分别为,M N ,则22C M C N ⋅的最小值为（ ） A ．2- B ．32- C ．1813- D ．0 【答案】B6. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】若P 为椭圆1151622=+y x 上任意一点，EF 为圆4)1(22=+-y x 的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是______.【答案】[]215，【解析】因为()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-()2NE NF NP NE NF NP =⋅-⋅++22cos 04NE NF NP NP π=-⋅-+=-+．又因为椭圆2211615x y +=的4,15,1a b c ===，()10N ，为椭圆的右焦点，∴[][],3,5NP a c a c ∈-+=∴[]521PE PF ⋅∈，．故答案为：[]521，． 7. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知2F 为椭圆()22401mx y m m +=<<的右焦点, 点()0,2A ,点P 为椭圆上任意一点, 且2PA PF -的最小值为43-,则m = ． 【答案】29【解析】由224mx y m +=，得22144x y m+=，由于01m <<，所以椭圆的焦点在x 轴上.设椭圆的左焦点为1F ，则()1214,44,0PF PF F m +=--，那么21144PA PF PA PF AF -=+-≥-42243m =-=-，解得29m =．8. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，12,A A 为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,Q ,,QA A OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT+= .【答案】149. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程.【解析】（1）设椭圆的右焦点为'F ，由椭圆的定义，得''||||||||2AF AF BF BF a +=+=，而ABF ∆的周长为''||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++=，当且仅当AB 过点'F 时，等号成立，所以48a =，即2a =，又离心率为12，所以1,3c b ==22143x y +=. （2）设直线AB 的方程为4x my =-，与椭圆方程联立得22(34)24360m y my +-+=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则222576436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，且1222434my y m +=+，1223634y y m =+，所以212211843||234ABF m S y y m ∆-=⋅-=+②，令24(0)t m t =->，则②式可化为21818331631616323ABF t S t t t t t∆==≤=++⋅.当且仅当163t t =，即221m =±时，等号成立. 所以直线AB 的方程为22143x y =-或22143x y =--. 10. 【2016届天津市和平区高三第四次模拟】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为()40,,,33b A b P ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且x 轴上存在着两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标．（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理，得()222214220kx kmx m +++-=．由2216880k m ∆=-+=，得2221m k =+．假设存在着定点()()1122,0,,0M M λλ满足题设条件．1M 、2M 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，则由()()()()2121212122221111k km k m k m d d k k λλλλλλ++++++⋅===++，对于k R ∀∈恒成立，可得121221,0,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,1,λλ=⎧⎨=-⎩或121,1.λλ=-⎧⎨=⎩故()()121,0,1,0M M -满足条件．当直线l 的斜率不存在时，经检验，12,M M 仍符合题意．11.【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A ．2211220x y += B．221412x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 【答案】D【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在y 轴上，且422=-b a ，故能排除A ，B ，C 答案为D.12.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】设1F 、2F 是椭圆)10(1222<<=+b b y x 的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若||3||11B F AF =，且x AF ⊥2轴，则=2b （ ） A ．41 B ．31 C ．32 D ．43 【答案】C13. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ．1F 2F yxP【答案】35；【解析】一方面12∆PF F的面积为1(22)2a c r+⋅；另一方面12∆PF F的面积为122⋅py c，11(22)222+⋅=⋅pa c r y c，∴()+⋅=⋅pa c r y c，∴+=pya cc r，∴(1)+=pyac r，又4=py ∴4511332pyac r=-=-=，∴椭圆的离心率为35==cea.14.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，2），且离心率等于32，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设||||=||||PM MQPN NQλ=，试求λ的取值范围．（Ⅱ）设11(,)P x y，22(,)Q x y，00(,)N x y，若直线l与y轴重合，则00||||22||||22PM MQPN NQ y y===-+，得1y=，得2λ=l与y轴不重合，则设直线l的方程为2y kx=+，与椭圆方程联立消去y得22(14)1680k x kx+++=，得1221614kx xk+=-+①，122814x xk=+②，由|||| |||| PM MQ PN NQ=得12100200x xx x x x--=--，整理得120122()x x x x x=+，将①②代入得1xk=-，又点00(,)N x y在直线l上，所以1()21y kk=⨯-+=，于是有112y<<，因此1111121111111y yy y yλ--+===----，由112y<<得11211y>+-，所以2λ>，综上所述，有2λ≥．15.【2015届清华附中考前适应性练习】已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的上顶点为A，两个焦点为1F、2F，21FAF∆为正三角形且周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知圆O:222Ryx=+，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相切于点N；求||MN的最大值．拓展试题以及解析1. 已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的离心率为e，直线2y x=与以C的长轴为直径的圆交于A B、两点,且曲线C恰好将线段AB三等分,则2e的值为( )A．12B．18C．1011D．34【答案】C【入选理由】本题考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力．以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.2．如图，已知椭圆22 221(0)x ya ba b上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF BF⊥，当π12ABF∠=时，椭圆的离心率为___________.xyOAFB【答案】6【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，解直角三角形，三角恒等变形，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，椭圆的简单几何性质，是高考考查的热点，故选此题.3.已知椭圆22221(0)yx a ba b+=>>2，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M，过1M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于12,P P两点，1P点在x轴上方；过2M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于34,P P两点，3P点在x轴上方；以此类推，过2015M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于40294030,P P两点，4029P点在x轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP，，的斜率乘积为_______.【答案】20151.2-【解析】因为椭圆的离心率为22，所以22=2a c ，又222=a b c +，所以22=2a b ，设1P ),(11P P y x ，由椭圆对称性知22111222140301111112P P P AP AP AP BP P P P y y y b k k k k x a x a x a a⋅⋅⋅==-=-+--==,从而4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积配成2015组，每组乘积皆为12-，因此结果为20151.2-【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线的斜率，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题初看似乎很难，细细分析，利用椭圆的对称性很容易解出，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.4.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，定义椭圆C 的“隐圆”方程为222222a b x y a b+=+，若抛物线214x y =-的准线恰好过椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和“隐圆”E 的方程；（Ⅱ）过“隐圆”E 上任意一点P 作“隐圆”E 的切线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点. (i)证明:AOB ∠为定值；(ii)连接PO 并延长交“隐圆”E 于点Q ，求ABQ 面积的取值范围.（Ⅱ）（i ）当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 方程为63x =，则6666,,3333A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以2AOB π∠=，当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222()2x kx m ++=,即222(12)4220k x kmx m +++-=,△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即22210(*)k m -+>，12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为直线与隐圆相切，所以2222131m m d k k ===++22322m k ∴=+ ，22222221212121222(1)(22)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m m k k+-∴+=++++=-+++222322012m k k --==+OA OB ∴⊥2AOB π∴∠=为定值 ； 【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,新定义,圆的性质,焦三角等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5,且椭圆的一个长轴端10 （1）求椭圆C 的方程；M N，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于（2）如图，连接椭圆短轴端点A与椭圆上不同于A的两点,P恰好经过圆心O，求AMN,P Q两点，且Q∆面积的最大值．【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题. 6.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点.（Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点； （Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若AT eAB =，求椭圆C 的离心率；（Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质, 函数最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，第二问出题形式新颖，故选此题.7.已知1F 、2F 分别是离心率为21的椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，M 是椭圆E 上一点，线段M F 1的中点为N ，△O NF 1（O 为坐标原点）的周长为3. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过1F 作与x 轴不垂直的直线l 交椭圆E 于B A ,两点，)0,(m Q ，若||||QB QA =，求实数m 的取值范围.【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，求参数范围是高考考试的重点，故选此题.8.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上任意一点，12||||PF PF -的最大值4，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过M （0,1）作一条直线l 与椭圆C 相交于两点B A ,，求△AOB 面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==2242a c c ，解得2,22==c a ，所以222c a b -==4，所以椭圆C 的方程为14822=+y x . （Ⅱ）可设直线AB 的方程为1+=kx y ，代入方程8222=+y x 整理得，064)21(22=-++kx x k ,设直【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,三角形的面积,函数与导数,函数的单调性,函数的最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，但综合性比较强,特别是与导数结合出题,是一个好题，故选此题.。
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椭圆高考题赏析
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A.45
B.35
C.25
D.15
答案:B
解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又
222b a c =-, 所以222()4()a c a c +=-.
所以5
3a c =.所以35
c e a ==. 2.已知椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的左焦点为
F,右顶点为
A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若
AP 2PB =,则椭圆的离心率是( )
C.13
D.12
答案:D
解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =, ∴a=2c.∴12
e =.
3.已知椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使
1221
sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 .
答案:11)-,
解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得
211221
sin PFF sin PF F PF PF ||||
=,∠∠
则由已知,得
1211a c PF PF =,||||
即a|1PF |=c|2
PF |.
由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a, 则c a
|2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |2
2a c a
=,+
由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a
<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.
又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.
4.椭圆22192
y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .
答案:2 120解析:∵2292a b =,=,
∴22
927c a b =-=-=∴|12F F |7=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6,
∴|2PF |=2. 又由余弦定理,得cos 222
1224(27)12
F PF +-∠==-, ∴
12120F PF ∠=,故应填2,120.
5.已知椭圆22221(y x a b a b
+=>
>0)的离心率3e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0).
若
|AB|=求直线l 的倾斜角;
解:(1)
由c e a
==
得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242
a b ⨯⨯=,即ab=2. 解方程组 22a b ab =,
⎧⎨
=,
⎩ 得a=2,b=1.
所以椭圆的方程为2214
x y +=. (2)由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).
于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+,⎧⎪
⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.
由212164214k x k --=,+得2
122814k x k -=+.从而12414k y k
=+. 所以
|AB|==由
|AB|=
=. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34
π.
巩固提升
题组一 椭圆的离心率问题
1.椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.2(0]2,
B.1(0]2
,
C.[211)-,
D.1[1)2
,
答案:D
解析:|AF|22a b c c c =-=,而|AF|=|PF|a c ≤+, 所以2
b a
c c
+≥, 即2210e e +-≥,解得112
e ≤<.
2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A.
32 B.22
C.21-
D.2
答案:C
解析:根据题意:2145AF F ∠=2
222b c e e a
,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-. 3.设椭圆22221(0y x m m n
+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12
,则此椭圆的方程为( )
A.
2211216y x += B.
2211612y x += C.
2214864
y x += D.
2216448
y x += 答案:B
解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12
e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故
选B.
题组二 椭圆的定义
4.设P 是椭圆2212516
y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( )
A.4
B.5
C.8
D.10
答案:D
解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.
5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2
2
14
y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13
的点P 的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
解析:联立方程组 22
22014
x y y x +-=,
⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩
|AB|=
结合图象知P 的个数为4. 题组三 椭圆的综合应用
6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,
且G 上一点到G 的两
个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .
答案:
221369
y x += 解析
:212e a a =
=,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369
y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b
+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为9,则b= .
答案:3
解析:依题意,有 12122221
22184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪
||⋅||=,⎨⎪||+||=,
⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴
b=3.
8.如图,已知椭圆22221y x a b
+=（a>b>0)
过点(1,
左 、右焦点分别
为F 1 、F 2.点P 为直线l:x+y=2上且不在x 轴上的任意一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和C ,
D ,O .为坐标原点
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设直线1PF ,PF 2的斜率分别为1k ,k 2. 证明:12
312k k -=.
解:(1)
因为椭圆过点(1e ,=
所以221112c a
a b
+=,=
. 又222a b c =+,
所以1a b c ==,=1. 故所求椭圆的标准方程为2
212
x y +=.
(2)设00()P x y ,,则00120011
y y
k k x x =
,=+-. 因为点P 不在x 轴上,所以0y ≠
.
又002x y +=, 所以0
000
1
2
13(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.。