2020年春湘教版中考数学知识点梳理第4讲 二次根式
九年级上册二次根式知识点
九年级上册二次根式知识点作为初中数学的重要部分，二次根式是需要我们掌握的一个重要概念。
在九年级上册，我们将学习并深入理解二次根式的性质、运算以及应用。
下面，我将为大家总结九年级上册二次根式的知识点。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（其中a为一个非负实数）的数。
其中，√称为根号，a称为被开方数，√a称为二次根式。
二、二次根式的性质1. 非负性：二次根式的结果不小于0，即√a≥0。
2. 排除负号：我们规定根号不能取负值，即√a≠-√a。
3. 分解因数：对于任何正实数a，有√a = √(n² × m)，其中n²是a 的一个因数。
三、二次根式的化简当被开方数能够分解成两个因数的乘积时，我们可以通过分解因数的方法将二次根式化简。
例如√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3。
四、二次根式的运算1. 加减运算：二次根式的加减运算需要满足根号下的数相等，才能进行运算。
例如√5 + √5 = 2√5，2√3 - √3 = √3。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以将根号下的数相乘，并将结果放在根号下。
例如√2 × √3 = √6。
3. 除法运算：除法运算需要使用有理化的方法，即通过将除数和被除数分别乘上其共轭式的形式来进行运算。
例如，（√5 + √3）/ (√5 - √3) = （√5 + √3）×（√5 + √3）/ [(√5 - √3) × （√5 + √3）] = 8 + 2√15。
五、二次根式的应用1. 几何应用：在几何学中，二次根式经常用于计算图形的边长、面积、体积等。
2. 物理应用：在物理学中，二次根式可以用于计算电流、电压、速度、力等相关问题。
3. 经济应用：在经济学中，二次根式可以用于计算平均收益、成本、利润率等。
六、二次根式的拓展1. 无理数的定义：二次根式属于无理数，即不能表示为两个整数之比的实数。
2020年中考复习知识点梳理：第四课时二次根式
第四课时二次根式
知识梳理：
知识点一、二次根式的相关概念
1、式子_____________________叫做二次根式。
要点点拨：二次根式的相关概念
❶a既可以是数，也可以是式；
❷注意√a的双重非负性，即：a≥0;√a≥0。
2、最简二次根式：被开方数的因数是_______，因式是_______，被开方数中不含能开得尽方的__________的二次根式叫最简二次根式。
3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，_____________相同的二次根式，叫做同类二次根式。
4、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
知识点二、二次根式的性质
（1）(√a)2=___________(a≥0)；
（2）√a2=________________；
（3）√ab=_______________(a≥0,b≥0)；
=_________________(a≥0,b>0)
（4）√a
b
知识点三、二次根式的运算
（1）二次根式的加减：将各二次根式化为_________________后，合并___________________。
（2）二次根式的乘法：_________________________
（3）二次根式的除法：_________________________
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
2020年中考数学必考专题04 二次根式的运算(解析版)
专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。
反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。
如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
中考数学复习1.4二次根式
2019-2020年中考数学复习1.4二次根式知识梳理知识点一、二次根式的概念一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式.只有当a≥0时，才有意义，当a＜0时，没有意义；知识点二、二次根式的性质(1)二次根式的双重非负性：是非负数；的被开方数a是非负数.(2) （a≥0）； (3)（a≥0）.知识点三、最简二次根式与同类二次根式1. 最简二次根式定义：如果一个二次根式满足以下三个条件，（1）分母中不含有根号；（2）被开方数不含有分母；（3）被开方数中不含能够开得尽方的因数或因式，我们称这样的二次根式为最简二次根式.2. 二次根式化简的方法：（1）＝·（a≥0，b≥0）（2）（a≥0，b＞0）3. 同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.知识点四.二次根式的运算1. 二次根式的乘法：·＝（a≥0，b≥0）2. 二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）。
3. 二次根式加减的加减运算，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 先把各个二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式.加减法法则：.4. 二次根式的四则混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.例题解析例1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥B．x≥－C．x＞D．x≠例2.若，则(x＋y)y＝．例3. 下列根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．例4.(1)计算：×－4××(1－)0；例5. 已知m＝1+，n＝1−，求代数式的值.例6. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）请在网格图1中画出一个三边长分别为3，2，的三角形，并求出它的面积．（2）请在网格图2中画出一个三边长均为无理数，且面积为的钝角三角形．随堂练习1..函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≥2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2且x≠02. 如果，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 下列运算中错误的是（ ）A.+＝B.×＝C.÷＝2D.(－)2＝3.4. 计算：＝____________． ＝__________.5. 观察分析下列数据： 0，，，，，， ，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是 (结果需化简)．6. 若实数x 、y 满足33124+-+-=x x y , 则 .7. （1）(0,0)a b -≥≥； （2）2(71)+-- ；8. （1）.计算判断：（只填写符号：＞，＜，=）（1）当a=2，b=2时， 与的大小关系是 ．（2）当a=4，b=1时，与的大小关系是 ．（3）当a=5，b=3时，与的大小关系是 ．（2）. 归纳猜想：写出关于与之间数量关系的猜想： ．（3）. 探究证明：证明猜想的正确性. 提示：（4）. 实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．he<24747 60AB 悫j|22961 59B1 妱 .40737 9F21 鼡21175 52B7 劷 a。
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第一章数与式第4节二次根式
1.4 二次根式1.下列二次根式是最简二次根式的是 (D ) A .√32 B .√43C .√1.5D .2√102.[易错题]√4的算术平方根是 (B ) A.±√2 B.√2C.±2D.23.下列等式正确的是 (A ) A .(√3)2=3 B .√(−3)2=-3C .√33=3D .(-√3)2=-3 4.计算:√5+12-1×√5+12= (B ) A.0 B.1 C.2 D.√5−12【解析】√5+12-1×√5+12=√5+1−22×√5+12=√5−12×√5+12=(√5)2−124=1. 5.实数a 在数轴上的位置如图所示,则√(a −4)2+√(a −11)2 化简后为(A )A.7B.-7C.2a -15D.无法确定【解析】由数轴可知5<a <10,∴√(a −4)2+√(a −11)2=a -4+11-a =7.6.[数学文化]已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,为求其面积,中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron)给出求其面积的海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c),其中p =12(a +b +c );我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S =12√a 2b 2−(a 2+b 2−c 22)2.若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是 (B ) A .3√158B .3√154C .3√152D .√152【解析】∵三角形的三边长分别为2,3,4,∴p =12×(2+3+4)=92,由海伦公式得S =√92×52×32×12=3√154;或由秦九韶公式得S =12√22×32−(22+32−422)2=3√154.7.(2022·合肥三十八中一模)函数y=√1−2x的自变量的取值范围是x≤12.8.(2021·天津)计算(√10+1)(√10-1)的结果等于9.9.若x=√2−12,则4x2+4x=1.解法1:直接代入求值;解法2:整体代入求值.10.[创新思维]在如图的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格的实数之积为6√2.【解析】由题意可知,第一行三个数的乘积为3√2×2×√3=6√6,设第二行中间的数为x,第三行第一个数为y,则√3xy=6√6,解得xy=√6√3=6√2.11.化简:√12+14×√−643-15√13.解:原式=2√3+14×(-4)-15×√33=2√3-1-5√3=-1-3√3.12.已知x=2-√3,y=2+√3.(1)求x2+y2-3xy的值;(2)若x的整数部分是m,y的小数部分是n,求5m2-n的值.解:(1)∵x=2-√3,y=2+√3,∴x+y=4,xy=1,∴x2+y2-3xy=(x+y)2-5xy=42-5×1=11.(2)∵1<√3<2,∴0<2-√3<1,3<2+√3<4,∴m=0,n=2+√3-3=√3-1,∴5m2-n=5×02-(√3-1)=1-√3.13.(2021·湖南娄底)若2,5,m 是某三角形三边的长,则√(m −3)2+√(m −7)2等于 (D ) A.2m -10 B.10-2m C.10D.4【解析】由题意,得3<m <7,∴原式=m -3+7-m =4.14.设a =√7+√6,b =√7-√6,则a 2023b 2022的值是 √7+√6 .【解析】由题意,得ab =(√7+√6)(√7-√6)=1,∴a 2023b 2022=a ·(ab )2022=√7+√6. 15.先观察下列各式,然后回答问题:第1个等式:√32−12=√8×1; 第2个等式:√52−32=√8×2; 第3个等式:√72−52=√8×3; 第4个等式:√92−72=√8×4; …(1)第6个式子是 √132−112=√8×6 ;(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示),并证明. 解:(2)第n 个等式是√(2n +1)2−(2n −1)2= √8n .证明:左边=√(4n 2+4n +1)−(4n 2−4n +1)= √8n =右边,∴等式成立. 16.观察以下等式: 第1个等式:√1+13=2√13; 第2个等式:√2+14=3√14; 第3个等式:√3+15=4√15; 第4个等式:√4+16=5√16; 第5个等式:√5+17=6√17;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式: √6+18=7√18; (不用化简)(2)写出你猜想的第n 个等式: √n +1n+2=(n +1)√1n+2 (n 为正整数,用含n 的式子表示),并证明; (3)利用(2)中的结论化简: √2021+12023×√2023. 解:(2)证明:左边=√n(n+2)+1n+2=√n 2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2. ∵n 为正整数,∴n +1>0,∴左边=(n +1)√1n+2=右边,∴等式成立.(3)√2021+12023×√2023=2022√12023×√2023=2022.。
湘教版八年级数学上册《二次根式 》知识全解
《二次根式》知识全解课标要求1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由.2.了解最简二次根式的概念.3.理解二次根式的性质：()0≥a a 是非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a .知识结构内容解析1.二次根式的定义：一般地，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式.这里特别要注意的是：对于判断一个代数式是否为二次根式并不需要深究，而应侧重于二次根式有意义的条件——被开方数为非负数．2．二次根式的性质：()0≥a a 是非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a . 注意：二次根式的性质不一定非要直接从算术平方根的意义得到，也可以先由特殊到一般归纳出结论，再通过算术平方根的意义来分析证明.重点难点本节的重点是：明确二次根式()0≥a a 具有双重非负性，会确定被开方数中字母的取值范围；会利用二次根式的性质做相关计算．教学重点的解决方法：循序渐进，逐步深入，从学生已有的开方知识点出发，引导学生理解被开方数中字母的取值范围；根据从特殊到一般的数学思想，引导学生从一些特殊的举例中自主总结归纳出二次根式的一般性质．本节的难点是：二次根式的取值范围．教学难点的解决方法：通过合作探究的方式，进行小组讨论学习，容易深入问题本质，掌握透彻．教法导引教学活动的本质是一种合作、一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程．为了为后续学习打下坚实的基础（例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题），在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯．学法建议学生已学习了平方根、算术平方根以及勾股定理等相关知识，具备了学习二次根式的基础．在教授新课的过程中，注重从特殊到一般数学思考问题方法，发展学生的抽象思维和概括能力，从而得到二次根式的概念，进而深入得出二次根式有意义的条件及性质．新课程标准指出：学生是学习的主体．要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位．本节课主要采用自主学习、合作探究、引领提升的方式，启发式、讲练结合的方法展开教学．先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念；再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简的学习．通过对本节课的学习，使学生们的发散性思维得以启发,学生们的观察、分析、发现问题的能力得以锻炼，学生的辩证唯物主义观点得以培养．。
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质二次根式，也称为平方根，是数学中一种重要的概念。
在2024年中考中，二次根式将是一个重点考点。
本文将对二次根式的基本概念和性质进行详细的阐述，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。
一、基本概念1. 什么是二次根式二次根式指的是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
√a表示求a的平方根。
当a≥0时，二次根式有唯一的实数解；当a<0时，二次根式没有实数解。
例如，√9=3，√16=4，√(-1)在实数范围内没有解。
2. 平方根的运算性质（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a和b，当a=b²（b≥0）时，b是a的平方根。
（2）若a≥0，b≥0，则√(ab)=√a × √b。
（3）若a≥0，b≥0，则√(a/b)=√a / √b（b≠0）。
（4）若a≥0，b≥0，则√a ± √b不能再进行有理化简。
二、性质和定理1. 二次根式的大小关系对于非负实数a和b，有以下性质：（1）若a<b，则√a<√b。
（2）若a>0，则√a>0。
（3）若a<0，则√a不存在。
2. 二次根式的化简（1）约分与有理化分母当二次根式的被开方数含有平方数因子时，可以进行有理化分母的操作。
例如，√(12)=√(4×3)=√4 × √3=2√3。
（2）分解因式当二次根式的被开方数可以分解成平方数的乘积时，可以进行分解因式的操作。
例如，√(16×25)=√(4²×5²)=4×5=20。
3. 基本运算法则（1）加减法两个二次根式相加或相减时，要求被开方数和指数相同。
例如，√3 + √3 = 2√3，√5 - √2 = √5 - √2。
（2）乘法两个二次根式相乘时，可以利用二次根式的乘法法则进行计算。
例如，√3 × √5 = √(3×5) = √15。
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的性质
知识点二
(2)两个重要性质：
①(
a)2＝a(a≥0)；②
a2＝|a|＝
a a
a a
0 0
；
(3)积的算术平方根： ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： a a (a≥0，b＞0)． bb
：二次根式的运算
的取值范围是 x＞1. 利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为 0 时，可得
4 9
42 93
3.二次根式的 先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二
加减法
次根式．
例：计算： 2 8 32 ＝ 3 2 .
4.二次根式的
乘除法
（1）乘法： a · b = ab (a≥0，b≥0)；
（2）除法： a = a (a≥0，b＞0)．
b
b
注意：将运算结果化为最简二次根式.
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的 复合代数式有意义的条件时，注意确保各部 分都有意义，即分母不为 0，被开方数大于等
1
于 0 等.例：若代数式有意义，则 x源自x 1的因数或因式
（1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即 a≥0； ②二次根式的值是非负数，即 a ≥0.
2.二次根式
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平 方根、二次根式.
例：计算： 3 2 ＝1； 32 32 4.
23
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5.二次根式的 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，
混合运算
最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式 会使运算简便.
例：计算：( 2 +1)( 2 -1)= 1 .
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各个非负数均为 0.如 a 1 + b 1 =0，则 a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同 时出现在二次根式的被开方数下时，可得
这一对相反数的数均为 0.如已知 b= a 1 + 1 a ,则 a=1,b=0.
例：计算：
3.142 ＝3.14； 22 ＝2；
24 =；=2 ；
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第 4 讲 二次根式
一、 知识清单梳理 知识点一：二次根式
（1）二次根式的概念：形如 a(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0.
1.有关概念 （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整
式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方
关键点拨及对应举例