2014年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)

2014年山西省太原市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知集合{}1,0,1M =-，{},,N x x ab a b M a b ==∈≠且，则集合M 与集合N 的关系是（ ） A ．M N = B ．M N Ø C ．N M Ø D ．M N =∅ 答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据题意，对集合N 分3种情况讨论，①1a =-时，，②0a =时，③1a =时，先分析b 的值，再求出x 的值，进而可得集合N 的元素，即可得集合N ，分析M 、N 的关系，可得答案． 【解答】解：根据题意，对集合N 分类讨论可得： ①1a =-时，0b =或1，0x =或1-； ②0a =时，无论b 取何值，都有0x =； ③1a =时，1b =-或0，1x =-或0． 综上知{}0,1N =-，则有N M Ø； 故选C ．【点评】本题考查集合之间关系的判断，关键是要根据题意中a ，b M ∈且a b ≠，对集合N 的元素进行分类讨论．2．若复数z 满足()()32i 5z --=（i 为虚数单位），则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A【考点】组合及组合数公式；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算． 【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】首先解方程()()32i 5z --=，求出5i z =+，再运用复数的几何意义即可得到答案． 【解答】解：()()32i 5z --= ，532iz ∴-=-， ()()()52i 5332i 2i 2i z +∴=+=+--+ ()52i 35i 5+=+=+，∴在复平面内z 对应的点为()5,1，即为第一象限内的点． 故选A ．【点评】本题考查复数的混合运算，以及复数的几何意义，是一道基础题，应掌握．3．双曲线221916x y -=的顶点到渐近线的距离为（ ）A ．95B ．125C ．165D ．185答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线221x y -=的顶点坐标()3,0±，渐近线方程为43y x =±，125=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）左视图主视图俯视图A．π B．2πC．2πD．π答案：A【考点】由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题． 【专题】计算题；数形结合法．【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 2π11=πV =⨯⨯圆柱.三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2底面三角形的面积是11=故1=13V ⨯=棱锥 故该几何体的体积是π故选A ．【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征．5．设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）A ．13 B ．3 C ．6 D ．9答案：C【考点】由()sin y A x ωφ=+的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的求值．【分析】函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：()f x 的周期2πT ω=，函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以π2π3k ω=⋅，k ∈Z ．令1k =，可得6ω=．故选C ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为（ ）A ．12-B ．2C ．3-D ．13答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图． 【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现S 值的周期，再根据条件确定跳出循环的i 值，利用S 值的周期求得输出S 的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环12312S +==--，112i =+=；第二次循环131132S -==-+，=2+1=3i ；第三次循环1112312S -==+，314i =+=； 第四次循环1132113S +==-，415i =+=． …，S ∴值的周期为4，跳出循环的i 值为2015，∴输出12S =-．故选：A ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现S 值的周期是解答本题的关键．7．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则231x y x +++取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]2,6C ．[]3,10D ．[]3,11答案：D【考点】简单线性规划的应用． 【专题】计算题；数形结合．【分析】再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线0l 过()0,4A 时0l 最大，k 也最大为11，当直线0l 过()0,0B 时0l 最小，k 也最小为3即可． 【解答】解：根据约束条件画出可行域，设2322111x y y k x x +++==+++， 整理得()1230k x y k --+-=，由图得，1k >．设直线()0123l k x y k =--+-，当直线0l 过()0,4A 时0l 最大，k 也最大为11， 当直线0l 过()0,0B 时0l 最小，k 也最小为3． 故选 D ．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若π3A =，a =22b c +的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]2,8C ．()2,6D ．(]3,6答案：D【考点】余弦定理． 【专题】解三角形．【分析】由余弦定理可得223b c bc =+-，由基本不等式和不等式的性质可得所求范围．【解答】解：π3A =，a =22π32cos 3b c bc =+-⋅，223b c bc ∴=+-，222b c bc + ≥，222b c bc +∴≤22222232b c b c bc b c +∴=+-+-≥， 解得226b c +≤，当且仅当b c =时取等号，又由223b c bc =+-可得2233b c bc +=+> 故22b c +的取值范围为：(]3,6故选：D ．【点评】本题考查余弦定理的应用，涉及基本不等式，属中档题．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若10AB =，6AF =，4cos 5ABF ∠=，则C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．67答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】在AFB △中，由余弦定理可得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到BF ，设'F 为椭圆的右焦点，连接'BF ，'AF ．根据对称性可得四边形'AFBF 是矩形． 即可得到a ，c ，进而取得离心率．【解答】解：如图所示，在AFB △中，由余弦定理可得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，2224610205BF BF ∴=+-⨯，化为()280BF -=，解得8BF =．设'F 为椭圆的右焦点，连接'BF ，'AF ．根据对称性可得四边形'AFBF 是矩形． '6BF ∴=，'10FF =．286a ∴=+，210c =，解得7a =，5c =．5e 7c a ∴==． 故选B ．【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键． 10．已知一个四面体的每个面都是有两条边长为3，一条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．πC ．11πD ．11π4 答案：C【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】考虑一个长方体1111ABCD A B C D -，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为3，3，2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，可得外接球的表面积．【解答】解：设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是a ，b ，c ， 其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3，3，2，C 1B 1CDAA 1D 1则229a b +=，229b c +=，224c a +=， 则22211a b c ++=，即长方体的外接球直径2R故外接球的表面积24π11πS R ==， 故选C【点评】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R ；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R ；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R ．11．已知定义在R 上的函数满足：()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]7,3-上的所有实数根之和为（ ） A ．9- B ．10- C ．11- D ．12- 答案：C【考点】函数的周期性；分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．【解答】解：()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=， ()[)[)22,20,122,21,0x x f x x x ⎧-∈⎪∴--=⎨--∈-⎪⎩ 又()252x g x x +=+，则()122g x x =++，()122g x x∴--=，当21x k ≠-，k ∈Z 时，上述两个函数都是关于()2,2-对称，；由图象可得：方程()()f x g x =在区间[]7,3-上的实根有5个，1x 满足476x -<<-，2x 满足254x -<<-，33x =-，4x 满足401x <<，244x x +=-，5x 满足523x <<，154x x +=-∴方程()()f x g x =在区间[]7,3-上的所有实根之和为11-．故答案为：C ．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．12．已知函数()cos f x x =，数列{}n a 中，()11ππ22n n i i a f n n =-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑，数列{}n b 中，1ππ22n n i i b f n n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，n ∈N *，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 是递增数列且1n a >，{}n b 是递减数列且1n b >B ．{}n a 是递增数列且1n a <，{}n b 是递增数列且1n b >C ．{}n a 是递增数列且1n a <，{}n b 是递减数列且1n b <D ．{}n a 是递减数列且1n a >，{}n b 是递增数列且1n b <答案：D【考点】数列的函数特性．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据题意，得通项公式n a 、n b ，求出1a 、2a 的值，验证{}n a 是递减的数列，且1n a >，求出1b 、2b 的值，验证{}n b 是递增数列，且1n b <，得出正确的答案．【解答】解：根据题意，得π1231cos0cos πcos πcos πcos π22222n n a n n n n n -⎛⎫=+++++⎪⎝⎭ ，n ∈N *；1ππcos0122a ∴==>，21π1πππcos0cos π244442a a ⎛⎫=+=<⨯== ⎪⎝⎭， {}n a ∴是递减的数列，且1n a >； ππ234cos cos π+cos πcos πcos π222222n nb n n n n n n ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，n ∈N *；1ππcos 022b ∴==，2ππ2ππcos cos 4444b ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 121b b ∴<<，{}n b ∴是递增数列；故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式的应用问题，解题时应根据通项公式，求出数列对应的项，从而判定结论是否正确，是较难的题目．二、13．二项式6⎛⎝的展开式中的常数项为 ．答案：160-【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【解答】解：二项式6⎛ ⎝的展开式中的通项公式为()6316C 21r r rr r T x --+=⋅⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，故展开式中的常数项为3362C 160-⋅=-， 故答案为： 160-．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．某校从6名教师中选派3名教师同时去3个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种． 答案：42【考点】计数原理的应用． 【专题】排列组合．【分析】先从6名教师中选出3名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把3名老师分配去3个边远地区支教，3名教师进行全排列即可． 【解答】解：分两步，第一步，先选三名老师，又分两类第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有13C 3=种不同选法第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有34C 4=种不同选法 ∴不同的选法有347+=种第二步，三名老师去3个边远地区支教，有33A 6=， 根据分步计数原理得不同的选派方案共有，7642⨯=． 故答案为；42．【点评】本题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做．15．三角形ABC 中，过中线AD 的中点E 作直线分别与边AB 和AC 交于M 、N 两点，若AM xAB =，AN yAC =，则4x y +的最小值是 ．答案：94【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加法及条件，AE 既可用AB ,ME 表示，又可用AC ,NE 表示，所以分别表示完之后便得到1144ME x AB AC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 和1144NE AB y AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，这时候，寻找一下ME 和NE 的关系，发现这两个向量共线，根据共线向量基本定理便知道存在实数λ，使得ME NE λ=，带人并化简可得：11114444x AB AC y AC AB λλ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，很自然的会得到两组等式：1144x λ-=和1144y λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这样便能解出x ，y ，然后带入4x y +便得到关于λ的式子，可以看成关于λ的函数，求这个函数的最小值即可．【解答】解：由题意得：()14AE xAB ME AB AC =+=+．1144ME x AB AC ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭．同理，1144NE y AC AB ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；ME 与NE 共线，∴存在实数λ，使ME NE λ= （0λ<）；11114444x AB AC y AC AB λλ⎛⎫⎛⎫∴-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；11441144x y λλ⎧-=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，()1141114x y λλ⎧=-⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩； ()()111559411144444x y λλλλ⎛⎫∴+=-+-=-+++= ⎪-⎝⎭≥；4x y ∴+的最小值是94． 故答案为94． 【点评】考查向量的加法运算，共线及共面向量基本定理，基本不等式这几个知识点．求解本题的关键是分别用AB ,ME 和NE 来表示向量AE，最后用λ分别表示x ，y ，转化成求关于λ函数的最小值． 16．定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()'f x x <，则不等式()()112f x f x x +-+≥的解集为 ．答案：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【考点】抽象函数及其应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】可先对()()2f x f x x -+=，两边对x 取导数，根据0x <时，()'f x x <，推出0x >时，()'f x x <，求出()00f =，且()'00f ≤，得到x ∈R ，都有()'f x x <．构造函数()()()112F x f x f x x =+---，求导并推出()'0F x <，且102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解： 定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=， 两边对x 求导，得()()''2f x f x x --+=， ()()''2f x f x x ∴=-+，令0x >，则0x -<，当0x <时，()'f x x <，()'f x x ∴-<-，()'2f x x x ∴<-，即()'f x x <，又()00f =，直线y x =过原点， ()'00f ∴≤，x ∴∈R ，都有()'f x x ≤，令()()()112F x f x f x x =+---，则()()()'''11110F x f x f x x x =+--<+--=， 即()F x 是R 上的单调减函数，且102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴不等式()()112f x f x x +-+≥，即()0F x ≥，即()12F x F ⎛⎫⎪⎝⎭≥，12x ∴≤．∴原不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为： 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点评】本题主要考查运用导数研究函数的单调性，并应用单调性解不等式，同时考查构造函数研究函数的性质的能力，如何运用条件，两边对x 求导，是解决此类题的关键． 三、解答题：写出文字说明，证明过程或演算步骤必考题17．已知各项均为正数的数列{}n a 满足22112n n n n a a a a ++=+，且24324a a a +=+，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足()212nn nna b n =+⋅是否存在正整数m 、()1n m n <<，使得1b ，m b ，n b 成等比数列？若存在，求出所有的m 、n 的值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由22112n n n n a a a a ++=+，化简可得数列{}n a 是公比为2的等比数列，由24324a a a +=+，求出首项，即可求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求出数列{}n b 的通项，利用得1b ，m b ，n b 成等比数列，正整数m 、()1n m n <<，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为22112n n n n a a a a ++=+， 所以()()1120n n n n a a a a +++-=， 因为0n a >，所以有120n n a a +-=，即12n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列，由24324a a a +=+得1112884a a a +=+，解得12a =． 从而数列{}n a 的通项公式为2n n a =． （II ）()21221n n nna nb n n ==+⋅+， 若1b ，m b ，n b 成等比数列，则2121321m n m n ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 2m =，12n =，使得1b ，m b ，n b 成等比数列．【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，正确运用数列递推式是关键． 18．中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为34、23、12．指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （Ⅰ）求该项技术量化得分不低于8分的概率；（Ⅱ）记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A 、B 、C ，事件“得分不低于8分”表示为ABC ABC +．利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出结果．（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X 的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出X 的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A 、B 、C ， 则事件“得分不低于8分”表示为ABC ABC +．ABC ∴与ABC 为互斥事件，且A 、B 、C 为彼此独立，()()()P ABC ABC P ABC P ABC ∴+=+ ()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=， （Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X 的取值为0，1，2，3，()()1111043224P X P ABC ===⨯⨯= ，()()1P X P ABC ABC ABC ==++31112111114324324324=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， ()()2P X P ABC ABC ABC ==++3211213111143243243224=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， ()()32113=4324P X P ABC ===⨯⨯，1111123012324424412EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机事件的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，解题时要注意互斥事件和相互独立事件的概率计算公式的应用．19．三棱锥P ABC -，底面ABC为边长为的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，2PB PC ==，D 为AP 上一点，2AD DP =，O 为底面三角形中心． （Ⅰ）求证DO ∥面PBC ； （Ⅱ）求证： BD AC ⊥；（Ⅲ）设M 为PC 中点，求二面角M BD O --的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法． 【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）连接AO 交BC 于点E ，连接PE ，通过DO PE ∥，利用直线与平面平行的判定定理，证明求证DO ∥面PBC ；（Ⅱ）通过证明AC ⊥平面DOB ，利用直线与平面垂直的性质定理证明BD AC ⊥；（Ⅲ）设M 为PC 中点，以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出A 、B 、P 、C 、D 、M 的坐标，求出向量BM ，DB ，设出平面BDM 的法向量为n ，利用00n DB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，求出n ，利用cos ,n ACn AC n AC ⋅=求二面角M BD O --的余弦值．【解答】 证明：（Ⅰ）连接AO 交BC 于点E ，连接PE ． O 为正三角形ABC 的中心，2AO OE ∴=， 且E 为BC 中点．又2AD DP =， DO PE ∴∥，DO ⊄ 平面PBC ，PE ⊂平面PBC DO ∴∥面PBC ．（Ⅱ）PB PC = ，且E 为BC 中点，PE BC ∴⊥， 又平面PBC ⊥平面ABC ，PE ∴⊥平面ABC ， 由（Ⅰ）知，DO ∥PE ，DO ∴⊥平面PBC ，DO AC ∴⊥连接BO ，则AC BO ⊥，又DO BO O = ， AC ∴⊥平面DOB ，AC BD ∴⊥． （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA ，EB ，EP 两两互相垂直，且E 为BC 中点，所以分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()3,0,0A ,()0,0B ,()0,0,1P ,21,0,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,0C ,10,,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10,,2BM ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭,21,3DB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，则203102n DB x z n BM y z ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，则(,1,n =．由（Ⅱ）知AC ⊥平面DBO ，()3,0AC ∴=-为平面DBO 的法向量，cos ,n AC n AC n AC⋅∴===由图可知，二面角M BD O --．C【点评】本题考查直线与平面的平行的判断，在与平面垂直的性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力，以及逻辑推理能力．20．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线1l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，直线1l 与抛物线交于不同的两点C 、D ．（Ⅰ）当1l 过F 时，在1l 上取不同于F 的点P ，使得FA PAFB PB =，求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若1l 与2l 相交于点Q ，且倾斜角互补时，QA QB a QC QD ⋅=⋅，求实数a 的值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）先设出A ，B ，P 的坐标，及两直线的方程，代入抛物线方程利用韦达定理表示出12y y +和12y y ，设出A ，B ，F ，P 在y 轴的投影利用比例关系求得1122y y y y y y --=-，整理后消去m 得到P 的轨迹方程． （Ⅱ）设出A ，B ，C ，D ，Q 的坐标以及两直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理分别求得12x x +和12x x ，34x x +和34x x ，表达式，进而表示出QA QB ⋅和QC QD ⋅，利用0x 的坐标代入求得a ． 【解答】解：（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y ，因P 不同于F ，知P 不在线段AB 上， 设1:1l x my =+，代入24y x =，得2440y my --=， 则124y y m +=，124y y =-，设A ，B ，F ，P 在y 轴的投影分别是'A ，'B ，'F ，'P ， 则''''''''F A P A F B P B =，1122y y y y y y -=-，由于1y ，2y 异号，P 不在线段AB 上，则1y y -与2y y -同号，1122y y y y y y -∴-=-，即()12122y y y y y +⋅=，2my ∴=-，而1x my =+，1x ∴=-，()0y ≠，P ∴点的轨迹方程为()1x y o =-≠．（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，()00,Q x y ， 1:l y kx m =+，2:l y kx n =-+，代入24y x =，得()222240k x k m x m +-+=，()222240k x kn x n +--+=，则12242km x x k -+=，2122m x x k =，34224kn x x k ++=，2342n x x k=，则()()2210201201201QA QB x x k x x x x x x ⋅--=+-++()()2230403403401QC QD x x x x k x xx x x x ⋅=--=+-++， 而()()()()22120120340340123403412x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++--++=-++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 22022222442m n kn km x k k k k +-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ ()220222k n m m n x k k +-=+⋅，① 又Q 在1l 上也在2l 上，0000y kx my kx n =+⎧∴⎨=-+⎩，则02kx n m =-， 0π2n x k-∴=， ∴①式可化为()22222222222π02k n m m n n m n m n k k k k k +----+⋅=-=， 1a ∴=．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．常把直线方程与抛物线方程联系消元，利用韦达定理建立等式解决问题．21．设函数()()2ln 1f x x a x =++（a 为常数）（Ⅰ）若函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单凋递增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】转化思想． 【分析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知：()222'01x x af x x ++=+≥在[)1,+∞上恒成立．即222a x x --≥在区间[)1,+∞上恒成立．222x x -- 在区间[)1,+∞上的最大值为4-， 4a ∴-≥；经检验：当4a =-时，()()()()2221224'011x x x x f x x x +-+-==++≥，[)1,x ∈+∞． a ∴的取值范围是[)4,-+∞．（Ⅱ）()222'01x x af x x ++==+在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根，即方程2220x x a ++=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根．记()222g x x x a =++，则有()11210210g g ⎧->-⎪⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩，解得102a <<．∴121x x ∴+=-，222220x x a ++=212x =-+，2102x -<<．()()()22222221222ln 11x x x x f x x x -++∴=--令()()()2222ln 11x x x x k x x-++=--，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．()()()22'2ln 11x k x x x =+++， 记()()()222ln 11x p x x x =+++．()()23262'1x x p x x ++∴=+，1'42p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,()'02p =． 在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()0'0p x =． 当 01,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0p x <；当()0,0x x ∈时，()'0p x >． 而()'k x 在01,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在()0,0x 单调递增，1'12ln 202k ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭.()'00k =，∴当1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,()'0k x <，()k x ∴在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，即()2110ln 22f x x <<-+． 【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．四、选考题，请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-1：几何证明选讲22．如图，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．CEMOA【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】证明题；直线与圆．【分析】（1）连接BE 、OE ，由直径所对的圆周角为直角，得到BE EC ⊥，从而得出12DE BD BC ==，由此证出ODEQD ODB △△，得90O E D O B D ∠=∠=︒，利用圆内接四边形形的判定定理得到O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）延长DO 交圆O 于点H ，由（1）的结论证出DE 为圆O 的切线，从而得出2DE DM DH =⋅，再将DH 分解为DO OH +，并利用12OH AB =和12DO AC =，化简即可得到等式22DE DM AC DM AB =⋅+⋅成立． 【解答】解：（1）连接BE 、OE ，则AB 为圆O 的直径，90AEB ∴∠=︒，得BE EC ⊥， 又D 是BC 的中点，ED ∴是Rt BEC △的中线，可得DE BD =．又OE OB = ，OD OD =，ODEQD ODB ∴△△． 可得90OED OBD ∠=∠=︒，因此，O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）延长DO 交圆O 于点H ，DE OE ⊥ ，OE 是半径，DE ∴为圆O 的切线．可得()2DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅．12OH AB =，OD 为ABC △的中位线，得12DO AC =， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．HAOMEC【点评】本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（1）求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：cos x ρθ=,sin y ρθ=,222x y ρ=+，进行代换即得C 的直角坐标方程，将直线l 的参数消去得出直线l 的普通方程．（2）求出圆心到直线的距离d ，结合圆的性质即可求得点P 到直线l 的距离的取值范围． 【解答】解：（1）由24cos 30ρρθ-+=，化为直角坐标方程：22430x y x +-+=， 即曲线C 的方程为22430x y x +-+=，由直线l的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去t ，得直线l0y -+.（2）曲线C 的标准方程为()2221x y -+=，圆心()2,0C ，半径为1．∴圆心C 到直线l的距离为：d =． 所以点P 到直线l的距离的取值范围是1,1⎤-+⎥⎣⎦．【点评】本题考查曲线参数方程、点的极坐标和直角坐标的互化应用，考查数形结合思想，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设()12f x x x =+--．（Ⅰ）若不等式()f x a ≤的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．求a 的值；（Ⅱ）若x ∃∈R ，()24f x m m +<，求m 的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法． 【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）画出函数()f x 的图象，根据12x =时，()0f x =；当12x <时，()0f x <；当12x >时，()0f x >，可得a 的值．（Ⅱ）不等式等价于()24f x m m <-，因为()f x 的最小值为3-，所以问题等价于234m m -<-，由此求得m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()3,121,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪⎩≤≤≥，其图象如下：当12x =时，()0f x =． 当12x <时，()0f x <；当12x >时，()0f x >．所以，0a =．（Ⅱ）不等式()24f x m m +<，即()24f x m m <-． 因为()f x 的最小值为3-，所以问题等价于234m m -<-． 解得1m <，或3m >．故m 的取值范围是()(),13,-∞+∞ ．【点评】本题主要考查带有绝对值函数，绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．。