2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：阶段质量评估3 Word版含解析

阶段质量评估(三) 导数应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2， ∵x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3. 答案：B2．若a n ＝n (n ＋2)(n －2)(n ＝1,2,3，…)，则数列{a n }为( ) A ．先递增后递减数列 B ．先递减后递增数列 C ．递增数列D ．递减数列解析：令f (x )＝x (x ＋2)(x －2)＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.当x ≥2时，f ′(x )＝3x 2－4>0恒成立． ∴当n ≥2时，a n ＝n (n ＋2)(n －2)为递增数列． 又∵a 1＝－3<0，a 2＝0，∴a 1<a 2，从而当n ∈N ＋时，{a n }为递增数列． 答案：C3．函数f (x )＝x1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0， 又x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)． 答案：C4．将8分为两正数之和，要使其立方和最小，则分法为 ( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3，且0<x <8，y ′＝3x 2－3·(8－x )2.令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4. 当0<x <4时，y ′<0；当4<x <8时，y ′>0. ∴当x ＝4时，y 最小．答案：B5．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．对于f (x )＝x 3＋px 2＋2x ＋1，若|p |<6，则f (x )无极值D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值解析：极值是在局部范围内的问题．在整个函数定义域内极大值不一定比极小值大，故A 错．函数y ＝x 3在[－1,1]上有最大值，但没有极值，故B 错．函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上没有最值，故D 错．答案：C6．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：由题意f (x )在[0，＋∞)上递增， 又∵f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔ |2x －1|<13⇔－13<2x －1<13⇔13<x <23.答案：A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )解析：由已知得⎩⎨⎧－b 2>0.c －b24<0，∴b <0.f ′(x )＝2x ＋b ，只有A 适合．答案：A8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0(a ∈R )的实数根的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：构造函数利用单调性．由f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1. ∵Δ＝－8<0，∴f ′(x )>0.∴f (x )在R 上单调递增． ∵当x →－∞时，f (x )→－∞，当x →＋∞时， f (x )→＋∞，∴f (x )与x 轴有一个交点．即f (x )＝0只有一根． 答案：B9．函数y ＝4x －x 4在x ∈[－1,2]上的最大值，最小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (1)与f (2) C ．f (－1)与f (2)D ．f (2)与f (－1)解析：利用导数求最值．由y ′＝4－4x 3＝0，得x ＝1， ∵f (1)＝3，f (－1)＝－5，f (2)＝－8， ∴f (x )max ＝f (1)，f (x )min ＝f (2)． 答案：B10．函数f (x )＝2x 2－13x 3在区间[0,6]上的最大值是( )A ．323B ．163C ．12D ．9解析：f ′(x )＝4x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝4.比较f (0)，f (4)，f (6)，得f (x )max ＝f (4)＝323. 答案：A11．(2015·福建高考卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0.∴函数F (x )在R 上为单调递增函数． ∵1k －1>0，∴F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)．∵F (0)＝f (0)＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1－k k －1>－1，即f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1.∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1. 答案：C12．(2015·全国卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：当x >0时，令F (x )＝f (x )x， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数．∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0， ∴F (1)＝0.∴在(0,1)上，F (x )>0； 在(1，＋∞)上，F (x )<0. 即当0<x <1时，f (x ) >0； 当x >1时，f (x )<0.又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0； 当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________． 解析：f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 答案：±114．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是_________． 解析：令y ′＝3x 2＋2x －5>0，得x <－53或x >1.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(1，＋∞) 15．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意可知，f ′(x )＝2mx ＋1x －2＝2mx 2－2x ＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2mx 2－2x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．∴m ≥2x －12x 2在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝2x －12x 2＝1x －12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x －12＋12， ∴g (x )max ＝12.∴m ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞16．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．解析：当a >0时，函数f (x )在(－∞，－1)上是增加的，在(－1，a )上是减少的，在(a ，＋∞)上是增加的．故在x ＝a 处取极小值．当a ＝－1时不合题意．当－1<a <0时，函数f (x )在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，a )上是增加的，在(a ，＋∞)上是减少的．故在x ＝a 处取极大值．当a <－1时，函数f (x )在(－∞，a )上是减少的，在(a ，－1)上是增加的，在(－1，＋∞)上是减少的．故在x ＝a 处取极小值．综上，a ∈(－1,0)． 答案：(－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f (x )在x ＝0处取得极值， ∴f ′(0)＝0，即b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.∵函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，∴应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.18.(12分)如图，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．解：设矩形边长为|AD |＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)． 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝23， x 2＝－23(舍去)．当0<x <23时，S ′>0； 当23<x <2时，S ′<0. ∴当x ＝23时，S 取得最大值， 此时S 最大＝3239，y ＝83.即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．19．(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝a x －12x 2＋32，由题意知f ′(1)＝0， 即a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛⎭⎫因为x 2＝－13不在定义域内，舍去. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.20．(12分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， ∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数． 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知函数f (x )＝2x 3－x 2＋ax ＋b ，(1)若函数f (x )的图像上有与x 轴平行的切线，求参数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )<b 2＋b 恒成立，求参数b 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ， 依题意知，方程f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝4－4×6a ≥0，得a ≤16.即参数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，16. (2)由函数f (x )在x ＝1处取得极值，知x ＝1是方程f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ＝0的一个根， ∴a ＝－4，方程f ′(x )＝6x 2－2x －4＝0的另一个根为－23，∴当x <－23或x >1时，f ′(x )>0；当－23<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－23和[1,2]上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－23，1上为减函数， ∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝4427＋b ， 极小值f (1)＝b －3.又f (－1)＝b ＋1，f (2)＝b ＋4， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝4＋b . ∴只需满足f (x )max <b 2＋b ， 即4＋b <b 2＋b ，解得b >2或b <－2. ∴b 的取值范围为b >2或b <－2.22．(12分)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝a x ＋2(x ＋1)2∵a ＝0，∴f ′(x )＝2(x ＋1)2.根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a (x ＋1)2＋2x x (x ＋1)2＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋ax (x ＋1)2，令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a ，Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋4. 当a ＝0时， f ′(x )＝2(x ＋1)2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上递增．当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根 x 1＝－(a ＋1)－2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，∵a >0，∴x 1<0，x 2<0. ∴g (x )>0.∵x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)上递增．当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0.∴f (x )在(0，＋∞)上递减． 当Δ>0，即－12<a <0时，x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a >0，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a >0.∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．∴f (x )在(x 1，x 2)上递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减． 综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上递增；当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)上递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a； 当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)上递减．。