递归和分治法
递归与分治算法心得
递归与分治算法心得
递归与分治算法是算法设计中常见的两种方法，它们在解决问题时都采用了“分而治之”的思想，将问题分解成更小的子问题，然后通过递归调用或者合并子问题的解来得到原问题的解。
通过我的学习和实践，我深刻认识到了递归与分治算法的重要性和优势。
首先，递归算法可以使问题的描述更加简单明了。
通过将问题转化为自身的子问题，我们可以建立起更为简洁优美的数学模型。
其次，递归算法可以使问题的解决过程更加自然。
在递归过程中，我们可以利用已知的子问题解决同类问题，实现代码的复用和模块化。
此外，递归算法还可以解决一些重要的数学问题，如斐波那契数列和二分查找等。
分治算法则更加注重问题的分解和合并。
它将问题划分成若干个规模相同或相近的子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种方法在解决某些复杂问题时具有很大的优势。
例如，在排序算法中，归并排序采用了分治算法的思想，将待排序的序列分成两个长度相等的子序列，然后递归地对子序列排序，最后将子序列合并成有序序列。
这种算法具有较高的稳定性和灵活性，常常被应用于海量数据的排序任务中。
总之，递归与分治算法是算法设计中不可或缺的两种方法。
在解决问题时，我们应该根据具体情况选择合适的算法，并在实践中不断探索、总结和优化。
只有这样，我们才能更好地应对日益复杂多变的计算机科学挑战。
五大常用算法
回溯法
基本概念 回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发 现原先选择并不是最优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的方 法称为回溯法。 基本思想 在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解 空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结 点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回 溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。 若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍 才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束 。
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贪心算法
例 在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的 话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得 只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟； 而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题 是，如何设计一个方案，让这四人尽快过桥 。
2012年林清华等人提出一种新型快速中值滤波算法，主要应用于医学图像.文中方法利 用中值滤波算法对滤波窗口内其他像素点的排列顺序不作要求的特点，将基于排序寻找中 值的过程转换为基于分治查找中值的过程。在分治查找过程中，利用医学图像未受干扰时 图像中像素值的变化是渐变的特性，优先选用中心点附近的像素值进行分治查找，以达到
图1 动态规划决策过程示意图 实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计： （1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。 （2）递归的定义最优解。 （3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值。 （4）根据计算最优值时得到的信息B→ 2 A←1 AC → 5 A←1 AD → 8 一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
递归与分治ppt课件
2023/10/8
计算机算法设计与分析
3
Hanoi塔问题的时间复杂性
n Hanoi塔问题的时间复杂性为O(2n)。 n 证明：对n归纳证明move(n) = 2n – 1。 n 归纳基础：当n = 1, move(1) = 1 = 21 – 1。 n 归纳假设：当n k, move(n) = 2n – 1。 n 归纳步骤：当n= k + 1，移动次数为
2、除法，即n / b，的形式
2023/11/4
计算机算法设计与分析
21
递归算法的时间复杂性
n 若~为减法，即n – b，则有：
T(n) = aT(n – b) + D(n)
= a(aT(n – 2b) + D(n – b)) + D(n) =
k–1
k–1
= akT(1) + ai D(n – ib) = ak + ai D(n – ib)
n q最(n简, m单)情{ 形1：(1) q(n, 1)=1, q(1, mn)==1 n或, mm≥1=;1 n 递q(iin归ff,((mnn关)<=系==1)：1q1)||(|((+|nm2(,)qmm<(qn=–(1,n1=)n,)–+1n1)q))(=rrnee–1ttmuu+rr,nqnm(01n);;, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1; n 产i生f (n的=新= 情1) 况|| (：n < m) return 1 + q(n, n–1); n (3r)eqtu(nr,nmq)(n=,qm(n–,1m) +–1q)(n+–qm(,nm–m);, m} ), n＞m＞1 n (整4)数q(nn的, m划)分= q数(nρ,(n),=nq＜(nm, n。)。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
算法之2章递归与分治
算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。
(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。
4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。
教你如何简单解决递归问题
教你如何简单解决递归问题递归问题是计算机科学中常见的一个概念，它在编程中经常被用到。
虽然递归算法能够帮助我们解决一些复杂的问题，但是在实际应用中，递归问题可能会导致效率低下、内存溢出等不良后果。
针对这些问题，本文将介绍一些简单有效的方法，帮助你解决递归问题，以提高程序的性能和效率。
1. 迭代代替递归递归算法的本质是函数不断调用自身，但是函数调用会产生额外的开销，尤其是在处理大规模的数据时。
为了简化递归问题，我们可以考虑使用迭代代替递归。
迭代算法使用循环结构来代替函数调用，从而减少开销，提高效率。
2. 减少递归深度递归算法的一个问题是递归深度过深，可能导致栈溢出。
为了解决这个问题，我们可以通过减少递归深度来降低风险。
一种常见的方法是使用尾递归优化。
尾递归是指在递归函数的最后一步调用自身，这样编译器可以将递归转化为迭代，从而减少递归深度。
3. 缓存中间结果递归算法的另一个问题是重复计算相同的子问题，这样会浪费时间和计算资源。
为了解决这个问题，我们可以使用缓存来存储中间结果。
缓存可以避免重复计算，提高计算效率。
一种常见的缓存方法是使用哈希表来记录已经计算过的结果，这样可以在下次遇到相同的子问题时直接查表而不需要重新计算。
4. 分治法分治法是一种常用的解决递归问题的方法。
其基本思想是将问题划分为多个子问题，然后分别解决这些子问题，并将结果合并得到最终的解。
分治法可以通过递归的方式来实现，但是由于分而治之的特点，它可以显著降低递归的复杂度。
5. 动态规划动态规划是一种高效解决递归问题的方法。
它基于问题的最优子结构特性，通过将问题分解为相互重叠的子问题，并使用递推的方式求解。
与递归算法相比，动态规划算法可以避免重复计算，提高效率。
总结：递归问题在计算机科学中广泛存在，但是在实际应用中，我们经常需要解决递归问题导致的效率低下、内存溢出等问题。
通过使用迭代代替递归、减少递归深度、缓存中间结果、分治法和动态规划等方法，我们可以简单解决递归问题，提高程序的性能和效率。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
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递归和分治法
摘要：
一、递归与分治法的概念
1.递归：函数调用自身的思想
2.分治法：把一个大问题分解成若干个小问题
二、递归与分治法的联系与区别
1.递归通常作为分治法的实现方式
2.分治法不一定要用递归实现
三、递归与分治法的应用实例
1.快速排序算法
2.归并排序算法
3.汉诺塔问题
正文：
递归和分治法是两种在计算机科学中经常使用的解决问题的方法。
递归是一种函数调用自身的思想，即函数在执行过程中，会调用自身来完成某些操作。
而分治法则是把一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后再把它们的解合并，得到大问题的解。
这两种方法在某些情况下可以相互转化，递归通常作为分治法的实现方式，但分治法不一定要用递归实现。
递归与分治法之间的联系在于，递归通常是分治法的实现方式。
在分治法中，我们会把一个大问题分解成若干个小问题，然后通过递归的方式，逐个解决这些小问题。
最后，再把它们的解合并，得到大问题的解。
在这个过程中，
递归函数的调用栈会随着问题规模的减小而减小，最终回到原点，从而完成问题的求解。
然而，分治法并不一定要用递归实现。
在一些情况下，我们可以通过迭代的方式，逐个解决小问题，然后把它们的解合并。
这种方式虽然不是通过递归函数调用自身来实现的，但它仍然符合分治法的思想，即把大问题分解成小问题，逐个解决。
递归和分治法在实际问题中有很多应用。
例如，快速排序算法和归并排序算法都是基于分治法的思想设计的。
在快速排序算法中，我们选择一个基准元素，然后把数组中小于基准的元素放在左边，大于基准的元素放在右边，再对左右两个子数组递归地执行相同的操作，直到数组有序。
而在归并排序算法中，我们同样把数组分成左右两个子数组，然后递归地对它们进行排序，最后再把排序好的子数组合并成一个有序的数组。
另一个例子是汉诺塔问题。
在这个问题中，有三个柱子和一个大小不同的圆盘。
要求把圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子，每次只能移动一个圆盘，并且大盘不能放在小盘上。
解决这个问题的方式也是采用分治法，通过递归地移动圆盘，最终把圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子。
总之，递归和分治法是两种在计算机科学中经常使用的解决问题的方法。
递归通常作为分治法的实现方式，但分治法不一定要用递归实现。