分治与递归 循环赛编程
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
分治算法在循环赛赛程分配中的应用
种子 队安排 １ 号位置 ，２ 号种子 队安排２ 号位 置 ，以此类
推。
设有Ｎ 个选 手进行某类循环 比赛 ，比赛场地资源充
足 ，现要求设计满足如下条件的 比赛 日程表 ： （ ）每个选手必须与其余选手各赛 １ ； １ 次
（ ）每个 选 手 每 天 只能 参赛 １ ； ２ 次
（ ）若 Ｎ ３ 为偶数 ，循 环赛在 ｎ １ 天内结束 ；若Ｎ为 奇数 ，循环赛在 ｎ 内结束 天
比赛 日程表可 以设计成ｎ 的表Ａ，其中元素 ａ 表 ×ｎ ｉ ｊ
示选手ｉ 在第ｊ 天所遇到的选 手 ，ｉｌ ＝ ，… ，ｎ ＝ ，…， ，ｊ１
ａｓ ｒ ［］ａｓ ｒ １ ０ ； ［ａ ］ ＝ ［ａｔ ］ ］ ｔｔ１ ｔ ＋ ［
ａｓ ｒ ］１＝ ［ｔａ ［】 ［ ａｔ ［］ ａｓ ］ ； ｔ ＋１ ａ Ｏ
｝ ｅｅ ｜ ｌ ｜ 多 ２ ｓ 选手
｛ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内循环赛 ，后ｍ．天 内让第一组 的第ｉ １ 个选手在第ｊ 与 天
第二组 的第（ ｊ１ ｍｏ ｍ＋ 个选 手进行 比赛 ，其 中 ， ｉ ．） ｄ １ ＋ Ｊ
＝ ， ｍ ＋１， … ， ｎ １。 ｍ 一
／ 为奇数 ，则添加编号为０ 若ｎ 的匿名选手 ，递归
调 用 自身求 解 ／
ｉ ｎ － １ ｆ ％２ － ） （ ｛
②若ｍ为奇数 ，则可在前ｍ天内完成每小组 的内循
环赛 ，同时在前ｍ天内每个小组 每天都会有 １ 个选手轮
空 ，由于采用算法相同 ，每小组 中轮空的选手在小组 内 的编号相 同。每天可安排这２ 个在小组 内的 １ 轮空的 对 选手进行 比赛 。这样 ，就形成 了前ｒ天 内２ ｆ ｌ 个小组 的组 内循环赛 日 程表和每个选手与另一组 中的１ 个选手的１ 次
递归与分治实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除递归与分治实验报告篇一：实验一递归与分治算法编程-实验报告纸南京信息工程大学实验（实习）报告实验（实习）名称递归与分治算法编程实验（实习）日期得分指导教师院专业年级班次姓名学号1．实验目的：1）掌握递归与分治策略的基本思想2）掌握递归算法在阶乘函数、Ackerman函数、整数划分等问题上的应用3）掌握二分查找、合并排序、快速排序等问题的分治算法实现4）熟悉myeclipse或eclipse等Java开发工具的使用。
2．实验内容：1）采用myeclipse或eclipse编程实现基于分治策略的二分查找算法。
2）采用myeclipse或eclipse编程实现基于分治策略的合并排序算法。
3）采用myeclipse或eclipse编程实现基于分治策略的合并排序算法。
3．实验步骤二分查找publicclasssorting{publicstaticintbinarysearch(int[]a,intx,intn){intle ft=0;intright=n-1;while(left intmiddle=(left+right)/2;if(x==a[middle])returnmiddle;if(x>a[middle])left=middle+1;elseright=middle-1;}return-1;}publicstaticvoidmain(stringargs[]){intx,n;inta[]={1,3,4,5,6,13,25};x=6;n=7;ints;s=binarysearch(a,x,n);system.out.println(s);合并排序publicclassmergesort{publicstaticvoidmergesort(int[]a){}publicstaticvoid mergepass(int[]x,int[]y,ints){}publicstaticvoidmerg e(int[]c,int[]d,intl,intm,intr){inti=1,j=m+1,k=1;in ti=0;while(i }}if(c[i]-(c[j])m)for(intq=j;q快速排序publicclassQsort{privatestaticvoidqsort(inta[],intp,intr){}privatest aticintpartition(inta[],intp,intr){inti=p;intj=r+1; intx=a[p];inttemp;while(true){while((a[++i]-x)0);if (i>=j)break;temp=a[i];if(p }}}a[j]=temp;mymath.s wap(a,i,j);//a[p]=a[j];a[j]=x;returnj;publicstaticv oidmain(string[]args){}inta[]={4,2,7,9,1};qsort(a,0,4);for(inti=0;;i++){}s ystem.out.println(a[i]);4．实验分析和总结掌握了递归与分治策略的基本思想掌握了递归算法在阶乘函数、Ackerman函数、整数划分等问题上的应用掌握了二分查找、合并排序、快速排序等问题的分治算法实现熟悉了myeclipse或eclipse等Java开发工具的使用。
循环赛日常表算法（N可为奇数和偶数）
循环赛⽇常表算法（N可为奇数和偶数）⼀、实验题⽬设有n位选⼿参加⽹球循环赛，循环赛共进⾏n-1天，每位选⼿要与其他n-1位选⼿⽐赛⼀场，且每位选⼿每天必须⽐赛⼀场，不能轮空。
试按此要求为⽐赛安排⽇程。
⼆、实验⽬的1．深刻理解并掌握“分治算法”的设计思想；2．提⾼应⽤“分治算法”设计技能；3．理解这样⼀个观点：⽤递归⽅法编写的问题解决程序具有结构清晰，可读性强等优点，且递归算法的设计⽐⾮递归算法的设计往往要容易⼀些，所以当问题本⾝是递归定义的，或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的，或者是问题的解决⽅法是递归形式的时候，往往采⽤递归算法来解决。
三、实验要求1．实现《⽹球循环赛》问题的分治算法，并进⾏算法时间复杂性分析。
2．对实现的分治算法进⾏改进；3．对上述改进后算法进⾏时间复杂性分析，通过实验结果分析对⽐，得出⾃⼰的结论和总结。
四、实验过程1、算法⼀：#include<stdio.h>#define N 64void GameTable(int k,int a[][N]){//n=2^k(k>=1)个选⼿参加⽐赛，⼆维数组a表⽰⽇程安排，数组下标从1开始int n=2;//k=0,两个选⼿⽐赛⽇程可直接求得//求解两个选⼿⽐赛⽇程，得到左上⾓元素a[1][1]=1;a[1][2]=2;a[2][1]=2;a[2][2]=1;int i,j,t;for(t=1;t<k;t++)//迭代处理，依次处理2^2,....,2^k个选⼿⽐赛⽇程{int temp=n;n=n*2;//填左下⾓元素for(i=temp+1;i<=n;i++)for(j=1;j<=temp;j++)a[i][j]=a[i-temp][j]+temp;//左下⾓元素和左上⾓元素的对应关系//将左下⾓元素抄到右上⾓for(i=1;i<=temp;i++)for(j=temp+1;j<=n;j++)a[i][j]=a[i+temp][(j+temp)%n];//将左上⾓元素抄到右下⾓for(i=temp+1;i<=n;i++)for(j=temp+1;j<=n;j++)a[i][j]=a[i-temp][j-temp];}for(i=1;i<=n;i++)//显⽰⽇程表for(j=1;j<=n;j++){printf("- ",a[i][j]);if(j==n)printf("n");}}void main(){int a[N][N];int k;printf("输⼊选⼿的个数：(注意为2的平⽅)");scanf("%d",&k);GameTable(k,a);}2、结果验证当两个选⼿，即k=1时当4个选⼿时，即k=2当8个选⼿，即k=3当16个选⼿时，即k=16时间复杂度分析：迭代处理的循环体内部3个循环语句，每个循环语句都是⼀个嵌套的for循环，且它们的执⾏次数相同，基本语句是最内层循环体的赋值语句，即填写⽐赛⽇程表的元素。
递归和循环的时间复杂度
递归和循环的时间复杂度
递归和循环是编程中常用的两种迭代方式。
在设计算法时，我们通常会考虑它们的时间复杂度，以便判断算法的效率。
本文将讨论递归和循环的时间复杂度。
首先，我们来看循环。
循环通常用来重复执行一段代码，直到满足某个条件停止。
在循环中，时间复杂度通常由循环次数决定。
例如，一个for循环从1到n，每次循环增加1，时间复杂度为O(n)。
另一个例子是二分查找算法，它使用while循环来不断缩小查找范围，时间复杂度为O(logn)。
接下来，我们来看递归。
递归是一种函数调用自身的方式，递归函数会不断地将问题分解为更小的子问题，并递归地解决它们，直到达到递归终止条件。
在递归中，时间复杂度通常由递归次数和每次递归的计算量决定。
例如，计算斐波那契数列的递归算法时间复杂度为O(2**n)，因为每次递归都需要解决两个子问题。
如果我们使用记忆化搜索或迭代的方式求解斐波那契数列，则时间复杂度会降为O(n)。
对于递归算法，我们还要考虑可能产生的堆栈溢出问题。
由于每个递归调用都需要保存一些信息，如果递归的深度太大，就可能导致堆栈溢出。
因此，我们通常会尽量避免使用过深的递归，或者使用尾递归优化等技术来减少堆栈的使用。
总之，递归和循环都是常用的迭代方式，它们的时间复杂度各有优劣。
在设计算法时，我们应该根据实际情况选择最合适的迭代方式，以获得更高的效率。
利用分治法设计循环赛日程表
利用分治法设计循环赛日程表摘要:对于单循环赛的比赛日程安排问题,利用分治算法给出了可读性较好的设计，并分析了各种假设下的时间复杂度。
关键词:分治算法;复杂度;递归;循环赛引言任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易求解，所需的计算时间也越少。
分治法是计算机科学中经常使用的一种算法。
设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
1分治法应用条件及一般步骤1.1 分治法的应用条件1.1.1能将n个数据分解成k个不同子集合，且得到的k个子集合是可以独立求解的子问题，其中11&&odd(n/2)) copyodd(n);else copy(n);}void copyodd(int n){int m=n/2;for(int i=0;i=m){a[i][j]=b[i];a[m+i][j]=(b[i]+m)%n;}else a[m+i][j]=a[i][j]+m;}for(j=1;j<m;j++){a[i][m+j]=b[i+j];a[b[i+j]][m+j]=i;}}}分析算法的时间性能:当n/2为奇数时，基本语句的执行次数是：当n/2为偶数时，基本语句的执行次数是：综上，时间复杂度为O(4k )。
2.3 运行结果及分析当输入n为2时，输出：0 11 0在上面n=2时的日程表（二维表）中，左边第一列表示球队编号，第二列表示在某天碰到的对手球队的编号。
推广之，对于n行n列的二维日程表，那么，a[0][0]，a[1][0]，……，a[n-1][0]表示参加循环赛的n支球队的编号；a[0][1]，a[0][2]，……，a[0][n-1]表示球队a[0][0]在第1，2，……,n-1天碰到的对手球队编号。
a[i][j]（i,j<n）表示编号为a[i][0]的球队在第j日遇到的对手球队的编号。
以下同。
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
常见的程序设计方法
常见的程序设计方法程序设计是指将问题拆解为一系列可执行的指令或算法，并将其转化为计算机能够识别和执行的代码。
常见的程序设计方法包括顺序、选择、循环、递归、分治和动态规划等。
1.顺序：顺序是最简单和最常见的程序设计方法。
顺序程序设计是按照定义的顺序依次执行一系列的语句或指令，每个语句按照顺序执行，直到程序结束。
顺序程序设计常用于简单的计算和数据处理任务。
2.选择：选择是根据特定条件选择不同的执行路径。
常见的选择结构有if语句和switch语句。
if语句根据条件的真假执行不同的代码块，而switch语句根据不同的表达式值执行相应的代码块。
选择结构常用于根据用户的输入或条件的满足来决定程序的执行逻辑。
3.循环：循环是根据特定条件重复执行段代码。
常见的循环结构有while循环、do-while循环和for循环。
这些循环结构可根据循环条件的真假来确定循环的执行次数，从而实现重复执行特定操作的功能。
循环结构常用于处理大量数据或重复需要进行的任务。
4.递归：递归是指在函数或算法的实现中，调用自身来解决更小规模的同类问题。
递归算法是将一个复杂问题分解为更简单的子问题，并通过反复调用自身来解决子问题，最终达到解决原问题的目的。
递归常用于解决具有相似结构的问题，如数学问题、图形问题等。
5.分治：分治是指将问题划分成独立的子问题，对每个子问题进行求解，最后将子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的核心思想是将复杂问题分解成多个规模较小且结构相同的子问题，并通过递归地解决这些子问题，最终得到整个问题的解。
分治算法常用于解决问题、排序问题等。
6.动态规划：动态规划是一种将问题划分为重叠子问题并缓存子问题解的方法。
与分治算法不同的是，动态规划算法会通过缓存已求解的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划常用于解决优化问题，如背包问题、最短路径问题等。
除以上常见的程序设计方法外，还有一些高级的方法如面向对象编程、函数式编程和事件驱动编程等。
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实验一：分治与递归
【实验目的】
深入理解分治法算法思想，并采用分治法进行程序设计。
【实验性质】
验证性实验。
【实验内容与要求】
设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。
现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：⑴每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；⑵每个选手一天只能赛一次；⑶循环赛一共进行n-1天。
按此要求可将比赛日程表设计－成有n行和n-l列的一个表。
在表中第i行和第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。
用分治法编写为该循环赛设计一张比赛日程表的算法并运行实现、对复杂度进行分析。
算法思想：按分治策略，我们可以将所有选手对分为两组，n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。
递归地用这种一分为二的策略对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。
这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。
下图所列出的正方形表是4个选手的比赛日程表。
其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手2和选手3至选手4第1天的比赛日程。
据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手2和选手3至选手4在后2天的比赛日程。
这种安排是符合要求的。
程安排表。
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#define x 16
int a[x][x];
void gamecal(int k,int m);
void main()
{
int i,j,m;
// int a[x][x]={0};
printf("请输入参赛人数(2^x)：");
scanf_s("%d",&m);
gamecal(1,m);
printf("d:");
for(i=1;i<m;i++)printf("%d ",i);
printf("\n");
for(i=0;i<m;i++)
{for(j=0;j<m;j++)
printf("%d ",a[i][j]);
printf("\n");
}
}
void gamecal(int k,int m)
{
int i,j;
if(m==2)
{
a[k-1][0]=k;
a[k][0]=k+1;
}
else
{
gamecal(k,m/2);
gamecal(k+m/2,m/2);
}
for(i=k-1;i<k-1+m/2;i++)
{for(j=m/2;j<m;j++)
a[i][j]=a[i+m/2][j-m/2];}
for(i=k-1+m/2;i<k-1+m;i++)
{for(j=m/2;j<m;j++)
a[i][j]=a[i-m/2][j-m/2];}
}。