《19.1.1 变量与函数》教案、同步练习

第19章《19.1.1变量与函数》

第19章《19.1.1变量与函数》

售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．

问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长

0．5cm．当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20．

[师]很好，他说得非常正确．谢谢你．我们再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？

[生]活动二中的两个问题也都分别有两个变量．

问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•

每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=S

．

问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）

=5x-x2．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，面积Ｓ就随之确定一个值．

[师]谢谢你，大家为他鼓掌．

由以上回顾我们可以归纳这样的结论：

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．

其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？

中国人口数统计表

年份人口数／亿

1984 10．34

1989 11．06

1994 11．76

1999 12．52

[生]我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．

[师]一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．

据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．

从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．

[活动一]

活动内容设计：

1．在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表：

x 1 3 -4 0 101

y

显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？

2．在计算器上按照下面的程序进行操作．

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：

x 1 2 3 0 -1

y 3 5 7 2 -1

所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．

设计意图：

通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．

教师活动：

引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．学生活动：

在教师引导下，1．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．2．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．

活动结论：

1．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．

2．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1

这两个键，且每个x•的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1

《19.1.1变量与函数》同步练习

一、单选题（共15题；共30分）

1、物体从足够高的地方做自由落体运动，下降的高度h与时间t满足关系式h＝gt2则3秒后物体下落的高度是（g取10）（）

A、15米

B、30米

C、45米

D、60米

2、下列关系式中，变量x=-1时，变量y=6的是（）

A、y=3x+3

B、y=-3x+3

C、y=3x–3

D、y=-3x–3

3、如图，矩形的长和宽分别为8cm和4cm，截去一个宽为x的小矩形（阴影部分）后余下另一个矩形的面积S与x之间的关系可表示为（）．

A、S＝4x

B、S＝4(8－x)

C、S＝8(4－x)

D、S＝8x

4、要画一个面积为20cm2的长方形，其长为xcm，宽为ycm，在这一变化过程中，常量与变量分别为( )。

A、常量为20，变量为x，y

B、常量为20、y，变量为x

C、常量为20、x，变量为y

D、常量为x、y，变量为20

5、当x=2时，函数y=2x-1的值是（）.

A、0

B、-3

C、3

D、4

6、已知函数y=3x-1，当x=3时，y的值是（）.

A、6

B、7

C、8

D、9

7、在函数y= 中，自变量x的取值范围是（）.

A、x≠-2

B、x＞2

C、x＜2

D、x≠2

8、某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元．则y与x之间的函数关系式为（）

A、y=- x

B、y= x

C、y=-2x

D、y=2x

9、在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（）

A、①②⑤

B、①②④

C、①③⑤

D、①④⑤

10、一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）

A、y=10x+30

B、y=40x

C、y=10+30x

D、y=20x

11、某种型号的计算器单价为40元，商家为了扩大销售量，现按八折销售，如果卖出x台这种计算器，共卖得y元，则用x表示y的关系式为（）

A、y=40x

B、y=32x

C、y=8x

D、y=48x

12、某地的地面温度为21℃，如果高度每升高1千米，气温下降3℃，则气温T（℃）与高度h（千米）之间的表达式为（）

A、T=21-3h

B、T=3h-21

C、T=21+3h

D、T=（21-3）h

13、在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）

A、太阳光强弱

B、水的温度

C、所晒时间

D、热水器

14、某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元．则y

与x之间的函数关系式为（）

A、

B、

C、y=-2x

D、y=2x

15、若y与x的关系式为y=30x﹣6，当x=时，y的值为（）

A、5

B、10

C、4

D、-4

二、填空题（共5题；共6分）

16、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是________，因变量是________.

17、小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他自己的脚长25.5cm，若用x（cm）表示脚长，用y（码）表示鞋码，则有2x-y=10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋.

18、一列火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）是所用时间t（时）的函数，这个函数关系式可表示为 ________ .

19、林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中元/升是常量，________是变量。

20、下列变量间的关系是函数关系的有________（填序号）

①正方形的周长与边长；②圆的面积与半径；

③ ；④商场中某种商品的单价为a元，销售总额与销售数量

三、解答题（共5题；共25分）

21、海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深．

T（时）0 3 6 9 12

h（米）5 7.4 5.1 2.6 4.5

上述问题中，字母T，h表示的是变量还是常量，简述你的理由．

22、根据下列情境编制一个实际问题，说出其中的常量与变量，小王春节骑车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距10千米，小王骑车的速度为每小时12千米。

23、齿轮每分钟120转，如果n表示转数，t表示转动时间．（1）用n的代数式表示t；

（2）说出其中的变量与常量．

24、已知x无论取何正值，y

1=-3x+7都比y

2

=kx+5大，求k的取值范围.

25、根据下列情境编制一个实际问题，说出其中的常量与变量，并说明变量的取值范围：

小王春节骑车去看望爷爷，小王家与爷爷家相距10千米，小王骑车的速度为每小时12千米．

答案解析部分

一、单选题

1、

【答案】C

【考点】函数值

【解析】【分析】直接把t=3代入函数关系式h＝gt2中即可得的答案．【解答】把t=3代入函数关系式得：

h=×10×32=45，

故选：C．

【点评】此题主要考查了待定系数法求函数值，题目比较基础，关键是正确代入．

2、

【答案】B

【考点】函数值

【解析】【分析】把x=-1分别代入各项，看y的值是否是6即可判断。

【解答】A、当x=-1时，y=-3+3=0，故本选项错误；

B、当x=-1时，y=3+3=6，故本选项正确；

C、当x=-1时，y=-3-3=-6，故本选项错误；

D、当x=-1时，y=3-3=0，故本选项错误；

故选B.

【点评】解答本题的关键是掌握好求函数值的基本方法。

3、

【答案】B

【考点】函数关系式

【解析】【分析】观察图形可知：阴影部分面积=大矩形的面积-小矩形的面积.

【解答】由题意得，S与x之间的关系可表示为S＝4×8－4x=4(8－x)，

故选B.

【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的面积公式，准确把握图形的特征。

4、

【答案】A

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据常量与变量的定义即可判断。

由题意得，常量为20，变量为x，y，故选A。

【点评】解答本题的关键是熟记常量是指不变的量，变量是指变化的量。

5、

【答案】C

【考点】函数值

【解析】【解答】x=2时，y=2×2-1=4-1=3

选：C．

【分析】把x=2代入函数解析式计算即可得解．

6、

【答案】C

【考点】函数值

【解析】【解答】x=3时，y=3×3-1=8选：C．

【分析】把x=3代入函数关系式进行计算

7、

【答案】D

【考点】函数自变量的取值范围

【解析】【解答】根据题意，有x-2≠0，解可得x≠2

选：D．

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-2≠0，解可得自变量x的取值范围．

8、

【答案】D

【考点】函数关系式

【解析】【解答】依题意有：y=2x

选：D．

【分析】根据总价=单价×数量得出y与x之间的函数关系式

9、

【答案】A

【考点】函数关系式

【解析】【解答】①x是自变量，y是因变量；正确；②x的数值可以任意选择；正确；

③y是变量，它的值与x无关；而y随x的变化而变化；错误；

④用关系式表示的不能用图象表示；错误；

⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确

选：A．

【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x 取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．

10、

【答案】A

【考点】函数关系式

【解析】【解答】一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为y=10x+30选：A．

【分析】根据师生的总费用，可得函数关系式

11、

【答案】B

【考点】函数关系式

【解析】【解答】依题意得y=40×80%×x=32x ．选：B．

【分析】等量关系是：总价=单价×80%×数量．

12、

【答案】A

【考点】函数关系式

【解析】【解答】∵当高度为h时，降低3h ，∴气温T℃与高度h（千米）之间的关系式为T=21-3h

选：A．

【分析】气温=地面温度-降低的气温，把相关数值代入

13、

【答案】B

【考点】常量与变量

【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．故选：B ．

【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．

14、

【答案】D

【考点】函数关系式

【解析】【解答】依题意有：y=2x ，故选：D

【分析】根据总价=单价×数量得出y与x之间的函数关系式即可．

15、

【答案】C

【考点】函数值

【解析】【解答】解：由题意得：

y=30×﹣6=4．

故选：C．

【分析】将x=代入函数解析式可得出y的值．

二、填空题

16、

【答案】时间；温度

【考点】常量与变量

【解析】【解答】

“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是：时间，因变量是：温度．【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量

17、

【答案】41

【考点】函数值

【解析】【解答】∵用x表示脚长，用y表示鞋码，

则有2x-y=10，而x=25.5，

则51-y=10，

解得：y=41

【分析】由于已知用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x-y=10，而爷爷只告诉他自己的脚长25.5cm，代入公式即可求出小强该买多少码的鞋

18、

【答案】s=60t

【考点】函数关系式

【解析】【解答】s与t的函数关系式为：s=60t ，

故答案为：s=60t ．

【分析】根据路程=速度×时间即可求解．

【答案】数量、金额

【考点】常量与变量

【解析】【解答】在这三个量当中元/升是常量，数量、金额是变量

【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量

20、

【答案】①②④

【考点】函数的概念

【解析】【解答】在一个变化过程中，有两个变量x和y ，对于x的每一个确定值，y都有唯一的值与之对应，则称y是x的函数．在③中，当x取一个值时，对应的y值有两个，故不是函数。

【分析】函数要满足两个条件，一是有两个变量，二是对于自变量每取一个确定的值，因变量有且仅有一个值与之对应

三、解答题

21、

【答案】解：字母T，h表示的是变量．因为水深h随着时间T的变化而变化

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量．

22、

【答案】解答: 设小王与爷爷家的距离为s ，出发时间为t ，则

s=-12t+10，

-12与10是常量，s与t是变量

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据函数的定义，需要有两个变量，可以从小王与爷爷家的距离和时间考虑求解

【答案】解：（1）由题意得：

120t=n，

t=；

（2）变量：t，n 常量：120．

【考点】常量与变量

【解析】【分析】（1）根据题意可得：转数=每分钟120转×时间；

（2）根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量．

24、

【答案】解答: 由题意得，-3x+7＞kx+5，

所以（k+3）x＜2，

∵x无论取何正值，y

1=-3x+7都比y

2

=kx+5大，

∴k+3≤0，

解得k≤-3

【考点】函数值

【解析】【分析】根据函数值列出不等式，再根据对任意正数x不等式都成立列出关于k的不等式，然后求解

25、

【答案】解：设小王与爷爷家的距离为s，出发时间为t，

则s=﹣12t+10，

﹣12与10是常量，s与t是变量，

∵s≥0，即﹣12t+10≥0，

∴t≤，

t的取值范围是0≤t≤，

s的取值范围是0≤s≤10．

【考点】常量与变量

【解析】【分析】根据函数的定义，需要有两个变量，可以从小王与爷爷家