数字信号处理循环卷积
数字信号处理主要知识点整理复习总结
n
(c) y(n) x(k) k
(d) y(n) x(n)
解：（a) 为因果系统，由定义可知。
（b）由于 y(n 1) 领先于 x(n) ，故为非因果系统。
n
(c) y(n) x(k) k 由于 y(n) 由目前和过去的输入所决定，故为
*实际系统一般是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统,因n< 0的输出决定 n>0时 的输入;
Stable System （稳定系统） (1) 有界输入导致有界输出
(2)
| h(n) | （线性、时不变系统）
n
(3) H(z)的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）
[例5] 判断下列系统是否为因果系统。
第二部分 离散时间系统
1、线性时不变系统的判定 2、线性卷积 3、系统稳定性与因果性的判定 4、线性时不变离散时间系统的表示方法 5、系统分类及两种分类之间的关系
1、线性系统：对于任何线性组合信号的响应等于 系统对各个分量的响应的线性组合。
线性系统 判别准则
若 y1(n) T x1(n) y2(n) T x2(n) 则 T ax1(n) bx2(n) ay1(n) by2(n)
① y(n)的长度——Lx＋Lh－1
② 两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷 积之后是无限长序列
③ 卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再 进行卷积，但必须看清起点在哪里
4、系统的稳定性与因果性 系统 时域充要条件
Z域充要条件
因果 h(n)≡0 (n<0)
ROC: R1 <┃Z┃≤∞
数字信号处理DFT性质
DFT
X2(K)
x1(n)长度是 N1， x2(n)长度是 N2， N≥[N1，N2]。 循环卷积之后序列的长度没有发生变化为N。
四、复共轭序列的DFT: 五、DFT的隐含周期性:
X(k+mN)=X(k)
周期性延拓
主值序列
六、DFT共轭对称性：
1、
x(n)=xr(n)+jxi(n)
2、
x(n)=xep(n)+xop(n) X(K)=XR(K)+jXZ(K)
误差
：
由FT可知，若时间有限则频谱无限宽；若信号的频谱有限 宽，则其持续时间必然为无限长。所以时间有限，频带有界 的信号是不存在的。所以用DFT必然存在误差。
误差分析及改进方法：
1 、截断效应：截取 T P 变成有限长，相应的频域会有一个卷 积 ，与原来的频谱必然有一定的差别，所以要选择合适的窗 函数截取，增加N也可以减弱截断效应。 2、混叠现象：前置预滤波器采样频率fs满足采样定理，否则 就会产生混叠现象，即fs/2≥fc,并使滤波器尽可能的接近理 想滤波器。
其中时域抽样有 N 个抽样点 , 时域截取 Tp=NT, 频域 抽样即在0--fs上采样N点，采样间隔F,F=fs/N。
1、F: 频率分辨率 F=1/Tp=1/NT=Fs/N
可见： Fs一定，T一定，当 N↑时，Tp↑，最终导致F↓， 分辨率升高。
2、谱分析范围:0--Fs/2
DFT的高分辨率频谱与高密度频谱之间的区别：
高分辨率频谱：仅取决于截取连续信号TP的长度，采
样频率不变时，通过改变采样点数 N 可以改变 DFT 的分辨率。(N↑,F↓,分辨率升高)
高密度频谱：信号的时间长度不变，在频域内提高采样频 率，尾部补零可以得到高密度频 谱，但不能改变分辨
《数字信号处理》中几种卷积教学探讨
《数字信号处理》中几种卷积教学探讨线性卷积，周期卷积和循环卷积是《数字信号处理》中的难点和重点。
阐述了这三种卷积的概念及相互联系，将线性卷积和循环卷积联系起来，利用循环卷积的计算速度解决线性卷积表达的实际问题，并在matlab上验证了循环卷积的运算速度优势，有助于学生理解并掌握卷积的物理意义和使用方法。
标签：数字信号处理；线性卷积；循环卷积；MatlabG41前言线性卷积，周期卷积和循环卷积在《数字信号处理》的时域分析中起着重要作用，是《数字信号处理》的一个重要知识点，也是该课程的一个难点。
一般教学中容易存在以下三个方面的问题：（1）由于该知识点数学性比较强，学生难以完全听懂，教学效果不好。
（2）几种卷积概念比较抽象，即使上课能听懂，而让学生自己动手求解却又不知从何下手。
（3）理解这几种卷积的物理意义和关系非常有必要，而学生难以将这几种卷积前后衔接，融会贯通。
本文从这几种卷积的定义出发，分析其概念及联系，探讨其教学方法，促进学生对该知识点的理解和掌握。
2线性卷积、周期卷积及循环卷积的定义信号通过线性时不变系统的输出为信号与系统函数的线性卷积。
所以线性卷积反映了线性系统对输入信号的作用方式，是线性系统分析与设计的基础，它广泛地应用于通信、控制、信号处理等领域中。
线性卷积的定义如下：yL（n）=∞k=-∞x（k）h（n-k）=x（n）*h（n）（1）线性卷积对参与卷积的两个序列长度无要求。
虽说表达式中卷积的求和范围为-∞到+∞，实际中的求和范围根据序列长度有关。
设序列x（n）长度为M，h （n）的长度为N，求和变量k的取值范围取决于x（k）和h（n-k）的长度和取值范围，并且最后得到的卷积结果即序列yL（n）的长度取决于x（n）和h（n）的长度和取值范围，所以该线性卷积的长度M+N-1。
由于计算机的发展，连续信号离散化为数字信号并由计算机处理是技术发展的必然。
在离散情况下，由于离散傅里叶变换隐含的周期性，因而引入了周期卷积和循环卷积。
数字信号处理什么是卷积 卷积有什么用
什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
因果卷积实现方式
因果卷积实现方式
因果卷积是一种非常重要的信号处理技术，它在数字信号处理、图像处理、音频处理等领域中得到广泛应用。
因果卷积实现方式是指如何将一个信号与另一个信号进行卷积运算，以达到相应的信号处理目的。
在因果卷积实现方式中，常用的方法有线性卷积和循环卷积。
线性卷积是指对两个信号进行完整的卷积计算，得到具有相同长度的输出信号。
循环卷积是指对两个信号进行周期性的卷积计算，得到长度为两个信号长度之和减去1的输出信号。
线性卷积可以通过FFT算法实现，这种方法的优点是计算速度快，但缺点是需要占用大量的内存空间。
循环卷积可以通过循环移位和加法运算实现，这种方法的优点是计算速度较快，且不需要占用大量的内存空间。
除了线性卷积和循环卷积之外，还有一种特殊的卷积运算，即因果卷积。
因果卷积是指只对输入信号的一部分与滤波器进行卷积计算，输出信号的长度小于等于输入信号的长度。
因果卷积可以通过逆滤波器法实现，这种方法的优点是计算速度快，且不需要占用大量的内存空间。
总之，因果卷积实现方式是数字信号处理中的重要内容，不同的卷积方法有各自的优缺点，需要根据具体的应用场景选择合适的方法。
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数字信号处理讲义(一)卷积
第一部分 卷积【目的】1．加深理解卷积的重要作用，更好的利用卷积进行数字信号处理。
2．掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。
【原理】卷积的定义：()()()()τττd t f f t f t f t -=*=⎰∞∞-2121)(g对于离散序列，则有：∑+∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(当h(n)，x(n)是一个长度为N 的序列，则有：()()()()()m n x m h n x n h n nm -+=*=∑=1y 1；当h(k)的长度为K ，x(m)长度为M ，且M K ≠时，则为：()()()()()k n x k h m x k h n k-+=*=∑1y ；其中k 的取值范围为：[max(1,n+1-M),min(n,K)]，其中n 范围为[1,K+M-1];在高等数学中，函数f （x ）的积分dx x f ⎰∞∞-)(的图形解释就是曲线f （x ）与x 轴之间所包围的面积的代数和。
卷积也是积分，因此与一般积分相似，具有求曲线与横轴间所包围面积的含义。
但是被积函数是()()ττ-t f f 21，且卷积是对变量τ进行积分，因此卷积的结果()t g 是一个时间变量t 的函数。
两函数卷积就是把其中一个函数沿纵轴反转，然后再把反转后的图形向右平移t ，求出该时刻二图形乘积所形成的曲线下的面积，就是该时刻的卷积值。
随着t 值不断增大，反转后的曲线不断向右平移，就可以得到t 为任意值时的卷积值。
离散卷积的编程思想与此类同，将一个序列反转，然后求m 不同时各采样点的乘积的和。
【示例】鉴于卷积程序是数字处理的第一次实验，只给出卷积的一个简单示例程序，也可参考Matlab 库文件中的conv.m 文件。
示例程序如下：function y=conn(x1,x2) %conn 函数实现输入序列x1和x2的循环卷积,fn 为输出序列 L=length(x1); %定义输入x1序列的长度M=length(x2); %定义输入x2序列的长度 for n=1:L+M-1y(n)=0; for m=1:M k=n-m+1;if (k>=1&k<=L)y(n)=y(n)+x2(m)*x1(k); %将x1反转与x2对应相乘，并求和 end end end此程序调用格式为y=conn(x,h)输入两个数据长度相同的数据，调用此函数即可。
数字信号处理卷积定理
数字信号处理实验报告实验二：卷积定理班级：10051041姓名：学号：10051041一、实验目的通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。
二、实验原理时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算法来计算圆周卷积，当满足121L N N≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。
三、实验内容和步骤1．给定离散信号()x n和()h n，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积；3．比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。
四、实验设备计算机、Matlab软件五、实验报告要求1．整理好经过运行并证明是正确的程序，并且加上详细的注释。
2．给出笔算和机算结果对照表，比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果对照，作出原因分析报告。
3．给出用DFT计算线性卷积的方法。
六、实验结果与分析X=[0 0.5 1 1.5]Y=[1 1 1]笔算结果线性卷积：[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0]圆周卷积：N=10 时[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0 0 0 0 ]N=5 [1.5 0.5 1.5 3 2.5]机算结果线性卷积：[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0]圆周卷积：N=10 时[0 0.5 1.5 3 2.5 1.5 0 0 0 0 ]N=5 [1.5 0.5 1.5 3 2.5]原因分析：循环卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。
由于线性卷积的长度是N1+N2-1,所以只有当121L N N≥+-时，线性卷积以L为周期进行周期延拓时才不会发生混叠，周期序列的主值序列才等于线性卷积，即L点循环卷积代替线性卷积的条件是121L N N≥+-。
具体计算结果图示如下程序：用DFT 计算线性卷积的方法：七、实验体会通过本次实验，验证了卷积定理，熟悉了线性卷积与圆周卷积的计算方法，并验证了两者之间的关系。
《数字信号处理》课程设计报告-卷积运算及算法实现
《数字信号处理》课程设计报告卷积运算及算法实现专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号：卷积运算及算法实现一、 设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)d做一变量代换不难得出： f(t)d =f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)*h(t)=*由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，如图1—2（a）所示。
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数字信号处理循环卷积数字信号处理循环卷积是数字信号处理（DSP）技术中的一种重要技术，是用来处理周期性信号的一种方法。
循环卷积是一种数学运算，是将两个周期性信号进行卷积的一种方式。
在实际应用中，我们可以采用循环卷积的方法将信号进行变换，以便我们能够更好地分析和处理信号。
循环卷积的基本概念
循环卷积是指将两个周期函数进行卷积，其中一个函数可能是周期性的。
一般情况下，卷积操作在时间域中进行。
循环卷积通常用于处理周期性信号，例如音频信号或生物信号。
在循环卷积中，我们需要将两个周期性信号进行对齐，以使它们的起始点相同。
然后，我们可以使用标准卷积方法将它们相乘，并对所有乘积进行加和。
然而，由于处理的是周期信号，所以我们需要连接信号的最后一部分和第一部分以处理边缘效应。
这通常称为循环卷积。
循环卷积的应用
循环卷积最常用的应用就是数字信号处理。
在音频处理中，循环卷积通常用于处理音频信号，例如调谐或加深低音。
另一个常见的应用是图像处理。
通过使用循环卷积，我们可以将过滤器应用于图像，以提高分辨率或降低
图像的噪声。
此外，循环卷积还可以用于处理数字滤波器中的误差。
在电信领域，循环卷积也可以用于信号解调。
这种方法可以帮助我们在繁忙的信道和高噪声信道中接收信号。
通过使用循环卷积，我们可以对接收到的信号进行修正，减少传输中的位错误率。
循环卷积的算法
循环卷积的算法相对简单。
首先，我们需要为需要处理的两个周期信号选择相同的采样点并对齐。
然后，我们可以使用直接卷积算法或快速卷积算法（FFT 算法）来计算循环卷积。
在计算过程中，我们需要将“边界”部分进行处理以避免数据的错误处理。
直接卷积算法是一种基本算法，可以应用于循环卷积。
此算法的计算复杂度为 N2，其中 N 是信号的长度。
当需要处理的信号较短时，可以使用直接卷积算法。
另一方面，当处理的数据较大时，可以使用 FFT 算法来计算循环卷积。
这种算法的计算复杂度为 N log N，是一种高效的计算方式。
FFT 算法用于循环卷积的基本思想是将信号转换为复数形式并应用 FFT 算法。
通过使用 FFT 算法，我们可以将卷积操作转换为将两个信号乘起来，然后将它们转换回
时间域。
在转换回时间域时，我们需要进行循环变换以处理边界效应。
总结
数字信号处理循环卷积是数字信号处理技术中的一项重要工具，可以用于处理周期性信号、音频信号、图像处理等。
循环卷积的算法相对简单，可以使用直接卷积算法或 FFT 算法来计算。
循环卷积可以帮助我们优化信号处理和信号解调，并改善信号质量和位错误率。
因此，数字信号处理循环卷积是数字信号处理技术中必不可少的一部分。