广东省广州市华南师范大学附属中学等四所中学2023届高三上学期期末数学试题
广东省华附+深中+省实+广雅四校联考2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题
华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学命题学校：广东实验中学 定稿人：杨晋鹏 张淑华本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足i z i −=+1)1(，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且)32)b a b a −⊥+（（，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．43π 5.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.321B.27 C. √ 3 D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．)cos 1(RS R +B ．)cos 1(R S R −C ．R S R sin 2D ．RS R sin7.若1ln )1)1=−=−b c e c a（（则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列}{n a 的前n 项和n S ，且1112881−−−++=n n n n a n a a a ，),2(+∈≥N n n ，若11=a ，则 A ．3252024<<S B ．2522024<<S C ．2232024<<S D ． 2312024<<S 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则)1(log log 1+<+b b a a10. 已知圆C 1：122=+y x ，圆C 2：222)4()3(r y x =++−）（0>r ，P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为0186=−−y xC .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠不可能等于 π211.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线1422=−y x ，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数)3(sin )(2πω−=x x f (ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数34)(2−+−−=x x x f 和函数x axe ax x g −=)ln()( 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
广东省四校2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题及答案解析
广东省四校2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题及答案解析一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U R =，集合,A B 满足()A A B ⊆⋂，则下列关系一定正确的是（）A.A B= B.B A⊆ C.()U A B ⋂=∅ð D.()U A B ⋂=∅ð2.已知复数z 满足()1i 1i z +=-，则2024z =（）A.iB.-1C.1D.–i 3.直线230x y ++=关于直线y x =-对称的直线方程是（）A.230x y +-=B.230x y +-=C.230x y --= D.2330x y ++=4.已知向量a在b ，向量b在a方向上的投影向量的模为1，且()()23a b a b +⊥- ，则向量a与向量b 的夹角为（）A.π6B.π4C.π3 D.3π45.若椭圆22122Γ:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则双曲线22222Γ:1y x b a-=的离心率为（）A.3B.26.在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（）A.1cosS R R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.1cosS R R ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2sinS R RD.sinS R R7.若()()11ln 1ac e c b -=-=则,,a b c 的大小关系为（）A.c a b ≤<B.c a b <<C.c b a<< D.b a c<≤8.数列{}n a 的前n 项和n S，且()112,n n n n N a +-=≥∈，若11a =，则（）A.2024532S << B.2024522S <<C.2024322S << D.2024312S <<二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.若,a b c d >>，则22ac bd >B.若22ac bc >，则a b>C.“1ab >”是“1,1a b >>”成立的充分不必要条件D.若1a b >>，则()1log log 1a a b b +<+10.已知圆221:1C x y +=，圆2222:(3)(4)(0),C x y r r P Q -++=>､分别是圆1C 与圆2C 上的点，则（）A.若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B.当5r =时，两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=C.当2r =时，则PQ 斜率的最大值为724-D.当3r =时，过P 点作圆2C 两条切线，切点分别为,A B ，则APB ∠不可能等于π211.已知函数()323f x x x =-，满足()f x kx b =+有三个不同的实数根123,,x x x ，则（）A.若0k =，则实数b 的取值范围是40b -<<B.过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数()1y f x =-相切的直线C.122313x x x x x x k++=D.若123,,x x x 成等差数列，则2k b +=-12.已知正四面体O ABC -的棱长为3，下列说法正确的是（）A.若点P 满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，则OP B.在正四面体O ABC -的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为10C.若正四面体O ABC -的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为10D.点Q 在ABC ∆所在平面内且2QO QA =，则Q 点轨迹的长度为π3三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线2214x y -=，则此双曲线的渐近线方程为__________.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*47,4,10n S n Naa ∈==，则n S 的最小值为__________.15.已知函数()2πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 在[]0,m 上单调递减，在5π2,3m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数m 的取值范围是__________.16.在同一平面直角坐标系中，,M N 分别是函数()f x =和函数()()ln x g x ax axe =-图象上的动点，若对任意0a >，有MN m 恒成立，则实数m 的最大值为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2122n n S S S n n+++=⋅ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（本小题12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X 道代数题，求随机变量X 的分布列和期望.19.（本小题12分）已知函数()()()20,xf x axe ag x x =≠=-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.20.（本小题12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD EFGH -中，点M 是正方体的中心，将四棱锥M BCGF -绕直线CG 逆时针旋转(0π)αα<<后，得到四棱锥M B CGF '-''.（1）若π2α=，求证：平面MBF ⊥平面M B F '''；（2）是否存在α，使得直线M F ''⊥平面MBC ，若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c AB 边上的高设为h ，且a b c h +=+.（1）若3c h =，求tan C 的值；（2）求cos C 的取值范围.22.（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点分别为12,,F F C 的离心率为2，椭圆上有三点Q R S ､､，直线QR QS ､分别过2QRF ∆的周长为8.（1）求C 的方程；（2）设点()00,Q x y ，求QRS ∆面积QRS S ∆的表达式（用0y 表示）.答案解析一、选择题12345678DCBBABAD1.【解析】∵集合,A B 满足()A A B ⊆⋂，故可得A B ⊆，故选：D .2.【解析】由已知21i (1i)i 1i (1i)(1i)z --===-++-，所以202420244z i,i i 1z ====故选C 3.【解析】结合图像可知所求直线斜率小于-1，故选B4.【解析】由题意2,1a b a b a b⋅⋅== ，即||2||a b =，由()()230a b a b +⋅-=，即2224||2||cos ,3||0b b a b b -〈〉-=，由题知，0,2cos,1b a b ≠∴= [],0,π,a b ∈∴ 所求夹角为π4故选B5.【解析】∵椭圆1Γ的离心率221212a b e a -==，∴2243b a =，∴双曲线2Γ的离心率222272133a b e b +===.故选A 6.【解析】当列车行驶的距离为s 时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为s ，∴车轮转过的角度为,sP R点的初始位置为0P ，设车轮的中心为O ，当π0,2s R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，作0PQ OP ⊥，垂足为Q ，如图所示，则coscos ,S SOQ OP R P R R=⋅=∴到铁轨表面的距离为0cos1cos S S P Q R R R R R ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭；当π,π2S R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0PM MP ⊥，作ON PM ⊥，垂足为N ，如图所示，则πsin cos 2s s PN OP R R R ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，P ∴到铁轨表面的距离为cos1cos S S PM R R R R R ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当SR在其它范围均可得到同一个式子，故选B.7.【解析】结合函数1,ln ,1xy e y x y x===-图像，可知c a b ≤<，故选A8.【解析】由已知得：221112422,22n n n n n a a a --⎛⎫⎛⎫-=++=++≥+⎪⎪⎪⎪⎭⎭2≥，故()()()()21111121(21)212322321n n a n n n n n ⎛⎫≥-≤<=- ⎪ ⎪-----⎝⎭()11231322212n n a S a a a n <=+++=-<- ，故选D.二、选择题9.【解析】A.：c d >不一定22c d >所以A 错，对于选项B ：两边同时除以2c 即可，B 正确，C 选项1ab >不一定1,1a b >>，反之成立，所以为必要不充分条件D 选项正确：()()()()11ln lnln lnln 1ln log log 11ln ln 1ln 1ln 1ln ln a a a ab b ab ab b b a a a b b a a a a a a a++++++=<=<==++++++10.【解析】当两圆内含时，r 可以无穷大所以A 不正确；当5r =时两圆相交，两圆的方程作差可以公共弦的直线方程B 为正确选项；当2r =时如图一，PQ 和CD 为两条内公切9101112BDBCABDACD线，有半径比可知43CA =，可得11212tan 32417tan ,tan ,,41tan 7tan 24PQC AC C AC PAC k C C AC PAC ∠∠∠∠∠====-=--选项正确对于D 选项，点P 在1P 位置时1212π432,4PC APC =<∠>点P 在2P 位置时2222π632,4P C BP C =>∠<∴中间必然有位置使得π2BPA ∠=故选BC 11.【解析】A.∵()()23632f x x x x x '=-=-，∴()f x 在(),0∞-和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()()00,24f f ==-，所以，当()f x b =有三个不同的实数根123,,x x x 时，40b -<<，故A 正确()1y f x =-关于点()1,3-中心对称，在此点处的切线方程为3y x =-，所以B 正确由于方程()f x kx b =+有三个根123,,x x x ，所以()()()321233x x kx b x x x x x x ---=---展开可知122313,C x x x x x x k ++=-不正确1233x x x ++=，当123,,x x x 成等差数列时12323x x x x ++=，∴21,2,D x k b =+=-正确.12.【解析】如图：对于A ，因为点P 满足OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，可知点P 是平面ABC 上的一点.又因为正四面体O ABC -是棱长为3，所在立方体的棱长2OP 的最小值为点O 到平面ABC 的距离，即为立方体体对角线的23，计算可知A 正确；对于B ，因为正四面体O ABC -的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：3-3114324⨯⨯⨯=，而正四面体O ABC -四个面的面积都是23,44⨯=设正四面体O ABC -的内切球半径为1,4344r r ⨯⨯=，解得22r =，因为正四面体Q DEF -在正四面体O ABC -的内部，且可以任意转动，所以最大正四面体Q DEF -外接球直径为2，因此最大正四面体Q DEF -外接球也是棱长为2的正方体的外接球，所以正四面体Q DEF -的体积最大值为33222224261210⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭-⨯=< ⎪⎪⎝⎭，故B 不正确.对于C ，在正方体1111AC BO A CB O -内，过O 作平面12OO A ，分别交1AB AC ､于点2G A ､，过C 作平面12CC B ，分别交1AB BO ､于点2H B ､，且平面12OO A ∥平面12CC B ，由正四面体O ABC -的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，其中平面12OO A 和平面12CC B 为中间的两个平面，易知2A 为1AC 的中点，2B 为1O B 的中点，因为正方体1111AC BO A CB O -是棱长为2，所以1212,244O A AA O A ===，所以点A 到12O A 的距离为1212105O A AA O A ⋅=，所以每相邻平行平面间的距离为31010，故C 正确；对于D 选项：由2QO QA =可知点Q 的轨迹是平面ABC 与以M 点为球心，2为半径的球的截面圆其中M 点在OA 的延长线上且1,MA M =点到平面ABC 的距离为63，截面圆的半径为22630(2)33⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭所以截面圆周长为230π3，故选ACD 三、填空题13.12y x =±14.-215.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.3212-13.【解析】渐近线方程为12y x =±14.【解析】()3,n n S n n S =-最小值为-215.【解析】由()22π1cos 2π3sin 32x f x x ωω⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，得12ω=.()2ππ1cos cos 13322x x f x ⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，根据图像可知，函数()f x 在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，若()f x 在[]0,m 上单调递减，在5π2,3m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2π032π5π233m m ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ ，解得π2π,33m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦16.【解析】()()()()()()()ln ln ln ln ln 11x ax xg x ax axe ax eax x ax x +=-=--++=-- 由()y f x ==()22(2)10x y y -+=，数形结合可知MN 最小值为圆心到直线1y x =--的距离减去半径，即为12-当且仅当()ln 021x ax y x y x ⎧+=⎪=-⎨⎪=--⎩即1221232a e x y -⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩时取到最值.四、解答题17.解：（1）由已知：2122n n S S S n n +++=⋅ 当2n时()11211221n n S SS n n --+++=-⋅- 两式相减可得：()112,2n n S n n n -=+⋅ ，又1n =时，112S a ==满足上式，所以()1121n n S n n n -=+⋅ ()21122n n S n n n --=-⋅ ()2132,2n n n n a S S n n n --=-=+ ，又1n =时，12a =满足上式，则()232n n a n n -=+；（2）由（1）可得：()232n na n n-=+，则()102425232n n T n --=⋅+⋅+⋯++⋅，即()112425232un n T n -=⋅+⋅+⋯++⋅，两式相减可得：()()1012111222223223212n n n n n T n n ------=+++⋯+-+⋅=+-+⋅-，即()2221n n T n -=+⋅-⋅18.解：记i A 表示事件“第i 次抽到代数题”，1,2,,9i = .（1）由条件概率公式可得()()()12211p A A P A A p A =∣1154295419855299C C A ⋅⨯⨯===所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为12；（也可以：已知第一次抽到几何题，这时还剩余代数题和几何题各四道，因此()214182P A A ==∣）（2）由题意，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3,4；()()403154544499540200112612663C C C C P X P X C C =======()()22135454449960102010231262112663C C C C P X P X C C ========()04544914126C C P X C ===X 的分布列为所以：()5201020116012341266321631269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19.解：（1）()()1,0xf x a x e a '=+≠当0a >时，()()(),1,0,x f x f x ∞∈--<'单调递减；()()()1,,0,x f x f x ∞∈-+>'单调递增；X 01234P51262063102110631126当0a <时，()()(),1,0,x f x f x ∞∈-->'单调递增；()()()1,,0,x f x f x ∞∈-+<'单调递减.综上所述：当0a >时，()f x 增区间为()1,∞-+，减区间为(),1∞--当0a <时，()f x 增区间为(),1∞--，减区间为()1,∞-+（2）()y f x =在点()11,x y 处的切线方程为()()111111x x y a x e x x ax e =+-+，即()112111x x y a x e x ax e =+-()g x 在点()22,x y 处的切线方程为()22222y x x x x =---，即222y 2x x x =-+∴由题意得()1112221212x x a x e x ax e x ⎧+=-⎨-=⎩，整理可得()12121401x x a x e -=<+设()224(1)x x h x x e -=+则()()()3421(1)xx x x h x x e +-=+'∴当()()()0,1,0,x h x h x <'∈单调递减；当()()()1,,0,x h x h x ∞∈+>'单调递增()()11,00h h e =-=且()10,0h x a e ⎡⎫<∴∈-⎪⎢⎣⎭20.解：（1）证明：若π2α=，则平面DCGH ､平面CB F G ''为同一个平面.连接,BH BF '，则M 是BH 中点，M '是BF '中点，所以平面MBF 与平面BFHD 重合，平面M B F '''与平面BFF B ''重合由正方体性质可知BF ⊥平面EFF H '，HFF ∠'为二面角H BF F --'的平面角，而π4HFG F FG ∠∠=='，所以π2HFF ∠'=，∴平面MBF ⊥平面M B F '''（2）解：假设存在α，使得直线M F ''⊥平面MBC ，以C 为原点，分别以,,CB DC CG为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,1,1,1C B M -，故()()2,0,0,1,1,1CB CM ==-，设(),,m x y z = 是平面MBC 的法向量，则0m CM m CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200x y z =⎧⎨-+=⎩，取1y =，得()0,1,1m =是平面MBC 的一个法向量，取CG 中点,P BF 中点Q ，连接,PQ PM ，则,,PM CG PQ CG PM CG '⊥⊥⊥，于是MPM ∠'是二面角M CG M --'的平面角，MPQ ∠是二面角M CG Q --的平面角，QPM ∠'是二面角Q CG M --'的平面角.于是π,4MPM MPQ ∠α∠=='，所以π4QPM ∠α-'=，且CG ⊥平面,MPM M P '='，故ππ,,144M αα⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭'，同理()2cos ,2sin ,2F αα'，所以ππ2cos ,2sin ,144M F αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎭⎭'⎝⎝，因为πππ2cos 2cos cos sin cos sin 444ααααααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，πππ2sin 2sin cos sin cos sin 444ααααααα⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，所以()cos sin ,cos sin ,1M F αααα'=-'+，若直线M F ''⊥平面,MBC n 是平面MBC 的一个法向量，则M F ''∥m，即存在λ∈R ，使得M F m λ''= ，则cos sin 0cos sin 1ααααλλ-=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，此方程组无解，所以不存在()0,πα∈，使得直线M F ''⊥平面MBC .21.解：（1）在ABC 中，由余弦定理和a b c h +=+可得，.22222222()2()2cos 112222a b c a b c ab c h c h ch C ab ab ab ab+-+--+-+===-=-，又由面积公式可知11sin ,22sin chab C ch ab C=∴=，21cos 21sin 22C h ch hC ch c ++∴==+，由1cos 73sin 6C c h C +==又22sincossin 622tan ,tan 1cos 22712cos 12C CC C C C C ==∴=++-2622tan8472tan ;36131tan 1249CC C ⨯∴===--（2）由（1）知112tan 2h C c +=.如图，在ABC ∆中，过B 作AB 的垂线EB ，且使2EB h =，则CE CB a ==，∵AE h c b a >+=+，即()2224h c h c +>+，得312<c h ，∴3421<+<c h x ，∴342tan 11<<C ，∴12tan 43<<C，2222222cos sin 1tan 2222cos 1cos sin 1tan 1tan 2222C C C C C C C C --===+++由3tan 142C ≤<，得22571tan 20cos 16225C C ≤+<∴<≤cos C ∴的取值范围为70,25⎛⎤ ⎥⎝⎦.22解：（1）2QRF ∆的周长2121248QRF C QF QF RF RF a =+++==，解得2a =，∵椭圆C的离心率为2，所以c e a 2==，解得c =，则2221b a c =-=，故C 的方程为2214x y +=；（2）证明：由题意可知直线QR 和直线QS 的斜率不为零，设直线QR 和直线QS 的方程为()()()001122,,,,,,x my x ny Q x y R x y S x y =-=+联立2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()22410m y +--=，由韦达定理得01201223414y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，同理得022********y y n y y n ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩因为0000x my x ny ==+，所以01010y y y y +=-=-⋅，可得01016,y y y +=--即0017yy =--；同理可得02020y y y y +==⋅可得02026y y y +=-即0027yy =-，不妨设00y >，由1201021200121sin 21sin 2QRS QF F QR QS RQS S QR QS y y y y SQF QF y y QF QF RQS ∠∠⋅--==⋅=⋅，又1212012QF F S F F y =⋅则010212Δ120000*********QRS y y y y y y S F F y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⋅⋅⋅=-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝20002012641249x x ⎛⎫⎛⎫-=⋅=-把()220041x y =-代入上式得，()()23000Δ02200124164483163481124149QRSy S y y ⎡⎤--+⎣⎦==+⎡⎤--⎣⎦.。
广东省四校2023-2024学年高三上学期联考(二)(10月)数学试题(含答案)
2023~2024学年度第一学期四校联考（二）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的说明：本试卷共22道题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
.1. 已知全集U R =，集合{}02A x x = ，{}20B x xx =−>，则图中的阴影部分表示的集合为A. {|12}x x x >或B. {|012}x x x <<<或C. {}12x x <D.{}12x x <2．在等差数列{}n a 中，若86a =，110a =，则2a =（ ）A. 16B. 18C. 20D. 223．已知sin+πα（），则sin(2)2πα+的值为（ ） A.45 B. 45−C.35D. 35−5．命题“∀1≤x ≤2，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≥5D ．a ≤C ．a ≤4 56. 已知函数()f x 满足()ln ()0(xf x x f x ′+>其中()f x ′是()f x 的导数)，若12()a f e =，()b f e =， 2()c f e =，则下列选项中正确的是( )A. 42c b a <<B. 24b c a <<C. 24a b c <<D. 42a c b <<7. 若函数2()31x f x x x ke =+++恰有两个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A. 5(,0]e −B. 2(,)e +∞C. 25[0,){}e e ∪− D. 5(,){0}e−∞−∪8. 若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数()f x 的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数1(0)()ln (0)ax x f x x x − = > 恰有两个“姊妹点对”，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20a e −<B. 20a e −<<C. 10a e −<<D. 10a e −<二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a b <，则22a b < B. 若110a b <<，则11a b a b−>− C. 若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11{|}32x x −<<，则10a b +=− D. 函数212()log (45)f x x x =−++在区间(32,2)m m −+内单调递增，则实数m 的取值范围为4[,3]310. 在数列{}n a 中，11a =，且对任意不小于2的正整数n ，1212a a ++ (11)1n n a a n −+=−恒成立，则 下列结论正确的是（ ）A. *()n a n n N =∈ B. 105a = C. 2a ，4a ，8a 成等比数列 D. 12a a ++ (22)4n n n a +++=11. 下列四个命题中，错误的是( )A. “1m ”是“关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解”的必要不充分条件B. 命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对x ∀∉R ，均有210x x ++ ”C. 若0x >，则函数y=+的最小值是2D. 若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =−有极值0，则2a =，9b =或1a =， 3.b =12. 已知1x ，2x 分别是函数()2x f x e x =+−和()ln 2g x x x =+−的零点，则（ ） A. 122x x +=B. 12e ln 2xx +=C. 12x x >D. 22123x x +<三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*.n N ∈若其前k 项和为126，则k =__________.15．已知定义在R 上的函数f (x)满足：对任意x ，y R ∈都有f (x y)f (x)f (y)+=+，且当x 0>时，f (x)0>, x x 1x x f (k 2)f (482)0+⋅+−−>对任意x [1,2]∈−恒成立，则实数k 的取值范围是 ．17.(本小题10分) 已知曲线()32113yf x x ax bx −==++在点()()0,0f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值．（1）求函数在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数的极值；（3）若存在[]0,3x ∈，使得不等式()0f x m −≤成立，求m 的取值范围．18. (本小题12分)已知角θ 的终边上一点()1,p y，且sin θ=， （1）求tan θ的值； （2）求cos()cos()2sin()cos()πθθππθθπ−−−−−++的值． （3）若,02πθ∈−，02πα ∈ ，，且sin+αθ=（），求cos α的值．19. (本小题12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 的前n 项积为n T，且2.nnn T +=(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b 的前n 项和.n M20. (本小题12分)已知函数2()(2)(x f x x x e e =−为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[0,]m 上的最大值和最小值．21. (本小题12分)广东某中学校园内有块扇形空地OPQ ，经测量其半径为60m ，圆心角为.3π学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD ，初步设计方案1如图1所示.(1)取PQ 弧的中点E ，连接OE ，设BOE α∠=，试用α表示方案1中矩形ABCD 的面积，并求其最大值;(2)你有没有更好的设计方案2来获得更大的篮球场面积?若有，在图2中画出来，并证明你的结论.22. (本小题12分)已知函数()ln f x x a x =−(R)a ∈(1)当e a <时，讨论函数()f x 零点的个数；(2)当(1,)x ∈+∞时，()ln e a xf x ax x x ≥−恒成立，求a 的取值范围.2023~2024学年第一学期四校联考（二）参考答案7.【答案】C【解答】解：由题意知2310xx x ke +++=有两个不同的解，即231xx x y e---=与y k =有两个不同的交点，记231()x x x g x e ---=，则22(2)(1)()xxx x x x g x e e +-+-'==，当2x <-时，()0g x '>，()g x 单调递增;当21x -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当2x =-时，函数()g x 有极大值2e ，当1x =时，函数()g x 有极小值5.e-又因为x →-∞时，()0;g x x <→+∞时，()0g x <，且()0g x →，如下图：数形结合可知25[0,){}k e U e∈-时，函数()f x 恰有两个零点.8.【答案】B【解答】解：由题意知函数()()()10ln 0ax x f x x x ⎧-⎪=⎨>⎪⎩恰有两个“姊妹点对”，等价于函数()ln f x x =，0x >与函数()1g x ax =+，0x 的图象恰好有两个交点，所以方程ln 1x ax =+，即ln 10x ax --=在(0,)+∞上有两个不同的解.构造函数()ln 1h xx ax =--，则1()h x a x'=-，当0a 时，()0h x '>，函数()h x 区间(0,)+∞上单调递增，不符合题意；令()0h x '<，解得1x a >，所以函数()h x 在区间1(,)a+∞上单调递减，所以1(0h a>，解得20a e -<<，又()ln 10h e e ae ae =--=-<，所以函数()h x 在1(,)e a上有且仅有一个零点，令()ln 1M x x =，则12()2M x x x-'=-=，令()0M x '>，解得04x <<，所以函数()M x 在(0,4)上单调递增，令()0M x '<，解得4x >，所以函数()M x 在区间(4,)+∞上单调递减.所以max ()(4)ln 430M x M ==-<，所以()ln 1(4)0M x x M =-< ，即ln 1.x <+又22222222(ln 1110h a a a a a a =-⨯-<+-⨯-=<，所以函数()h x 在212(,a a 上有且仅有一个零点.综上可得20.a e -<<12.【答案】ABD【解答】解：函数()2x f x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，可得112xe x =-，22ln 2x x =-，由x y e =与其反函数ln y x =关于直线y x =对称，x y e =与直线2y x =-的交点为11(,2)x x -，ln y x =与直线2y x =-的交点为22(,2)x x -，12ln x x =，则有1121ln 2x x e x e x +=+=，故B 正确；又(1)ln11210g =+-=-<，3313ln ln 02222g ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，112213ln 22 2.25022g e ==+->-=，所以232x <<122222(2)ln x x x x x x =-=，因为ln y x x =，32x ⎛∈ ⎝，1ln 0y x '=+>，所以ln y x x =在32⎛ ⎝上单调递增，所以1222ln 2x x x x =<=，故C 错误；由上可知122233ln ln 22x x x x =>，因为331127127ln ln1ln 02222828e ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，所以331ln 222>，即1212x x >，则()222121212122423x x x x x x x x +=+-=-<，所以22123x x +<，故D 正确.15.【答案】解：(1)令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，所以(0)0.f =证明：令y x =-，得()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数．由题知：1(2)(482)0(0)x x x x f k f f +⋅+-->=，即1(2482)(0)x x x x f k f +⋅+-->，又()y f x =是定义在R 上的增函数，所以124820x x x x k +⋅+-->对任意[1,2]x ∈-恒成立，所以12284x x x x k +⋅>+-，即22122x x k +>+-，当4t =时，max ()(4)161611g t g ==-+=，所以 1.k >16.【解答】解：()2(ln 1)f x x a x '=-+，若函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则方程()0f x '=在2(,2)e上有根即方程2ln 1x a x =+在2(,2)e上有根且方程的根是函数()f x '的变号零点，令2()ln 1xg x x =+，则22ln ()(ln 1)x g x x '=+，2(,1)x e∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，又(1)2g =，24()ln 2g e e =，4(2)ln 21g =+，由244(2)()0ln 21ln 2g g e e -=->+，得4()(2,),ln 21g x ∈+故4(2,),ln 21a ∈+故答案为：4(2,).ln 21+17.【答案】解：()2(1)2f x x ax b =-'+，结合题意可得(0)3,(3)690,f b f a b ''⎧==⎨=-++=⎩................1分解得23a b =⎧⎨=⎩，经检验符合题意，...............................................3分故()3212313f x x x x =-++.所以在点()()0,0f 处的切线方程为31y x =+..............................................4分（2）由(1)知()24 3.f x x x '=-+令()0f x '>，解得3x >或1x <，令()0f x '<，解得13x <<，故()f x 在()(),1,3,-∞+∞上单调递增，在[]1,3上单调递减，...................................6分所以()()713f x f ==极大值，()()31f x f ==极小值；...................................7分（3）()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，所以1m ≥............................................9分故m 取值取值范围是是[)1+∞，............................................10分18.【答案】解：(1)角θ的终边上一点()1,p y，且sin θ=所以θ为第四象限角，则y<0，........................................1分所以由sin θ=y =........................................3分所以tan θ＝－ 3.........................................4分(2)因为tan θ＝－3，所以cos() cos ()sin cos 2sin +cos +sin cos =πθθπθθπθθπθθ----－＋（）（）－.......................................6分＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3.........................................8分（3）因为,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且sin +10αθ=（）得+(0,)2παθ∈，所以cos +10αθ==（），...........................10分[]cos cos +-cos +cos sin +sin 1=+1021023103020ααθθαθθαθθ==+∙∙-所以（）（）（）（-=.....................11分...........................................................12分19.【答案】解：(1)当1n =时，111;a S ==..........................................................1分当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，...........................................................2分经检验，当1n =时，满足21n a n =-，因此2 1.n a n =-......................................3分当1n =时，113;b T==.....................................4分当2n 时，223n nn n nT b +====，......................................5分(2)由(1)知(21)3n n n a b n =-⨯，23133353(21)3n n M n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，......................................7分23413133353(23)3(21)3n n n M n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，......................................8分两式相减得2341232(3333)(21)3n n n M n +-=+⨯++++--⨯ ......................................9分119332(21)313n n n ++-=+⨯--⨯-......................................10分16(22)3n n +=---⨯，......................................11分故13(1)3.n n M n +=+-⨯.........................................................12分20.【答案】解：2(1)()(2)x f x x x e =-，求导得2()(2).x f x e x '=-.........................................................1分因为0x e >，令2()(2)0x f x e x '=->，即220x ->，解得x <或x >，令2()(2)0x f x e x '=-<，即220x -<，解得x <<，........................................................4分∴函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．..........5分(2)①当0m <()f x在[上单调递减，()f x ∴在区间[0,]m 上的最大值为(0)0f =，()f x 在区间[0,]m 上的最小值为2()(2).m f m m m e =-......................................................7分②2m < 时，()f x在[上单调递减，在)+∞上单调递增，且(0)(2)0f f ==，()f x ∴在区间[0,]m 上的最大值为(0)0f =，()f x在区间[0,]m 上的最小值为(2f =-.................................9分③当2m >时，()f x在[上单调递减，在)+∞上单调递增，且()0(0)f m f >=，()f x ∴在区间[0,]m 上的最大值为2()(2)m f m m m e =-，()f x 在区间[0,]m上的最小值为(2f =-..................................11分综上所述，当0m <(0)0f =，最小值为2()(2).m f m m m e =-2m < 时，最大值为(0)0f =，最小值为(2f =-当2m >时，最大值为2()(2)m f m m m e =-，最小值为(2f =-...12分21.【答案】解：(1)如图所示，取PQ 弧的中点E ，连接OE ，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而,M N 分别为AD ，BC 的中点.设,06BOE παα∠=<<，在Rt ONB ∆中，60sin ,60cos BN ON αα== (1)分tan 6DMOM απ==，所以60cos MN ON OM αα=-=-，即60cos AB αα=-，而2120sin BC BN α==，.................................2分故矩形ABCD的面积()3600cos 2sin S AB BC ααα=⋅=-⋅ (3)分)23600(2sin cos )3600[sin 21cos 2]ααααα=-=-3600(sin 227200sin 23πααα⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，.................................5分因为06πα<<，所以023πα<<，所以22.333πππα<+<.................................6分故当232ππα+=，即12πα=时，S取得最大值，此时3600(2S =，所以矩形ABCD面积的最大值为23600(2m -； (7)分(2)如图所示，在半径OP 上截取线段AB 为矩形的一边，作得矩形.ABCD 设,03BOC πθθ∠=<<，可得60sin ,60cos CB OB θθ==，则tan 6OA CB πθ==，.................................8分所以()(60cos )60sin S OB OA CB θθθ=-⨯=-⨯⨯2333600(sin cos sin )1800(sin 2cos 2)60033θθθθθ=-=+-1(2cos 2)3223θθ=+-6πθ=+-，.................................10分因为03πθ<<，可得52666πππθ<+<，所以当262ππθ+=时，即6πθ=时，S 有最大值为即教室面积的最大值为2..................................11分现将两种方案的最大值进行比较大小：因为3600(2600(120-=-<，所以方案2更合算..................................12分22.【详解】（1）由()ln f x x a x =-得()x af x x -'=，(X>0)当0a =时，()0f x x =>恒成立，所以函数()f x 无零点，................................1分当0<a 时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x 无限趋近于0时，()0f x <，又(1)10f =>，故()f x 只有1个零点；................................2分当0e a <<时，令()0f x '>，解得x a >，令()0f x '<，解得0x a <<，故()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增；所以当x a =时，()f x 取得最小值()ln (1ln )f a a a a a a =-=-，当0e a <<时，()0f a >，所以函数()f x 无零点，................................4分综上所述，当0e ≤<a 时，()f x 无零点，当0<a 时，()f x 只有一个零点；.....................5分（2）由已知有ln ln e a x x a x ax x x -≥-，所以e ln ln x a x x a x a x x +≥+⋅，所以ln e ln (ln )e x a x x x a x a x +≥+⋅，..................................6分构造函数()e x g x x x =+，则原不等式转化为()()ln g x g a x ≥在(1,)x ∈+∞上恒成立，......7分()g x '()1e 1x x =++，记()()1e 1x x x ϕ=++，所以()()e 2x x x ϕ=+'，令()0x ϕ'>，解得2x >-，令()0x ϕ'<，解得<2x -，...故()ϕx 在区间(,2)-∞-上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增，所以21()(2)10e x ϕϕ≥-=->，所以()0g x '>，即()g x 单调递增，..................................8分所以ln x a x ≥在(1,)x ∈+∞上恒成立，即ln x a x≤在(1,)x ∈+∞上恒成立，...................................9分令()ln x h x x =，(1)x >，则()2ln 1()ln x h x x '-=，令()0h x '>，解得e x >，令()0h x '<，解得1e x <<，..................................10分故()h x 在(1,e)单调递减，(e,)+∞单调递增，则()h x 的最小值为e (e)e lne h ==，...........11分所以a 的取值范围是(,e]-∞..................................12分。
2023届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试数学试题
2023届高三综合测试数 学2023年5月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,0,1M =−，2{|1,}N y y x x M ==−∈，则M N 等于A ．{}1,0−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}1,0,1−2. 已知复数z 满足(1)|2|z i i +=−，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ． 四3. 已知向量()()3,4,4,m ==a b ，且a b a b +=−，则b = A ．3B ．4C ．5D ．64. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数. 当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长. 当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散. 接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本传染数05R =，若1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N−，为了有效控制病毒传染（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为 A ．75%B ．80%C ．85%D ．90% 5. 设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为 A ．52B ．5C ．9D ．926. 已知π31cos1,2),a b c −+===，则 A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b7. 已知克列尔公式：对任意四面体，其体积V 和外接球半径R 满足6RV =1111(),2p aa bb cc =++ 111,,,,,a a b b c c分别为四面体的三组对棱的长.在四面体ABCD 中，若AB CD AC BD ====21AD BC ==,则该四面体的外接球的表面积为A ．52π B ．3π C ．73π D ．5π8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2:2C y px =的准线与圆22:(1)1M x y ++=相切于点A ，直线AB 与抛物线C 切于点B ，点N 在圆M 上，则AB AN ⋅的取值范围为A ． [0,8]B ． [2−+C ． [4−+D ． 4]二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2023华附省实广雅深中四校联考数学参考答案
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考数学参考答案及评分标准1.【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4}A =，{4,5}B =，{1,2,3}U B ∴=，则(){1,3}U A B ⋂=，故选：.B2.【答案】C【解析】(1)(2)1 3.i i i −−=−故选：C . 3.【答案】B【解析】由图，因为3ACD ABD S S ∆∆=，故3CD BD =，可得3144AD AB AC =+， 则313115(+)422()444422AB AD AB AB AC ⋅=⋅=⨯+⨯⨯⨯−=,故选：.B4. 【答案】A【解析】直角梯形绕AB 旋转一周所得的圆台的体积为128(1648)33hV h ππππ=++=圆台；1(4+2)32ABCD S h h ==，故记重心G 到AB 的距离为',h 则28=(2')3,3h h h ππ⋅则14'=9h ,故选：A .5. 【答案】C【解析】如右图所示，1F 关于渐近线OM 的对称点P 在双曲线上，则12||||||OP OF OF ==. 所以21PF PF ⊥，OM 是12F F P ∆的中位线，进而1||||F M MO b a a −=−= . 所以离心率c e a =故选：C .6. 【答案】C【解析】由1212n n n a a a ++⋅⋅=−得：12312n n n a a a +++⋅⋅=−，两式相除得：31n na a +=，即3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 由12a =−，214a =得：3121112a a a =−=； 记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则312k k T ⎛⎫=− ⎪⎝⎭614T ≤=，3114111=221222k kk T a T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−≤=−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，231521111=2224kk kT a a T +⎛⎫⎛⎫=−−−≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 1n T =.故选：C . 7. 【答案】D【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x −=−有解，即方程()933933x x x xm m −−−⋅−=−−⋅−有解，则()993360x x x x m −−+−⋅+−= 即()()2333380x x x x m −−+−+−=有解；设33x x t −=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt −−=在2t ≥时有解，8m t t∴=−在2t ≥时有解；8y t t=−在[)2,+∞上单调递增，82t t ∴−≥−，2m ∴≥−，即实数m 的取值范围为[)2,−+∞.故选：D . 8. 【答案】C【解析】依题意得1AB =,11B C ⊥平面11AB C ，则111B C AB ⊥,在11AB C △中，11111AB M B MC AB C S S S +=△△△故1sin 1sin 122MN MNC MPA ∠∠+=⋅1sin sin MPA MN MNC ∠+∠=又1sin ,sin MPA MN MNC MN ∠∠≤1sin sin MPA MN MNC MN ∠+∠+即MN +90MPA ∠=，190MNC ∠=时取等号当90MPA ∠=时，M 为1AC 的中点，此时当190MNC ∠=时，N 为11B C 的中点MN +故选：C . 9. 【答案】BD【解析】对于A ，因为0a b >>，()()33033b a b b a a a a −+−=<++，33b b a a +∴<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b a a b b a a b a b a a b b a b b a b b−+−++−==<+++，3223a b aa b b +∴<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>，>>所以故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确． 故选：BD ．10.【答案】BCD【解析】()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，因为()()2f x f x π+=−，所以()()f x f x π+=，故π是()y f x =的一个周期，故2||()k k Z ππω⨯=∈，即||2k ω=，又03ω<<，故2ω=，A 错误； 因为()2sin(2)6f x x π=+，当512x π=时，26x ππ+=，由于(,0)π是2sin y x =的一个对称中心，B 正确;由题有()2sin(22)6g x x s π=+−在[,]66ππ−上单调递减， 故有2262()32222s k k Z s k ππππππ⎧−−≥+⎪⎪∈⎨⎪−≤+⎪⎩，化简得()23k s k k Z ππππ−−≤≤−−∈， 当2k =−时，3523s ππ≤≤，因为*s N ∈，故s 可以取5，C 正确； 因为*s N ∈，故1k ≤−，当1k =−时，223s ππ≤≤，可知min 2s =，D 正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把两点设为1122(,),(,)A x y B x y ，焦点为(1,0)F ， 对于选项A ，1||11FA x =+≥，显然成立，选项A 正确；对于选项B ，联立直线1x my =+与抛物线24y x =，得2440y my −−=，所以124y y =−，进而221212144y y x x =⋅=，得121230x x y y +=−<，所以cos 0AOB ∠<. 所以90AOB ∠>，选项B 错误；对于选项C ，依题意，122y y =−，结合124y y =−，得2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而m =，选项C 正确；对于选项D ，依题意0PA PB k k +=，整理得12122(43)()240my y m y y −+++=，代入解得2m =−或34m =（舍去）. 选项D 正确. 故选:ACD .12. 【答案】ABD【解析】对于A ，在()()121f x f x +=−中令0x =，则()()10210f f +=−，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=−，对()()121f x f x +=−两边求导，则()()()()111122f x f x f x '''=−+=−−−，所以0x >时，()()()()()1111102f x f x f x f x f x '++'−'−'=−+'−−=−<， 所以()10f x '−>，令1x μ−=，1μ∴<，()0f μ'>， 所以()f x 在(],1−∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由()()1212,x x f x f x <<知12,x x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去.①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；’ ②若121x x <<，则221x −<，而()()2222f x f x =−，则()()()222022f x f x f x −=−−<，所以()()()()221222f x f x f x f x <−⇒<−，而12,21x x −<，所以121222x x x x <−⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1213,1,1,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()()111222cos cos cos *cos f x x x x f x x ππππ⎧=⎪⇒<⎨=⎪⎩， 所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<−=>−<⇒⇒−(()12,2,2x x ππππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭)，这与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，()()121f x f x +=−中，令()()111122x x f x f x =−⇒−=，而由122122x x x x +⇒<−<，所以()()()()212122f x f x f x f x >−⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确. 故选：ABD . 13. 【答案】1（写出一个即可）【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC ，圆心到直线距离为0d =或d PC =，221r d =+，所以1r =或r .14. 【答案】92π【解析】VA VB VC V ==在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心。
立体几何截面、外接球、动点归类(学生版)(1)
立体几何截面、外接球、动点归类目录题型一：动点：恒平行题型二：动点：恒垂直题型三：动点：球截面题型四：动点；定角题型五：外接球：线面垂直型题型六：外接球：垂面型题型七：外接球：两线定心法题型八：外接球：二面角型题型九：外接球：最值范围型题型十：外接球：动点与翻折题型十一：动点型最短距离和题型十二：动点：内切球题型十三：多选题综合应用：二面角型几何体题型十四：多选题综合应用：翻折型题型十五：多选题综合应用：正方体表面动点型题型十六：多选题综合应用：两部分体积比型题型一：动点：恒平行线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题1在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=AC=2AB=2AD=4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面α与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为．2在三棱锥ABCD 中，对棱AB =CD =5，AD =BC =13，AC =BD =10，当平面α与三棱锥ABCD 的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD 被平面α所截得的截面面积最大值为.3(山西省怀仁市2022届高三下学期一模数学试)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，P 在底面的射影为正方形的中心O ,PO =4,Q 点为AO 中点.点T 为该四棱锥表面上一个动点，满足PA ,BD 都平行于过QT 的四棱锥的截面，则动点T 的轨迹围成的多边形的面积为()A.55B.554C.354D.552题型二：动点：恒垂直恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
1如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ,AB =BC =CC 1=2，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且与A 1C 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面周长的最大值为．2(江西省南昌三中2021-2022学年高三10月月考数学(理)试题)在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面面积为()A.42B.26C.25D.2103(清华大学自主招生暨领军计划数学试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O．若平面α经过点E且与OC1垂直，则平面α该正方体所得截面的面积为()A.64B.22C.32D.1题型三：动点：球截面1已知正四面体P-ABC内接于球O，点E是底面三角形ABC一边AB的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为3的截面圆，则正四面体P-ABC棱长的取值范围是()A.[2，3]B.[3，6]C.[22，23]D.[23，26]2(江西省景德镇市浮梁县第一中学2022-2023学年高三数学试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱AA1的中点，截面CD1E交棱AB于点F，则四面体CDFD1的外接球表面积为()A.39π4B.41π4C.12πD.43π43(新疆2022届高三年级第一次联考数学试题)已知三棱锥P-ABC，AB=BC=2，∠ABC=2π3，PA=43，PA过三棱锥P-ABC外接球心O，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥P-ABC外接球O的截面，则下列结论正确的是()A.三棱锥P-ABC体积为463B.截面面积的最小值是2πC.三棱锥P-ABC体积为263D.截面面积的最小值是π2题型四：动点；定角定角：定角，可以平移旋转而成圆锥母线、轴关系1.直线和直线成定角，可与平移-旋转为圆锥母线与轴的关系。
广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校高三数学上学期期末联考试题文(含解析
广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校高三数学上学期期末联考试题文（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4． 考生必须保持答题卡的整洁.第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若集合{}24M x x =>，{}13N x x =<≤，则()RNM =（ ** ）A.{}12<≤x x B. {}22x x -≤≤ C. {}21x x -≤< D. {}23x x -≤≤【答案】A考点：集合的运算． 2． 在复平面内，复数323Z i i=+-对应的点位于（ ** ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】试题分析：复数Z=()()()3232334333555i i i i i i i i i +++=-=-=---+对应的点位于第四象限． 考点：复数的运算与几何意义． 3． 条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ⌝是q ⌝的（ ** ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】A考点：充分必要条件．4． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ** ）A ．121B ．132C ．142D ．154【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，算法执行过程中，第一次循环，11212,12111S i =⨯==-=，第二次循环，1211132S =⨯=，11110i =-=，此时不符合判断条件，执行输出语句，因此输出为132S =．故选B ． 考点：程序框图．5． 三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ** ）（第4题图）结束输出s 12,1i s == 1i i =-是否开始s s i =⨯11?i ≥A ．163B ．38C ． 42D ．211【答案】C考点：三视图．6． 函数()y f x =是R 上的奇函数，满足(3)(3)f x f x +=-，当()0,3x ∈时()2xf x =，则当()6,3x ∈--时，()f x =（ ** ） A ．62x +B ．62x +-C ．62x -D ．62x --【答案】B 【解析】试题分析：∵f （3+x ）=f （3﹣x ），故直线x=3是函数y=f （x ）的一条对称轴,又由函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故原点（0，0）是函数y=f （x ）的一个对称中心 则T=12是函数y=f （x ）的一个周期，设x ∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f （x+6）=2x+6=f （﹣x ）=﹣f （x ）即f （x ）=﹣2x+6考点：函数的奇偶性，周期性． 7． 已知等差数列{}n a 的通项公式6445n na -=，设112||n n n n A a a a ++=+++(*)n N ∈，则当n A 取最小值时，n 的取值为（ ** ）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】D 【解析】试题分析：64405n na -=≥，16n ≤，且160a =，所以16160i i a a -++=（*i N ∈），n A 中共13项的和，因此取10n =，则1120n n n a a a +++++=，即0n A =最小，故选D ．考点：等差数列的性质．8． 已知ABC ∆中，平面内一点P 满足2133CP CA CB =+，若PB t PA =，则t =（ ** ）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】C考点：向量的线性运算．9. 已知点F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ** ） A ．3B ．2C ．12D ．13【答案】B 【解析】试题分析：∵△ABE 是直角三角形，∴∠AEB 为直角，∵双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|， ∵F 为左焦点，设其坐标为（﹣c ，0）， 令x=﹣c ，则22221c y a b-=，则有2b y a =±∴|AF|=2b a ，∴|EF|=a+c ，∴2b a=a+c ∴c 2﹣ac ﹣2a 2=0 ∴e 2﹣e ﹣2=0∵e ＞1，∴e=2 考点：双曲线的几何性质．10. 设变量x 、y 满足：342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最大值为（ ** ）A ．8B ．3C ．134D ．92【答案】A考点：简单的线性规划的应用．11. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ** ） A ．14B ．24C ．26D ．212【答案】C 【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=，考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等． 12. 已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(0)2f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ** ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】B【解析】试题分析：设g （x ）=()x f x e ，则g′（x ）=()()2()()x x x x f x e f x e f x f x e e ''--=⎡⎤⎣⎦∵f （x ）＜f′（x ），∴g′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增． ∵f （0）=2，∴g （0）=(0)(0)2f f e ==， 则不等式()2xf x e >等价为()()00xf x f e e >，即g （x ）＞g （0），∵函数g （x ）单调递增．∴x ＞0，∴不等式()2xf x e>的解集为（0，+∞）考点：导数的应用．【名师点睛】本题考查导数的应用．解题思路是由函数的单调性得出不等式的解集，关键是利用导数确定函数的单调性．这类问题考查学生的分析问题、解决问题的能力，考查转化与创新能力．这类题是近年来常考题型，许多时候，还要我们构造新函数，以便能应用题设条件确定单调性，而构造的根据是导数的运算法则．第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13. 设224mn >>，则log 2m 与log 2n 大小关系是 ** .【答案】log m 2＜log n 2考点：比较大小，指数函数的性质． 14. 已知向量()3,1m =，()0,1n =-，(),3k t =，若2m n -与k 共线，则t =** . 【答案】1 【解析】试题分析：∵()3,1m=，()0,1n =-，∴()()()23,120,13,3m n -=--= 又(),3k t =，且2m n -与k 共线，则3330t ⨯-=，解得：t=1．考点：向量共线．15. 函数x yxe =在其极值点处的切线方程为 ** .【答案】y=1e-考点：导数与切线．【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值．方法是求得导函数'()f x ，解方程'()0f x =，得极值点，若极值是0y ，则所求切线方程为0y y =．本题是填空题，因此只要求得'()0f x =的解后，可以直接写出切线方程．如果是解答题还要判断方程'()0f x =的解0x 是不是极值点，否则易出错． 16. 已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若1k a ,2k a ,3k a ,,nk a ,成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ** . 【答案】1312n -+【解析】试题分析：由题意，2215a a a =⋅，2(1)1(14)d d +=⋅+，得2d =，即21n a n =-， 所以21n k n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据1213n n k --=可得1312n n k -+=． 考点：等差数列与等比数列的综合应用．【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，解题关键是求出等差数列{}n a 的通项公式，而方法是利用等比数列的性质：等比数列{}n c 中，若(,,,*)m n k l m n k l N +=+∈，则m n k l a a a a =，特别地若2(,,*)m n k m n k N +=∈，则2m n k a a a =．由等比数列的性质求得等差数列{}n a 的公差d ，得出其通项公式．三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知,,21==b a 23=)(A f ， 求角C ． 【答案】（Ⅰ）2πϕ=；（Ⅱ）712π或12π． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数式，即()sin()f x x φ=+，由()1f π=-（最小值）可求得φ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及()f A =可得6πA =，由正弦定理先求得B ，最后得C ，只是要注意正弦定理解三角形时可能出现两解．考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦定理．【名师点睛】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.特别在应用正弦定理解三角形时，可能出现两解的情形要特别注意．18.（本小题满分12分）乐嘉是北京卫视《我是演说家》的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．p（k2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879附：临界值表参考公式：K 2 = n (ad－bc) 2(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)，n= a+ b+ c + d.【答案】（Ⅰ）喜爱的观众有4名，不喜爱的观众有2名；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）0.4．【解析】试题分析：（Ⅰ）从60人中抽6人，比例是110，按此比例计算可得；（Ⅱ）按所给公式计算出2K即得；（Ⅲ）6人中有4人喜爱乐嘉，有2人不喜爱乐嘉，可以把它们编号，喜爱的为,,,a b c d，不喜爱的为1,2，从6人中抽取2人的所有可能情况可用列举法列举出来，共15种，其中2人都喜爱乐嘉的有6种，由概率公式计算可得．试题解析：（Ⅰ）抽样比为61 6010，则样本中喜爱的观众有40×110=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．……… 3分考点：分层抽样，独立性检验；古典概型． 19. （本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCP 中，//CP AB ，CP CB ⊥，122AB BC CP ===，D 是CP 中点，将PAD ∆沿AD 折起，使得PD ⊥面ABCD . （Ⅰ）求证：平面PAD ⊥ 平面PCD ；（Ⅱ）若E 是PC 的中点．求三棱锥A PEB -的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）23． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就是要证线面垂直，也就是要证线线垂直，由原图知AD CD ⊥，又由PD ⊥平面ABCD 得PD CD ⊥，PD AD ⊥，需要的两个线线垂直有了，结论可得；（Ⅱ）三棱锥A PEB -的底面积与高都不易求得，可采用等积转化法，由于有//AD 平面PBC ，因此A PBE D PBE V V --=，又E 是PC 中点，可得DE ⊥平面PBC ，从而Δ13D PBE PBE V DE S -=⋅，还可以由12D PBE P DBE P DBC V V V ---==计算得结论．考点：面面垂直的判断，棱锥的体积． 20. （本小题满分12分）设函数2()ln f x a x bx =-.(Ⅰ)若函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求函数(),1在f x e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.(Ⅱ)当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的,302a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(,21x e ⎤∈⎦都成立， 求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）max 1()(1)2f x f ==-；（Ⅱ）2m e ≤-． 试题解析：（Ⅰ）由题知'()2af x bx x =- 函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切 ()()120112f a b f b '=-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩ 解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ………………………3分 ()ln ,()221112x f x x x f x x x x -'∴=-=-=当1x e e ≤≤时，令'()0f x >得11x e<<； 令'()0f x <，得1;x e <<1(),1f x e ⎛⎤∴ ⎥⎝⎦在上单调递增，在上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==- …………………………6分（Ⅱ）当0b =时，()ln f x a x =若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，考点：导数与切线，导数与函数的最值，不等式恒成立． 21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足PA PB PM PM ⋅=⋅？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；(Ⅱ) 存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．【解析】试题分析：(Ⅰ)求椭圆标准方程，就是列出关于,,a b c 的两个方程，本题中有离心率12c e a ==是一个，另外一个是把点3(1,)2的坐标代入标准方程，由此结合222a b c =+或解得,a b 值；(Ⅱ)解析几何中的探索性问题，一般都是假设存在，设直线l 方程为(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程整理得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．同时设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有Δ0>（保证有两交点），1212,x x x x +（用k 表示），再把已知条件PA PB PM PM ⋅=⋅用坐标1122(,),(,)x y x y 表示，并把1212,x x x x +代入可解得k 值，若无实数解，说明不存在．即212125[2()4](1)4x x x x k -+++=． ……………………9分所以222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦，解得12k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以12k =．于是存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．………………………12分考点：椭圆的标准方程，探索性问题，直线与椭圆的综合问题．【名师点睛】1．运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，一般情况下可根据椭圆的几何性质，以及椭圆过某个点来确定．2．直线和圆锥曲线的综合问题，一般设直线方程，设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后，利用韦达定理得1212,x x x x +（或者1212,y y y y +），再把已知条件用坐标1122(,),(,)x y x y 表示出来，并把1212,x x x x +代入，化简、变形，解方程等得出结论．这体现了“设而不求”方法的具体应用．选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（Ⅰ）求证：//BC DE ；（Ⅱ）若D E C F 、、、四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠． ABCD EF【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）27π． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线线平面，一般可先证同位角相等或内错角相等，题中有弦切角，圆周角，由切线的性质可得；（Ⅱ）要求BAC ∠，此处可能要用到三角形内角和定理，在ΔABC 中，设CAF x ∠=，则2CAB CBA x ∠=∠=，而由四点共圆及平行线又可得3ACF AFC FAC FBC x ∠=∠=∠+∠=，这样由内角和定理可得x ，从而得解．试题解析：（Ⅰ）BAC ∠的平分线与圆交于点D,EDC DAC DAC DAB ∴∠=∠∠=∠……………2分BD BD DAB DCB =∠=∠∴EDC DCB ∴∠=∠//BC DE ∴. ………………………………4分考点：圆周角定理与弦切角定理，四点共圆． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线l 过点(),12P - ，倾斜角6πα=，再以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 分别交于、M N 两点，求PM PN ⋅的值．【答案】（Ⅰ）直线l 的参数方程：()312为参数122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，曲线C 的直角坐标方程229x y +=；（Ⅱ）4．【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线l 参数方程的标准式()cos sin 00为参数x x t t y y t =+⎧⎨=+⎩αα，（其中00(,)P x y 是直线l 上的一点，α是它的倾斜角）可得参数方程，由公式222ρx y =+可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）利用直线参数方程标准式中参数t 的几何意义，把直线l 参数方程代入曲线C 的方程可得t 的二次方程，此方程的解为12,t t ，则124t t =-，而12,PM t PN t ==，由此有124PM PN t t ⋅=⋅=．考点：直线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3.f x x x a =--- （Ⅰ）当2a =时，解不等式()12f x ≤-； （Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）114x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. ；（Ⅱ）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：含绝对值的函数，由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式，解不等式1()2f x ≤时，只要分段求解，最后合并即可；（Ⅱ）若存在x 使不等式()f x a ≥恒成立，即a 小于等于()f x 的最大值，由绝对值的性质可有()()()333f x x x a x x a a =---≤---=-，从而只要解不等式3a a -≥即得．试题解析：（Ⅰ）当2a =时，()1, 23252, 231, 3x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩， ……… …2分()12f x ∴≤-等价于2112x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或231522x x <<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， …………… …4分 解得1134x ≤<或3x ≥，∴ 不等式的解集为114x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. ………………5分考点：解含绝对值的不等式，不等式恒成立，绝对值的性质．。
广东省华南师范大学附属中学2024-2024学年高三上学期综合测试(一)数学试题答案
2025届高三综合测试（一）数 学 参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 B ADDAAC C9 10 11 ABCBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 8． 13. 4051． 14. 108．【详解】因为()e (22)()xf x x f x ′=−+，所以2()e e ()()22[]e ex x xx f x f x f x x ′−′−， 从而2()2ex f x x x c =−+，即2()e (2)x f x x x c =−+，其中c 为常数， 又(0)1f c ==，故2()e (21)x f x x x =−+，则2()(1)e x f x x ′=−，当(),1x ∈−∞−时，()0f x ′>，()f x 为增函数；当()1,1x ∈−时，()0f x ′<，()f x 为减函数；当()1,x ∈+∞时，()0f x ′>，()f x 为增函数， 所以当(1)(1)f k f <<−时，即40ek <<时，直线y k =与=()y f x 的图像有三个不同的交点，即方程()=f x k 有三个不同的解．故选：C ．10．【解答】解：因为函数()f x 的定义域为R ，且22()()()()f x y f x yf x f y +⋅−=−， f （1）2=，(1)y f x =+为偶函数，令0x y ==，得(0)0f =，再令0x =，则22()()(0)()f y f yf f y −=−， 显然()f y 不恒为零，所以()()f y f y −=−，即()f x 为奇函数，B 正确；所以(1)(1)(1)f x f x f x +=−+=−−，所以(2)()f x f x +=−，所以(4)(2)()f x f x f x +=−+=，即()f x 的周期为4，则f （3）(1)f f =−=−（1）2=−，A 错误； (02)(0)0f f +=−=，C 正确；由A ，B ，C 可知，f （1）2=，f （2）0=，f （3）2=−，f （4）(0)0f =，且()f x 的周期为4，所以20241()506[k f k f ==×∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，D 正确．故选：BCD ． 11．【解答】解：因为2()f x ln x =，所以2()lnxf x x ′=，所以经过(i x ，())(1i f x i =，2)的切线方程为22()ii i ilnx y x x ln x x =−+，由切线过点(,)P a b 知，22()(1,2)ii i ilnx ba x ln x i x =−+=，令22()2alnxg x ln x lnx b x =+−−，则()g x 恰有两个零点1x ，2x ，且22(1)()()lnx x a g x x −−′=， 当a e =时，()0g x ′ ，则()g x 在(0,)+∞单调递增，不可能有两个零点；当a e ≠时，则若a e >，当0x e <<或x a >时()0g x ′>，当e x a <<时()0g x ′<， 则()g x 在(0,)e 和(,)a +∞上单调递增，在(,)e a 上单调递减，若0a e <<，当0x a <<或x e >时()0g x ′>，当a x e <<时()0g x ′<， 则()g x 在(0,)a 和(,)e +∞上单调递增，在(,)a e 上单调递减， 故g （e ）0=或g （a ）0=时，函数()g x 才可能有两个零点， 又g （a ）20ln a b =−≠，故g （e ）0=，此时显然有两条切线， 所以2()10a g e b e =−−=，即2(1)a e b =+，当12b =时，34a e e =<，故A 错误，B 正确；由上述分析，1{e x ∈，2}x ，当a e >时，1x e a =<，()g x 在(0,)e 和(,)a +∞上单调递增， 在(,)e a 上单调递减，示意图如图． 显然1x a <，且222222222()22(1)0alnx af x b ln x b lnx lnx x x −=−=−=−>， 所以2()f x b >，当0a e <<时，2x e a =>，()g x 在(0,)a 和(,)e +∞上单调递增，在(,)a e 上单调递减，示意图如图．显然212,()()1x a f x f e ln e <===，由2(1)a e b =+，得21a b e =−，所以22111a eb e e=−<−=，即2()f x b >， 综上，12()x af x b <>，故选项C 和D 正确．故选：BCD ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
18.在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
（பைடு நூலகம்）求 的大小；
（2） 在边 上，且 ，求 的最大值.
19.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；
（2）记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和期望.
20.如图，四棱锥 中，已知 ，且 与平面 所成 角为 .
（1）证明： ；
（2）若点 为 中点，求平面 与平面 夹角的余弦值.
21.已知椭圆 ，斜率为 的直线 与椭圆 只有一个公共点
（1）求椭圆 的标准方程；
14.已知在四面体 中， ，则该四面体外接球的表面积为__________.
15.已知函数 ，若函数 的图象经过四个象限，则实数 的取值范围是__________.
16.已知数列 满足 ，记 （其中 表示不大于 的最大整数，比如 ），则 __________.（参考数据： ）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A. B. C.3D.2
5.已知双曲线 的焦点关于渐近线的对称点在双曲线 上，则双曲线 的离心率为（）
A.2B. C. D.
6.已知数列 满足 ， ,则 前 项积的最大值为（）
A. B. C.1D.4
7.若函数 在其定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“局部奇函数”.知函数 是定义在 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是（）
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟
注意事项；
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号，座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥 中， 平面 ， 为线段 中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则 的最小值为（）
A. B. C. D.2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 ，则下列说法正确的是（）
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（2）过椭圆右焦点 的直线与椭圆 相交于 两点，点 在直线 上，且 轴，求直线 在 轴上的截距.
22.已知函数 （其中 是自然对数底数）.
（1）求 的最小值；
（2）若过点 可作曲线 的两条切线，求证： .（参考数据： ）
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考
数学
命题学校：华南师大附中定稿人：毕福明、林琪
A.
B.存在实数 ，使得
C.若 ，则
D.若直线 与 的倾斜角互补，则
12.已知定义在 上的函数 的图像连续不间断，当 时， ，且当 时， ，则下列说法正确的是（）
A.
B. 在 上单调递增
C.若 ，则
D.若 是 在区间 内的两个零点，且 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆 ，若过定点 有且仅有一条直线被圆 截得弦长为2，则 可以是__________.（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）
A. B.
C. D.
10.已知函数 满足 ，其图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，且 在 上单调递减，则（）
A.
B.函数 的图象关于 对称
C. 可以等于5
D. 的最小值为2
11.已知 为坐标原点，点 为抛物线 ： 的焦点，点 ，直线 ： 交抛物线 于 ， 两点（不与 点重合），则以下说法正确的是（）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟
注意事项；
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号，座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
1.已知集合 ，则 （）．
A. {3}B. {1，3}C. {3，4}D. {1，3，4}
2.已知i为虚数单位，则复数 （）
A. B. C. D.
3.已知在等腰 中， ，点 在线段 上，且 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
4.古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即 （ 表示平面图形绕旋转轴旋转的体积， 表示平面图形的面积， 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形 ，已知 ，则重心 到 的距离为（）