(规避易错题系列)第六章 平面向量及其应用 集(解析版)

【错因分析】对基底的概念理解不够透彻，两个向量能否作为一组基底表示其它向量，判断的标准是这两个向量是否共线，对于选项C． ，显然 ,说明 共线，不能用来做基底.
【正解】BD
【详解】
解：根据 ，
选项A： ， ， ， ，则 ， ，无解，故选项A不能；
选项B： ， ， ， ，则 ， ，解得， ， ，故选项B能．
【详解】
对A， 不能用 表示，故 不共线，所以符合
对B， ，所以 共线，故不符合
对C， 不能用 表示，故 不共线，所以符合
对D，， 不能用 表示，故 不共线，所以符合
故选：ACD
易错点7．记反了向量减法运算差向量的方向
例题1．（2021·全国·高三专题练习）正三角形 边长为 ，设 ， ，则 _____.
A：因为零向量与任何向量都共线，故 ， 不可做基底；
B： ，即 、 共线，不可作基底；
C： 、 不共线，可作基底；
D： ，即 、 共线，不可作基底；
故选：ABD
2．（多选）（2021·浙江·高二期末）设 是平面内两个不共线的向量，则以下 可作为该平面内一组基底的（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因向量 ， 为非零向量，则当向量 ， 的夹角为180°时， 与 方向相反，即 成立，
当 时， 与 方向相同或者方向相反，即向量 ， 的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量 ， 的夹角为180°”是“ Nhomakorabea”的充分不必要条件.
【常见错解】因为 ，所以点 是 的中点，所以 ，
，所以 ,所以
【错因分析】本题选定了 作为基底，在用基底 表示向量 时，向量减法运算错误， 最后的结果应该指向 向量，所以正确的表示应该是 .
【正解】
【详解】
因为 ，所以点 是 的中点，所以 ，
所以
，
故答案为： .
【动手实战】
1．（2021·云南省泸西县第一中学高二期中）已知M，N分别是线段 上的点，且 ，若 ，则 ___________.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
当 时， ， ，显然有 成立
当 成立时， 不一定成立.
例如： ， ，
， ，满足条件，但此时
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
2．（2021·海南·海口一中高三阶段练习）已知 为非零平面向量，则下列说法正确的是（）
【正解】0或
解：向量 ， ，
则 ， ，
若 ，则 ，
所以
解得 或 .
故答案为：0或 .
【动手实战】
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知向量 （2，1）， （1，k）（ ），若 ，则非零实数k=________．
【答案】 ##0.5
【详解】
向量 ， ，则 ， ，
若 ，则 ，所以 ，解得： （舍）或 ．
综上,假命题的是①②④,共3个.
故选:C.
易错点2．混淆向量模相等与向量相等
例题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若向量 ，则 ( )
【常见错解】正确
【错因分析】未能正确理解向量模与向量的关系，向量既有大小，又有方向， 且 同向.本例中 ，仅仅只是说明 模相等，对于方向，无限可能，所以无法由 得到 .
【答案】
【详解】
依题意，在 中， ；
在 中， ，
所以 .
故答案为：
易错点8．错误使用 的等价条件
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量 ， ，若 ，则实数 ___________.
【常见错解】 ， ，若 ，则
【错因分析】错误的运用向量平行的等价条件，对于 ， ， ，而本题错误的运用为 ，此时容易忽略0这个解.
【正解】D
【详解】
因为 是一个实数，故 表示一个与 共线的向量；同理， 表示一个与 共线的向量，故两个向量不一定相等，故A不正确.
若 ， ，则 或 ，故B不正确；
由 ，不能推出 ，故C不正确；
由向量的数量积定义知数量积满足交换律，故D正确；
故选：D
【动手实战】
1．（2022·浙江·模拟预测）已知平面非零向量 ，则“ ”是“ ”的（）
【答案】
【详解】
根据题意，由 ， ，得 ， ，
因此 ，
因为 ，所以 ， ，故 .
故答案为： .
2．（2021·全国·高一课时练习）在三角形ABC中，若 ，且 ，则 _______
【答案】1
【详解】
，
又 ， ，
故答案为：1．
3．（2022·浙江·高三专题练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若 ， ， ，则 ___________.
①若 ，则 ；
②若 ，则四边形 是平行四边形；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 .
其中，假命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
，则 的方向不确定,则 不一定相等, ①错误;
若 ,则 的方向不一定相同,所以四边形 不一定是平行四边形,②错误;
若 , ,则 ,③正确；
若 ， ，则 时, 不一定成立,所以④错误.
【详解】
向量相等指的是向量的方向相同，模长相等， 与 都是单位向量，
则两个向量的模长相等，但是方向不一定相同.故错误.
故答案为：错误.
易错点3．误把两向量平行当成两向量同向
例题1．（2021·云南·昆明二十三中高一期中）下列命题正确的是（）
A． B．
C． D．
【常见错解】C
【错因分析】对于向量平行问题， ，很多同学总是当做直线平行记忆，认为直线平行那不是成 角，想当然认为向量的平行也是成 ，在刚学习向量时，特别要注意向量，直线的区别.
【正解】×
，但是方向不确定，因此不能判断 ，故错误，故答案为：错误.
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）命题“若 ， ，则 ”的真假性为( )
【答案】√
【详解】
向量的相等具有传递性，故此命题是真命题
故答案为：√
2．（2021·全国·高一课时练习）若 与 都是单位向量，则 .( )
【答案】错误
选项C： ， ， ， ，则 ， ，无解，故选项C不能．
选项D： ， ， ， ，则 ， ，解得 ，故选项D能．故选：BD
【动手实战】
1．（多选）（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知 ， 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是（）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】ABD
【详解】
故选：B
【动手实战】
1．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知非零向量 满足 ，且 ，则向量 的模长为_________．
【答案】
【详解】
设 的夹角为 ，因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知 ， ， 与 的夹角为 ，试求：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) (2)
①“ ”类比得到“ ”；
②“ ”类比得到“ ”；
③“ ”类比得到“ ”；
④“ ， ”类比得到“ ， ”；
⑤“ ”类比得到 ；
⑥“ ”类比得到“ ”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
① “ ”是向量的数量积的交换律，根据向量数量积的的定义可知是正确的；
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
对于①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同，故正确；
对于②，当 是零向量时，不能说 与 方向相同或相反，故错；
对于③，如果 ，则 与 可以不共线，所以不正确；
对于④，向量不能比较大小，故不正确；
故选：B．
2．（2020·宁夏育才中学）有下列命题：
第六章平面向量及其应用典型易错题集
易错点1．忽视
例题1．（2021·全国·高一课时练习）给出下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确说法的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【常见错解】D
解：因为 ，则向量 互为相反向量，所以 ，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
长度等于0的向量是零向量，C正确；
就是 所在的直线与表示 所在的直线平行或重合，D错．
故选：C．
易错点4．混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
例题1．（2021·全国·）设 ， ， 是三个向量，以下四个选项正确的是（）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，且 ，则
D．
【常见错解】A
【错因分析】很同学看到 中 ， ， ，再看结论 直接把向量的点乘和数乘，当做实数乘法运算了， ，混淆了向量的点乘结果，数乘结果.事实上对于 ，左边的本质是： ，右边的本质是： ，无法得到 .
A．169B．13C．196D．14
【常见错解】A
解：因为 ，所以 ，因为 在 的投影为 ，所以 ，所以 ，所以
故选：A
【错因分析】典型的解题时忘记求模开根号，习惯没有养成要，先求 ，再开根号为答案，往往学生求出 就忘记开根号，养成好的习惯对于求模问题 ，在平时训练时就注意开根号.
【正解】B
解：因为 ，所以 ，因为 在 的投影为 ，所以 ，所以 ，所以
(1)因为 ， ， 与 的夹角为
所以 ，
即 .
(2)因为 ， ， 与 的夹角为