2015年第32届全国部分地区大学生物理竞赛试卷(扫描版)
2015年第32届全国中学生物理竞赛预赛试题
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13. (20分）有一块长条形的纯净半导体硅，其横截面积为 得分 1 阅卷 1 复核 12.Scm2 , 通有电流 2mA 时，其内自由电子定向移动的平均速 率为7.5还10_-5m/s, 空穴定向移动的平均速率为2. 5 X 10飞世扣 4 X 10 kg/m , 原子蜇是28 电子的，电荷但大 已知硅廿t密度为2. 心i令｀ 一 小为 e=l.6xl0 ,9c 若一个硅原子至多只释放一个自由电子，试估算此半导体材料中平均
16. (20 分）如示意图所示 ， 一垂直放置 得分1阅卷1复核1的高为15. m 0c 的圆柱形中空玻璃容器，
多
A
近轴光线成像已知：当入<l时，sin入～入 '(' (1) 当容熔内冞装任何液体时，求从 B 点发出的光线通过平凸玻璃、“ (2)当容器内装满折射率为1. 30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表 面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实 柱，社玻璃柱对称轴上所成的像的位赏，并判断像的虚实；
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第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷
1. 2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中了心 失去联系. 2014年3�月24日晚，初步确定失事地点位千南纬31 °52 I 、东经115°52'的澳大 利亚西南城市珀斯附近的海域有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时 刻在该区域正上方对海面拍照，则 A. 该卫星一定是地球同步卫星
32届大学生物理竞赛试题解答
题解图
mv2 F心 qvB qE0 sin
得
1
mv2
B
v
E0
sin
q
1
qE0 m
b2
a
2(a
x)
E0bx a4 c2x2
a 4bE0
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3
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考虑到 故取
1
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取第 象限 椭圆时： 2
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取第 V 象限 椭圆时： 0
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1
取第 象限 椭圆时：
4
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1
3
取第 象限 椭圆时：
4
2
sin 0 sin 0 sin 0 sin 0
sin b2x
kA m2
5.9m /
s2
这表明 m1 、m2 始终下行，摩擦力方向不变。此阶段动力学方程与第一阶段相同，弹簧相对
原长的伸长量 x 随时间 t 的变化关系仍是简谐振动关系。当弹簧回复到原长时， x 0 ， m1 相对 m2 的速度 v*e dx dt 与第一阶段初态时相对速度 v*0 方向相反，大小相同，即为
1
p水 RT 0
V气
V水 H R2 ,V气 h r2
1
p0 水 RT0 0
（7） （9 分）
2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
（2）已知BC长度为 ，讨论上述频移分别为正、零或负的条件，并求出最大的正、负频移。
（3）已知 ，求从C先到达P点、直至B到达P点过程中最大频移与最小频移之差（带宽），并将其表示成扇形波束的张角 的函数。
又因为
由上式得，当 取最大值时， 、 和 应满足 ⑰
（32届复赛15年）四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz平面）等高的航线KA（沿x正方向）上，以大小为 （ 远小于真空中的光速 ）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点（其x坐标为 ）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC（BC随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P点），取K点在地面的正投影O为坐标原点。已知BC与航线KA的距离为 。天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波，其频率为 。
已知：当 时， 。
四、（25分）
（1）解法（一）
按照题给坐标系，设待测点P的位置为 ，飞机在 时所在点K的位置为 。在时刻 ，飞机所在位置A点的坐标为 ，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻 返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为 ，如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有
角动量都守恒，有
①
②
③
式中， 和 表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。由①②③式得
④
⑤
⑥
碰撞后系统的动能为
⑦
利用④⑤⑥式，系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动能⑦式可表示成
⑧
（2）解法（一）的⑪式或者解法（二）的⑧式即为
2015年第32届(2015)决赛光学试题
第三十二届全国中学生物理竞赛实验试题实验二测量透明容器和液体的折射率（30分）实验器材透明圆桶形容器1个（易碎品），激光笔1支，坐标纸3张，直尺1把，矩形光屏1个，待测液体1瓶（装于矿泉水瓶中），计算器1个，铅笔1支。
实验内容与要求1. 测量透明圆桶形容器器壁的折射率。
（1）画出光路图，说明实验原理，给出其计算公式，要求写出必要的推导过程；（2）简述实验步骤；（3）在坐标纸上记录实际光路图；（4）记录相关实验数据，根据相关实验数据计算容器器壁的折射率，要求写出简要的计算过程。
2. 用光学方法测量透明圆桶形容器外半径与内半径之比R/r。
（1）画出光路图，说明实验原理，给出其计算公式，要求写出必要的推导过程；（2）简述实验步骤；（3）在坐标纸上记录实际光路图；（4）记录相关的实验数据，根据相关实验数据计算容器外半径与内半径之比R/r，要求写出简要的计算过程。
3. 将待测液体缓慢倒入透明圆桶形容器中，测量液体折射率。
（3）画出光路图，说明实验原理，给出其计算公式，要求写出必要的推导过程；（2）简述实验步骤；（3）在坐标纸上记录实际光路图；（4）记录相关的实验数据，并根据相关实验数据计算液体折射率，要求写出简要的计算过程。
器材使用说明1. 本实验采用普通的激光笔作为光源，按面板上的开/关键激光打开，再按则关闭。
激光笔持续亮3分钟后会自动关闭以达到自我保护，此时再按开/关键激光笔重新打开。
切不可将激光直接射入眼睛。
2. 激光笔固定于矩形盒的上方，使光源保持一定的高度，矩形盒已固定于实验桌上请不要移动。
矩形盒旁边的纸片可垫在激光笔的下方用于调节激光的仰角。
3. 待测液体装于矿泉水瓶中，将待测液体倒入透明容器时要防止溢出到桌面或沾到皮肤，一旦液体溢出或沾到皮肤应马上用面巾纸擦干。
矿泉水瓶仅用于装待测液体，不可用于测量。
4. 计算器的使用：ON为开关键、SHIFT为功能切换键（黄色和白色标识运算符之间切换）、按SHIFT键再按AC键可关闭计算器。
2015年第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案(标准word版)
第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷1~5 6 7 8 总分9 10 11 1213 14 15 16本卷共16题，满分200分．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小得分阅卷复核题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1.2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系．2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31º52′、东经115 º52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则A.该卫星一定是地球同步卫星B.该卫星轨道平面与南纬31 º 52′所确定的平面共面C.该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D.地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍2.23892U（铀核）衰变为22288Rn（氡核）要经过A.8次α衰变，16次β衰变B.3次α衰变，4次β衰变C.4次α衰变，16次β衰变D. 4次α衰变，4次β衰变3．如图，一半径为R的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相同的带电小球a和b(可视为质点)，只能在环上移动，静止时两小球之间的距离为R。
现用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c，然后撤除外力．下列说法正确的是A.在左球a到达c点的过程中，圆环对b球的支持力变大B．在左球a到达c点的过程中，外力做正功，电势能增加。
C.在左球a到达c点的过程中，a、b两球的重力势能之和不变D.撤除外力后，a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒4．如图，O点是小球平抛运动抛出点；在O点有一个频闪点光源，闪光频率为30Hz；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1．20 m，测得第一、二个投影点之间的距离为0.05 m．取重力加速度g=10m/s2．下列说法正确的是A.小球平抛运动的初速度为4m/sB．小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化不相等C．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D.小球第二、三个投影点之间的距离0．15m5．某同学用电荷量计(能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量)测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为S，电阻为"的矩形导线框abcd沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180º，测得通过线框的电荷量为Q1；将其从图示位置绕东西轴转90 º，测得通过线框的电荷量为Q2.该处地磁场的磁感应强度大小应为A.22214QQSR+ B. 2221QQSR+ C. 2221212QQQQSR++ D. 222121QQQQSR++二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．(10分)水平力F方向确定，大小随时间的变化如图a所示；用力F拉静止在水平桌面上的小物块，在F从0开始逐渐增大的过程中，物块的加速度a随时间变化的图象如图b所示．重力加速度大小为10m/s2。
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案
第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2015年9月19日说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。
图中p 、+e 和e ν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。
当从循环图顶端开始，质子p 与12C 核发生反应生成13N 核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。
已知+e 、p 和He 核的质量分别为0.511 MeV/c 2、1.0078 u 和 4.0026 u （1u≈931.494 MeV/c 2），电子型中微子e ν的质量可以忽略。
（1）写出图中X 和Y 代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式； （3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。
二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和B 。
开始时细杆静止；有一质量为m 的小球C 以垂直于杆的速度0v 运动，与A 球碰撞。
将小球和细杆视为一个系统。
（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表出）； （2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统的动能。
三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π22θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。
已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。
忽略空气阻力。
（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度； （2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；（3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。
第32届全国中学生物理竞赛预赛-试卷答案及评分标准
2015年第32届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777－200飞机与管制中心失去联系．2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31°52′、东京115°52′的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域．有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时刻在该区域正上方对海面拍照，则［ ］A ．该卫星一定是地球同步卫星B ．该卫星轨道平面与南纬31°52′所确定的平面共面C ．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D ．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍2．U 23892（铀核）衰变为Rn 22288（氡核）要经过［ ］A ．8次α衰变，16次β衰变B ．3次α衰变，4次β衰变C ．4次α衰变，16次β衰变D ．4次α衰变，4次β衰变3．如图，一半径为R 的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内；环上有两个相同的带电小球a 和b （可视为质点），只能在环上移动，静止时两小球之间的距离为R ．现用外力缓慢推左球a 使其到达圆环最低点c ，然后撤除外力．下列说法正确的是［ ］A ．在左球a 到达c 点的过程中，圆环对b 球的支持力变大B ．在左球a 到达c 点的过程中，外力做正功，电势能增加C ．在左球a 到达c 点的过程中，a 、b 两球的重力势能之和不变D ．撤除外力后，a 、b 两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒4．如图，O 点是小球平抛运动抛出点；在O 点有一个频闪点光源，闪光频率为30 Hz ；在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，小球初速度与毛玻璃平面垂直．在小球抛出时点光源开始闪光．当点光源闪光时，在毛玻璃上有小球的一个投影点．已知图中O 点与毛玻璃水平距离L ＝1.20 m ，测得第一、二个投影点之间的距离为0.05 m ．取重力加速度g ＝10 m ／s 2．下列说法正确的是［ ］A ．小球平抛运动的初速度为4 m ／sB ．小球平抛运动过程中，在相等时间内的动量变化不相等C ．小球投影点的速度在相等时间内的变化量越来越大D ．小球第二、三个投影点之间的距离0.15 m5．某同学用电荷量计（能测出一段时间内通过导体横截面的电荷量）测量地磁场强度，完成了如下实验：如图，将面积为S 、电阻为R 的矩形导线框abcd 沿图示方位水平放置于地面上某处，将其从图示位置绕东西轴转180°，测得通过线框的电荷量为Q 1；将其从图示位置绕东西轴转90°，测得通过线框的电荷量为Q 2．该处地磁场的磁感应强度大小为［ ］A ．22214Q Q SR+ B ．2221Q Q S R + C ．2221212Q Q Q Q S R++ D ．222121Q Q Q Q S R ++二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（10分）水平力F 方向确定，大小随时间的变化如图a 所示；用力F 拉静止在水平桌面上的小物块，在F 从0开始逐渐增大的过程中，物块的加速度a 随时间变化的图像如图b 所示．重力加速度大小为10 m ／s 2．由图示可知，物块与水平桌面间的最大静摩擦力为__________；物块与水平桌面间的动摩擦因数为__________；在0～4s 时间内，合外力对物块所做的功为__________．7．（10分）如图，物块A 、C 置于光滑水平桌面上，通过轻质滑轮和细绳悬挂物块B ，物块A 、B 的质量均为2 kg ，物块C 的质量为1 kg ，重力加速度大小为10 m ／s 2．（1）若固定物块C ，释放物块A 、B ，则物块A 、B 的加速度之比为_______；细绳的张力为_______．（2）若三个物块同时由静止释放，则物块A 、B 和C 加速度之比为_______．8．（10分）2011年8月中国发射的宇宙飞船“嫦娥二号”在完成探月任务后，首次从绕月轨道飞向日地延长线上的拉格朗日点，在该点，“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动．已知太阳和地球的质量分别为M s 和M E ，日地距离为R ．该拉格朗日点离地球的距离x 满足的方程为____________________，由此解得x ≈____________________．（已知当λ＜＜ 1时，（1+λ）n ≈1 + n λ．）9．（10分）在“利用电流传感器（相当于理想电流表）测定干电池电动势和内阻”的实验中，某同学利用两个电流传感表中I 1和I 2分别是通过电流传感器1和2的电流．该电流的值通过数据采集器输入到计算机，数据采集器和计算机对原电路的影响可忽略．（1）在图b 中绘出I 1～I 2图线；（2）由I 1～I 2图线得出，被测电池的电动势为_____V ，内阻为_____Ω．10．（10分）某金属材料发生光电效应的最大波长为λ0，将此材料制成一半径为R 的圆球，并用绝缘线悬挂于真空室内．若以波长为λ（λ＜λ0）的单色光持续照射此金属球，该金属球发生光电效应所产生光电子的最大初动能为_____________，此金属球可带的电荷量最多为_____________．（设无穷远处电势为零，真空中半径为r 带电量为q 的导体球的电势为rq k U ．）三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．（20分）某机场候机楼外景如图a 所示．该候机楼结构简化图如图b 所示：候机楼侧壁是倾斜的，用钢索将两边斜壁系住，在钢索上有许多竖直短钢棒将屋面支撑在钢索上．假设每边斜壁的质量为m ，质量分布均匀；钢索与屋面（包括短钢棒）的总质量为2m ，在地面处用铰链与水平地面连接，钢索固定于斜壁上端以支撑整个屋面，钢索上端与斜壁的夹角为30°；整个系统左右对称．求（1）斜壁对钢索的拉力的大小；（2）斜壁与地面的夹角．12．（20分）从左至右在同一水平地面上依次有3个质点a 、b 、c ，且三者共线，a 与b 相距l 1，b 与c 相距l 2．现同时将它们从其初始位置抛出．已知质点b 以初速度v 0竖直上抛，质点c 以某一初速度竖直上抛．设在这3个质点的运动过程中，a 能碰到质点b 和c ；并假设质点a 的质量远大于质点b 的质量，且a 与b 碰撞时间极短．求质点c 的初速度v c 和质点a 的初速度所满足的条件．所求的结果均用题中的已知量表示出来．13．（20分）有一块长条形的纯净半导体硅，其横截面积为2.5 cm 2，通有电流2 mA 时，其内自由电子定向移动的平均速率为7.5×10－5 m ／s ，空穴定向移动的平均速率为2.5×10－5 m ／s ．已知硅的密度为2.4×103 kg ／m 3，原子量是28．电子的电荷量大小为e ＝1.6×10－19 C ．若一个硅原子至多只释放一个自由电子，试估算此半导体材料中平均多少个硅原子中才有一个硅原子释放出自由电子？阿伏伽德罗常数为N 0＝6.02×1023 mol －1．14．（20分）电子感应加速器利用变化的磁场来加速电子．电子绕平均半径为R 的环形轨道（轨道位于真空管道内）运动，磁感应强度方向与环形轨道平面垂直．电子被感应电场加速，感应电场的方向与环形轨道相切．电子电荷量为e ．（1）设电子做圆周运动的环形轨道上的磁感应强度大小的增加率为tB ∆∆，求在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力； （2）设环形轨道平面上的平均磁感应强度大小的增加率为t B ∆∆，试导出在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力与t B ∆∆的关系； （3）为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动，求tB ∆∆和t B ∆∆之间必须满足的定量关系．15．（20分）如图，导热性能良好的气缸A和B高度均为h（已除去活塞的厚度），横截面积不同，竖直浸没在温度为T0的恒温槽内，它们的底部由一细管连通（细管容积可忽略）．两气缸内各有一个活塞，质量分别为m A＝2m和m B＝m，活塞与气缸之间无摩擦，两活塞的下方为理想气体，上方为真空．当两活塞下方气体处于平衡状态时，两活塞底面相对于h．现保持恒温槽温度不变，在两活塞上面同时各缓慢加上同样大小的压力，让压力从零缓慢增加，气缸底的高度均为2直至其大小等于2mg（g为重力加速度）为止，并一直保持两活塞上的压力不变；系统再次达到平衡后，缓慢升高恒温槽h处．求的温度，对气体加热，直至气缸B中活塞底面恰好回到高度为（1）两个活塞的横截面积之比S A∶S B；（2）气缸内气体的最后的温度；（3）在加热气体的过程中，气体对活塞所做的总功．16．（20分）如示意图所示，一垂直放置的高为15.0 cm的圆柱形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点A点到容器底平面中心B点的距离为8.0 cm，底部上沿为一凸起的球冠，球心C点在A点正下方，球的半径为1.75 cm．已知空气和玻璃容器的折射率分别是n0＝1.0和n1＝1.56．只考虑近轴光线成像．已知：当λ＜＜1时，sinλ≈λ．（1）当容器内未装任何液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像的位置，并判断像的虚实；（2）当容器内装满折射率为1.30的液体时，求从B点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后所成像点的位置，并判断这个像的虚实．2015年第32届全国中学生物理竞赛预赛参考答案1．D 2．D 3．BD 4．A 5．C6．（10分）6 N （3分）；0.1（3分）；24 J （4分）7．（10分）（1）2∶1（3分）；8N （3分）（2）2∶3∶4（4分）8．（10分）()()x R R Mx M x R M S E S +=++322（6分）；R M M S E 313⎪⎪⎭⎫⎝⎛（4分）9．（10分）（1）（4分）（2）3.0（±0.1）（3分）；1.0（±0.1）（3分）10．（10分）()00λλλλ-hc （5分）；()0λλλλke Rhc -（5分）11．（20分）（1）mg F 21=（2）︒=60α12．（20分）v c ＝v 0；0212v v llg x +≥，v y ＝v c ＝v 013．（20分）()210v v +=S eN IM N n ρ 代入有关数据得 5101-⨯=Nn14．（20分）（1）t B eR F ∆∆=（2）t B eR F ∆∆=21（3）t Bt B ∆∆=∆∆2115．（20分）（1）S A ∶S B ＝2∶1（2）T ＝5T 0（3）W ＝4mgh16．（20分）（1）B点发出的光线通过平凸玻璃柱，在玻璃柱对称轴上所成的像点的位置在C点正上方9.75 cm处或在B点正上方16.0 cm处；实像（2）B点发出的光线通过平凸玻璃柱，第一次折射后所成的像点的位置在C点正下方26.25 cm处或在B点正下方20.0 cm 处；虚像。
第32届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题
第32届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题考生须知1、考生考试前务必认真阅读考生须知。
2、考试时间为3个小时。
3、试题从本页开始，共4页，含八道大题，总分为140分。
试题的每一页下面标出了该页的页码和试题的总页数。
请认真核对每一页的页码和总页数是否正确，每一页中是否有印刷不清楚的地方，发现问题请及时与监考老师联系。
4考生可以用发的草稿纸打草稿，但需要阅卷老师评阅的内容一定要写到答题纸上，阅卷老师评只评阅答题纸上的内容，写在草稿纸和本试题纸上的解答一律无效。
以下为试题本试卷解答过程中可能需要下列公式：1221ln x x x dx x x =⎰ ；C x xdx +=⎰2；1,2)1ln(2<<-≈+x x x x 当时 一、（15分）一根轻杆两端通过两根轻质弹簧A 和B 悬挂在天花板下，—物块D 通过轻质弹簧C 连在轻杆上。
A 、B 和C 的劲度系数分别为K 1、K 2和K 3．D 的质量为m 。
C 与轻杆的连接点到A 和B 的水平距离分别为a 和b ；整个系统的平衡时，轻杆接近水平，如图所示。
假设物块D 在竖直方向做微小振动，A 、B 始终可视为竖直，忽略空气阻力。
(1)求系统处于平衡位置时各弹簧相对于各自原长的伸长：(2)求物体D 上下微小振动的固有频率；(3)当a 和b 满足什么条件时，物块D 的固有频率最大。
并求出该固有频率的最大值．二，(20分)如图，轨道型电磁发射器是由两条平行固定长直刚性金属导轨、高功率电源、接触导电性能良好的电枢和发射体等构成。
电流从电流源输出，通过导轨、电枢和另一条导轨构成闭合回路，在空间中激发磁场。
载流电枢在安培力作用下加速，推动发射体前进。
已知电枢质量m s ，发射体质量为rn a ，导轨单位长度的电阻为'r R 。
导轨每增加单位长度整个回路的电感增加量为'r L ，电枢引入的电阻为s R 、电感为s L ；回路连线引入的电阻为c R 、电感为c L 。