高考物理母题解读(五)万有引力和航天1
高考物理 专题集锦(一)“万有引力与航天”命题分析
“万有引力与航天”命题分析“万有引力与航天”是牛顿运动定律和万有引力定律完美结合并应用于实际问题的典范。
在新课标高考中，基本上以选择题形式命题，难度偏高，主要考查学生的分析综合能力。
在一轮复习中，我们认为抓好以下几个基础性的问题,能够逐步提高难度与高考匹配。
一、“圆周运动”规律破解公转模型学以致用是课标主要的理念，所以围绕万有引力理论的成就命题理所应当。
具体思路为：(1)万有引力提供向心力，即2Mm G ma r =，2222;v a r r r T πω⎛⎫=== ⎪⎝⎭；（2）“黄金代换式”。
忽略自转，天体对其表面物体的万 有引力近似等于物体的重力，即2MmGmgR =得2GM gR =。
【例1】一行星绕恒星作圆周运动。
由天文观测可得，其运动周期为T ，速度为v 引力常量为G,下列表述不正确的是 （ ）A.恒星的质量为32v TG πB.行星的质量为2324v GT πC.行星运动的轨道半径为2vT πD.行星运动的加速度为2vTπ 【解析】由2R T v π=可得，2vTr π=，C 项正确;由22Mm v G m r r =,将r 代人可得32v T M G π=A 项正确; 由2v a r=可得2v a T π=，D 项正确;在万有引力提供向心力的表达式中,行星质量无法求出，B 项错误。
【答案】B【总结】“万冇引力”中的定量问题主要有网个方而。
一个针对中心天体，涉及的物理量有质量和密度。
如天体质量2gR M G =，天体密度34M gV GRρπ==;天体的质量324R M GT π= 天体的密度3233M r V GT R πρ==；若天体表面运行时，可认为轨进半径r 等于天体R,则天体密度23gGT ρ=(天体表面的重力加速度为g 和天休半径为R ，卫星绕天体做匀速圆周运动的周期为T 和半径为r)。
另一个就是围绕卫星或行星的运动量命题，可以定量，也可以定性分析比较等。
主要公式为：二、重力加速度"牵手”天地两物体【例1】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的商度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2。
高考物理总复习 5专题五 万有引力与航天 专题五 万有引力与航天(讲解部分)
,
而
M' r3
=
M R3
,而该处物体的重力在数值上等于该处的万有引力,则有
GMr3m R3r 2
=
mg‘,得GMm r=mg'。因此球体内距球心r处的重力随着r的增大成正比增加。
R3
例1 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0。假设地球是一半
径为R的质量分布均匀的球体,地球表面的重力加速度大小为g。试求:
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上,如图乙。
(3)四星模型 ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆 形轨道做匀速圆周运动,如图丙。 ②三颗恒星位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕 O点做匀速圆周运动,如图丁。
2.一些物理量的定性分析
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上 过A点和B点时速率分别为vA、vB。因在A点加速,则vA>v1,因在B点加速,则v 3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故无论从轨道Ⅰ还是轨
an=G M ,即an∝ 1
r2
r2
v= GM ,即v∝ 1
r
r
ω= GM ,即ω∝ 1
r3
r3
T= 4π 2r3 ,即T∝ r3
GM
2.人造地球卫星的轨道 由于万有引力提供向心力,因此所有人造地球卫星的轨道圆心都在地心上。 (1)赤道轨道:卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星轨道就是其中的一种。 (2)极地轨道:卫星的轨道过南北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气 象卫星轨道。 (3)其他轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道,轨道平面一定通过地球的球心。
高考物理一轮复习第五章万有引力与航天第1讲万有引力定律与天体运动课件
R2g0
( g0
g)T 4 2
2
,则ρ=
4
M R3
=
4
G R3=Leabharlann 3g04 RG= 3
GT
2
g0 ,B正确。
g0 g
3
3
栏目索引
2-2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度
为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和
地面处的重力加速度大小之比为 ( A )
二、万有引力定律在天体运动中的应用
1.基本思路
(1)万有引力提供向心力:即F万=F向
G Mr2m =m vr2 =mrω2=mr4 T22 =ma
(2)星球表面附近的物体所受重力近似等于万有引力
即mg=G MRm2 ,
由此可得:GM=① gR2 。
栏目索引
2.求中心天体的质量和密度
(1)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、轨道半径r,由万有
期与轨道半径时,可求得中心天体的质量,故要求得木星的质量,还需测 量卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径,D正确。
栏目索引
3.原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另
外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖。早在1996
年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编
R2
二、计算重力加速度
1.任意星球表面的重力加速度:在星球表面处,G Mm =mg,g= GM (R为星
R2
R2
球半径,M为星球质量)。
栏目索引
2.星球上空某一高度h处的重力加速度:
G (RMmh)2 =mg',g'= (RGMh)2
高考物理万有引力与航天专题训练答案及解析.docx
高考物理万有引力与航天专题训练答案及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的 6 倍，地球半径为R，地球视为均匀球体，两极的重力加速度为g，引力常量为G，求：（1）地球的质量；（2）地球同步卫星的线速度大小．【答案】 (1)gR2gR M(2)vG7【解析】【详解】（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则GMmR2解得mgM gR2；G（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的7 倍，即为7R，则GMm v22m7R7R而 GM gR2，解得gRv.72．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度.【答案】(1)v2(2)R 2hv0 2h【解析】本题考查竖直上抛运动和星球第一宇宙速度的计算．(1) 设该星球表面的重力加速度为g ′，物体做竖直上抛运动，则v022g h 解得，该星球表面的重力加速度g v022hv2(2) 卫星贴近星球表面运行，则mg mRR解得：星球上发射卫星的第一宇宙速度v g R v02h3．某双星系统中两个星体A、 B 的质量都是m，且 A、 B 相距 L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值 T0，且k (），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星体 C 的影响，并认为 C 位于双星 A、 B 的连线中点．求：(1)两个星体 A、 B 组成的双星系统周期理论值；(2)星体 C 的质量．【答案】（ 1）；（ 2）【解析】【详解】(1)两星的角速度相同 ,根据万有引力充当向心力知 :可得：两星绕连线的中点转动,则解得：(2) 因为 C 的存在 ,双星的向心力由两个力的合力提供,则再结合：k可解得：故本题答案是：（1）；（2）【点睛】本题是双星问题,要抓住双星系统的条件:角速度与周期相同,再由万有引力充当向心力进行列式计算即可 .4．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。
备战2023年高考物理母题题源解密(全国通用)：万有引力与航天(解析版)
专题05万有引力与航天【母题来源一】2022年高考全国卷【母题题文】（2022·全国乙卷·T14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km 的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。
通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（）A.所受地球引力的大小近似为零B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小【答案】C【解析】ABC ．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C 正确，AB 错误；D ．根据万有引力公式2MmF Gr 万可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D 错误。
故选C 。
【母题来源二】2022年高考湖北卷【母题题文】(2022·湖北·T2)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。
下列说法正确的是（）A.组合体中的货物处于超重状态B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小【答案】C【解析】【详解】A ．组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A 错误；B ．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B 错误；C ．已知同步卫星的周期为24h ，则根据角速度和周期的关系有2T由于T 同>T 组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C 正确；D ．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有2224Mm G m r r T整理有2T由于T 同>T 组合体，则r 同>r 组合体，且同步卫星和组合体在天上有2Mm ma Gr 则有a 同<a 组合体D 错误。
专题05 万有引力与航天—高考物理母题题源解密(解析版)
专题05 万有引力与航天【母题来源一】2021年高考全国卷【母题题文】（2021·全国高考真题）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s 的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m 。
已知火星半径约为3.4×106m ，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s 2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）A ．6×105mB ．6×106mC ．6×107mD ．6×108m【答案】 C【解析】忽略火星自转则2GMm mg R =① 可知2GM gR =设与为1.8×105s 的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r ，由万引力提供向心力可知 2224GMm m r r Tπ=② 设近火点到火星中心为11R R d =+③设远火点到火星中心为22R R d =+④由开普勒第三定律可知31222()32R R r T T +=⑤ 由以上分析可得72610m d ≈⨯故选C 。
【母题来源二】2021年高考河北卷【母题题文】（2021·河北高考真题）“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（ ）ABCD【答案】 D【解析】绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得2224GMmm R RT 则T=R由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径R =飞同则R R 飞同 故选D 。
【母题来源三】2021年高考全国卷【母题题文】（2021·全国高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。
高考物理万有引力与航天试题(有答案和解析)
高考物理万有引力与航天试题(有答案和解析)一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．(1)求卫星B 的运行周期．(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)32()2B R h T gR +=23()t gR R h ω=-+ 【解析】 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式得()()2224B MmGm R h T R h π=++①，2Mm G mg R =②联立①②解得：()322B R h T R g+=（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()23B gR R h ω=+代入④得()203t R gR h ω=-+2．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求：(1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期．【答案】（1） R=m M M +L, r=m M m+L,（2）2π()3L G M m +【解析】（1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：2222244mM G mR Mr L T Tππ==可得 RMr m＝，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m =+,mr L M m=+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM MG m R m L L T T M m ππ==⋅+则：()()23342L L T M m GG m M ππ==++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．3．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v ；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T ． 【答案】(1)02tan v t α；(2)03tan 2v GRt απ；02tanav R t；(4)02tan Rt v α【解析】 【分析】 【详解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：20012tan α2gt y gt x v t v ===解得该星球表面的重力加速度：02tan αv g t=(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：2GMmmg R= 则该星球的质量：GgR M 2= 该星球的密度：33tan α34423v M gGR GRt R ρπππ===(3)根据万有引力提供向心力得：22Mm v G m R R= 该星球的第一宙速度为：v ===(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:2RT vπ=所以：22T π==点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．4．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的周期为T ．【答案】234()h R l Tgπ+=【解析】 【分析】 【详解】设卫星周期为1T ,那么:22214()()Mm m R h G R h T π+=+, ① 又2MmGmg R=, ② 由①②得312()h R T R gπ+=. 设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则12Tl R T π⋅=. 所以23124()RT h R l T Tgππ+==. 【点睛】摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．5．我国预计于2022年建成自己的空间站。
高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题及解析
高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2．根据题意有w1=w2 ① （1分）r1+r2=r ② （1分）根据万有引力定律和牛顿定律，有G③ （3分）G④ （3分）联立以上各式解得⑤ （2分）根据解速度与周期的关系知⑥ （2分）联立③⑤⑥式解得（3分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：(1)月球表面的重力加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.【答案】(1)02v t ；(2)202R v Gt ；(3)022Rt v π【解析】 【详解】(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02v t g =月月球表面的重力加速度大小02v g t=月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有 2=MmG mg R月 月球的质量202R v M Gt=(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有222Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期22RtT v π=3．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。
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高考物理母题解读(五)万有引力和航天1
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考母题解读
高考题千变万化，但万变不离其宗。
千变万化的新颖高考题都可以看作是由母题衍生而来。
研究高考母题，掌握母题解法规律，使学生触类旁通，举一反三，可使学生从题海中跳出来，轻松备考，事半功倍。
母题1、万有引力定律 【解法归纳】
1. 万有引力定律揭示了自然界中一切物体之间普遍存在的一种相互作用，解释了重力产生的原因和天体运动的原因。
2. 在地面附近，若不考虑地球自转，地球对物体的万有引力等于物体重力，G 2Mm
R
=mg ，重力加速度g=GM/R 2。
若测得地面附近的重力加速度和地球半径R ，可得地球质量M=gR 2/G.。
.
典例：（2012·新课标理综）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。
一矿井深度为d 。
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A.R d -
1 B. R d +1 C. 2)(R d R - D. 2
)(d
R R -
【针对训练题精选解析】
1.（2012·福建理综）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。
假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,，则这颗行星的质量为
A ．mv 2/GN
B ．mv 4/GN ．
C ． Nv 2/Gm ．
D ．Nv 4/Gm .
2. （2012年开封二模）“奋进”号宇航员斯蒂法尼斯海恩•派帕在2008年11月18日进行太空行走时，丢失了一个工具包，关于工具包丢失的原因可能是
3. A. 宇航员松开了拿工具包的手，在万有引力作用下工具包“掉”了下去
4. B. 宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化
5. C. 工具包太重，因此宇航员一松手，工具包就“掉”了下去
6. D. 由于惯性，工具包做直线运动而离开了圆轨道
2.答案：B解析：宇航员太空行走时宇航员和工具包都处于完全失重状态，二者相对静止。
工具包丢失的原因可能是宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包，使其速度发生了变化，选项B正确。
3．（2012湖南2月联考）有密度相同的两颗行星A和B，已知A星的表面重力加速度是B星表面重力加速度的2倍（忽略行星自转的影响），则下列说法正确的是（）A．两行星A、B的质量之比为8∶1
B．两行星A、B的半径之比为2∶1
C．两行星A、B的第一宇宙速度之比为1∶2
D．两行星A、B的第一宇宙速度之比为2∶1
4．（2012年2月济南检测）如右图所示，从地面上A 点发射一枚远程弹道导弹，假设导弹仅在地球引力作用下，沿ACB 椭圆轨道飞行击中地面目标B ，C 为轨道的远地点，距地面高度为h 。
已知地球半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G 。
则下列结论正确的是A ．导弹在C 点的速度大于
)
(h R GM +
B ．导弹在
C 点的速度等于 ()3h R GM +C ．导弹在C 点的加速度等于2)(h R GM
+
D ．导弹在C 点的加速度大于
2
)(h R GM
+
地球半径 R=6400km 月球半径
r=1740km 地球表面重力加速度 g 0=9.80m/s 2 月球表面重力加速度 g ′=1.56m/s 2 月球绕地球转动的线速度
v=1km/s
A
B R
C h 地球 M
5．（2013年3月吉林二模）某同学在学习中记录了一些与
地球、月球有关的数据资料如表中
所示，利用这些数据来计算地球表
面与月球表面之间的距离s，则下列运算公式中正确的是
A．c
t
2
B．
vT
2π－
R－r
C．
v2
g′－R－r
D．
3g
R2T2
4π2
－R－r
6．（2010上海物理）如图，三个质点a、b、c质量分别为
m
1
、m2、M（M >> m1，M >> m2）.在C的万有引力作用下，a、b
在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之
比r a:r b=1:4,则它们的周期之比T a:T b=______;从图示位置开
始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
月球绕地球转动周期T=27.3天
光速c=2.998×105km
/s
用激光器向月球表面发射激光光束，经
过约t=2.565s接收到从月球表面反射
回来的激光信号
【解析】根据r T m r 22
24Mm G π=，得GM
r T 3
24π=
,所以T a :T b =3a r :3b r =1:8。
在b 运动一周的过程中，a 运动8周，所以a 、b 、c 共线了8次。
【答案】1:8 8
【点评】此题考查万有引力定律、匀速圆周运动和圆周运动中的追击相遇问题。
7. （2008·海南物理）一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为 . 答案：9∶2
解析：由万有引力定律，F 1=G 211r m M ，F 2=G 22
2r m
M ，又F 1∶ F 2=4∶1，M 1∶M 2=81∶1．联立解得r 1∶r 2=9∶2．
8.（2012·全国理综）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k 。
设地球的半径为R 。
假定地球的密度均匀。
已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d 。
9.（2009·全国理综2）如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。
如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。
重力加速度在原坚直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。
为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象。
已知引力常数为G 。
（1） 设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常
（2） 若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变
化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
解析：.（21分）
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。
因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力 g m r Mm
G
∆=2
① 来计算，式中m 是Q 点处某质点的质量，M 是填充后球形区域的质量，
M=ρV ② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离 22x d r += ③
g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。
Q
点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常'g ∆是这一改变在竖直方向上的投影 g r
d
g ∆=
∆' ④ 联立①②③④式得 2
/322)('x d Vd
G g +=
∆ρ ⑤
9.（2012年3月福建福州质检）在福建省科技馆中，有一个模拟万有引力的装置。
在如图1所示的类似锥形漏斗固定的容器中，有两个小球在该容器表面上绕漏斗中心轴做水平圆周运动，其运行能形象地模拟了太阳系中星球围绕太阳
的运行。
图2为示意图，图3为其模拟的太阳系运行图。
图2中离中心轴的距离相当于行星离太阳的距离。
（1）在图3中，设行星A1和B2离太阳距离分别为r1和r2，求A1和B2运行速度大小之比。
（2）在图2中，若质量为m的A球速度大小为v，在距离中心轴为x1的轨道面上旋转，由于受到微小的摩擦阻力，A球绕轴旋转同时缓慢落向漏斗中心。
当其运动到距离中心轴为x2的轨道面时，两轨道面之间的高度差为H。
求此过程中A球克服摩擦阻力所做的功。