微积分初步
微积分入门(精华)
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt
(axb)
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
o
a
x xxb x
30
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
0
0
解 令 f(x)exx, x[2,0]
f(x ) 0 , 02(exx)dx 0,
0 exdx
0
xdx,
2
2
于是
2exdx
2
xdx.
0
0
可以直接作出答案
21
性质5的推论：
（1）如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则 a b f( x ) d x a b g ( x ) d .x ( a b )
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i1
i1
i 1
14
n
i1
i n
2
1 n
1
n3
n
i2
i 1
n 13n(n1)62 (n1)
161n12n1, x0n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
15
五、定积分 的性质
16
A if(i) xi
4
曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
当 分 割 无 限 加 细 ,记 小 区 间 的 最 大 长 度 或 者 (x)
高中数学微积分初步
高中数学微积分初步微积分是数学的重要分支之一，它研究函数的变化和量的积累规律。
在高中阶段，微积分作为数学课程的一部分，旨在帮助学生理解和掌握微积分的基本概念和方法。
本文将介绍高中数学微积分初步的内容，包括导数、积分和微分方程。
1. 导数导数是微积分中的基本概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们学习了函数的导数可以通过极限的方法进行求解。
对于函数 f(x)，在某一点 x0 处的导数可以表示为 f'(x0)，也可以写作dy/dx| x=x0 或者 y'。
导数的计算有基本的求导法则，包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则。
通过运用这些法则，我们可以求解各种基本函数的导数。
2. 积分积分是导数的逆运算，用于求解函数的面积、体积、重心等相关问题。
在高中数学中，我们学习了定积分和不定积分两种形式。
定积分表示函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，通常记作∫[a,b] f(x) dx。
计算定积分的方法包括划分区间、选择代表点、确定和的方法等。
不定积分表示对函数 f(x) 的原函数进行求解。
通常记作∫f(x) dx + C，其中 C 为常数。
求解不定积分的方法是应用积分的基本公式和换元法等。
3. 微分方程微分方程是描述函数关系中变化率的方程。
在高中数学微积分初步中，我们主要学习了一阶线性微分方程和二阶线性常系数齐次微分方程。
一阶线性微分方程的一般形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x)。
通过应用积分因子和求解等式，我们可以得到该微分方程的解析解。
二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为 d2y/dx^2 + p(x) dy/dx +q(x) y = 0。
通过假设 y=e^(rx) 且代入微分方程，我们可以求解方程中的常数 r，并得到微分方程的通解。
综上所述，高中数学微积分初步涵盖了导数、积分和微分方程三个主要内容。
通过学习这些基本概念和方法，我们可以深入理解函数的变化规律和量的积累规律，为深入研究微积分打下坚实的基础。
微积分入门
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b
x b 所围成.
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示，
在区间 [a , b]内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间 [a , b] 分成 n y 个小区间 [ xi 1 , xi ]，
长度为 xi xi xi 1 ;
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2 t i t i t i 1
部分路程值
si v ( i )t i
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上的定积分存在时， [
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
b
b
b
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
b c
c
则
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
高一数学中的微积分初步怎么理解
高一数学中的微积分初步怎么理解在高一数学的学习中，微积分初步是一个重要且具有挑战性的部分。
对于很多同学来说，初次接触微积分可能会感到有些困惑和迷茫，但只要我们深入理解其基本概念和原理，就能逐渐揭开它神秘的面纱。
微积分主要包括微分和积分两个部分。
微分研究的是函数的变化率，而积分则是研究函数在某个区间上的累积效果。
让我们先从微分开始说起。
想象一下，你正在开车，速度表显示的就是汽车在每一时刻的瞬时速度。
而这个瞬时速度，就是通过微分的概念来描述的。
比如说，一辆车的位置随时间变化的函数是 s(t) ，那么它在某一时刻 t 的瞬时速度v(t) ，就等于 s(t) 对 t 的导数。
导数，就是微分学中的一个核心概念。
那什么是导数呢？简单来说，导数就是函数在某一点的变化率。
我们通过极限的思想来计算导数。
假设函数 y ＝ f(x) ，在点 x₀处的导数f'（x₀) ，就等于当自变量 x 的增量Δx 趋近于 0 时，函数的增量Δy 与Δx 的比值的极限。
为了更好地理解导数，我们来看一个具体的例子。
比如函数 f(x) ＝x²，它在 x ＝ 2 处的导数怎么求呢？首先，计算函数的增量Δy ＝ f(2＋Δx) f(2) ＝（2 ＋Δx)² 2² ＝ 4 ＋4Δx ＋（Δx)² 4 ＝4Δx ＋（Δx)² 。
然后，计算增量的比值Δy/Δx ＝ 4 ＋Δx 。
当Δx 趋近于 0 时，这个比值的极限就是 4 ，所以 f(x) ＝ x²在 x ＝ 2 处的导数就是 4 。
导数在实际生活中有很多应用。
比如，在物理学中，位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度；在经济学中，成本函数的导数是边际成本，收益函数的导数是边际收益。
说完微分，我们再来看看积分。
积分可以看作是微分的逆运算。
如果说微分是求变化率，那么积分就是求总量。
比如，已知一个物体的速度函数v(t) ，要求它在一段时间内的位移，就需要对速度函数进行积分。
微积分初步
微积分的意义： 为数学和科学的 发展奠定了基础， 促进了现代科技 的进步
微积分的未来： 随着科技的发展， 微积分的应用将 更加广泛和深入
微积分的应用
物理学：微积分用于解决物理问题，如速度、加速度、动量等 经济学：微积分用于研究经济学中的边际分析和最优化问题 工程学：微积分用于解决工程设计和分析中的问题，如流体动力学、结构分析等 计算机科学：微积分用于算法设计和优化，以及计算机图形学中的渲染和动画制作
在经济中的应用
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化趋势和规律，如边际分析、弹性分析等。
微积分在经济预测中用于建立数学模型，如回归分析、时间序列分析等。 微积分在金融领域中用于评估风险和回报，如投资组合优化、期权定价等。
微积分在生产管理中用于优化生产过程和提高效率，如生产计划、质量控制等。
计算最优设计 预测结构稳定性 优化施工方案 确定材料强度
证明：牛顿-莱布尼茨定理的证明可以通过不定积分和定积分的定义以及微积分基本定理来完成。
洛必达法则
定义：洛必达 法则是微积分 中的一个重要 定理，用于研 究函数的极限
应用场景：在 求解不定积分、 求极限等问题 中有着广泛的
应用
使用条件：在使 用洛必达法则之 前，需要满足一 定的条件，如分 子分母的导数存 在且分母不为零
学习微积分的途径和方法
参加线上课程
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参加学术研讨会
寻求导师或专业人士的指导
学习微积分的难点和注意事项
理解极限概念：极限是微积分的基础，需要深入理解极限的概念及其性质。
掌握微分与积分的计算方法：微积分包括微分和积分两个部分，需要掌握它们的计算方法和技巧。
理解连续性和可微性：连续性和可微性是微积分中的重要概念，需要理解它们的定义和性质。
微积分初级
微积分初级
微积分是数学中的一个重要分支，主要包括微分学和积分学两部分。
微积分的初级阶段主要涉及函数、极限、导数和积分等基本概念和方法。
在微积分的初级阶段，学习者将首先学习函数的概念，包括函数的定义、表示法、定义域和值域等。
函数是微积分的基础，因为微积分中的许多概念和方法都是基于函数的研究。
极限是微积分中的一个关键概念，它用于描述函数在某一点附近的行为。
学习者将学习极限的定义、性质以及如何计算极限。
导数是微积分中的另一个重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
学习者将学习导数的定义、计算方法以及导数的应用，如求函数的极值和拐点等。
积分学是微积分的另一个主要部分，它用于求函数在某个区间上的面积。
学习者将学习积分的定义、计算方法以及积分的应用，如求不规则图形的面积和体积等。
在微积分的初级阶段，学习者还将学习一些基本的微积分技巧和方法，如链式法则、部分分式分解和换元积分法等。
微积分是一门重要的数学学科，它在科学、工程、经济等领域中有广泛的应用。
通过学习微积分的初级阶段，学习者将为进一步学习高等数学和其他相关学科打下坚实的基础。
第五讲 微积分初步自主招生
第五讲 微积分初步【知识拓展】一．导数的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--（*）存在，则称函数f 在点0x 可导，并称其极限值为函数f 在0x 的导数，记作0'()f x 。
若令000,()()x x x y f x x f x =+∆∆=+∆-，则（*）式可改写为0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 0'()f x =。
二．导数的几何意义：函数f 在点0x 的导数0'()f x 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率。
若α表示这个切线与x 轴正向的夹角，则0'()tan f x α=。
三．基本求导法则：①()'''u v u v ±=±； ②()'''uv u v uv =+，()''cu cu =（c 为常数）； ③22''1'','u u v uv v v v v v -⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ④反函数导数 1dy dx dx dy=； ⑤复合函数导数 dy dy du dx du dx=⋅。
四．基本初等函数导数公式①()'0c =（c 为常数）； ②1()'aa x ax-=（a 为任何实数）；③(sin )'cos x x =，(cos )'sin x x =-， 2(tan )'sec x x =，2(cot )'csc x x =-， (sec )'sec tan x x x =，(csc )'csc cot x x x =-；④(arcsin )'(arccos )'|1)x x x =-=<，21(arctan )'(cot )'1x arc x x =-=+； ⑤()'ln ,()'xxxxa a a e e ==；⑥11(log )',(ln )'ln a x x x a x==。
微积分初步重难点
《微积分初步》重难点
一、函数、极限与连续
（一）重要知识点
1．函数
常量与变量，函数概念，复合函数，初等函数，分段函数。
2．极限 极限的定义，极限的四则运算和1sin lim 0=→x
x x 。
3．连续函数
连续函数的定义和四则运算，间断点。
二. 导数与微分
（一）重要知识点
1．导数
导数定义，导数的几何意义。
2．导数公式与求导法则
导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法，二阶导数的概念及简单二阶导数的计算
（二）难点
1．微分的定义与计算（难点内容）
三、导数应用
（一）重要知识点
1．函数单调性及判别
2．函数的极值和最大（小）值概念及求法
3．导数在实际问题中的应用
（二）难点
1．导数在实际问题中的应用
四. 不定积分与定积分
(一)重要知识点
1．原函数与不定积分
原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2．定积分
定积分的概念（N-L 公式）、性质，第一换元积分法和分部积分法。
3．广义积分（简单的无穷限积分）概念和计算
（二）难点
1．求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
五、积分应用
(一)重要知识点
1．定积分在几何上的应用。
2．微分方程的基本概念。
3．求解可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程。
（二）难点
1．定积分在几何上的应用。
2．3．求解可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程。
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y f ( x)，得 y f ( x) x x 令dy f ( x)x ，称它为函数f(x)的微分。并记 dx x
，
则
dy f ( x)dx
例1 求函数y 1 2 x3 的微分 解
dy f ( x)dx (1 2x 3 )dx 6x 2 dx
f ( x) lim y 1 1 lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x
(
一般地，可以证明幂函数 是任意实数）的导数公式为
yx
( x ) ' nx
(1)
1
(2)
2 1 2 2 3 y 2 x y ( x ) 2 x 3 x x 1 1 1 1 1 1 2 y ( x 2 ) x 2 y xx 2 2 x
1、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0 （2）( x ( 3)
2、熟记运算法则
) x 1 (sin x) cos x
x
x
1. A(u ) ' Au ' 2.(u v) ' u ' v ' 3.(uv) ' u ' v uv ' u u ' v uv ' 4.( ) ' 2 v v
需要注意： (1)微分的意义 由于 dy f ( x)dx y ，说明可以用微分求函数的 改变量，即 y dy
这里
x
越小近似程度越好。
(2)微分的思想 如下图所示：MT是y=f(x)在M点的切线
y
f ( x) tan, NP y, NT f ( x)x dy
《Hale Waihona Puke 积分初步》导数可应用于求各种变化率，如求变速直线 运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边 际等问题。
介绍微分的概念及应用。 介绍积分的概念及应用。
1、导数的定义：
lim
导数的计算
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim . x 0 x 0 ( x0 x) x0 x x
解
1 （1）d ( x 2 ) xdx 2 1 (3)d ( e 2 x ) e 2 x dx 2 2 (2)d ( x 2 ) x dx 3 (4)d ( cos x) sin xdx
3
说明：由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内 容，通过求原函数可求不定积分。
微分的近似计算
例2 在下面的括号中以适当的函数填空：
（ 1）d ( (3)d ( ) xdx ) e 2 x dx (2)d ( (4)d ( ) xdx ) sin xdx
分析 例1求微分是通过求 y 求dy， 即dy y dx 这里对照 dy y dx ，则是其逆运算，已知 y 求原 来的函数。方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类 似的求导公式，然后猜察反推和多次试算。
(3) 微分的计算 由于 dy y dx ，因此，“求微分就是求导数”． （并且在存在的情况下，可微与可导等价）。 于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式 与法则，如下表 微分基本公式（略） 微分四则运算法则 设u、v是x的可导函数，则
d (u v ) d u d v d (u v) vd u u d v u vd u u d v d( ) v v2
X1
X2
X3 X4
b
x
在函数取得极值处,如果 曲线有切线的话,则切线 是水平的,从而有 f ( x0 ) 0 . 但反过来不一定.如函数 y=x3,在x=0处,曲线的切 线是水平的,但这点的函 数值既不比它附近的点的 函数值大,也不比它附近 的点的函数值小.
二阶导数的应用
曲线凹凸区间的判定 直观看曲线“往上弯” 为凹，每点切线在曲 线下方；曲线“往下 0 弯”为凸，每点切线 在曲线上方。
说明 求函数极值的方法与步骤：
①求
f ( x) 。
f ( x)
②令 f ( x) 0 ，求一阶驻点。
③分区间讨论
的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。 ④将极值点代入f(x)算出极值。
函数的极值:
请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个 函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大 值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
f ( x) 0的地方， f ( x)凹； 曲线上凹凸的分界 f ( x) 0的地方， f ( x)凸。 点叫做曲线的拐点。
例1：求下列函数的导数并画出函数的大致图像：
e 1 (1) y x e 1
x
x cos x (2) y x sin x
(3) y x sin x; x [0, ]
3 函数 y f ( x) x ,
2
1 4 函数 y f ( x) , x
y lim lim (2 x x) 2 x. 的导数 f ( x) x 0 x x 0 y 1 1 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x
y f ( x) lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0
1 y f ( x ) , 的导数 4、 函数 x 1 1 解： y f ( x x) f ( x) x x x 1 ， x x x x ( x x )
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
函数f ( x) kx的导函数为：f '( x) (kx) ' k.
y
y
y=f(x)
1
2 2
y=f(x)
1
a a图
b
x
0
a b图
b
x
进一步观察曲线凹凸性与切线的关系
a图曲线是凹的,切线的倾斜角 为锐角，且由小变大， tan 是递增的，则表明 f ( x) 0
有 f ( x) t an 递增，反之亦然。这就得到
f ( x) 0
有f(x)凹；(b）图同理有 f ( x) 0 ，f(x)凸。
由 y dy，即f ( x0 x) f ( x)
f ( x)x
得到近似公式：
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图 象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？
y
函数f ( x) kx的导函数为：
O
x
f '( x) (kx)' k
2 3、 函数 y f ( x) x , 的导数
解：
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 2 x x (x) 2 2 x x， x x x x
y=f(x)
P T N x
微分 dy y ，当 x 较小时，
M
0 x X+△X 可用直线MT来近似曲线MP （或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。
可见，“以直代曲”是微分的一个基本思想。 于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为 “无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微 小的一部分”。
y 0 （2） 算比值： x
（3）取极限：y
这就是说，常数的导数等于零 2 、求函数 y x 的导数。
解：
y lim 0 x 0 x
y f ( x x) f ( x) x x x 1, x x x y y lim lim 1 1. x 0 x x 0
（4）试证当x>0时，有 x
1 x
ln(1 x) x
微分：导数的代数应用
如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹 凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分”则 主要是导数在代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函 数的近似计算——如何求一个函数的改变量 y ？ 微分的概念及思想 y lim 设函数y=f(x)的导数存在，即 x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，即 f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim . x 0 x
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y
f ( x x) f ( x)
y f ( x x) f ( x) 2.算比值： x x y f ( x x) f ( x) lim 3.取极限： y lim x 0 x x 0 x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。 解：（1）求增量： y f ( x x) f ( x) c c 0