随机过程第一章(下)汇总
随机过程（北航著）北京航空航天大学出版社第1章习题课后答案
第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。
（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。
也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。
图题1－2画出了它的样本函数。
试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。
解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程_第一章
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：
(4) P(F) 0;
(5) 若A, B F , A B, 则P( B A) P( B) P( A), 且P( B) P( A)
FY ( y ) P(Y y ) P( X , Y y ) F (, y )
分别称FX(x)和FY(y)为 F ( x, y ) 关于X和关于Y的 边缘分布函数。
离散型随机变量（X，Y）边缘分布律计算如下
P( X xi ) pi pij
, i 1,2,
设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有
P( X x, Y y) P(( X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)
则称X，Y为相互独立的随机变量。
若X，Y为相互独立随机变量，则有
F ( x, y ) FX ( x) FY ( y ) f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅 当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此 一个事件实际上对应于的一个确定的子集。 事件的概率论运算 Ω子集的集合论运算。
样本空间 W 也是一个事件， 称 W 为必然事件，
空集 F 称为不可能事件。
注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、 差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。
定义1.5 设（ Ω ，F，P）是概率空间，X=X(e) ＝（X1(e),…,Xn(e)）是定义在Ω上的n维空间Rn中 取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,…,xn) ∈Rn， {e:X1(e) ≤x1,…,Xn(e) ≤xn} ∈F，则称X=X(e)为n维 随机变量。称
随机过程讲义 第一章
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
随机过程第一章
连续型随机变量
n维随机变量及其概率分布：
定义：
n维联合分布函数F(x1, x2, , xn)的性质:
随机变量的独立性
若{Xt , t T}是一族离散型随机变量，则独立性等价于
若{Xt , t T}是一族连续型随机变量，则独立性等价于
随机变量的数字特征
数学期望与方差
离散型随机变量的数学期望、方差
连续型随机变量的数学期望、方差
定理
定义
数学期望和方差的性质（6个）
特征函数定义：
离散情形与连续情形下的特征函数常见分布的特征函数（4个）
性质（7个）例题1,2
母函数定义
性质（4个）
拉普拉斯变换定义：
逆转公式与唯一性定理（3个）
四个例性
n 维正态分布定义：
n维正态分布具有如下重要性质：（4个）条件数学期望
条件数学期望性质（5个）
全数学期望公式
常用全数学期望公式
若Y是离散型随机变量：
设某段时间内到达商场的顾客人数N服从参数为λ的泊松分布.每位顾客在该商场的消费额X 服从[a, b]上的均匀分布.各位顾客之间消费是相互独立的且与N 独立.求顾客在该商场总的平均消费额.
已知随机变量X服从[0, a]上的均匀分布,随机变量Y 服从[X, a] 上的均匀分布, 试求。
随机过程-第一章__概率预备知识
概率空间
(1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 n 1 An∈F , 那么F 称为ς-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中 的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) υ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; n n (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 i 1 Ai, i 1 Ai, i 1 Ai∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(· )是定义在F 上的实值 函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;
y1
yn
n维随机变量及其概率分布
率密度. 定义1.6 设{Xt,t∈T}是一族随机变量,若对任意的n≥2, t1,t2,…,tn∈T, x1,x2,…,xn∈R, 有 n P( X t≤x1, X t≤x2,…, X t≤xn)= i 1 P( X t xi ) 1 2 n 则称{Xt,t∈T}是独立的. • 若{Xt,t∈T}是一族独立的离散型随机变量, 则上式等 n 价于P( X t1 =x1, X t2 =x2,…, X t n=xn)= i 1 P( X t xi ) ; 若{Xt,t∈T}是一族独立的连续型随机变量, 则上式等 n 价于 f t1 ,t2 ,,tn(x1,x2,…,xn)= i 1 f t ( xi ), 其中 f t1 ,t2 ,,tn 1, (x x2,…,xn)是随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度且 f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度,i=1,2,…,n. • 独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根 据经验或具体情况来决定的.
n维随机变量及其概率分布
是右连续函数; (3)对于Rn中的任意区域(a1,b1;…;an,bn),其中ai≤bi, i=1,2,…,n, 成立 n F(b1,b2,…,bn)- i 1 F(b1,…,bi-1,ai,bi+1,…,bn)
中南大学随机过程第一章
• 随机试验、样本空间、随机事件体、 概率、概率空间、概率的性质
2019/10/29
胡朝明
53－1
本讲主要内容
概率空间
• 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全 概率公式与贝叶斯公式
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
0,
x0
则称R.V.X服从参数为（>0）的k阶爱尔朗分布，记为X～Ek，其分布函 数为
F(x)1exki01(ix!)i, x0
0,
x0
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胡朝明
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六、二维随机变量
如果X和Y是定义在同一概率空间(Ω,F,P)上的 两个随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量，记 为二维R.V.(X,Y)。
2,…,n，则对任意事件Ai 1，有
1. 全概率公式：
n
P(A) P(Bi)P(A|Bi)； i1
2. 贝叶斯公式：
2019/10/29
P(Bj |A)
P(Bj)P(A|Bj)
n
，
P(Bi)P(A|Bi)
i1
j=1,2,…n。
胡朝明
53－7
§1.2 随机变量及其分布
一、随机变量
设(Ω,F,P)为概率空间，如果定义样本空间Ω上 的一个单值实函数X＝X()，Ω，满足
2) P{X1}1e－ xd x1e－ 1
12
2
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胡朝明
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五、常见的随机变量及其分布
1. <0－1>分布(两点分布)
如果R.V.X的分布律为：
X0 1
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随机过程
有限维分布函数族 相容性 对称性
Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫）
设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数 族F，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随 机过程{X(t),t∈T}，它的有限维分布函数族是F。
数字特征
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，E[X(t)] 存在，则称函数
对于一个固定的时刻t, Xt是一个随机变量
我们必须对一些随机现象的变化过程进行研 究，必须考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，
我们必须用一族随机变量才能刻画这种随机现象 的全部统计规律。我们通常将这族随机变量称为 随机过程。
定义1
设E是随机实验，Ω={ e }是样本空间，T是给 定的参数集，若对每个固定的时刻t∈T，X(t,e) 或者X(t)都是一个随机变量，则称随机变量族 {X(t,e),t ∈T}是一个随机过程。简记为X(t)。
n维概率密度函数为:
有限维分布函数的性质
对称性
对于{t1,t2, …,tn}的任意排列 {ti1 , ti2 ,, tin }
Ft1,,tn ( x1, x2 ,, xn ) Fti1 ,,tin ( xti1 ,, xtin )
相容性
当m<n时，
Ft1,,tm (x1, x2 ,, xm ) Ft1,,tm ,,tn (x1, x2 ,, xm , ,, )
第一章 随机过程的概念与基本类型
随机过程的定义和统计描述 随机过程分布律和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型
自然界事物的变化过程分为两大类： （1）具有确定形式的过程，可以用一个时间t的确定 函数来描述。 （2）另外一种过程没有确定的变化形式，不能用一 个时间 t的确定函数来描述。
例如：液面上的质点的运动。用{x(t),y(t)}表示t时 刻该质点在液面上的坐标。
③对于固定的e 和t， X(t,e)是一个标量，它表示 时刻t所处的状态。X(t )所有可能的状态构成的集 合称为状态空间;
④当t和e都是变量时， X(t,e)是一个随机变量族 或者时间函数族(称为随机过程）。
判断以下现象是否是一个随机过程？ （1）示波器产生的余弦波X(t)=acos(wt+B), 其中，a,w为常量，B为初始相位，并为（0， 2π）上均匀分布的随机变量。
在第Wi次试验中测量获得的噪声电压X(t)是一个样 本函数
定义2
设E是随机实验， Ω ={ e }是样本空间，对于每 一个样本e，总可以以某种规则确定一个时间函 数X(t,e) (称为样本函数或者轨道），t ∈T，则 对于所有的e ∈ Ω ，就得到一个函数的集合， 称此集合为随机过程，简记为X(t)
天气预报问题
每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于 确定的一天（假设t=1，代表第一天），天气 状况是一个离散型的随机变量，记为Zt，所以， 每天的天气状况{Zt ，t=1,2,3…}是一个随机 过程。
对于一个固定的时刻t, Zt是一个随机变量
电阻的噪声电压 对于一个固定的时刻t,电阻的噪声电压X(t)是一 个随机变量， X(t)是随时间变化的， 所以噪声电 压{X(t)， t ∈[0,∞)}是一个随机过程。
Ft1,,tn (x1, x2 ,, xn ) P{X (t1) x1, X (tn ) xn}
称为随机过程X(t)的n维分布函数.
这些分布函数的全体 F {Ft1,tn (x1, x2 , xn ),t1, t2 ,, tn T , n 1} 称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数族。
随机变量
在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先 未知，但为确定的数值。 在实际应用中，我们经常要涉及到在随机试验过 程中随时间t而改变的随机变量。此时，这种随 机现象是个“过程”。
随机过程也是有规律的，如何描述一个随机过程？
随机过程 电话交换台接入呼叫次数问题
某电话交换台在一定时间段内[ 0，t ]内接到的呼 叫次数是与t有关的随机变量，记为Z(t)；对于固 定的时刻t， Z(t)是一个取非负整数的随机变量， 故 {Z(t), t ∈[0,∞)}是一个随机过程。 对于一个固定的时刻t,Z(t)是一个随机变量。
在时间上离散， 状态上离散
离散型随机序列
有限个随机变量 随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
随机过程的一维分布函数：
提示:
随机过程的二维分布函数：
1 F (x1, x2 ; 2 ,1)
有限个随机变量
随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量(X(t1),X(t2), …,X(tn))的n维联合分布函 数为:
w1 X (t) w2 X (t) w3 X (t)
wk X (t)
wn X (t)
t1
t2
随机过程{X(t,e),t ∈T}可以认为是定义在T× Ω上 的一个二元函数。
①对固定的t，X(t,e)是一个随机变量;
②对固定的e， X(t,e)是随机过程{X(t,e),t ∈T} 的一个样本函数（轨道）。即定义在T上的普通 函数;
为XT的协方差函数(混合中心矩)，反映随机过程在时 刻t和s时的状态起伏值的线性相关程度。
(2) 正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V为在(0,1) 分布的随机变量. 并画出X(t)的一个样本函 数.
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上 的类型区分随机过程的类型。
在时间和状态上都
离散型随机过程
在时间上离散， 状态上连续
连续型随机序列
def
mx (t) EX (t), t T
为XT的数学期望，反映随机过程在时刻t的平均值。
均方值和方差
反映随机过程t时刻平均功率
反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度
自相关函数
协方差函数
若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程， 而称
def
BX (s,t) E[{X (s) mX (s)}{X (t) mX (t)}], s,t T