求圆锥曲线方程
圆锥曲线 公式
圆锥曲线是一个在三维空间中由一个固定点（焦点）和一个固定直线（直角方向线）确定的曲线。
根据焦点和直角方向线的位置关系，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
下面是各种圆锥曲线的基本方程：
1. 椭圆（Ellipse）的方程：
(x/a)² + (y/b)² = 1
其中，a为椭圆的长轴（长半径）长度，b为椭圆的短轴（短半径）长度。
2. 双曲线（Hyperbola）的方程：
(x/a)² - (y/b)² = 1 (右开口)
或
-(x/a)² + (y/b)² = 1 (左开口)
其中，a为双曲线的实轴（长半轴）长度，b为双曲线的虚轴（短半轴）长度。
3. 抛物线（Parabola）的方程：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c为抛物线方程的系数，确定了抛物线的形状和位置。
4. 直线（Line）的方程：
y = mx + c
其中，m为直线的斜率，c为直线的纵截距。
这些方程仅涵盖了基本形态的圆锥曲线方程。
在实际应用中，还可以根据具体情况进行方程的变形和扩展。
圆锥曲线标准方程求法
圆锥曲线标准方程求法一、椭圆标准方程求法1、定义法【例1】已知ABC ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。
【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为257.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程.【例4】设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+b a ．求点),(y x M 的轨迹C 的方程；2、待定系数法1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．2．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程．3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程．4.设椭圆:E 22221x y a b+=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。
3、转化已知条件【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12-.求点M 轨迹C 的方程;【例2】设Q 、G 分别为ABC ∆的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //｡求点C 的轨迹E【例3】已知动点P 到直线334-=x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;【例4】已知M （4，0）、N （1，0），若动点P 满足||6PN MP MN =⋅。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为B C -）(6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(0yx ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式： （1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D)其中圆心为(,)22D E --，半径为22142r D E F =+-.2、直线与圆的位置关系 点),(0y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】 ④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+--3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a by a x b y ax b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系图形标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =-()0p >开口方向向右向左向上向下定义与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥ 0y ≤ 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =焦半径0,0()M x y 02p MF x =+02p MF x =-+02p MF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2解，即Δ>0.直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸ 112.||||FA FB P+=。
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解解题技巧利用参数方程求解圆锥曲线圆锥曲线是数学中重要的曲线类型之一，在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
解决圆锥曲线的问题时，常常需要利用参数方程来求解。
参数方程可以将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式，进而简化问题的求解过程。
下面将介绍一些常见的圆锥曲线问题，并讲解利用参数方程进行解答的技巧。
1. 圆锥曲线的参数方程表示圆锥曲线的参数方程表示为：x = x(t)y = y(t)其中，x(t)和y(t)分别是x轴和y轴上的坐标，t是参数。
通过参数方程，我们可以得到曲线上各点的坐标，从而对其性质和特点进行研究。
2. 求圆锥曲线上的特定点利用参数方程，我们可以求解圆锥曲线上的特定点坐标。
以椭圆为例，其参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
通过选取合适的参数t，我们可以计算出椭圆上的各个点的坐标。
3. 求圆锥曲线的切线和法线参数方程还可以用来求解圆锥曲线上某一点的切线和法线。
对于曲线上任意一点P（x0，y0），其切线的斜率由参数方程导数dy/dx决定：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)通过求解dy/dx的值，并代入点P的坐标，可以得到切线的斜率。
进一步地，我们可以利用切线斜率和点P的坐标，得到切线的方程。
法线是与切线垂直的线段，其斜率是切线斜率的倒数的负数。
再利用点P的坐标，我们可以求解法线的方程。
4. 求圆锥曲线的弧长和曲率通过参数方程，我们还可以求解圆锥曲线上两点间的弧长。
弧长的计算公式为：L = ∫sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt其中，dx/dt和dy/dt分别是参数方程x(t)和y(t)的导数。
通过计算弧长，我们可以获得曲线上两点之间的路径长度。
曲率是指圆锥曲线在某一点处的弯曲程度。
其计算公式为：k = |(dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2) / ((dx/dt)^2 +(dy/dt)^2)^(3/2)|通过计算曲率，我们可以了解曲线在某一点处的弯曲情况，并作进一步的分析和研究。
圆锥曲线求解方程
圆锥曲线求解方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是几何学中的一个重要概念，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线经常出现在数学问题中，我们经常需要求解这些曲线的方程。
本文将介绍如何求解圆锥曲线的方程，并且以具体的实例来解释每种曲线的特点和解法。
我们来看圆的方程。
圆是一种平面上所有点到圆心的距离相等的曲线。
圆的方程一般形式为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
对于圆心坐标为(2,3)，半径为4的圆，其方程为(x-2)² + (y-3)² = 4²。
第三种圆锥曲线是双曲线。
双曲线是一条开口向内或向外的曲线，其形状介于椭圆和抛物线之间。
双曲线的一般方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
对于中心坐标为(0,0)，x轴半轴长度为3，y轴半轴长度为2的双曲线，其方程可以是x²/9 - y²/4 = 1或者y²/4 - x²/9 = 1。
最后是抛物线的方程。
抛物线是一种对称的曲线，其形状可以根据焦点的位置而有所不同。
抛物线的一般方程形式为y = ax² + bx + c或者x = ay² + by + c，其中a、b、c是常数。
对于抛物线y = 2x² + 4x + 1，其焦点的位置可以根据方程中的a、b、c来确定。
当遇到圆锥曲线的方程时，我们可以通过观察曲线的形状和特点来快速判断出曲线的类型，并且用数学方法来求解方程。
通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解圆锥曲线的求解方法，并且能够灵活运用这些方法解决实际问题。
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。
首先，我们来看圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。
它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。
双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。
在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。
最后，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。
它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。
深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。
利用圆锥曲线的参数方程解题
利用圆锥曲线的参数方程解题圆锥曲线是数学中常见的曲线类型，它可以通过参数方程来进行描述和求解。
利用圆锥曲线的参数方程，我们可以解决各种与这类曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程及其解题方法。
一、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们的参数方程可以分别表示如下：1. 椭圆的参数方程设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，范围为[0, 2π)。
2. 双曲线的参数方程双曲线有两种类型：横双曲线和纵双曲线。
它们的参数方程分别为：横双曲线：x = a * sec(t)y = b * tan(t)纵双曲线：x = a * tan(t)y = b * sec(t)其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
3. 抛物线的参数方程设抛物线的焦点为F，准线为l，焦点到准线的距离为p，则抛物线的参数方程为：x = 2 * p * ty = p * t^2其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
二、利用圆锥曲线的参数方程解题方法利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般需要根据题目给出的条件来确定参数的具体取值范围，并通过参数方程的形式将曲线转化为参数的函数。
然后，可以利用参数方程进行曲线的绘图、求解焦点、顶点、直线与曲线的交点等问题。
下面以一个具体的例子来说明如何利用圆锥曲线的参数方程解题。
例题：已知椭圆的长半轴为2，短半轴为1，求椭圆上与直线y=x+1相交的点的坐标。
解：根据椭圆的参数方程可知：x = 2 * cos(t)y = sin(t)将直线方程代入参数方程中，得：sin(t) = 2 * cos(t) + 1经过一系列的化简与变形，可求得参数t的解。
然后，将参数t的解代入参数方程，即可求得与直线相交的点的坐标。
三、实例分析通过以上的介绍，我们可以看到，利用圆锥曲线的参数方程解题需要对参数方程进行化简、求解方程等操作。
圆锥曲线切线方程的五种求法
2013-12教学实践论———柯西不等式就此“诞生”！而此不等式的应用经常在数学竞赛中出现。
顿时，学生们眼中的喜悦无法言表。
我也深受感染，陶醉其中！从教学实例中我深深体会到：数学教学应充分挖掘学生的潜力，充分调动学生的主观能动性，放手让学生主动探究，教师适时引导，就会有意想不到的收获。
这正如古人云：授之以鱼不如授之以渔。
读懂读通教材及学生，教师在数学教学中才能做到游刃有余。
今后我将不断提高自己的知识素养与教学技能，全身心地投入到新课程的教学中。
（作者单位江苏省南京市栖霞中学烷基苯校区）•编辑刘俊婷切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M （x0，y0）的圆的切线l的方程.解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），∴OM=（x-a，y-b，MN=x-x0，y-y0），又∵OM⊥MN∴OM·MN=0即：（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0，即：［（x-a）-（x0-a）］（x0-a）+［（y-b）-（y0-b）］（y0-b）=0，所以过圆上的点M（x0，y0）的圆的切线l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-［（x0-a）2+（y0-b）2］=0，即：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，即l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.二、巧用变换设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，我们做变换：x=aμy=bv{，则可把椭圆化为单位圆：μ2+v2=1，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题：例2.求过椭圆x216+y29=1上一点M（22√，32√2）的切线l方程.解：令μ=x4，v=y3，则椭圆在新坐标系μOv下的方程是：u2+v2=1，点M（22√，32√2）在新坐标系μOv下的坐标是：（2√2，2√2），易知过圆u2+v2=1上的点（2√2，2√2）的切线方程是：2√2μ+2√2v=1，即：μ+v=2√，所以过椭圆上一点M的切线l的方程是：x4+y3=2√，即：3x+4y=122√.值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.解：设l的方程是：y-1=k（x-2）且k≠±2√2，即：y=kx-（2k-1），将它代入方程x2-2y2=2中整理得：（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，由已知得：△=［-4k（2k-1）］2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例4.此处仍以上面的例3为例.解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，得：2x-4yy′=0，即：y′x=2，y=1=x2y x=2，y=1=1，这就是所求切线的斜率，∴过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM 必与抛物线相切。
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微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。
常见的曲线系方程如下： ① 过相交直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的交点的直线系方程为：120l l λ+=即()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（其中λ为参数）② 与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（其中λ为参数） ③ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（其中λ为参数）④ 过相交两圆221111222222:0:0C x yD xE yF C x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩交点的圆系方程为： ()1201C C λλ+=≠-即()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=⑤ 若直线:0l Ax By C ++=与圆221:0C x y Dx Ey F ++++=有公共点，则过公共点的圆系方程为：0C l λ+=即()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b-=渐近线相同的双曲线系方程为：()22220x y a bλλ-=≠ 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于,M N 两点，记直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，则椭圆的方程为（ ）A.221164x y += B. 22142x y += C. 2214y x += D. 2214x y += 思路：由已知可得2a =，所以只需利用条件1214k k =-求出的值即可，设()00,P x y ，()11,M x y ，则()11,N x y --。
则101121010,y y y y k k x x x x -+==-+，从而22101010122210101014y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-，由分子分母平方差的特点及,M P 在椭圆上联想到点差法，得：()()221122222101022200211140414x y b x x y y b x y b ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，所以222102210144y y b x x -=-=-- 即21b =，所以椭圆方程为2214x y += 答案：D例2：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为,A B，且AB =（1）求椭圆C 的离心率（2）若斜率为的直线过点()0,2，且交椭圆C 于,P Q 两点，OP OQ ⊥，求直线的方程及椭圆C 的方程解：（1）由椭圆方程可得：()()(),0,0.,,0A a B b F cAB BF a ∴===AB=22254a b a =⇒+=2242a b a b ∴=⇒=::2:1:a b c ∴=c e a ∴==（2）由（1）可得椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=()()1122,,,P x y Q x y ，OP OQ ⊥ 12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=由已知可得，直线的方程为22y x =+联立方程：2222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 可得：()22242240x x b ++-=，即：2217321640x x b ++-= 2121216432,1717b x x x x -∴=+=-()()()212121212142222444417b y y x x x x x x -∴=++=+++=⋅22121216414401717b b x x y y --∴+=+⋅=，解得：1b =经检验：当1b =，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件∴椭圆方程为2214x y +=例3：已知直线:1l y kx =+，椭圆()222:109x y E m m+=>， （1）若无论为何值，直线与椭圆E 均有公共点，试求m 的取值范围及椭圆离心率关于m 的函数关系式（2）当k =E 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =，求椭圆E 的方程解：（1）由:1l y kx =+可知直线过定点()0,1l 与E 恒有公共点()0,1∴在椭圆上或椭圆内2201119m m∴+≤⇒≥ 293m m ≠⇒≠ m ∴的范围为[)()1,33,m ∈+∞若2913m m <⇒<<，则2229,a b m ==c ∴==c e a∴==若293m m >⇒>，则222,9a m b ==c ∴==3c e a∴==综上所述：3333m e m >⎪⎪=<<⎪⎩（2）由已知可得：13y x =+，()0,1M ∴ 设()()1122,,,A x y B x y()()1122,1,,1AM x y MB x y ∴=--=-2AM MB = ()12122121x x y y -=⎧∴⎨-=-⎩联立直线与椭圆方程可得：2221319y x x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y可得：22229193m x x m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，整理后可得： ()()22210910mx m +++-=()212122291,1010m x x x x m m -∴+==++ 122x x =-()12222212221091210x x x m m x x x m ⎧+=-=⎪+⎪∴⎨-⎪=-=⎪+⎩①②2∴÷①②可得：()()222222101720912109110m m m m m ⎛⎫⎪+⎝⎭-=⇒-=+-+ ()()2211080m m ∴-+=，即429900m m +-=，解得：26m =或215m =-（舍） ∴椭圆方程为22196x y += 例4：过点()4,0A -，向椭圆()222210x y a b a b+=>>引两条切线，切点分别为,B C ，且ABC为正三角形，则ab 最大时椭圆的方程为（ ）A. 224143x y +=B. 228183x y +=C. 223144x y +=D. 223188x y += 思路：由题意可知本题确定,a b 值的关键在于ab 达到最大值时，,a b 的取值，那么需要得到关于,a b 的关系（等式或不等式），作出图形可知，若ABC 为正三角形，则,AB AC 的斜率为3±，进而能够得到,AB AC 的方程。
以AB为例：()43y x =+，与椭圆方程联立并消元可得到：()2222222381630a bxa x a ab +++-=，所以220316a b ∆=⇒+=，则考虑利用均值不等式得到03ab <≤等号成立条件为223a b =，再结合22316a b +=即可求出,a b 的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知：,6OAB π∠=3AB k ∴=AB ∴的方程为：)43y x =+ ，联立方程：)22222243y x b x a y a b ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y ：()222222143b x a x a b ++=，整理后可得： ()2222222381630ab x a x a a b +++-=AB 与椭圆相切()()()22222228431630a a b a a b ∴∆=-+-=()44422224646412192360a a a b a b a b ∴--+-=即42222412192360a b a b a b -+=22316a b ∴+=由均值不等式可得：223a b +≥=163ab ∴≤⇒≤（等号成立条件为：223a b =） ab ∴的最大值为3，此时2222228383163a a b b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩∴椭圆方程为：223188x y += 答案：D例5：已知点F 是椭圆C 的右焦点，,A B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF 是正三角形 （1）求椭圆C 的离心率（2）直线与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为求椭圆C 的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由ABF 是正三角形可得：2a b =，因为222a b c =+∴解得：::2:1:a b c =c e a ∴== （2）由（1）可得椭圆的方程为：22244x y b +=， 设与椭圆C 的交点为()()1122,,,M x y N x y若斜率不存在，可得弦长MN = 若斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程：()()22222224184044y kx mk x kmx m b x y b=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ()2212122248,1414m b kmx x x x k k-∴+=-=++ ()()()()22222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=++-⎣⎦，整理可得：()()()22222222161414k b m k b MN k +-+∴=+l 与圆222x y b +=相切()2221d b m b k ∴==⇒=+， 代入到上式可得：()()()22222222222231312161641414k k k k MN b b k k ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤=++（等号成立条件：22312k k k =+⇒=±） max 2MN b ∴=2b b ∴=⇒=a ∴= ∴椭圆方程为：221123x y +=例6：设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求E 的离心率（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程 解（1）由M 在线段AB 上和2BM MA =可得：2BM MA =()(),0,0,A a B b1221,3333OM OB OA a b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭a ∴=::2a b c ∴=c e a ∴=== （2）由（1）中::2a b c =，可设1yAB x b+=⇒+= 由()(),0,0,A a C b -可得：1,22N b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设N 的对称点'07,2N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 依题意可得：0172222271x b b +-++=⎪⎪⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪= 可解得：3b =a ∴= ∴椭圆方程为221459x y +=1322103OMbb k a a ∴===例7：已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的半焦距为，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c （1）求椭圆的离心率（2）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程 解：（1）过()(),0,0,c b 的直线的方程为：10x ybx cy bc c b+=⇒+-= 2212O l bc bc d c a b c --∴===+ 1122b b a a ∴=⇒=，由222a b c =+可得：22222324a c a c a ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭ 32c e a ∴== （2）由（1）可得：::2:1:3a b c =∴椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=由圆方程()()225212x y ++-=可得：()102,1,2M r -=设()()1122,,,A x y B x y121242210210x x x x AB AB r +⎧+=-=-⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩==⎩设():21AB y k x =++，联立方程：()2222144y k x x y b=++⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2224214x k x b +++=⎡⎤⎣⎦，整理后可得： ()()()22221481241240k xk k x k b +++++-=()()221212228124124,1414k k k b x x x x k k ++-∴+=-=++ ()281214142k k k k +∴-=-⇒=+ 21282x x b ∴=-12AB x ∴=-==AB = 22213b b ∴-=⇒=∴椭圆方程为：221123x y += 例8：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2b y x b N *=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <，若1122,,PF F F PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为__________ 解：1122,,PF F F PF 成等比数列221212124F F PF PF c PF PF ∴=⋅⇒=⋅由渐近线方程()2b y x b N *=∈可知：2a =，不妨设P 在右支上 1224PF PF a ∴-==()222121212=216PF PF PF PF PF PF ∴-+-⋅= 即22212816PF PF c +-=由中线定理可知：()22221222PF PF OF OP +=+()2221682c c OP∴+=+ 即()222228383203OP c a b b =+=++=+5OP <225203253b b ∴+<⇒< 由b N *∈可知21b = ∴双曲线方程为：2214x y -= 答案：2214x y -= 小炼有话说：中线定理：已知AD 为ABC 中底边BC 的中线，则有()22222AB AC AD BD+=+，证明如下：在ADB 中，由余弦定理可知： 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅ ①同理，在ADC 中，有： 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅ ② ADB ADC π∠+∠= 且由D 是BC 中点可知：BD CD =∴+①②可得：222222AB AC AD BD CD +=++，即()22222AB AC AD BD +=+例9：（2014，福建）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-（1）求双曲线E 的离心率（2）如图，O 为坐标原点，动直线分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为b y x a=± 22b b a a∴=⇒= 22225c a b a ∴=+=c e a∴== （2）若直线不与轴垂直，设()()1122:,,,,l y mx t A x y B x y =+ 联立方程：11122212t x x my t m y x t y m ⎧=⎪=+⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪-⎩ ，同理可得11122212t x x my t m y x t y m -⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩设直线与轴交于(),0C t1212OAB S OC y y ∴=⋅⋅-即22122841421212t t t t m m m +=⇒=--+ 由直线与渐近线的交点,A B 分别在第一、四象限可知：111222m m >⇒-<< 2140m ∴-> ()22414t m ∴=-由（1）可得双曲线方程为：222214x y a a-= 联立与双曲线方程：()()22222224184044x my t m y mty t a x y a=+⎧⇒-++-=⎨-=⎩ 因为与双曲线相切()()()2222816410mt t a m ∴∆=---= 整理可得：()()()222222441401440m a m a m a +--=⇒--= 所以24a = ∴ 双曲线方程为：221416x y -= ∴存在一个总与相切的双曲线E ，其方程为221416x y -= 例10：已知,A B 分别为曲线()222:10x C y a a+=>与轴的左，右两个交点，直线过点B 且与轴垂直，P 为上异于点B 的点，且P 在第一象限，连结AP 与曲线C 交于点M（1）若曲线C为圆，且3BP =，求弦AM 的长 （2）设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若,,O N P 三点共线，求曲线C 的方程 解：（1）若曲线C 为圆，则可知1a =22:1C x y ∴+= ()()1,0,1,0,1,3A B P ⎛∴- ⎝⎭()3113AP k ∴==-- AP ∴的方程：)1103y x x =+⇒-+=12O AP d -∴==AM ∴==（2）由已知可得：()(),0,,0A a B a -，设直线():AP y k x a =+()(),2y k x a P a ak x a=+⎧∴⇒⎨=⎩联立直线与椭圆方程可得：()()22222221x y x k x a a a y k x a ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩，整理后可得：()22232422120a k x a k x a k a +++-=可知该方程的两根为：,A M x a x =-，由韦达定理可得：422221A M a k a x x a k -=+ 32221M a a k x a k -∴=+ ()2221M M ak y k x a a k ∴=+=+ ，即3222222,11a a k ak M a k a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,,O N P 共线，且BP 为圆的直径OP BM ∴⊥0OP BM ∴⋅=()32222222,2,,11a k ak OP a ak BM a k a k ⎛⎫-== ⎪++⎝⎭ 322222222011a k ak OP BM a ak a k a k -∴⋅=⋅+⋅=++ 4222222401a k a k a k-+∴=+，即4222240a k a k -+=解得：a =∴ 曲线C 的方程：2212x y +=。