圆锥曲线与方程椭圆
选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式
圆锥曲线的标准方程公式是数学中用于描述圆锥曲线几何性质的方程形式。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
每种曲线都有其独特的标准方程形式。
1. 圆的标准方程公式:
圆的标准方程公式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中圆心坐标为(h, k)，半径为r。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合。
2. 椭圆的标准方程公式:
椭圆的标准方程公式是(x²/a²) + (y²/b²) = 1，其中a和b分别代表椭圆的长轴
和短轴的半长。
这个方程描述了平面上到椭圆两个焦点的距离之和等于常数2a的
点的集合。
3. 双曲线的标准方程公式:
双曲线的标准方程公式可以分为两种形式：(x²/a²) - (y²/b²) = 1和(y²/a²) - (x²/b²) = 1，其中a和b分别代表双曲线的焦点到中心的距离和横轴/纵轴的半长。
这个方
程描述了平面上到双曲线两个焦点的距离之差等于常数2a的点的集合。
4. 抛物线的标准方程公式:
抛物线的标准方程公式可以分为两种形式：y² = 4ax和x² = 4ay，其中a为抛物线的焦点到顶点的距离。
这个方程描述了平面上到抛物线焦点的距离等于焦点到顶点距离的某个倍数的点的集合。
通过这些标准方程公式，我们可以方便地描述和理解圆锥曲线的形状和性质。
它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
圆锥曲线椭圆方程
圆锥曲线椭圆方程
圆锥曲线椭圆方程是一种圆周率表达形式，它是位于x-y坐标系中的一条椭圆，其端点坐标符合如下椭圆方程：
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
其中A、B、C、D、E、F为常数，A和C不能同时为零。
系数A，B，C来表示
该曲线的位置和形状，系数D和E可以控制该曲线所在位置所经历的变化，F则表
示椭圆长短轴的长度比。
椭圆方程的形式结构和表示规则是：它与y轴的偏移量以及x轴的偏移量均有关，若A=1且C=1，则椭圆方程一般写成：
x2 + 2Bxy + y2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
此外，椭圆的位置通常都是可以改变的，因此可以对椭圆的位置进行调整，以
使椭圆更适合某种指定的实际应用。
这些位置改变由系数D，E控制，其中系数D
表示椭圆在x轴轴上平移的偏移量，E表示椭圆在y轴上平移的偏移量。
圆锥曲线椭圆方程不仅广泛应用于许多领域，如曲线图像、天文学图像、胶片
佳能及精密机械等，其精确数据处理能够尽可能按照椭圆方程定义的图形来描述椭圆，从而使用者能够更加精确的控制椭圆的位置和形状，满足特定的实际应用要求。
总之，圆锥曲线椭圆方程是一种确定特殊曲线的表达式形式，它有许多实际应用，主要用于控制椭圆形状和位置，来满足不同的实际要求。
圆锥曲线与椭圆方程
圆锥曲线与椭圆方程圆锥曲线是二维数学中的一种重要曲线形式，它们的方程可以用来描述很多自然现象和工程问题。
其中，椭圆是圆锥曲线的一种特殊情况。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念和椭圆方程的推导过程。
一、圆锥曲线的基本概念在解释圆锥曲线之前，我们先来了解一下圆锥体。
圆锥体是由一个顶点和一个平面曲线围成的立体。
当这个平面与圆锥体的侧面相交，且与底面平行时，所形成的曲线就是圆锥曲线。
圆锥曲线分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
这些曲线可以通过平面截圆锥体的不同方式得到。
接下来，我们将重点介绍其中的椭圆。
二、椭圆的定义与性质椭圆是圆锥曲线中的一种，它是圆锥体与一个平面相交后形成的曲线。
具体而言，椭圆由一个定点F（焦点）和到焦点距离之和为常数2a的所有点P组成。
椭圆具有以下几个重要性质：1. 焦点焦距关系：根据焦点到定点的距离关系，即FP+PF' = 2a，我们可以判断一个点是否在椭圆上。
2. 长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，而短轴是通过长轴中点并且垂直于长轴的线段。
3. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e = c/a。
离心率可以用来描述椭圆的扁平程度，当e<1时，椭圆更加扁平。
4. 主轴与副轴：椭圆的主轴是长轴，副轴是短轴。
5. 焦点坐标计算：根据椭圆的焦距和离心率，我们可以求得焦点的坐标。
三、椭圆的方程推导现在，我们来推导椭圆的方程。
假设椭圆的焦点坐标为F：(c, 0)，离心率为e，距离焦点最远的点为A：(ae, 0)，离心率的定义为e = c/a。
在直角坐标系下，我们可以得到以下关系式：1. 点P到F的距离PF与点P到直线x = a的距离PA的关系：PA = dx - aPF = x + c根据焦点焦距关系，有 PF + PF' = 2a，即 x + c + (-x + c) = 2a，可得c= a-e2. 根据勾股定理，可得 PA² = AF² + PF²，展开计算，得到：(dx - a)² = (x - ae)² + (x + c)²将c代入上式，并整理化简，得到椭圆的方程：x²/a² + y²/(a²(1-e²)) = 1该方程即为椭圆的标准方程，通过调整参数a和e的值，我们可以获得不同形状和大小的椭圆。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质应用案
第1课时 椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4， 所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33， 所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ， 所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上， 所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
初数数学公式解析圆锥曲线和椭圆函数的关系
初数数学公式解析圆锥曲线和椭圆函数的关系在数学中，圆锥曲线和椭圆函数是两个与初等数学公式相关的重要概念。
本文将解析圆锥曲线与椭圆函数之间的密切关系。
一、圆锥曲线简介圆锥曲线是由平面与一个锥体相交而产生的曲线。
根据与锥体相交的方式，圆锥曲线可分为四类：椭圆、抛物线、双曲线和圆。
二、初数数学公式与圆锥曲线初等数学公式是描述数学对象之间关系的一组公式，其中包括一些基本的几何公式和三角函数等基本函数的性质。
在解析圆锥曲线时，我们经常使用的数学公式包括：1. 椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其标准方程可表示为：x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线的标准方程双曲线也是圆锥曲线中的一种，其标准方程可表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的半长轴和半短轴。
3. 椭圆函数的定义椭圆函数是一类与椭圆曲线密切相关的特殊函数，其中最常见的是椭圆积分。
椭圆函数的定义可以通过椭圆积分来表达。
三、圆锥曲线与椭圆函数的关系椭圆是圆锥曲线的一种特殊情况，而椭圆函数则是与椭圆曲线紧密相关的特殊函数。
通过对圆锥曲线的解析，我们可以得到一些与椭圆函数相关的性质。
1. 椭圆与椭圆函数的对应关系椭圆函数的概念最早是由Carl Gauss引入的，旨在解决椭圆积分的问题。
后来人们发现，椭圆函数与椭圆曲线之间存在着紧密的关系，可以通过椭圆曲线的基本方程和参数来定义椭圆函数。
2. 圆锥曲线方程的特殊解圆锥曲线的方程可以通过椭圆函数得到特殊解。
例如，当圆锥曲线的离心率为零时，即为椭圆形态；而当离心率大于零时，则为双曲线形态。
3. 椭圆函数的应用椭圆函数在科学和工程领域具有广泛的应用。
例如，在力学中，椭圆函数被用来描述行星的轨道运动；在电磁学中，椭圆函数则用于描述电磁波的偏振。
总之，圆锥曲线和椭圆函数之间存在着密切的关系。
圆锥曲线方程中的参数可以通过解析椭圆曲线方程得到，而椭圆函数则可以通过椭圆曲线的性质来定义。
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（1）求证：当a取定值时，点H必为定点；
（2）如果H落在左顶点与左焦点之间，求e的范围。
（3）若P落在y轴左侧，以OP为直径的圆与
y
直线AB相切，四边形ABPH面积为3 2 P
B
求椭圆方程。
H F1 o
x a
2 2
y2 b2
心， a
1(a b 0)的焦距为2c ，以O为圆 为半径的圆，过( a2 , 0)作圆的两切
c
线互相垂直，则离心率 e _____
y
x
o
a2 A( , 0)
c
二、高考真题回顾
例2、（09江苏13）如图，在平面直角坐标系 xoy中，
A1, A2 , B1, B2 为椭圆
x2 a2
若 PF1F2的面积为9，则b=________。
y P
x
F1
o
F2
三、典型例题：
(1)有关离心率问题的求解
例4、F1、F2是椭圆ax22
y2 b2
1, (a
b
0)
的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直
角三角形ABF2，其中∠BAF2=90°，则椭
圆离心率是_______.
y
A
F1
o
B
F2
x
圆锥曲线与方程-----椭圆
江苏省大港中学：吴学伍
一、考试说明对圆锥曲线与方程的要求
内容
17.圆锥 曲线与方 程
椭圆的标准方程和几何性质（中心 在坐标原点）
双曲线的标准方程和几何性质（中 心在坐标原点）
抛物线的标准方程和几何性质（顶 点在坐标原点）
要求 ABC
√
√
√
二、高考真题回顾
例1、（08江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆
y2 b2
1(a
b 0)的四个顶
点，F为其右焦点，直线 A1B2 与直线B1F 相交于
点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中
点，则该椭圆的离心率为____. y
B2
T
M
x
A1
OF
B1Biblioteka 二、高考真题回顾例3、（09上海卷9）已知F1,
F2
是椭圆C
:
x2 a2
y2
b
2
1(a
b
0)
的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，且 PF1 PF2 ，
三、典型例题：
(2)有关基本量问题的求解
例5、如图，A, A', B分别是椭圆的顶点，从椭圆
上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且
AB || OP, FA' 10 5 ，求椭圆的方程。
y
P
B
A’ F
o
Ax
三、典型例题：
(3)椭圆综合题求解
例6、如图，在椭圆C中，点 F1是左焦点，A（a，0），B(0,b)分
Ax
四、总结与反思：
1、在求离心率的时候关键问题是什么？ 2、注意椭圆的定义和性质在解题中
的应用
五、课后作业：
1、整理课堂讲义 2、P76第5，6，10，12