圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程知识点总结
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。
1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。
椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。
椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。
2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。
双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。
双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。
3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。
4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。
(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。
(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。
(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。
圆锥曲线与方程课件教案
第八章圆锥曲线的方程脑图一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）若ABC∆的两个顶点坐标为()4,0A-，()4,0B，ABC∆的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．（Ⅱ）设点Q是圆C：25)1(22=++yx上一动点，点()1,0A是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程．（Ⅲ）动圆M过定点(4,0)P-，且与圆C：22(4)16x y-+=相切，求动圆圆心M的轨迹方程．（Ⅳ）已知1F、2F分别为双曲线22221x ya b-=的左、右焦点，点P为右支上一点，过1F作12F PF∠的角平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹．（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．【焦点三角形问题】例2．（Ⅰ）已知P是椭圆2214xy+=上一点，12F F、分别是椭圆的左、右焦点，且1260F PF∠=︒，则12F PF∆的面积是．（Ⅱ）双曲线221916x y-=的左、右焦点分别是12F F、，点P在双曲线上，且直线1PF、2PF倾斜角之差为3π，则12F PF∆的面积为．（Ⅲ）在椭圆2214520x y+=上求一点P，使它与两焦点12F F、的连线互相垂直．（Ⅳ）12F F、是椭圆22194x y+=的两个焦点，点P为其上一动点，当12F PF∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．（Ⅴ）设12F F、是双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上，当12F PF∆的面积为1时，12PF PF⋅的值是．【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）已知F是椭圆22195x y+=的左焦点，P是椭圆上一动点，(1,1)A为一定点，求PA PF+的最值．（Ⅱ）若P为双曲线2213xy-=的右支上一动点，F为双曲线右焦点，已知()3,1A，求P A P F+的最小值．二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）已知动点(),M x y 满足|43|)2()1(22y x y x +=-+-，则点M 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线（Ⅱ）已知圆A ：()2221x y ++=与定直线l ：1x =，动圆M 和圆A 外切且与直线l 相切，求动圆的圆心M 的轨迹方程．（Ⅲ）已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -、(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．（Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】例5．（Ⅰ）已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，(1,1)A 为一定点，求32PA PF +的最小值．（Ⅱ）若P 为双曲线2213x y -=的右支上一动点，F 为双曲线右焦点，已知()3,1A ，求（1）PA 的最小值．（Ⅲ）若F 为抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动，)2,3(A ，求MF MA +的最小值．（Ⅳ）已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7,42⎛⎫⎪⎝⎭，则PA PM +的最小值是 A ．211B ．4C ．29 D ．5【焦半径公式】例6．（Ⅰ）已知点P 在椭圆()222210x ya b a b +=>>上，12F F 、为椭圆的左右焦点，求12PF PF ⋅的取值范围．（Ⅱ）双曲线222x y a -=的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上的任意一点，求证：1PF 、PO 、2PF 成等比数列．（Ⅲ）已知抛物线24y x =的一条焦点弦被焦点分成为m 、n 的两部分，求证：m n m n +=⋅．（Ⅳ）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，在右支上有一点P ，且P 到左焦点1F 与到右焦点2F 的距离之比为4：3，求P 点的横坐标．（Ⅴ）在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点()11,A x y 、()2,6B x ，()33,C x y 与焦点()0,5F 的距离成等差数列，求13y y +．三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）已知椭圆焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P ，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知椭圆经过两点)2A-，()B -，求椭圆的标准方程．（Ⅲ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,6-，求椭圆的标准方程． （Ⅳ）双曲线2222mx my -=的一条准线是1y =，则m 的值为 ．（Ⅴ）已知双曲线的右准线为4x =，右焦点为()10,0F ，离心率2e =，求双曲线方程．（Ⅵ）求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(M -的双曲线方程． （Ⅶ）求以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线的方程． （Ⅷ）k 为何值时，方程22121x y k k +=--表示①圆；②椭圆；③双曲线？ （Ⅸ）抛物线()210y x a a=≠的焦点坐标是 ．（Ⅹ）已知抛物线的准线为2y =，求抛物线的标准方程．（Ⅺ）已知抛物线的焦点在x 轴上，且()2,3A -到焦点的距离是5，求抛物线的标准方程．（Ⅻ）已知抛物线焦点在x 轴上且截直线210x y -+=【利用椭圆的参数方程求最值】例8．已知实数x 、y 满足2214x y +=，①求222u x y y =+-的取值范围；②求v x y =+的取值范围．四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅰ）已知12F F 、为椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=︒，求离心率．（Ⅱ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b 是两个顶点，如果F 到直线AB（Ⅲ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12F F 、，以12F F 、为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为 ．（Ⅳ）已知双曲线的两条渐近线方程是34y x =±，求此双曲线的离心率．（Ⅴ）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率是 ．（Ⅵ）已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．（Ⅶ）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小并求出最小值． （Ⅱ）求经过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程．【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅰ）抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于．（Ⅱ）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q ，且OP OQ ⊥，PQ =，求椭圆方程． 【弦中点】例12．（Ⅰ）已知椭圆2212x y +=，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过()2,1A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；③过点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且被P 点平分的弦所在直线的方程．（Ⅱ）已知双曲线2212y x -=，①过定点()2,1P 作直线交双曲线于12P P 、点，使P 点是12PP 的中点，求此直线方程；②过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与双曲线相交于两点1Q 、2Q ，且Q 是12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【垂直】例13．（Ⅰ）若直线l ：1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点,且以AB 为直径的圆过原点，求a 的值.（Ⅱ）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．①求椭圆C 的标准方程；②若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【对称】例14．（Ⅰ）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同的两个点关于该直线对称．（Ⅱ）已知抛物线212y x =上总存在关于直线4y x m =+对称的两点，则实数m 的取值范围是．【数量积】例15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)，①求双曲线C 的方程；②若直线y kx =C 有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（O为原点），求k 的取值范围．【面积】例16．（Ⅰ）已知双曲线C ：()222210,0xy a b a b-=>>的两个焦点为()12,0F -、()22,0F ，点(P 在双曲线C 上．①求双曲线C 的方程；②记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，若OEF ∆的面积为l 的方程．（Ⅱ）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()13,0F -20y -=． ①求双曲线C 的方程；②若以()0k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于不同两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． 答案一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）()2210259x y y +=≠．（Ⅱ）224412521x y +=（Ⅲ）221412x y -=（Ⅳ）222x y a +=（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）． 【焦点三角形问题】 例2．（Ⅱ）（Ⅲ）()3,4()3,4-()3,4-()3,4--（Ⅳ）x <<（Ⅴ）0． 【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）66二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）B （Ⅱ）28y x =-（Ⅲ）22143x y += （Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】 例5．（Ⅰ）112（Ⅱ）32（Ⅲ）72（Ⅳ）C 【焦半径公式】例6．（Ⅰ）2212b PF PF a ≤⋅≤（Ⅱ）证略（Ⅲ）证略（Ⅳ）20x =12三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）2213632x y +=（Ⅱ）221155x y +=（Ⅲ）22114837x y +=或2215213x y +=（Ⅳ）43-． （Ⅴ）()22211648x y --=（Ⅵ）2219164x y -=或221944x y -=（Ⅶ）22182x y -= （Ⅷ）①32k =②3122k k <<≠且③21k k ><或（Ⅸ）0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅹ）28x y =-（Ⅺ）28y x =或224y x =- （Ⅻ）212y x =或24y x =-【利用椭圆的参数方程求最值】 例8．①131,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②⎡⎣四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅱ）121．（Ⅳ）54e =或53（Ⅵ）0,2⎛ ⎝⎭（Ⅶ）C 五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）31,83P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，min 2d =（Ⅱ）5324y x =+，21y x =+，23y x =-+和12x =【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅱ）221223x y +=或221223x y += 【弦中点】例12．（Ⅰ）①444033x y x ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭②222220x y x y +--=③2430x y +-=（Ⅱ）①470x y --=②不存在【垂直】例13．（Ⅰ）1a =±（Ⅱ）①22143x y +=②2(,0)7 【对称】例14．（Ⅰ）x <<（Ⅱ）216m <-． 【数量积】例15．31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【面积】例16．（Ⅰ）①22122x y -=②2y =+ （Ⅱ）①22145x y -=②5555,,00,,4224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
高中数学课件-圆锥曲线与方程2
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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第二章 圆锥曲线与方程
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
数学 选修1-1
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|
圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程引言圆锥曲线是二维平面上一类特殊的曲线，其形状可以描述为在平面上割圆台所得的曲线。
圆锥曲线是数学中重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍三种常见的圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们的方程及其特点。
椭圆椭圆是最简单的圆锥曲线之一，其形状类似于椭圆形状。
椭圆可以通过一个称为焦点的点和一个称为直径的线段来定义。
对于给定的两个焦点和一个常数距离之和等于直径的点，我们可以构造一个椭圆。
椭圆的方程椭圆的方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)是椭圆的中心点坐标，2a是椭圆在 x 轴上的长度，2b是椭圆在 y 轴上的长度。
该方程的特点是，对于任何点(x, y)，将其坐标代入方程，如果等式成立，则该点在椭圆上。
椭圆的性质椭圆有许多有趣的性质。
以下是一些常见的性质：•椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b；•椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和等于直径的长度；•椭圆的离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到中心的距离；•椭圆的离心率小于 1。
双曲线双曲线是圆锥曲线中比较特殊的一类，其形状类似于两个分开的弧线。
双曲线可以通过两个称为焦点的点和一个称为直径的线段来定义。
双曲线的方程双曲线的方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)是双曲线的中心点坐标，2a是双曲线在 x 轴上的长度，2b是双曲线在 y 轴上的长度。
该方程的特点是，对于任何点(x, y)，将其坐标代入方程，如果等式成立，则该点在双曲线上。
双曲线的性质双曲线也有许多有趣的性质。
以下是一些常见的性质：•双曲线的长轴和短轴分别为2a和2b；•双曲线的焦点到双曲线上任意点的距离之差等于直径的长度；•双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到中心的距离；•双曲线的离心率大于 1。
抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线，其形状类似于抛物线形状。
第2章《圆锥曲线与方程》章综合(北师大版选修1-1)
第二章 圆锥曲线与方程
在直角三角形 PF1F2 中， |PF1|· |PF2|＝|F1F2|· y＝32， 16 3 41 所以 y＝ 5 ，代入双曲线的方程，得 x＝ 5 ， 即点 P
3 在第一象限的坐标是
41 16 ，再根据双曲线的对 ， 5 5
称性得点 P 的坐标还可以是
2
3 同时 b ＝ . 4
2
4 2 故所求双曲线方程为 4x －3y ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
四、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、平面几何 等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称范围、线段的
长度等多种问题，是解析几何部分综合性较强问题，也是以往
高考的重点和热点问题．高考中，大多是以解答题的形式出现 且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目．
第二章 圆锥曲线与方程
二、圆锥曲线定义的应用 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如： (1) 在求轨迹
方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲
线的定义，写出所求的轨迹方程； (2) 涉及椭圆、双曲线上的点 与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知 识来解决； (3) 在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意
第二章 圆锥曲线与方程
(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 2m 1 2 由韦达定理，得 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ (m －1)． 5 5 所以 d＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x22 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝
圆锥曲线与方程抛物线及其标准方程
圆锥曲线和抛物线在数学领域的发展趋势
完善圆锥曲线和抛物线的定
义和性质
研究圆锥曲线和抛物线的几何特征，如对称性、仿射 性质、曲线长度等，进一步探索圆锥曲线和抛物线之 间的内在联系。
圆锥曲线和抛物线的组合与
分类
研究圆锥曲线和抛物线的组合问题，例如将圆锥曲线 和抛物线与其他曲线或曲面组合，形成新的曲线或曲 面，并对其进行分类和性质研究。
抛物线的性质
对于给定的抛物线，定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线的图形关于直线$l$对称
抛物线上的点到定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线焦点$F$在准线$l$上
抛物线的应用
光学反射和折射现象
抛物线在解析几何中的应用
物理学中的抛物线运动
圆锥曲线在几何学中的应用
抛物线在物理学中的应用
03
圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程的关系
1
圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，包含椭 圆、双曲线和抛物线等曲线类型。
2
圆锥曲线的方程是描述这些曲线特征的基本工 具。
3
通过圆锥曲线方程，可以研究曲线的几何性质 、位置关系等。
圆锥曲线方程的求解方法
根据曲线的定义或已知条件列出等式或不等 式。
对于参数的取值范围，要注意其几何意义和 实际背景。
天文学
圆锥曲线在描述行星和卫星的运动 轨迹方面有应用。
工程学
圆锥曲线在机械工程和水利工程等 领域有应用，例如抛物线形拱桥和 抛物线形隧道等。
数学
圆锥曲线是数学中的重要内容之一 ，可以用来研究图形的极坐标方程 、参数方程等。
02
抛物线的定义和性质
抛物线的定义
平面内一个定点$F$和一条直线$l$的距离相等 点$F$为抛物线焦点，直线$l$为抛物线的准线 抛物线是圆锥曲线的一种
圆锥曲线与方程基本知识概要
圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义（第一定义）：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
2．标准方程：①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±C ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±C ）这里椭圆 c ²=a²-b²注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比a c 称为椭圆的离心率，用e 表示，即e=ac（0＜e ＜1）因为a ＞c ＞0，所以0＜e ＜1。
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程基础知识点及典型例题：一、椭圆及性质：（定义：()21212F F a PF PF >=+） 注：222c b a +=例1、已知椭圆:1162522=+y x 则它的焦点坐标为：______________,顶点坐标为:_______________________,长轴长为:_________,短轴长为:_________,焦距为:________,离心率为:_________,若P 为椭圆上的一点,且==21,4PF PF 则_____________.(若椭圆的方程为:16410022=+x y 呢?) 例2、已知下列条件求椭圆的标准方程： ① 已知椭圆的一个焦点为（3，0），且它的长轴长为10； ② 焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32； ③ 已知椭圆的焦点坐标为（-2，0），（2，0），且经过点⎪⎭⎫⎝⎛-23,25；④ 长轴长为20，离心率为53； ⑤ 长轴长是短轴长的3倍，且经过点()0,3P .二、双曲线及性质：(定义：)(2||2121F F a PF PF <=+) 注：222b a c +=例3、已知双曲线：14491622=-y x ，则它的焦点坐标为：____________,它的顶点坐标为:___________,实轴长为:_________,虚轴长为:__________,焦距为:_______,离心率为:______,渐近线的方程为:_______________;若P 为双曲线上的一点,且==21,4PF PF 则________.(若81=PF 呢?)例4、已知下列条件求双曲线的标准方程： ① 焦点在x 轴上3,4==b a ；② 焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5）； ③ 顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，且45=e ； ④ 焦距是10，虚轴长是8；⑤ 焦点在x 轴上，渐近线为,34x y ±=实轴长为12； 三、抛物线及性质：（定义：d PF =||）例5、抛物线x y 82=的焦点F 的坐标为：_________,准线方程为:_____________,焦点到准线的距离为_________.若该抛物线上的一点M 到焦点F 的距离为5,则M 到准线的距离为:____,M 点的坐标为:__________.(若抛物线为y x 42-=呢?) 6、已知下列条件求抛物线的标准方程： ① 焦点为F （3，0）； ② 准线方程为21-=x ； ③ 焦点到准线的距离为2；四、直线与曲线的位置关系：（联立直线与曲线方程消去y 得：02=++C Bx Ax ）1、相交：两个交点0>∆⇔；（交点坐标为对应方程组的解！）2、相切：一个交点0=∆⇔；3、相离：无交点0<∆⇔。
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3．特殊的两个双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与xa22－by22＝1 具有相同渐近线的双曲线系方程为xa22－by22＝k(k≠0)． (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)等轴双曲线方程一般设为 x2－y2＝a2(或 y2－x2＝a2)．
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3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母 的大小，双曲线看 x2，y2 系数的符号． 4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况： 一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线 的对称轴平行．
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主题 1 轨迹问题 一动圆过定点 A(2，0)，且与定圆 x2＋4x＋y2－32＝0
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1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应有 2a>|F1F2|，双曲线 定义||PF1|－|PF2||＝2a 中，应有 2a<|F1F2|，抛物线定义中， 定点 F 不在定直线 l 上． 2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区分焦点在哪个轴上， 选取合适的形式．
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求曲线方程的常用方法及特点 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系， 只需把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹 方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确 定其中的基本量．
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(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着 另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条 件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示 相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹 方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形 式，再根据条件确定待定的系数．
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2．在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，设点 P 在 x 轴上的正投影 为点 D.当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足P→D＝2M→D，动点 M 形成的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程．
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解：法一：由P→D＝2M→D，知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x，2y)． 因为点 P 在圆 x2＋y2＝4 上， 所以 x2＋(2y)2＝4， 所以曲线 C 的方程为x42＋y2＝1.
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4．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p. (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
点的轨迹
零)的点的轨迹
的轨迹
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标准 方程
关系式
椭圆
双曲线
抛物线
xa22＋by22＝1 或ay22 ＋xb22＝1(a>b>0)
xa22－by22＝1 或ay22 －xb22＝1(a>0，
b>0)
y2＝2px 或 y2＝ －2px 或 x2＝2py
或 x2＝－ 2py(p>0)
内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
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【解】 将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， 可知圆心坐标为 B(－2，0)， 半径为 6，如图，设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)，
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由于动圆与已知圆相内切，设切点为 C. 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的 距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， 所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|， 所以|BM|＋|AM|＝6， 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(－2，0)和点 A(2，0) 为焦点，线段 AB 的中点 O(0，0)为中心的椭圆． 所以 a＝3，c＝2，b＝ a2－c2＝ 5， 所以所求圆心 M 的轨迹方程为x92＋y52＝1.
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1.已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面 上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝ F→P·F→Q.则动点 P 的轨迹 C 的方程为________．
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解析：设 P(x，y)，则 Q(x，－1)． 因为Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 即 x2＝4y， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. 答案：x2＝4y
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
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椭圆
双曲线
抛物线
无限延展，但有
图形
封闭图形 渐近线 y＝±bax 无限延展，没有
渐近线，有准线
或 y＝±abx
变量 |x|≤a，|y|≤b 或
x≥0 或 x≤0 或
|x|≥a 或|y|≥a
范围 |y|≤a，|x|≤b
y≥0 或 y≤0
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二 圆锥曲线与方程
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1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
平面内与两个定 平面内与两个定点 平面内与一个定
点 F1，F2 的距离 F1，F2 的距离的差 点 F 和一条定直 定义 之和等于常数 的绝对值等于常数 线 l(l 不经过点
(大于|F1F2|)的 (小于|F1F2|且大于 F)距离相等的点
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椭圆
双曲线
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
顶点
四个
两个
离心率
e＝ac， 且 0<e<1
e＝ac，且 e>1
决定形状 e 决定扁平程度 e 决定开口大小
的因素
抛物线 无对称中心 一条对称轴
一个
e＝1
2p 决定开 口大小
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2．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点(不在 x 轴上)，F1， F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2 为焦点三角形(如图)．