2014·江西(文科数学) 精品完美解析版
【推荐】2014年江西省高考数学试卷(文科)
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。
高考江西卷文数试题解析与点评(共41张PPT)
2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014
12、19
双曲线离心率、抛物线与直线综合应用 （17分）11％
8、14、20 9、14、20 9、14、20 7、8、16
椭圆离心率、圆与直线、抛物线与直线 综合应用
抛物线焦点弦、圆与直线、椭圆与直线 综合应用
椭圆与双曲线的几何性质、抛物线与直 线综合应用
4、10、11、 分段函数值、极值点、切点、导数的应
18、21
用（二次与幂函数乘）
14、17
三角函数定义、解三角形（正余弦定 理）、两角和差公式、引入辅助角公式
4、9、16 倍角正切公式、降次公式、解三角形 （正余弦定理）、两角和差公式
3、13、17 倍角余弦公式、引入辅助角公式、解三 角形（正余弦定理）、两角和差公式
（5分）3％ （19分）12％ （17分）11％ （17分）11％ （17分）11％ （5分）3％ （5分）3％ （5分）3％ （5分）3％ （17分）11％
（17分）11％
（22分）14％
（2012
2013
2014
概率与统计 2011
2012 2013 2014
算法与推理 复数
2.考查知识、技能、思想方法直接、全面，题意好理解，做题 切入点不困难，没有偏题，怪题。
整卷相比往年2011年课改后的数学文科试卷难度较平 稳，结构没有变化，还是10个选择题、5个填空题、6个解 答题。题目设计的难度往年一般是最后一选择题，最后一 填空题，最后一解答题三个高潮。中间题都较容易或中档 题逐步提升，没有题意难理解的偏题、怪题。而今年逐题 的难易变化较有亮点，主要集中在第Ⅱ卷前面提到的三道 题和最后两题。但这有利于较明显区分学生的数学素质。 最后一题如果有时间做的同学会发现实际上这道题想法上 是好切入的，就是分类要清晰并逐一发现规律。
高清Word版2014年江西省高考文科数学试题word版
2014年江西高考文科数学试题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =.1A .2B .2C .3D2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =.(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 4. 已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a 1.4A 1.2B .1C .2D 5.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为,,,c b a ，若b a 23=，则2222sin sin sin B A A-的值为 1.9A - 1.3B .1C 7.2D 6.下列叙述中正确的是.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤.B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是8.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为 A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 10.在同一直角坐标系中，函数)(222322R a a x ax x a y a x ax y ∈++-=+-=与的图像不可能．．．的是二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______.12.已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e 则若向量且的夹角为αα_______. 13. 在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大值， 则d 的取值范围为_________.14. 设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 15. R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，学 科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，其中 ()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.17. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n n S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a .（1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间;（2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥.（1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(江西卷带解析) 答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（江西卷）数学答案解析1、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模2、【答案】C【解析】试题分析：因为所以考点：集合的运算3、【答案】B【解析】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B.考点：古典概型概率4、【答案】A【解析】试题分析：因为所以考点：分段函数5、【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得：，又，所以选D.考点：正弦定理6、【答案】D【解析】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.考点：充要关系7、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断8、【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图9、【答案】A【解析】试题分析：因为的渐近线为，所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形，即双曲线的方程为.考点：双曲线的渐近线10、【答案】B【解析】试题分析：当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对. 当时，由知A,C正确.考点：利用导数研究函数图像11、【答案】【解析】试题分析：因为，设切点，则又考点：利用导数求切点12、【答案】3【解析】试题分析：因为所以考点：向量数量积13、【答案】【解析】试题分析：由题意得：，所以，即考点：等差数列性质14、【答案】【解析】试题分析：因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此考点：椭圆的离心率15、【答案】【解析】试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.考点：含绝对值不等式的性质16、【答案】(1),(2)【解析】试题分析：(1)根据奇偶性定义，可得等量关系：即，因为所以又所以因为，所以(2)由（1）得：所以由，得又，所以因此试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以即，因为所以又所以因为，所以（2）由（1）得：所以由，得又，所以因此考点：函数奇偶性，同角三角函数关系，二倍角公式17、【答案】（1）（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据进行求解. 因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.考点：由和项求通项，等比数列18、【答案】（1）和，（2）【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，首先确定定义域：然后对函数求导，在定义域内求导函数的零点：，当时，，由得或，列表分析得单调增区间：和，（2）已知函数最值，求参数，解题思路还是从求最值出发.由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.试题解析：（1）定义域：而，当时，，由得或，列表：所以单调增区间为：和，（2）由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值19、【答案】（1）详见解析，（2）时，体积取到最大值【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化证明. 由知,又,故平面即,又，所以（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：平面因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱锥体积（三倍关系），而三棱锥体积又等于三棱锥体积，三棱锥体积等于，设不难计算三棱柱的体积为，故当时，即时，体积取到最大值试题解析：（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中,，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值考点：线面垂直判定与性质定理，三棱柱的体积20、【答案】（1）详见解析，（2）8.【解析】试题分析：（1）证明动点在定直线上，实质是求动点的轨迹方程，本题解题思路为根据条件求出动点的坐标，进而探求动点轨迹：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D 点在定直线上.（2）本题以算代征，从切线方程出发，分别表示出的坐标，再化简.设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.试题解析：（1）解：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D点在定直线上.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于零，设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.考点：曲线的交点，曲线的切线方程21、【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为考点：古典概型概率。
【推荐】2014年江西省高考数学试卷(文科)
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）【分析】根据补集的定义求得∁B，再根据两个集合的交集的定义，求得ARB）．∩（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，则A∩（∁B）={|﹣3＜≤﹣1}，R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769；表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f （）=﹣和函数的解析式可求得sin ，进而求得cos ，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*） 当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a ＜﹣2时，由f （）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ， ∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。
2014年江西省高考数学试卷（文科）（含解析版）
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5分）若复数z 满足z （1+i ） =2i （i 为虚数单位），贝l]|z|=（ ）A. 1B. 2C. >/2D.而2. （5 分）设全集为 R,集合 A=（x|x 2 - 9<0）, B={x| - 1V x W5},则 AC （[r B ）=（ ）A. （ - 3, 0） B, （ - 3, - 1） C. （ - 3, - 1] D. （ - 3, 3）3. （5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）42A.B. XC.1_ D.189*6124. (5 分)已知函数f （X ）=<(a£R),若 f[f ( - 1) ]=1,则 a=.2"，x<0()A. LB. 1C.1D. 25. （5分）在^ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,若3a=2b,则2sin2B-sin2A 的值为（）si n 2 AA. - LB. -LC. 1D. L9 326. （5分）下列叙述中正确的是（ ）A. 若 a, b, cCR,贝U"ax2+bx+cN0”的充分条件是W - 4acW0”B. 若 a, b, cGR,贝!!,,ab 2>cb 2w 的充要条件是"a>c ”C. 命题“对任意xCR,有x 2^0"的否定是“存在x£R,有x2N0”D. I 是一条直线，a, B 是两个不同的平面，若ILa, l±p,则a〃87. （5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2表3视力性别好差总计男41620女122032总计163652表4智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计1636528. (5分)阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A. 7B. 9C. 10D. 112 29.（5分）过双曲线C ： &-的右顶点做x 轴的垂线，与C 的一条渐近线2 1 2a b相交于点A,若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,。
2014年江西高考文科数学试题含答案（Word版）
答案 C
解析 A = {x | −3 < x < 3}, B = {x | −1 < x ≤ 5} ，所 A I (CRB) = {x − 3 < x < −1}
3．掷两 均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于
A. 1
B. 1
18
9
答案 B
C. 1 D. 1
6
12
解析 点数之和为 5 的基本
件有
令,4
y'
=
0,Leabharlann x1=1 3a
,
x2
=
1 a
.所
对
轴
x
=
1 2a
介于两个极值点
x1
=
1 3a
,
x2
=
1 a
，之间，所
B
是错误的 所 选择 B
填空 本大 共 5 小 ， 小 5 ，共 以5 .
令令.若曲线 y = x ln x 点P 处的 线平行于直线 2x − y +1 = 0,则点P 的坐标是_______.
=
r 3e1
−
r 2e2
,
则
|
r a
|=
_______.
解析
v a
2
=
v a
2
=
(
r 3e1
−
r 2e2
)2
=
(
r 3e1
)2
+
(
r 2e2
)2
−
r 12e1
⋅
r e2
=
9
+
4
−12 cosα
=
9
解得 a = 3
【推荐】2014年江西省高考数学试卷(文科)
2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ， ∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。
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2014·江西卷(文科数学)
1．[2014·江西卷] 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )
A ．1
B ．2 C. 2 D. 3
1．C [解析] 因为z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. 2．[2014·江西卷] 设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )
A ．(－3，0)
B ．(－3，－1)
C ．(－3，－1]
D ．(－3，3)
2．C [解析] ∵A ＝(－3，3)，∁R B ＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，
∴A ∩(∁R B )＝(－3，－1]．
3．[2014·江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A.118
B.19
C.16
D.112
3．B [解析] 掷两颗均匀的骰子，一共有36种情况，点数之和为5的有(1，4)，(2，
3)，(3，2)，(4，1)，共4种，所以点数之和为5的概率为436＝19
. 4．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( ) A.14 B.12
C ．1
D ．2 4．A [解析] 因为f (－1)＝21＝2，f (2)＝a ·22＝4a ＝1，所以a ＝14
. 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A
的值为( ) A ．－19 B.13 C ．1 D.72
5．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72
. 6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是( )
A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”
B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”
C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”
D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
6．D [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．
对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错．
对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”，
所以C 错．
对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确．
7．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1 表2。