计算共形几何-USTC
计算共形几何暑期讲习班 - 大连理工大学数学科学学院
计算共形几何暑期讲习班时间：2012年7月2日-7月6日上午9：00地点：大连理工大学研教楼301报告人：顾险峰教授纽约州立大学石溪分校课程摘要：Computational conformal geometry is an emerging interdisciplinary field, which combines modern geometry and computer science, and is applied in a broad range of fields in engineering, medicine and fundamental sciences.This course will cover the following fundamental concepts and theories: homology, homotopy and covering space in algebraic topology; Riemann mapping, uniformization and conformal welding; Riemann surface, Hodge theory, Abel differential, Riemann-Roch theorem, conformal module, Tiechmuller space, quasi-conformal mapping theory; differential geometry of surfaces, exterior calculus, Gauss-Bonnet theorem, characteristic class; hyperbolic geometry, surface Ricci flow etc.The course will cover the following computational algorithms: representation of discrete surface, discrete exterior calculus, homology groups, homotopy groups, covering space, harmonic maps, harmonic differential forms, holomorphic differential forms, conformal structure, discrete conformal mapping, conformal module, discrete Ricci flow, uniformization metric, Teichmuller coordinates, quasi-conformal mapping, conformal welding, persistence homology and its stability, and so on.The course will introduce the following engineering applications: in computer graphics, mesh parameterization, texture mapping, vector field design; in computer vision, surface tracking and matching with large deformations, geometric database indexing, shape analysis; in geometric modeling, manifold spline theory, mesh-spline conversion; in medical imaging, conformal brain mapping, virtual colonoscopy; in computational geometry, homotopy detection, graph embedding; in wireless sensor network, routing based on metric design, load balancing; in computational topology, computing homology。
中科院课程
Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969. 撰写人： 肖良(中国科学院研究生院) 撰写日期： 2001 年 10 日
同构定理；共轭定理。 第五章 存在定理
通用包络代数；PBW 定理；生成元与定理关系。 第六章 表示理论
有限维表示；基础表示与初等表示；旋表示；表示的 Freudeuthal 公式；特征标理论；Weyl 公式；Kostant 公式和 Steinberg 公式。 第七章 李群与李代数
指数映射；伴随表示；李群与李代数。
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时 也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代 数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过 本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技 巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚 实基础。 内容提要: 第一章 欧氏空间
单纯同调群；奇异同调群；一般系数同调群；长正合同调列； Mayer-Vietoris 序列；球面同调群及几何应用；Lefschetz 不动点定理； CW 复形及其同调群。 第四章 上同调与对偶定理
上同调群；正合上同调列；上同调环；Poincare 对偶定理； Alexander 对偶定理；Lefschetz 对偶定理。
主要参考书： 1．Maunder, C.R.F.，Algebraic Topology，Cambridge University Press，
中科大考博辅导班：2019中科大数学科学学院考博难度解析及经验分享
中科大考博辅导班：2019中科大数学科学学院考博难度解析及经验分享中国科学院大学2019年博士研究生招生统一实行网上报名。
报考者须符合《中国科学院大学2019年招收攻读博士学位研究生简章》规定的报考条件。
考生在报考前请联系所报考的研究所(指招收博士生的中科院各研究院、所、中心、园、台、站)或校部相关院系，了解具体的报考规定。
下面是启道考博辅导班整理的关于中国科学技术大学数学科学学院考博相关内容。
一、院系简介数学科学学院的前身数学系于1958年由著名数学家华罗庚教授亲自主持创办并任首任系主任，关肇直、吴文俊、冯康、龚昇、王元、万哲先、陆启铿、石钟慈、林群、张景中、陈希孺等一大批知名专家曾在此任教。
2011年5月，数学科学学院正式挂牌成立，首任院长为马志明院士。
本院为首批全国理科人才培养基地、中国科学院博士生重点培养基地、长江学者特聘岗位设置学科，并获得首批数学一级学科博士学位授予权（涵盖数学所有博士点）,2007年获首批一级重点学科，是教育部985、211工程、中科院知识创新工程建设学科。
为吸引高水平的学者来我院讲学，学校为本院设立了“华罗庚大师讲席”及“吴文俊大师讲席”。
二、招生信息中国科学技术大学数学科学学院博士招生专业有1个：070100数学研究方向：随机分析与数理金融．计算机辅助几何设计．计算机图形学．应用逼近论、并行计算．组合优化．李代数及相关理论．微分几何．可积系统与子流形．几何分析．Ads/ds 空间的几何．可积系统．代数表示论．微分几何．非线性演化方程．可积系统．一维动力系统．材料科学与结构分析的计算方法研究．计算机辅助几何设计．计算机图形学．应用逼近．密码学．李代数及相关理．组合数学．信息安全．编码理论．无穷维系统控制．复杂系统控制及系统可靠．几何拓扑．拓扑量子场．动力系统．遍历理论．拓扑．图论．代数组合．偏微分方程．几何分析．亚纯函数值分布相关理论．一维动力系统．计算机辅助几何设计．计算机图形学．应用逼近论．生物数学．抛物方程动力学．应用分析．计算机图形学．图像处理．微分几何．离散几何分析．偏微分方程．几何分析．大范围分析．极值组合．图论．概率方法．组合优化．偏微分方程．算术代数几何．代数数论．函数空间与算子理论．Clifford分析．哈密尔顿系统．动力系统．遍历理论．拓扑学．一维动力系统．代数几何．微分方程动力系统．生物数学．几何分析．微分几何．代数群与量子群．算术代数几何．概率论与随机分析．偏微分方程数值方法．数据科学．最优化计算方．计算几何（三维打印的优化设计）．黎曼几何．动力系统．遍历理论．拓扑学．代数表示论．量子群与张量范畴．弦理论．共形场．最优化计算方法．随机优化．偏微分方程数值方法理论及应用．李代数与量子群．随机分析．微分几何．几何分析．组合设计与编码．宇宙学．偏微分方程数值解．可积系统三、报考条件（1）中华人民共和国公民；拥护中国共产党的领导，愿意为祖国社会主义现代化建设服务；品德良好，遵纪守法，学风端正，无任何考试作弊、学术剽窃及其它违法违纪行为；（2）身体健康状况符合我校规定的体检要求，心理正常；（3）申请者原则上应来自国内重点院校或所在高校学习专业为重点学科；（4）专业基础好、科研能力强，在某一领域或某些方面有特殊学术专长及突出学术成果；（5）对学术研究有浓厚的兴趣，有较强的创新意识、创新能力和专业能力；（6）申请者的学位必须符合下述条件之一：应届硕士毕业生须在博士入学前取得硕士学位；或已获得硕士或博士学位；在境外获得学位的考生，须凭教育部留学服务中心的认证书报名；（7）具有较强的语言能力，外语（限本单位招生专业目录中公布的语种）水平较高。
中国科学技术大学2017年线性代数与解析几何考研试题及解答
2.
设直线
l:
1−x 3
=y+1=
3−z 2
在平面
x−y+z
=2
上的投影为
l1,
则
l1
的方程为
,l
绕 l1 旋转所得的曲面方程是 .
101
3. 矩阵 1 1 = −1 1
3 + a1b1 a1b2
,
行列式
det
a2b1
3 + a2b2
a1b3
a2b3
=
.
a3b1
a3b2 3 + a3b3
3 −2 1
2. (15分) 考虑二阶复方阵 M (C) 组成的复线性空间, 方阵 A = 7 2 以及线性变换 B : 37
M2(C) → M2(C) 满足 B(X) = AX − XA, 其中 X 为任意 2 阶方阵, 试证明: B 是可对角 化的线性变换.
3. (20分) 设 V 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 f (x), g(x) ∈
解得
a
=
3 5
.
2. 设 l 与平面的交点为 (1 − 3t, t − 1, 3 − 2t), 由交点在平面上得 1 − 3t − t + 1 + 3 − 2t = 2, 解得
t
=
1 2
,
于是交点为
−
1 2
,
−
1 2
,
2
. l1 的一个方向向量为 (−3, 1, −2) × (1, −1, 1) × (1, −1, 1) =
就马上得到结论. 至于上面例题的证明可以翻书查阅, 书上给了两种证明, 第二种证明与证 明惯性定理类似.
计算共形几何讲义
计算共形几何讲义共形几何是数学中的一个重要分支，研究的是保持角度不变的变换。
它在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍共形几何的基本概念和计算方法。
共形几何的基本概念是保持角度不变的几何变换。
在平面几何中，共形变换包括平移、旋转和缩放三种基本变换。
平移是将图形沿着平行线移动，旋转是将图形绕着某一点旋转一定角度，缩放是将图形按照比例因子放大或缩小。
这三种变换都是保持角度不变的，因此它们都是共形变换。
在计算共形几何中，我们经常使用的工具是复变函数和复平面。
复变函数是将复数映射到复数的函数，它具有两个实部和虚部。
复平面是由复数构成的平面，其中实部和虚部分别对应于平面上的横轴和纵轴。
复变函数在共形几何中有着重要的应用，可以用来描述共形变换。
共形几何的计算方法主要包括两个方面：共形映射和共形度量。
共形映射是指将一个复变函数应用到一个图形上，从而得到一个经过共形变换的新图形。
共形映射可以通过复变函数的特定形式来实现，例如使用指数函数、对数函数或三角函数等。
共形度量是指计算两个图形之间的共形距离，即它们之间的角度差异。
共形度量可以通过计算两个图形的曲率来实现，曲率是指曲线在某一点处的弯曲程度。
共形几何在实际应用中有着广泛的应用。
在物理学中，共形几何被用来描述弯曲时空中的物理现象，例如黑洞的形成和宇宙膨胀等。
在工程学中，共形几何被用来设计无人机的飞行路径和机器人的运动轨迹等。
共形几何还被应用于图像处理和计算机图形学等领域，用来实现图像的变换和渲染。
总结起来，共形几何是研究保持角度不变的几何变换的数学分支。
它使用复变函数和复平面来描述共形变换，并通过共形映射和共形度量来计算共形距离。
共形几何在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
它不仅可以用来描述自然界中的现象，还可以用来解决工程和计算机图形学中的实际问题。
因此，深入了解和掌握共形几何的基本概念和计算方法对于学习和应用共形几何是非常重要的。
非线性问题初步-USTC
线性算子和非线性算子
线性算子的定义
1） L(φ + ϕ ) = Lφ + Lϕ
2） L(cφ) = cLφ
例如：
L = d + ⎜⎛ d ⎟⎞2 dx ⎝ dx ⎠
离散模型：代数方程（组）
[K({a}]{a} = {f {a}}
(二) 固体力学平面问题的 基本方程
１）几何关系（应变-位移方程）非线性
非线性问题初步
第一节 基本概念
(一) 线性算子和非线性算子 (二) 固体力学平面问题的基本
方程 (三) 几种情况的示意图
(一) 线性算子和非线性算子
自然现象和工程问题的数学模型 数学模型的分类 离散模型和连续模型
静态问题 动态问题 特征值问题 线性问题和非线性问题
L(φcφ+)ϕ=)c=LφLφ + Lϕ
根据几何关系，有: sin β = Lsinα −u L−∆
L cosα = ( L − ∆) cos β L sin α = ( L − ∆) sin β + u
由上式得到
Lα = L − ∆ = L2 − 2Lu sin α + u 2 sin β = L sinα − u
L−∆
平衡方程是（变形后形态的平衡方程）
了，而又抓住了问题本质。
回到线性问题的有限元法，我们得到的是一组线性代数方程
组 [K]{a} = { f }
{ f } = ∫De [ N ]T {b}dD ：外载荷向量， 对变形前区域积
分，没有区分变形前后形状的变化，变形以后的区域是未知
的。{a}
：节点位移向量
{ } [K] = ∫De [B]T[D][B]dD ：刚度矩阵，与 a 无关，
计算共形几何
Note: This is mostly copied or translated from the papers ofProf. Xianfeng Gu (/~gu/).计算共形几何张威应用数学110060591引言共形几何是纯数学中很多学科的交叉领域,比如黎曼曲面理论、微分几何、代数曲线、代数拓扑、偏微分方程、复分析等等.它有很长的历史,至今在现代几何与现代物理中仍然非常活跃.比如超弦理论中的共形场和理论物理中的模空间理论都是当今快速发展的研究领域.近些年来,随着三维数字扫描仪、计算机辅助几何设计、生物信息和医学成像的快速发展,出现了越来越多的三维数字模型.因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些模型.计算共形几何在数字几何处理中扮演了一个重要角色.它已经应用在很多重要的领域,比如曲面修复、光顺、去噪、分片、特征提取、注册、重新网格化、网格样条转换、动画和纹理合成.特别地,共形几何奠定了曲面参数化的理论基础,同时也提供了严格的算法.计算共形几何还应用于计算机视觉中的人脸跟踪、识别和表情转换,医学成像中的脑电图、虚拟结肠镜和数据融合,几何建模中的具有任意拓扑流形上的样条构造.共形几何之所以如此有用是基于以下一些事实:•共形几何研究的是共形结构.日常生活中的所有曲面都有一个自然的共形结构,因此共形几何算法非常普遍.•共形结构比黎曼度量结构更灵活、比拓扑结构更具有刚性.它能处理大量黎曼几何不能有效处理的变换,这些变换还能保持很多拓扑方法会丢失的几何信息.•共形映射比较容易控制.比如,两个单连通封闭曲面之间的共形映射构成一个6维空间,因此只要固定3个点,这个映射就是唯一的.这个事实使得共形几何方法在曲面匹配和比较中非常有价值.•共形映射保持局部形状,因此在可视化方面有很好的应用.•所有的曲面都可以根据共形结构进行分类,而且所有的共形等价类形成一个有限维流形.这个流形有丰富的几何结构,容易对其分析和研究.与之相反,曲面的等距类形成一个难以分析处理的无穷维流形.计算共形几何•计算共形几何算法是以椭圆偏微分方程为基础的,而椭圆偏微分方程又是容易求解而且稳定的,因此计算共形几何方法对于实际工程应用非常有用.•共形几何中,所有单连通曲面都能共形变换成某种标准空间:球面、平面、双曲空间.也就是说,任何曲面都具有三种标准几何(球几何、欧式几何、双曲几何)中的一种.这样大部分三维数字几何处理任务都能转化成二维标准空间中的任务.历史上,计算共形几何方法已经广泛应用于许多工程领域,然而绝大部分应用都基于平面区域的共形映射.最近,随着数学理论的发展和计算能力的提升,计算共形几何方法已经从平面区域推广到具有任意拓扑的曲面.1.1共形变换和共形结构图1:共形映射保持角度(a)Circle packing(b)Checkboard图2:共形映射根据Fleix Klein的Erlangen纲领,几何就是研究在特定的变换群下保持不变的空间性质.共形几何就是研究保角变换群下的不变量.它介乎于拓扑和黎曼几何之间.计算共形几何共形映射就是保角映射,如图1所示.在无穷小邻域,共形映射就是放缩变换.它保持局部形状,比如它将无穷小圆周映成无穷小圆周.如图2所示,这个bunny曲面通过一个共形映射映到平面.如果平面有一个circle packing,则通过拉回得到bunny曲面上的一个circle packing.如果给平面铺上棋盘格,则同样得到bunny曲面的棋盘格修饰,其中直角和正方形都是保持的.曲面上的两个黎曼度量是共形的,如果它们定义的角度是相同的.共形结构就是指曲面上度量的共形等价类,而黎曼曲面就是带有共形结构的光滑曲面.因此在黎曼曲面上,我们可以度量角度,但不能度量长度.每一个带有度量的曲面都自动成为一个黎曼曲面.如果两个黎曼曲面之间存在共形映射,则称它们是共形等价的.显然,共形等价是黎曼曲面间的一个自然的等价关系.共形几何的目的就是在共形等价意义下对黎曼曲面进行分类,这就是所谓的模空间问题.给定一张光滑曲面,考察它上面的所有共形结构在共形等价下的模,这个集合被称为曲面的模空间.对于具有正亏格的封闭曲面,模空间是正维数的有限维空间.1.2基本任务下面的问题是计算共形几何最基本的一些任务.这些问题是相互依赖的:1.共形结构给定一张带有黎曼度量的曲面,计算它的内蕴共形结构的不同表示.一种方法是计算它的Abelian微分群,另一种方法是计算标准的黎曼度量.2.共形模完全共形不变量称为黎曼曲面的共形模.正如前面所讲的,理论上存在一组有限的数完全决定了黎曼曲面,这些称为黎曼曲面的共形模.一个比较难的问题是显式计算任意给定曲面的共形模.3.标准黎曼度量黎曼曲面的uniformization定理揭示了每一个黎曼度量都共形等价于一个常Gauss 曲率度量.除了球面和环面外,这个度量是唯一的.计算这个度量在计算共形几何中具有基本的重要性.4.共形映射计算共形几何计算两个共形等价的曲面之间的共形映射可以简化为计算它们到标准形状空间(球面、平面、双曲空间中的圆域)之间的共形映射.5.拟共形映射大部分微分同胚都不是共形的,它们将无穷小圆周映成无穷小椭圆.如果这些椭圆的长短轴比一致有界,那么就称为拟共形映射.拟共形映射的微分是由所谓的Beltrami微分刻画的,Beltrami微分记录了长轴方向和长短轴比.有一个基本定理是说通过Beltrami微分可以恢复拟共形映射.而至于怎样通过Beltrami微分计算拟共形映射,则是一个具有很多应用价值的重要问题.6.共形镶嵌粘合带边黎曼曲面并研究缝曲线形状和粘合样式之间的关系.这与拟共形映射问题紧密相关.1.3共形几何在工程应用中的优点计算共形几何已经被证实在许多工程领域中有重要应用.下面是一些主要理由:1.标准区域所有带度量的曲面都能共形地映成球面、平面或双曲圆盘中的标准区域.这可以帮助我们将三维几何处理问题转化为二维问题.2.通过曲率设计度量每一个共形结构都有一个常Gauss曲率的标准度量,这个度量在很多几何应用中非常有价值.例如在双曲度量下,每一个非平凡同伦类都有一个闭测地线代表元.此外,我们可以根据预先给定的曲率设计黎曼度量,这在几何建模中非常有用.3.一般几何结构共形几何方法能够用来构造其他几何结构,比如仿射结构、射影结构等等.这些结构在几何建模应用中是关键的.4.微分同胚的构造共形映照和拟共形映照可以被用来构造曲面间的微分同胚.可以应用于曲面注册和比较这些计算机视觉和医学图像中最基本的问题.计算共形几何5.等温坐标共形结构可以被当作曲面上的等温坐标图册.在这种坐标下,度量的表达式最简单,因此所有的微分算子,比如Laplace-Beltrami算子,具有很简洁的表达式.这可以用来简化偏微分方程.等温坐标保持局部形状,对于可视化和纹理映射是非常完美的.2已有工作图3:基本群的多边形表示图4:四种类型的图.(a)A cut graph但不是system of loops.(b)A system of loops.(c)基本群的基但不是system of loops.(d)同调基,但既不是同伦基也不是cut graph.计算共形几何已经有比较长的历史了,起初大部分共形几何方法都是针对平面区域或拓扑圆盘的.直到近些年来才推广到具有复杂拓扑的曲面上,这与当前研究热点计算拓扑的发展是紧密相关的.有相当一部分计算共形算法是依赖于计算拓扑算法的.计算共形几何图5:从左到右:输入模型,handle(绿)和tunnel(红)环,handle特征2.1计算拓扑计算拓扑的研究对象主要是单纯复形,比如三角网格曲面就是一种二维单纯复形.计算拓扑的一些基本问题就是计算曲面单纯复形的cut graph,同调群和基本群.知道了cut graph,就能将曲面剪开成拓扑圆盘,这对于参数化和纹理映照是非常有用的.知道了基本群,就能完全确定封闭曲面的拓扑分类.通常基本群是用多边形表示的,其中有约化多边形表示、标准多边形表示等一些特殊的多边形表示,见图3.Vegter和Yap[1]给出了计算标准多边形表示的算法,Lazarus等[2]简化了Vegter和Yap的算法,复杂度为O(gn),其中n,g分别为曲面的大小和亏格.标准多边形表示由2g 个具有公共点的环组成,令人不满意的是它们可能具有公共边.在大部分应用中,标准多边形表示不是必须的,只需要知道cut graph就足够了.cut graph是指三角网格曲面上的一族边集使得曲面去掉这些边后变成拓扑圆盘,如图4所示.Dey和Schipper[3]使用cut graph得到了检验曲线是否可缩或两曲线是否同伦的快速算法.2002年,Erickson等[4]第一次提出了最优cut graph的问题:给每一条边赋一个权,求权最小的cut graph.这篇文章证明了最小cut graph问题是NP难的,并给出了计算近似最小cut graph的贪婪算法,该算法复杂度为O(g2n log n),精度为O(log2g).de Verdière和Lazarus[5]研究了一种称为"systerm of loops"的特殊cut graph,每一个systerm of loops都由具有公共基点的2g个环组成,如图4所示.Erickson等[6]给出了一个简单的贪婪算法来计算基本群和第一同调群的生成元,这同时也解决了de Verdière和Lazarus提出了最短systerm of loops问题.计算共形几何曲面上一些与特征紧密相关的环,比如handles和tunnels,在诸如拓扑修复、曲面参数化和特征识别等应用中非常有用,如图5所示.Dey等[7--9]给出了计算handles和tunnels的算法.Yin等[10]提出了使用universal covering space来计算最短非平凡环的算法.de Verdière[11]使用最优pants分解来找同伦类中的最短环.Xin等[12]研究了高亏格曲面上的测地环.关于曲面上的非平凡环,还有许多文章[13--19],目前仍是一个热点问题.(a)调和1形式(b)共轭的调和1形式图6:调和1形式2.2平面区域传统的数值复分析方法集中在平面区域的共形映射.[20--25]作了详尽总结. Schwarz-Christoffel映射已经被广泛应用于计算共形映射[26,27].[28--30]研究了多连通区域的Schwarz-Christoffel映射.[31]给出了一种基于交比和Delaunay三角化的鲁棒算法.最近,Marshall等[32]引进了基于迭代简单映射的geodesic zippper算法,Bishop[33]提出了基于双曲几何的线性复杂度的共形映射算法.2.3亏格为0的曲面[34]利用余切公式构造了离散调和映射,Lévy等[35]引进了Cauchy-Riemann方程的一阶有限元逼近.2002年,Desbrun等[36]最小化Dirichlet能量得到了离散内蕴参数化. Floater[37]引进平均值坐标来计算广义调和映射.[38,39]对拓扑球面的共形映射进行了研究.在CG领域,[40,41]对拓扑圆盘和球面上的共形映射进行了详尽地总结.计算共形几何2.4高亏格曲面高亏格曲面上共形结构的计算有两个主要方法:全纯微分方法和离散曲率流方法.图7:全纯1形式2.4.1全纯微分离散全纯微分方法是由Gu和Yau[42,43]提出的,用来计算高亏格曲面上的共形结构.这个方法基于Hodge理论,使用热扩散方法来计算每一个上同调类中的调和形式,见图6(a)和6(b).然后利用Hodge星算子构造全纯形式,见图7.所有计算都是在离散多边形曲面上进行的.Pinkall等[34]定义了一种不同的离散Hodge星算子来计算极小曲面. Mercat[44]通过离散Cauchy-Riemann方程来构造离散全纯映射,不过这个方法要求曲面是四边形网格.2003年,Hirani在他的博士论文[45]中详细介绍了离散外微分方法.Gortler等[46,47]使用离散1形式来对亏格为1的曲面进行参数化.Tong等[48]推广到带有锥奇点的1形式方法,并用来进行remeshing和tiling.2009年,Zeng等[49,50]将全纯微分方法应用于计算带多个边界的亏格为0的曲面上的共形映射,以及拟共形映射.2.4.2Ricci FlowRicci流是由Hamilton[51]在Princeton的讨论班上引进的.Ricci流对曲面和三维流形的几何研究产生了革命性的影响,是当前几何研究中极为活跃的方向.特别地,计算共形几何它导致了三维Poincaré猜测的证明.Hamilton[52]使用2维Ricci流给出了正亏格曲面uniformization定理的证明.这表明了它在CG领域中有极大的潜在应用价值.图8:Circle packing存在很多方法离散光滑曲面,其中与共形映射离散特别相关的是由Thurston[53]引进的circle packing度量.circle packing这个概念首先是由Koebe提出的,Thurston猜测平面Jordan区域的circle packing离散序列收敛于Riemann映射,见图8.这个猜测被Rodin 和Sullivan[54]所证明.Colin de Verdière[55]建立了circle packing的第一变分原理,然后证明了Thurston的circle packing度量存在性.这为实现计算circle packing度量的快速算法铺平了道路,比如Collins和Stephenson[56]就给出了一个算法.Chow和Luo[57]推广了Colin de Verdière 的工作,并引进了曲面上的离散Ricci流和离散Ricci能量.它们证明了离散Ricci流的一般存在性和收敛性定理,同时证明了Ricci能量的凸的.基于此,Jin[58]在2008年给出了离散Ricci流的算法实现.另外一个相关的离散方法是circle pattern,它同时考虑网格曲面的组合与几何信息,可以看成是circle packing的变种.Circle pattern是由Bowers和Hurdal[59]提出的,已经被证明是Bobenko和Springborn[60]提出的凸能量的极小元.2006年,Kharevych等[61]给出了一个有效的circle pattern算法.2.4.3Yamabe FlowYamabe问题目的是为紧Riemann流形找到具有常标量曲率的共形度量.Yamabe[62]给出了第一个带有漏洞的证明,之后被一些包括Trudinger[63],Aubin[64]和Schoen[65]在内的研究者所更正.关于这个问题的详细总结可以参看Lee和Parker的文章[66].2004年,Luo[67]研究了曲面上的离散Yamabe流.他引进了多边形度量的离散共形计算共形几何变换概念,这在研究离散Yamabe流和相应的变分原理方面具有关键性的作用.基于离散共形类和几何方面的考虑,Luo定义离散Yamabe能量为微分1形式的积分,然后证明了这个能量是一个局部凸函数.他还从这得出Yamabe流下的曲率发展是一个热方程.最近,Springborn等[68]的一个非常漂亮的工作表明可以将Yamabe能量和Milnor-Lobachevsky函数等同起来,将曲率发展的热方程和余切Laplace方程等同起来.近期Gu 等[69]使用离散Yamabe能量构造了一个计算离散共形度量的有效算法.Bobenko等[70]讨论了离散双曲Yamabe流,它被Zeng等[71]用来计算双曲结构和标准同伦群生成元.图9:全局共形的纹理映照图10:使用特殊的平坦度量设计向量场2.5应用2.5.1图形学共形几何方法广泛应用于CG中.等温坐标对于全局共形参数化来说是很自然的[42].因为共形映照不会扭曲局部形状,所以它对于纹理映照来说是非常理想的.图9显示了一个使用全纯微分进行纹理映照的例子.特殊的平坦度量对于设计曲面上的向量场是非常有价值的,图10显示了使用曲率流方法设计的向量场.计算共形几何图11:流形样条框架2.5.2几何建模几何建模中的一个最基本的问题就是将传统的欧式区域上的样条系统地推广到流形区域上,这与曲面上的一般几何结构关系紧密,见图11和12.传统的样条方案是建立在仿射不变量上的,如果流形具有仿射结构,那么传统的样条也能直接推广到流形上.然而由于拓扑障碍,一般的流形不具有仿射结构.但是删去一些奇点后,曲面上允许存在仿射结构.详细的讨论请参考Gu等[72].仿射结构可以通过共形几何方法显式计算.比如可以通过曲率流和全纯微分方法来计算仿射结构,图13显示的是用曲率流方法构造的仿射结构.与其他的方法比较起来,比如基于平凡联络的方法[73],这些方法的优点是它能给出样条曲面的全局共形参数化,即等温坐标.在这种坐标下,微分算子,比如梯度算子和Laplace-Beltrami算子,具有最简单的形式.2.5.3医学成像共形几何在医学成像的很多领域都有应用.比如在脑电图中,不同部分的大脑皮层曲面片的注册是关键性的.大脑表面高度卷曲,而且不同的人的大脑有不同的解剖结构,计算共形几何图12:流形样条图13:仿射结构因此在大脑皮层曲面片之间找到好的匹配是非常有挑战性的任务.图14演示了一个解决方案[39],先通过用标准方式将大脑表面映到球面,然后找到球面的自同构,这样曲面片的注册就很容易建立了.2.5.4视觉曲面匹配在计算机视觉中是一个基本问题.图15演示了曲面匹配的基本框架.图16演示了同一个人的不同表情的人脸匹配的例子,细节可参考[74--76].Teichmüller理论可以应用于曲面分类[77,78].通过使用Ricci曲率流,我们可以计算双曲uniformization度量.然后我们使用测地线进行pants分解并计算Fenchel-Nielsen坐标.图17演示了万有覆盖空间在双曲空间中的一个有限部分的计算,图18演示了计算Teichmüller坐标的流程.计算共形几何图14:大脑表面的共形映照图15:曲面匹配框架2.5.5计算几何在计算几何中,同伦检测是一个重要的问题.可以使用Ricci流计算双曲uniformiza-tion度量[71].根据Gauss-Bonnet定理,每一个同伦类中有唯一的闭测地线.给定一个环,我们可以计算这个环的同伦类对应的Möbius变换,这个变换的轴就是双曲度量下的闭测地线.如图19所示,同伦的环的标准代表元是相同的.计算共形几何图16:不同表情的人脸匹配图17:万有覆盖空间在双曲空间中的有限部分3总结计算共形几何是一门数学和计算机科学的交叉学科,它对数学理论的掌握要求比较高.很多算法都依赖于拓扑算法,与计算拓扑紧密相关.本文介绍了这个方向的一些基本问题、算法以及应用.目前仍然有很多基本问题没有解决,它们需要更深刻的理解和更强大精确的计算方法.下面列举一些对理论和应用都非常重要的问题.1.Teichmüller映射给定两个度量曲面和映射同伦类,计算唯一的angle distortion最小的映射,也就是Teichmüller映射.计算共形几何图18:Teichmüller空间中的Fenchel-Nielsen坐标图19:使用双曲度量进行同伦检测2.Abel微分计算不同类型的Abel微分群,特别是全纯的二次微分.3.组合结构和共形结构之间的关系给定一个拓扑曲面,每一个三角化都有一个由circle packing决定的自然的共形结构,讨论这两个结构之间的关系.4.逼近理论尽管计算共形不变量的算法已经有了,但是逼近的理论结果仍没有建立.对于平面区域的共形映射,不同离散方法的收敛性都已经建立了.但是对于一般曲面而言,收敛性分析仍然是开放的.5.精度和稳定性双曲几何计算对于数值误差是非常敏感的.要提高计算精度是非常具有挑战性的.计算几何中的精确计算方法给出了解决这个问题的方向.在逆距离circle packing计算共形几何方法和组合Yamabe流方法中,可接受曲率空间的非凸性造成了算法的不稳定.因此,曲面需要高精度的三角化.在实际应用中,提高三角化精度对这些算法是非常重要的.交角为锐角的circle packing算法更加稳定,全纯微分方法最稳定.计算共形几何参考文献[1]Vegter,G.,Yap,C.K.,putational complexity of combinatorial surfaces.In:Proceedingsof the sixth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,102-111.[2]Lazarus,F.,Pocchiola,M.,Vegter,G.,et al,puting a canonical polygonal schema of anorientable triangulated surface.In:SCG'01:Proceedings of the seventeenth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,80-89.[3]Dey,T.K.,1994.A new technique to compute polygonal schema for2-manifolds with applica-tion to null-homotopy 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USTC中国科技大学《计算机图形学》暑期课程_计算机图形学进展_刘利刚
刘利刚 中国科学技术大学
我们的显示设备是二维的
2D图像
0.6 R + 0.3 G + 0.1 B
我们生活的世界是三维的
如何表达三维物体的表面？
陶瓷兔子实物的照片
3D模型：三维坐标点的表达方式
采用不同密度的点 来表达的3D兔子模型
3D物体的数字表达：点和三角面
三角面片
线 点
80
85
90
95
00
05
10
图像
几何
Visual Computing
• Visual media
– Computer graphics to visual information
Image
Video
Geometry
Animated geometry
计算机图形学的主要内容？
1. 建模 Modeling
3D设计（3D建模）
将想象中的3D物体构建出来
3D Modeling from X
Sketches
Hand drawing
Point Clouds
3D Model
Images
3D Scanner
Taking Photos
1.1 3D扫描建模
3D数字采集设备
基于深度相机的3D扫描
通过深度相机设备测量物体表面的点坐标数据， 然后通过数学算法构建3D模型
3D打印
3D扫描 3D动画 3D设计 广泛的行业应用 3D娱乐 3D交互
3D科技
3D科技： 以3D数据为表达信息 以3D处理为技术手段
城市规划
3D交互：手势、身体等
3D交互：虚拟头盔+全息影像
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Note: This is mostly copied or translated from the papers ofProf. Xianfeng Gu (/~gu/).计算共形几何张威应用数学110060591引言共形几何是纯数学中很多学科的交叉领域,比如黎曼曲面理论、微分几何、代数曲线、代数拓扑、偏微分方程、复分析等等.它有很长的历史,至今在现代几何与现代物理中仍然非常活跃.比如超弦理论中的共形场和理论物理中的模空间理论都是当今快速发展的研究领域.近些年来,随着三维数字扫描仪、计算机辅助几何设计、生物信息和医学成像的快速发展,出现了越来越多的三维数字模型.因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些模型.计算共形几何在数字几何处理中扮演了一个重要角色.它已经应用在很多重要的领域,比如曲面修复、光顺、去噪、分片、特征提取、注册、重新网格化、网格样条转换、动画和纹理合成.特别地,共形几何奠定了曲面参数化的理论基础,同时也提供了严格的算法.计算共形几何还应用于计算机视觉中的人脸跟踪、识别和表情转换,医学成像中的脑电图、虚拟结肠镜和数据融合,几何建模中的具有任意拓扑流形上的样条构造.共形几何之所以如此有用是基于以下一些事实:•共形几何研究的是共形结构.日常生活中的所有曲面都有一个自然的共形结构,因此共形几何算法非常普遍.•共形结构比黎曼度量结构更灵活、比拓扑结构更具有刚性.它能处理大量黎曼几何不能有效处理的变换,这些变换还能保持很多拓扑方法会丢失的几何信息.•共形映射比较容易控制.比如,两个单连通封闭曲面之间的共形映射构成一个6维空间,因此只要固定3个点,这个映射就是唯一的.这个事实使得共形几何方法在曲面匹配和比较中非常有价值.•共形映射保持局部形状,因此在可视化方面有很好的应用.•所有的曲面都可以根据共形结构进行分类,而且所有的共形等价类形成一个有限维流形.这个流形有丰富的几何结构,容易对其分析和研究.与之相反,曲面的等距类形成一个难以分析处理的无穷维流形.计算共形几何•计算共形几何算法是以椭圆偏微分方程为基础的,而椭圆偏微分方程又是容易求解而且稳定的,因此计算共形几何方法对于实际工程应用非常有用.•共形几何中,所有单连通曲面都能共形变换成某种标准空间:球面、平面、双曲空间.也就是说,任何曲面都具有三种标准几何(球几何、欧式几何、双曲几何)中的一种.这样大部分三维数字几何处理任务都能转化成二维标准空间中的任务.历史上,计算共形几何方法已经广泛应用于许多工程领域,然而绝大部分应用都基于平面区域的共形映射.最近,随着数学理论的发展和计算能力的提升,计算共形几何方法已经从平面区域推广到具有任意拓扑的曲面.1.1共形变换和共形结构图1:共形映射保持角度(a)Circle packing(b)Checkboard图2:共形映射根据Fleix Klein的Erlangen纲领,几何就是研究在特定的变换群下保持不变的空间性质.共形几何就是研究保角变换群下的不变量.它介乎于拓扑和黎曼几何之间.计算共形几何共形映射就是保角映射,如图1所示.在无穷小邻域,共形映射就是放缩变换.它保持局部形状,比如它将无穷小圆周映成无穷小圆周.如图2所示,这个bunny曲面通过一个共形映射映到平面.如果平面有一个circle packing,则通过拉回得到bunny曲面上的一个circle packing.如果给平面铺上棋盘格,则同样得到bunny曲面的棋盘格修饰,其中直角和正方形都是保持的.曲面上的两个黎曼度量是共形的,如果它们定义的角度是相同的.共形结构就是指曲面上度量的共形等价类,而黎曼曲面就是带有共形结构的光滑曲面.因此在黎曼曲面上,我们可以度量角度,但不能度量长度.每一个带有度量的曲面都自动成为一个黎曼曲面.如果两个黎曼曲面之间存在共形映射,则称它们是共形等价的.显然,共形等价是黎曼曲面间的一个自然的等价关系.共形几何的目的就是在共形等价意义下对黎曼曲面进行分类,这就是所谓的模空间问题.给定一张光滑曲面,考察它上面的所有共形结构在共形等价下的模,这个集合被称为曲面的模空间.对于具有正亏格的封闭曲面,模空间是正维数的有限维空间.1.2基本任务下面的问题是计算共形几何最基本的一些任务.这些问题是相互依赖的:1.共形结构给定一张带有黎曼度量的曲面,计算它的内蕴共形结构的不同表示.一种方法是计算它的Abelian微分群,另一种方法是计算标准的黎曼度量.2.共形模完全共形不变量称为黎曼曲面的共形模.正如前面所讲的,理论上存在一组有限的数完全决定了黎曼曲面,这些称为黎曼曲面的共形模.一个比较难的问题是显式计算任意给定曲面的共形模.3.标准黎曼度量黎曼曲面的uniformization定理揭示了每一个黎曼度量都共形等价于一个常Gauss 曲率度量.除了球面和环面外,这个度量是唯一的.计算这个度量在计算共形几何中具有基本的重要性.4.共形映射计算共形几何计算两个共形等价的曲面之间的共形映射可以简化为计算它们到标准形状空间(球面、平面、双曲空间中的圆域)之间的共形映射.5.拟共形映射大部分微分同胚都不是共形的,它们将无穷小圆周映成无穷小椭圆.如果这些椭圆的长短轴比一致有界,那么就称为拟共形映射.拟共形映射的微分是由所谓的Beltrami微分刻画的,Beltrami微分记录了长轴方向和长短轴比.有一个基本定理是说通过Beltrami微分可以恢复拟共形映射.而至于怎样通过Beltrami微分计算拟共形映射,则是一个具有很多应用价值的重要问题.6.共形镶嵌粘合带边黎曼曲面并研究缝曲线形状和粘合样式之间的关系.这与拟共形映射问题紧密相关.1.3共形几何在工程应用中的优点计算共形几何已经被证实在许多工程领域中有重要应用.下面是一些主要理由:1.标准区域所有带度量的曲面都能共形地映成球面、平面或双曲圆盘中的标准区域.这可以帮助我们将三维几何处理问题转化为二维问题.2.通过曲率设计度量每一个共形结构都有一个常Gauss曲率的标准度量,这个度量在很多几何应用中非常有价值.例如在双曲度量下,每一个非平凡同伦类都有一个闭测地线代表元.此外,我们可以根据预先给定的曲率设计黎曼度量,这在几何建模中非常有用.3.一般几何结构共形几何方法能够用来构造其他几何结构,比如仿射结构、射影结构等等.这些结构在几何建模应用中是关键的.4.微分同胚的构造共形映照和拟共形映照可以被用来构造曲面间的微分同胚.可以应用于曲面注册和比较这些计算机视觉和医学图像中最基本的问题.计算共形几何5.等温坐标共形结构可以被当作曲面上的等温坐标图册.在这种坐标下,度量的表达式最简单,因此所有的微分算子,比如Laplace-Beltrami算子,具有很简洁的表达式.这可以用来简化偏微分方程.等温坐标保持局部形状,对于可视化和纹理映射是非常完美的.2已有工作图3:基本群的多边形表示图4:四种类型的图.(a)A cut graph但不是system of loops.(b)A system of loops.(c)基本群的基但不是system of loops.(d)同调基,但既不是同伦基也不是cut graph.计算共形几何已经有比较长的历史了,起初大部分共形几何方法都是针对平面区域或拓扑圆盘的.直到近些年来才推广到具有复杂拓扑的曲面上,这与当前研究热点计算拓扑的发展是紧密相关的.有相当一部分计算共形算法是依赖于计算拓扑算法的.计算共形几何图5:从左到右:输入模型,handle(绿)和tunnel(红)环,handle特征2.1计算拓扑计算拓扑的研究对象主要是单纯复形,比如三角网格曲面就是一种二维单纯复形.计算拓扑的一些基本问题就是计算曲面单纯复形的cut graph,同调群和基本群.知道了cut graph,就能将曲面剪开成拓扑圆盘,这对于参数化和纹理映照是非常有用的.知道了基本群,就能完全确定封闭曲面的拓扑分类.通常基本群是用多边形表示的,其中有约化多边形表示、标准多边形表示等一些特殊的多边形表示,见图3.Vegter和Yap[1]给出了计算标准多边形表示的算法,Lazarus等[2]简化了Vegter和Yap的算法,复杂度为O(gn),其中n,g分别为曲面的大小和亏格.标准多边形表示由2g 个具有公共点的环组成,令人不满意的是它们可能具有公共边.在大部分应用中,标准多边形表示不是必须的,只需要知道cut graph就足够了.cut graph是指三角网格曲面上的一族边集使得曲面去掉这些边后变成拓扑圆盘,如图4所示.Dey和Schipper[3]使用cut graph得到了检验曲线是否可缩或两曲线是否同伦的快速算法.2002年,Erickson等[4]第一次提出了最优cut graph的问题:给每一条边赋一个权,求权最小的cut graph.这篇文章证明了最小cut graph问题是NP难的,并给出了计算近似最小cut graph的贪婪算法,该算法复杂度为O(g2n log n),精度为O(log2g).de Verdière和Lazarus[5]研究了一种称为"systerm of loops"的特殊cut graph,每一个systerm of loops都由具有公共基点的2g个环组成,如图4所示.Erickson等[6]给出了一个简单的贪婪算法来计算基本群和第一同调群的生成元,这同时也解决了de Verdière和Lazarus提出了最短systerm of loops问题.计算共形几何曲面上一些与特征紧密相关的环,比如handles和tunnels,在诸如拓扑修复、曲面参数化和特征识别等应用中非常有用,如图5所示.Dey等[7--9]给出了计算handles和tunnels的算法.Yin等[10]提出了使用universal covering space来计算最短非平凡环的算法.de Verdière[11]使用最优pants分解来找同伦类中的最短环.Xin等[12]研究了高亏格曲面上的测地环.关于曲面上的非平凡环,还有许多文章[13--19],目前仍是一个热点问题.(a)调和1形式(b)共轭的调和1形式图6:调和1形式2.2平面区域传统的数值复分析方法集中在平面区域的共形映射.[20--25]作了详尽总结. Schwarz-Christoffel映射已经被广泛应用于计算共形映射[26,27].[28--30]研究了多连通区域的Schwarz-Christoffel映射.[31]给出了一种基于交比和Delaunay三角化的鲁棒算法.最近,Marshall等[32]引进了基于迭代简单映射的geodesic zippper算法,Bishop[33]提出了基于双曲几何的线性复杂度的共形映射算法.2.3亏格为0的曲面[34]利用余切公式构造了离散调和映射,Lévy等[35]引进了Cauchy-Riemann方程的一阶有限元逼近.2002年,Desbrun等[36]最小化Dirichlet能量得到了离散内蕴参数化. Floater[37]引进平均值坐标来计算广义调和映射.[38,39]对拓扑球面的共形映射进行了研究.在CG领域,[40,41]对拓扑圆盘和球面上的共形映射进行了详尽地总结.计算共形几何2.4高亏格曲面高亏格曲面上共形结构的计算有两个主要方法:全纯微分方法和离散曲率流方法.图7:全纯1形式2.4.1全纯微分离散全纯微分方法是由Gu和Yau[42,43]提出的,用来计算高亏格曲面上的共形结构.这个方法基于Hodge理论,使用热扩散方法来计算每一个上同调类中的调和形式,见图6(a)和6(b).然后利用Hodge星算子构造全纯形式,见图7.所有计算都是在离散多边形曲面上进行的.Pinkall等[34]定义了一种不同的离散Hodge星算子来计算极小曲面. Mercat[44]通过离散Cauchy-Riemann方程来构造离散全纯映射,不过这个方法要求曲面是四边形网格.2003年,Hirani在他的博士论文[45]中详细介绍了离散外微分方法.Gortler等[46,47]使用离散1形式来对亏格为1的曲面进行参数化.Tong等[48]推广到带有锥奇点的1形式方法,并用来进行remeshing和tiling.2009年,Zeng等[49,50]将全纯微分方法应用于计算带多个边界的亏格为0的曲面上的共形映射,以及拟共形映射.2.4.2Ricci FlowRicci流是由Hamilton[51]在Princeton的讨论班上引进的.Ricci流对曲面和三维流形的几何研究产生了革命性的影响,是当前几何研究中极为活跃的方向.特别地,计算共形几何它导致了三维Poincaré猜测的证明.Hamilton[52]使用2维Ricci流给出了正亏格曲面uniformization定理的证明.这表明了它在CG领域中有极大的潜在应用价值.图8:Circle packing存在很多方法离散光滑曲面,其中与共形映射离散特别相关的是由Thurston[53]引进的circle packing度量.circle packing这个概念首先是由Koebe提出的,Thurston猜测平面Jordan区域的circle packing离散序列收敛于Riemann映射,见图8.这个猜测被Rodin 和Sullivan[54]所证明.Colin de Verdière[55]建立了circle packing的第一变分原理,然后证明了Thurston的circle packing度量存在性.这为实现计算circle packing度量的快速算法铺平了道路,比如Collins和Stephenson[56]就给出了一个算法.Chow和Luo[57]推广了Colin de Verdière 的工作,并引进了曲面上的离散Ricci流和离散Ricci能量.它们证明了离散Ricci流的一般存在性和收敛性定理,同时证明了Ricci能量的凸的.基于此,Jin[58]在2008年给出了离散Ricci流的算法实现.另外一个相关的离散方法是circle pattern,它同时考虑网格曲面的组合与几何信息,可以看成是circle packing的变种.Circle pattern是由Bowers和Hurdal[59]提出的,已经被证明是Bobenko和Springborn[60]提出的凸能量的极小元.2006年,Kharevych等[61]给出了一个有效的circle pattern算法.2.4.3Yamabe FlowYamabe问题目的是为紧Riemann流形找到具有常标量曲率的共形度量.Yamabe[62]给出了第一个带有漏洞的证明,之后被一些包括Trudinger[63],Aubin[64]和Schoen[65]在内的研究者所更正.关于这个问题的详细总结可以参看Lee和Parker的文章[66].2004年,Luo[67]研究了曲面上的离散Yamabe流.他引进了多边形度量的离散共形计算共形几何变换概念,这在研究离散Yamabe流和相应的变分原理方面具有关键性的作用.基于离散共形类和几何方面的考虑,Luo定义离散Yamabe能量为微分1形式的积分,然后证明了这个能量是一个局部凸函数.他还从这得出Yamabe流下的曲率发展是一个热方程.最近,Springborn等[68]的一个非常漂亮的工作表明可以将Yamabe能量和Milnor-Lobachevsky函数等同起来,将曲率发展的热方程和余切Laplace方程等同起来.近期Gu 等[69]使用离散Yamabe能量构造了一个计算离散共形度量的有效算法.Bobenko等[70]讨论了离散双曲Yamabe流,它被Zeng等[71]用来计算双曲结构和标准同伦群生成元.图9:全局共形的纹理映照图10:使用特殊的平坦度量设计向量场2.5应用2.5.1图形学共形几何方法广泛应用于CG中.等温坐标对于全局共形参数化来说是很自然的[42].因为共形映照不会扭曲局部形状,所以它对于纹理映照来说是非常理想的.图9显示了一个使用全纯微分进行纹理映照的例子.特殊的平坦度量对于设计曲面上的向量场是非常有价值的,图10显示了使用曲率流方法设计的向量场.计算共形几何图11:流形样条框架2.5.2几何建模几何建模中的一个最基本的问题就是将传统的欧式区域上的样条系统地推广到流形区域上,这与曲面上的一般几何结构关系紧密,见图11和12.传统的样条方案是建立在仿射不变量上的,如果流形具有仿射结构,那么传统的样条也能直接推广到流形上.然而由于拓扑障碍,一般的流形不具有仿射结构.但是删去一些奇点后,曲面上允许存在仿射结构.详细的讨论请参考Gu等[72].仿射结构可以通过共形几何方法显式计算.比如可以通过曲率流和全纯微分方法来计算仿射结构,图13显示的是用曲率流方法构造的仿射结构.与其他的方法比较起来,比如基于平凡联络的方法[73],这些方法的优点是它能给出样条曲面的全局共形参数化,即等温坐标.在这种坐标下,微分算子,比如梯度算子和Laplace-Beltrami算子,具有最简单的形式.2.5.3医学成像共形几何在医学成像的很多领域都有应用.比如在脑电图中,不同部分的大脑皮层曲面片的注册是关键性的.大脑表面高度卷曲,而且不同的人的大脑有不同的解剖结构,计算共形几何图12:流形样条图13:仿射结构因此在大脑皮层曲面片之间找到好的匹配是非常有挑战性的任务.图14演示了一个解决方案[39],先通过用标准方式将大脑表面映到球面,然后找到球面的自同构,这样曲面片的注册就很容易建立了.2.5.4视觉曲面匹配在计算机视觉中是一个基本问题.图15演示了曲面匹配的基本框架.图16演示了同一个人的不同表情的人脸匹配的例子,细节可参考[74--76].Teichmüller理论可以应用于曲面分类[77,78].通过使用Ricci曲率流,我们可以计算双曲uniformization度量.然后我们使用测地线进行pants分解并计算Fenchel-Nielsen坐标.图17演示了万有覆盖空间在双曲空间中的一个有限部分的计算,图18演示了计算Teichmüller坐标的流程.计算共形几何图14:大脑表面的共形映照图15:曲面匹配框架2.5.5计算几何在计算几何中,同伦检测是一个重要的问题.可以使用Ricci流计算双曲uniformiza-tion度量[71].根据Gauss-Bonnet定理,每一个同伦类中有唯一的闭测地线.给定一个环,我们可以计算这个环的同伦类对应的Möbius变换,这个变换的轴就是双曲度量下的闭测地线.如图19所示,同伦的环的标准代表元是相同的.计算共形几何图16:不同表情的人脸匹配图17:万有覆盖空间在双曲空间中的有限部分3总结计算共形几何是一门数学和计算机科学的交叉学科,它对数学理论的掌握要求比较高.很多算法都依赖于拓扑算法,与计算拓扑紧密相关.本文介绍了这个方向的一些基本问题、算法以及应用.目前仍然有很多基本问题没有解决,它们需要更深刻的理解和更强大精确的计算方法.下面列举一些对理论和应用都非常重要的问题.1.Teichmüller映射给定两个度量曲面和映射同伦类,计算唯一的angle distortion最小的映射,也就是Teichmüller映射.计算共形几何图18:Teichmüller空间中的Fenchel-Nielsen坐标图19:使用双曲度量进行同伦检测2.Abel微分计算不同类型的Abel微分群,特别是全纯的二次微分.3.组合结构和共形结构之间的关系给定一个拓扑曲面,每一个三角化都有一个由circle packing决定的自然的共形结构,讨论这两个结构之间的关系.4.逼近理论尽管计算共形不变量的算法已经有了,但是逼近的理论结果仍没有建立.对于平面区域的共形映射,不同离散方法的收敛性都已经建立了.但是对于一般曲面而言,收敛性分析仍然是开放的.5.精度和稳定性双曲几何计算对于数值误差是非常敏感的.要提高计算精度是非常具有挑战性的.计算几何中的精确计算方法给出了解决这个问题的方向.在逆距离circle packing计算共形几何方法和组合Yamabe流方法中,可接受曲率空间的非凸性造成了算法的不稳定.因此,曲面需要高精度的三角化.在实际应用中,提高三角化精度对这些算法是非常重要的.交角为锐角的circle packing算法更加稳定,全纯微分方法最稳定.计算共形几何参考文献[1]Vegter,G.,Yap,C.K.,putational complexity of combinatorial surfaces.In:Proceedingsof the sixth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,102-111.[2]Lazarus,F.,Pocchiola,M.,Vegter,G.,et al,puting a canonical polygonal schema of anorientable triangulated surface.In:SCG'01:Proceedings of the seventeenth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,80-89.[3]Dey,T.K.,1994.A new technique to compute polygonal schema for2-manifolds with applica-tion to null-homotopy 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