不等关系与不等式的复习 教案

教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 比较两个实数的法则设a，b∈R，则（1）a－b＞0⇔a＞b；（2）a－b＝0⇔a＝b；（3）a－b＜0⇔a＜b.考点/易错点2 不等式的基本性质(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.③0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)．②假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0). 三、例题精析【例题1】【题干】(1)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．【解析】(1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ) ∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0， ∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)根据同底数幂的运算法则． a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b )a －b， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b )a －b >1，于是a a b b >a b b a . 当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则(a b)a －b >1，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a .【点评】比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断．【例题2】【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2；(4)若a <b <0，则1a >1b.【解析】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题．(2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题． (3)a <b ，a <0⇒a 2>ab ；a <b ，b <0⇒ab >b 2，命题是真命题． (4)由性质定理a <b <0⇒1a >1b，命题是真命题．【点评】(1)要注意不等式性质成立的条件．例如，重要结论a >b ，ab >0⇒1a <1b，不能弱化条件得a >b ⇒1a <1b.(2)要正确处理带等号的情况．如由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可得出a >c ；而 由a ≥b ，b ≥c 可能是a >c ，也可能有a ＝c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会 有a ＝c .【例题3】【题干】设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【解析】设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )．即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.【点评】一般地，由a <f 1(x 1，y 1)<b ，c <f 2(x 1，y 1)<d ，求g (x 1，y 1)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g (x 1，y 1)＝pf 1(x 1，y 1)＋qf 2(x 1，y 1)，用恒等变形求得p ， q ，再利用不等式的性质求得g (x 1，y 1)的取值范围．【例题4】【题干】已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．【解析】∵－π2≤α<π2，①－π2<β≤π2，② ①＋②得－π<α＋β<π， ∴－π2<α＋β2<π2.∵－π2<β≤π2，∴－π2≤－β<π2.③①＋③得－π≤α－β<π， ∴－π2≤α－β2<π2.又α<β，∴α－β2<0，∴－π2≤α－β2<0.四、课堂运用【基础】1． x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .2．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1 B ．2a <2b C ．lg ab <0D ．0<b a <1[答案] D[解析] ∵a >b >0 ∴0<ba<1.故选D.3．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2D ．a >b 2 [答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确．若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确．当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确．∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．4．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________． [答案] a <b <c[解析] ∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0，∴a <b <c .5．已知m 为实数，试比较代数式32m 2＋1和1m 2－m ＋2的大小．[解析] ∵m 为实数，∴2m 2＋1>0， m 2－m ＋2＝⎝⎛⎭⎫m －122＋74>0. ∴32m 2＋1－1m 2－m ＋2＝3m 2－3m ＋6－2m 2－1(2m 2＋1)(m 2－m ＋2) ＝m 2－3m ＋5(2m 2＋1)(m 2－m ＋2)＝⎝⎛⎭⎫m －322＋114(2m 2＋1)(m 2－m ＋2)>0，∴32m 2＋1>1m 2－m ＋2.【巩固】1．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c; ③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小．c a －c b ＝c (b －a )ab ，a >b >1，c <0，所以c (b －a )ab >0，c a >cb ，①正确；a >b >1，ac >b c ，②正确；a －c >b －c >0，y ＝log a x 是增函数，∴log a (a －c )>log a (b －c )，③正确，比较大小的方法有作差法、单调性法等．2．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解． 令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝m ＋n －3＝m －n ， ∴⎩⎨⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152，∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．3．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，(1)当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .(3)当a >1时，a 21－a <0，∴11－a <1＋a .4．已知a >0，b >0，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． [解析] ⎝⎛⎭⎫a b ＋ba －(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫ba －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a＝(a －b )(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b . 【拔高】1．若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识． “0<ab <1”，则a ，b 同号，若a >0，b >0，由ab <1得 a <1b ；若a <0，b <0，由ab <1，得b >1a ， 故“0<ab <1”⇒“a <1b 或b >1a”．当a <1b 时，a －1b ＝ab －1b <0，若b >0，则ab <1，但ab 不一定满足ab >0；若b <0，则ab >1.故“a <1b 或b >1a”⇒/ “0<ab <1”．2．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且ab ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋c b ＋c， 因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋cb ＋c 的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝(b －a )c(b ＋c )b.因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a <b ， 故有a b <a ＋cb ＋c 成立，即a ＋c b ＋c >a b≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．课程小结1．不等式的性质对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎”、“是”、”很显然“的理由代替不等式的性质．注意：不等式的性质应用很广泛，使用时要注意和等式的性质进行比较，要搞清性质成立的条件是否具备，做到有根有据，严谨科学．2．比较两个实数的大小要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．课后作业【基础】1．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C. 2．若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－3,6) C ．(－3,3) D ．(1,4)[答案] C[解析] 由－4<b <2⇒0≤|b |<4，－4<－|b |≤0， 又1<a <3.∴－3<a －|b |<3.故选C. 3．若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．ab >b 2 C.a b ＋ba >2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |[答案] C[解析] 由1a <1b <0，得b <a <0，显然A ，B ，D 不成立；∵a ，b 同号，且a b ≠b a ，∴a b ＋ba >2恒成立．4．使不等式a >b 成立的一个充要条件是( ) A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．lg a >lg b D.12a <12b [答案] D[解析] a ＝－2，b ＝1，满足a 2>b 2和1a <1b ，但a <b ；lg a >lg b ⇒a >b 但0>a >b ⇒/ lg a >lg b .5．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2________1a ＋1b .(填“>”，“＝”，“<”，“≤”或“≥”)[答案] ≥ [解析] a b 2＋b a 2－1a －1b＝b －a a 2＋a －b b 2＝(a －b )(1b 2－1a2) ＝(a －b )a 2－b 2b 2a 2＝(a －b )2(a ＋b )a 2b 2.∵a ＋b >0，∴(a －b )2(a ＋b )a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 【巩固】1．设a ＋b <0，且a >0，则( ) A ．a 2<－ab <b 2 B ．b 2<－ab <a 2 C ．a 2<b 2<－ab D ．ab <b 2<a 2[答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，则0<a <－b ，则a 2<－ab <b 2.另解：取a ＝1，b ＝－2，代入各选项检验知选A.2．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( )A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <BD ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .3．比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝⎛⎭⎫lg9＋lg1122＝lg 2994<lg 21004＝1.4．若实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a ，b ，c 的大小．[解析] b －c ＝a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴b ≥c ，⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝5a 2－8a ＋11 ①b －c ＝a 2－6a ＋9 ② 由①＋②得b ＝3a 2－7a ＋10，∵b －a ＝3a 2－7a ＋10－a ，＝3a 2－8a ＋10＝3(a －43)2＋143>0， ∴b >a .由①－②得c ＝2a 2－a ＋1∴c －a ＝2a 2－2a ＋1＝2(a －12)2＋12>0， ∴c >a .综上：b ≥c >a .【拔高】1．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( )A ．log 2a ＞0B ．2a －b ＞1C ．2ab ＞2D ．log 2(ab )＜－2[答案] 选D[解析] 由已知，0＜a ＜1,0＜b ＜1，a －b ＜0,0＜ab ＜14，log 2(ab )＜－2. 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b ＞b ＋1aB.b a ＞b ＋1a ＋1 C ．a －1b ＞b －1aD.2a ＋b a ＋2b ＞a b[答案] 选A [解析] 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a ＞b ＞0时，f (a )＞f (b )必定成立，但g (a )＞g (b )未必成立，可得，a －1a ＞b －1b ⇒a ＋1b ＞b ＋1a. 3．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定[答案] 选B[解析] 设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s (a ＋b )2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2s a ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )＞0，即乙先到教室． 4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y＞b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． [答案] ②④[解析] 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出 ②④成立．。