学案29：不等关系与不等式
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第1课时不等关系与不等式1.不等式的定义所含的两个要点(1)□01<，≤，>，≥或□02≠.(2)□03不等关系．2．比较实数a，b大小的依据(1)文字叙述如果a－b是□04正数，那么a>b；如果a－b是□05零，那么a＝b；如果a－b是□06负数，那么a<b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a□07>b；a－b＝0⇔a□08＝b；a－b<0⇔a□09<b.(3)结论确定任意两个实数a、b的大小关系，只需确定□10它们的差a－b与0的大小关系．3．比较大小的方法(1)作差：比较数(式)的大小常用作差与□110比较．(2)作商：两数(式)为同号时，作商与□121比较．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a 不大于－2，用不等式表示为a ≥－2.( )(2)某隧道入口竖立着“限高4.0米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h 应满足h <4.0.( )(3)若x 2>0，则x >0.( )(4)若x >1，则x 3＋2x 与x 2＋2的大小关系为x 3＋2x >x 2＋2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)(教材改编P 74T 1(2))一桥头竖立的“限重40 t ”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T 不超过40 t ，用不等式表示为________．(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于3%，蛋白质的含量p 应不少于2.5%，写成不等式组就是________．(3)若x ≠1，则M ＝x 2＋y 2－2x ＋2y 的值与－2的大小关系为________． (4)x 2＋3与2x 的大小关系为________． 答案 (1)T ≤40 (2)⎩⎨⎧f ≥3%，p ≥2.5% (3)M >－2(4)x 2＋3>2x探究1 用不等式(组)表示不等关系例1 某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解 设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514.∵x ，y 均为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29，即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56,28或58,29台计算机． 拓展提升将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接，应特别注意能否取等号． (3)多个不等关系用不等式组表示．【跟踪训练1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ，又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y .由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56000，800x ＋400y ＋500z ≥63000 及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.探究2 作差法比较大小例2 (1)设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，比较x 与y 的大小． (2)已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小． 解 (1)x －y ＝(m 4－m 3n )－(n 3m －n 4) ＝(m －n )m 3－n 3(m －n ) ＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)， ∵m ≠n ，∴(m －n )2>0.又∵m 2＋mn ＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＋3n 24>0，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)>0. ∴x －y >0，∴x >y .(2)p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1， ∴a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0. 综上，p －q >0，∴p >q . 拓展提升1.第(1)题通过分解因式和配方判断差的符号，第(2)题通过分类讨论判断差的符号．可以看到，用作差比较法时，判断所作差的符号常用配方法、分解因式法、分类讨论法．2．作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形： (1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论．【跟踪训练2】 (1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．解 (1)∵x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a ，当a ＝±1时，a ＝1a ；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a . 探究3 作商法比较大小例3 已知a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ， ①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1；②当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1.综上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .拓展提升作商法比较大小应注意的问题作商法：即通过判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．解[规律小结]1.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．2.关于a≤b或a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即，若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b 正确．(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即，若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b 正确．3.作差法比较两个实数大小的基本步骤(1)作差．(2)变形．将两个实数作差后变形为：①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式．(3)定号．即判定所得差是大于0，小于0，还是等于0.(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．注意：变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．4.作商法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作商； (2)变形；(3)比较商与1的关系．注意：只有同号的两数才适用于作商法比较大小．[走出误区] 易错点⊳用不等式组表示实际问题时理解错误 [典例] 两种药片有效成分见下表：若要求至少提供12 mg 阿司匹林、70 mg 小苏打、28 mg 可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[错解档案] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28.[误区警示] 以上不等式对药品成分的限定额度是完全正确的，但是考虑到问题的实际应用性，还应保证两种药片的数量均为非负整数，这一隐含条件往往是容易被忽视的．[规范解答] 设提供A 药片x 片，B 药片y 片(x 、y ∈N )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0(x ∈N )，y ≥0(y ∈N ).[名师点津] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量． (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)． (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件).1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式(组)表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 m B.⎩⎨⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m 答案 B解析 依据题意直接将不等关系转化为不等式，即v ≤120 km/h ，d ≥10 m ，注意两个不等关系必须同时成立．3．用“>、<、≥、≤”符号填空(1)(2a ＋1)(a －3)________(a －6)(2a ＋7)＋45； (2)a 2＋b 2________2(a －b －1)． 答案 (1)< (2)≥解析 (1)因为(2a ＋1)(a －3)－[(a －6)(2a ＋7)＋45]＝－6<0，所以(2a ＋1)(a －3)<(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是________． 答案 m m >2m解析 由于m m >0,2m >0，故可采用作商法， ∴m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m . ∵m >2，∴m 2>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >1.即m m >2m .5．(1)当x >1时，比较x 3与x 2－x ＋1的大小； (2)已知：a <b ，1a <1b ，判定a ，b 的符号．解 (1)x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1 ＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)， 因为x >1，所以(x －1)(x 2＋1)>0， 所以x 3>x 2－x ＋1.(2)因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，① 因为a <b ，所以b －a >0，②综合①②知ab <0，又因为a <b ，所以a <0<b .A 级：基础巩固练一、选择题1．某校对高一划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为( )A.⎩⎨⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B.⎩⎨⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎨⎧x >95，y >380，z ≥45D.⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 x 不低于95分，是x ≥95；y 高于380分，是y >380；z 超过45分，是z >45.2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1b B ．2a >2b C ．|a |>|b | D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 答案 B解析 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b .故选B.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 答案 C解析 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A ，B ，D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立. 故选C.4．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有4种降价方案：(1)先降价a %，再降价b %； (2)先降价b %，再降价a %； (3)先降价a ＋b 2%；再降价a ＋b2%；(4)一次性降价(a ＋b )%，其中a >0，b >0，a ≠b . 上述方案中，降价幅度最小的是( )A ．方案(1)B ．方案(2)C ．方案(3)D ．方案(4)答案 C解析 设该品牌彩电的原价为“1”，降价后的彩电价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4， 则x 1＝(1－a %)(1－b %)，x 2＝(1－b %)(1－a %)， ∴x 1＝x 2否定A ，B.x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，x 4＝1－(a ＋b )%，x 3－x 4＝14[(a ＋b )%]2>0.故降价幅度最小的是C.二、填空题5．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216解析 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，∴0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝15－x2. ∴菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意S ≥216，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216，∴题中的不等关系用不等式组表示为⎩⎨⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.6．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.答案a ＋mb ＋m >ab解析 ∵a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )(b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，∴a ＋m b ＋m >ab.答案>解析三、解答题8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较a n＋b n与a n－1b＋ab n－1的大小．解(a n＋b n)－(a n－1b＋ab n－1)＝a n－1(a－b)＋b n－1(b－a)＝(a－b)(a n－1－b n－1)，①∵当a＞b＞0时，a n－1＞b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；②∵当0＜a＜b时，a n－1＜b n－1，∴(a－b)(a n－1－b n－1)＞0；∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(a n－1－b n－1)＞0.∴a n＋b n＞a n－1b＋ab n－1.9．若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x2＋y2)(x－y)－(x－y)(x＋y)2＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴x－y<0，xy>0，∴－2xy <0，－2xy (x －y )>0， 即(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元(x >0)，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．B 级：能力提升练1．若a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．答案 (2,1，－1，－2)解析 由a b >c d >0知，a ，b 同号，c ，d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0. 由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a ，b 同号，c ，d 同号，b ，d 异号；②ad <bc . 令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1， 则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小． 解 ∵12log a t ＝log a t ，t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t . ∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＜log a t ＝12log a t ； 当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上可知，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a t ＋12＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a t ＋12＜12log a t .。
不等关系与不等式(优质课)教案
不等关系与不等式（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用 教学难点： 理解不等式性质的证明范围教学过程：1. 不等式（1） 用数学符号""""""""""≠<<≥≤ 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。
（2） 含有不等号的式子，叫做不等式。
2. 实数的大小关系（1） 实数集与数轴上的点集一一对应；（2） 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；（3） 对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中有且仅有一种关系成立； （4） 在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较000a b a ba b a b a b a b−>⇔>−<⇔<−=⇔= 3. 不等式的性质（1） 对称性：如果a b >，那么b a <；如果 b a <，那么a b >； （2） 传递性：如果a b >且b c >，则a c >； （3） 加法法则：如果 a b >，则a c b c +>+；（4） 乘法法则：如果,0a b c >>，则ac bc >；如果,0a b c ><，则ac bc <类型一： 不等式表示不等关系及实数的大小比较 例1.用不等号表示下列关系 （1）a 与b 的和是非负数 （2）实数x 不小于3解析：（1）0a b +≥ （2）3x ≥ 答案：（1）0a b +≥ （2）3x ≥ 练习1.（1）实数m 小于5，但不小于-2（2）x 与y 的差的绝对值大于2，且小于或等于6 答案：（1）25m −≤≤ （2）26x y <−≤练习2.已知,a b 分别对应数轴上的,A B 两点，且A 在原点右侧，B 在原点左侧，则下列不等式成立的是（）A.0a b −≤B.0a b +<C.a b >D.0a b −> 答案：D例2.比较22x x +与2x +的大小 解析：()()()()22212xx x x x +−+=−+当{1020x x −>+> 或{1020x x −<+< 即1x >或2x <−时，()()120x x −+>，此时222x x x +>+；当21x −<<时，()()120x x −+<，此时222x x x +<+ 答案：1x >或2x <−时，222x x x +>+；当21x −<<时，222x x x +<+ 练习3.比较a b a b 与b a a b （,a b 为不相等的正数）的大小 答案：a b b a a b a b >练习4.已知0a b >>，则2222a b a b −+ _________a ba b−+ （填,,><=）答案：>类型二： 不等式性质的证明应用 例3.已知0,0,a b c d >>>>求证a bd c< 解析：0,0c d c d <<∴−>−>又0,0,a b ac bd ac bd >>∴−>−>∴<又0,0,ac bd c d cd cd cd <<∴>∴<即a b d c< 答案：见解析练习5.已知0,c a b >>>求证a bc a c b>−− 答案：0,0,0,,0110,0,c a b c a c b a b c a c ba ba b c a c b c a c b>>>∴−>−>−<−∴<−<−∴>>>>∴>−−−− 练习6.已知0,0,a b c d >><<<答案：110,00,00,a b c d c d a b c d d c <<−>−>∴<−<−>>∴−>−>类型三： 利用不等式的性质求取值范围 例4.已知15,13a b a b ≤+≤−≤−≤（1） 求,a b 的范围； （2） 求32a b −的范围。
6.1不等关系和不等式学案
诸城市繁华初级中学数学教学案例课题：《6.1 不等关系和不等式》设计：潘岳亮一、学习目标：了解不等式的意义，使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程，感受不等式和等式都是刻画现实世界中数量关系的工具，发展学生的符号感。
二、尝试练习：1、不等式的概念：用连接的式子叫不等式（inequality）。
百度百科：/view/344.htm2、常见的不等式及其意义：“≠”读作“”，它表明两个量是不相等的，但不能明确哪个量大，哪个量小；“>”读作“”，它表明左边的量比右边的量大；“≥”读作“”，它表明左边的量不小于右边的量；“<”读作“”，它表明左边的量比右边的量小；“≤”读作“”，它表明左边的量不大于右边的量。
3、不等号“<”、“>”具有方向性：不等号“<”、“>”表示，它们具有方向性，因而不等号两侧。
练习：表示下列不等关系：三、课堂探究活动：例1、下列式子中，哪些是不等式？（1）x>4；（2）2x+8=1；（3）x≥a-3；（4）5a-3b+c；（5）a-2b≠8。
跟踪练习一：1、若a是有理数，下列式子：①|a|>0；②a2+10>0；③-a<0；④|a-5|≥0中，一定成立的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个例2、用不等式表示：（1）a的2倍与1的和大于3；（2）x的一半与1的差不大于2；（3）x与1的差的一半是正数；（4）m与2的和是非负数。
跟踪练习二：1、x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（）A、1302x+>B、1302x+<C、1(3)02x+>D、1(3)02x+<2、用不等式表示：（1）x是负数；（2）y的一半不大于y ；（3）x的5倍与2的差不小于0 ；（4）1与a的2倍的和小于-1 。
例3、有理数a≥b，则a ba b-+的值（）A、>0B、<0C、=0D、≥0例4、在唐家山堰寒湖（百度百科/view/1608238.htm）清理的一次爆破中，用一条长1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5厘米/秒，引爆员点着导火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600米以外的安全区域、引爆员的速度x米/秒应满足什么样的关系式？课堂小结：本节课的收获（小组成员互相总结）当堂检测：1、用不等式表示：（1）a与2的和大于3 ；（2）x的绝对值是非负数；（3）x的2倍与3的差不大于1 ；（4）x的3倍小于0 。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案(Word版)
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案（2021最新版）作者：______编写日期：2021年__月__日教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|b，a0a>b;a-b=0a=b;a-bg(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2 ;a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则() A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的證明二【基礎訓練】1.若，，則下列不等始終正確的是()2.設a，b為實數，且，則的最小值是()4.求證：對任何式數x，y，z，下述三個不等式不可能同時成立。
不等式一轮复习学案
高三一轮复习数学学案不等关系与不等式要求：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式(组)的实际背景；3.掌握不等式的性质及应用.重难点：1.不等式的性质是考查的重点;2.不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合进行综合考查；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇则以解答题为主.二．考点梳理1.若..,,0,a b c R a b c∈>>则下列不等式成立的是（）A.c a c b-<- B.c ca b> C.d ac d bc+<+ D.()()c d a c d b->-2.“a b>且c d>”是“a c b d+>+”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知0a b<<，则下列不等式成立的是（）<<<4.若22221(,1),log ,2log ,log ,2x a x b x c x ∈===则（ ）A a b c <<B c a b <<C b a c <<D b c a << 5.已知..a b c R ∈，有以下命题：（1)若,a b > 有22ac bc >; (2)若22ac bc >,则;a b >（3）若,a b >则22cca b ⋅>⋅。
以下命题中正确的是_____________。
四．典例分析考向一：用不等式（组）表示不等关系例1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.变式训练：某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车.根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.考向二:比较大小例2.比较下列各组中两个代数式的大小.(1)3m 2-m+1与2m 2+m-3;(2)已知a>0,b>0，比较变式训练：已知2,1,(),1m xm R a b f x x ∈>>=-试比较()f a 与()f b 的大小。
数学：6.1《不等式关系和不等式》学案(青岛版八年级上)
数学：6.1《不等式关系和不等式》学案（青岛版八年级上）一、学习目标：1．经历探索的过程，掌握不等式的基本性质。
2．会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
二、知识回顾1．表示不等关系的符号有：。
三、自主预习：不等式的基本性质（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个，不等号的方向。
（2）基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个，不等号的方向。
（3）基本性质3:不等式的两边都乘（或除以）同一个，不等号的方向。
四、探索新知：1不等式的基本性质：观察不得式5＞-3和-4＜-2将不等式的两边都加上或减去2，不等号的方向改变了吗？（1）5+2 -3+2 -4+2 -2+25-2 -3-2 -4-2 -2-2不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向即如果a＞b，那么a±c b±c.(2)将不等式5＞-3，-4＜-2的两边都乘以2，不等号的方向改变了吗？5×2 (-3×2 ( -4)×2 (-2)×2不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＞0,那么ac bc（3）将不等式5＞-3，-4＜-2的两边都乘以-2，不等号的方向改变了吗？5×（-2） (-3)×(-2) ( -4)×(-2) (-2)×(-2)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＜0,那么ac bc2 根据不等式的基本性质，你能用或完成下面的填空吗？已知a＞b,那么（1）a-7 b-7;(2)3a 3b (3)-5a -5b (4)3a+2 3b+2五、知识的拓展：例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）x-7＞2 (2)-41x ＜-1 (3)4x-5＜5x六、当堂达标：1已知a ＞b ，用“＜”或“＞”填空（1）a+7 b+7 (2)a-3 b-3(3)a ×7 b ×7 (4)(-3)a (-3)b（5）2a a+b (6)-a-3 -b-32 设x ＞y,用“＜”或“＞”填空 (1)3x 3y(2)ax ay(a ＜0)（3）53x 53y (4)-6x-4 -6y-4(5)xc 2 y c 2(c 为非零实数)（6）（ax+a ）-(ay-a) 0(a ＞0)3写出下列不等式变形的依据：若a-2＞3,则a ＞5若2a ＞-3，则a ＞-23 若-4x ＞3,则x ＜-43 若-5a ＞2，则a ＜-10 4 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式。
不等关系与不等式(一)
解: ∵ (a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4)
2 2
作差
= ( a 2a 15) (a 2a 8) 变形 = 7 ∴ (a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4) <0 定符号 0 ∴ ( a + 3)( a 5) < (a + 2)(a 4) 确定大小
这是一个解不等式的问题
3
问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不 两种，按照生产的要求， 应怎样截更好? 能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好
分析: 500mm 的钢管 x 根， 600mm 的钢管 y 根. 分析:假设截得 500 截得 600 根据题意，应有如下的不等关系： 根据题意，应有如下的不等关系： 4000mm； ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000 ； 600mm 钢管的数量不能超过 500 500mm 钢管数量的 3 倍； ⑵截得 600 解得两钟钢管的数量都不能为负。 ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
这个数学问题又怎么解决? ?
分析: 分析:若杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为 x2 × 0.5 x 万元。那么不等关系“销售的 万元。那么不等关系“ 10 0.2 元” 总 收入 大于 22.4 万 元 ” 可以表 示为不等式 x2 × 0.5 x >22.4 22.4 10 0.2
不等关系与不等式( 不等关系与不等式(一)
很早以前， 古希腊的一名哲学家就 很早以前， 古希腊的一名 曾经说过： 曾经说过： 世界上没有两片完全相同 “ 的树叶”,不等关系是普遍存在的. 的树叶” 不等关系是普遍存在的.
学案3：2.1 第1课时 不等关系与不等式
2.1第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会作差法比较两实数的大小．问题导学知识点一不等关系与不等式的概念1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换知识点二作差法比较两个实数大小的原理思考2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：a>b⇔a－b>0，a ＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.知识点三比较两个实数大小的依据思考有同学借助一个中间量：x－1<x<x＋1来比较x－1与x＋1的大小，这种方法对吗？依据是什么？一般地，比较两个实数的大小，常需要对两个实数变形．为不改变它们的大小关系，需遵循不等式的性质进行变形．常用的依据有：(1)如果a>b，那么a＋c>b＋c.加法性质(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc；(3)如果a>b，c<0，那么ac<bc.乘法性质题型探究类型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C ．⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45反思感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．跟踪训练1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？类型二 作差比较法例2 比较(x ＋1)(x ＋5)与(x ＋3)2的大小．反思与感悟 (1)作差比较法的一般步骤：作差→变形→判断符号→确定大小．(2)“变形”目的：能方便地判断符号．(3)技巧：常要用到通分，配方，因式分解等．变形的最后结果一般是n 个因式之积，或完全平方式或常数，便于判定正负，若结果含有无法确定符号的字母，则要进行分类讨论．跟踪训练2 比较(x 2＋1)2与x 4＋2x 2＋x 的大小．类型三作差法在数学中的应用例3利用作差法证明下列问题．(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．(2)若a1>0,0<q<1，则等比数列{a n}是递减数列．反思与感悟作差法比较大小在数学中有着广泛的应用．跟踪训练3设f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，求函数f(x)与g(x)的交点坐标．当堂检测1．若a>b且c>d，则a＋c与b＋d的大小关系是________________．2．已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7，且a，b∈R，则M，N的大小关系为________________．3．已知a≠1，试比较11－a与1＋a的大小．课堂小结1．比较大小：(1)步骤：作差→变形→判断符号→下结论．(2)关键点：“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．“变形”的常用方法有通分、配方、因式分解等．2．应用：应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题，要先把条件目标用式子表示出来，并注意实际问题对式子范围的影响．参考答案问题导学知识点一思考①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a >b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．②不等式a ≤b 应读作：“a 小于或等于b ”，其含义是a <b 或a ＝b ，等价于“a 不大于b ”，即若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 正确． 知识点二思考 因为2x 与x 2＋1两个式子都在变化，谁大谁小不容易确定．而x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，大小关系容易确定． 知识点三思考 这种方法对．其依据是不等式的传递性：若a >b ，b >c ，则a >c . 题型探究 例1【答案】D【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45． 跟踪训练1 解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．例2 解 ∵(x ＋1)(x ＋5)－(x ＋3)2 ＝(x 2＋6x ＋5)－(x 2＋6x ＋9)＝－4， ∴(x ＋1)(x ＋5)－(x ＋3)2<0， ∴(x ＋1)(x ＋5)<(x ＋3)2.跟踪训练2 解 ∵(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )＝x 4＋2x 2＋1－(x 4＋2x 2＋x )＝1－x ， ∴当1－x ＝0即x ＝1时，(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )＝0； 当1－x >0即x <1时，(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )>0； 当1－x <0即x >1时，(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )<0. ∴当x ＝1时，(x 2＋1)2＝x 4＋2x 2＋x ； x <1时，(x 2＋1)2>x 4＋2x 2＋x ； x >1时，(x 2＋1)2<x 4＋2x 2＋x .例3 证明 (1)对于任意的x 2>x 1>0，有y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)．∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)<0， 即y 1－y 2<0，所以函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． (2)∵a 1>0,0<q <1， ∴a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)<0(n ∈N ＋)， 故等比数列{a n }是递减数列．跟踪训练3 解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0， f (43)＝1＋log 433＝log 434， ∴交点坐标为(43，log 434)．达标检测1．【答案】a ＋c >b ＋d【解析】(a ＋c )－(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )． ∵a >b 且c >d ，∴a －b >0，c －d >0， ∴(a ＋c )－(b ＋d )>0， ∴a ＋c >b ＋d . 2．【答案】M >N【解析】∵M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋4b ＋4)＋(a 2－2ab ＋b 2)＋2 ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2>0， ∴M >N .3．解 11－a －(1＋a )＝a 21－a.①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a ＝1＋a .②当a <1且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a <1且a ≠0时，11－a >1＋a ；当a >1时，11－a <1＋a .。
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学案29：不等关系与不等式
知识梳理：
一．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b .
二．不等式的基本性质
三.1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．
[试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )
A ．ac >bc B.1a <1b
C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3
2.
12－1
________3＋1(填“>”或“<”)．
四.方法：1．不等式的倒数性质
(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a
. 2．不等式的分数性质
(1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m
(b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m
(b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则
b ＋
c a ＋c 与a ＋c b ＋c
的大小关系为________．
1.已知a 1，a 21212 )
A ．M <N
B ．M >N
C ．M ＝N
D ．不确定
2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a
的大小．
[典例] (1)(2014·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充分必要条件
D ．必要不充分条件
(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c
＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[针对训练]若a >b >0，则下列不等式不成立的是( )
A.1a <1b
B ．|a |>|b |
C ．a ＋b <2ab D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12 b
[典例]
变式1：若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1<f (－1)≤2,2≤
f (1)<4，求f (－2)的取值范围.
[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．
课堂练习：
题组一
1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )
A.1a －b >1b
B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n 3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b
成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b
5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .
其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b
的大小关系是________． 题组二：
1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )
A ．－n ＜m ＜n ＜－m
B ．－n ＜m ＜－m ＜n
C ．m ＜－n ＜－m ＜n
D ．m ＜－n ＜n ＜－m
2．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3
的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭
⎫－π6，π 4．若1a <1b
<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
5．已知1a <1b
<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．
7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．
8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．
9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2
.
10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
题组三：
1．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )
A ．n >m >p
B ．m >p >n
C ．m >n >p
D ．p >m >n
2．已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －
1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④。