不等关系与不等式》教学设计

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高中数学教学课例《3.1不等关系与不等式(1)》课程思政核心素养教学设计及总结反思

高中数学教学课例《3．1 不等关系与不等式(1)》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《3．、三角等内容有着密切的联系.
在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式
在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始
课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学教材分析
（3）练习巩固 4、联系实际，探索研究在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在下一环节中，我设计了一个生活实际问题，让学生在问题探索中学习新知。能否用所学知识准确表示“糖水加糖甜更甜”的现象？下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易接受。然后给出两组比较简单的作差比较，师生合作完成，教师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。并变式练习，一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了分类讨论的数学思想，为课后的能力作业给予一点启示。例 3、比较下面两组代数式的大小：步骤：作差→变形→判号→结论. 其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因式、通分、配方、有理化等. 最后通过例 4，可以先让学生尝试，教师巡视学生解答情况，最后通过幻灯片展示标准过程，指出学生易错点，强调关键点。对本题的教学既是对实际探索问题的解决，前后呼应；也是对作差比较法的进一步巩固，突破
教学策略选教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推择与设计理。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织— —启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。

【教案】等式与不等式性质(一)教学设计

实数的大小的一般步骤是：作差→恒等
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比较（ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如果 a-b 是正数，
那么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习的
目标，
整体
提升
数学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（北京）股份有限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1）某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于，等于，
至少，至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2

不等关系与不等式教学设计

《不等关系与不等式》教案【教学目标】1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。

通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。

通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度【重点难点】重点：比较实数大小的方法．难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；2.比较实数大小方法的实际应用【教学方法】体验法、合作讨论法【教学过程】(一)创设情境泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。

合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）（学生思考演算并请学生回答结果）由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？若设人数为n ，记采用方案A 的费用为)(n f ，采用方案B 的费用为)(n g ，则36144)(+=n n f ，n n g 150)(=接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： 60)()()()(<⇒>-⇔>n n g n f n g n f 60)()()()(=⇒=-⇔=n n g n f n g n f 60)()()()(>⇒<-⇔<n n g n f n g n f 所以当62<<n 时，选择方案B;当 6=n 时，选择两种方案都一样；当 6>n 时，选择方案A. 这样我们的问题就解决了。

不等关系与不等式教学设计与教学反思

不等关系与不等式教学设计与教学反思不等关系与不等式教学设计与教学反思一、教学目标1、通过具体情境，感受在现实世界与日常生活中存在着大量的数量关系；了解不等式（组）的实际背景，了解不等式的一些基本性质。

2、从具体事例出发，通过列不等式，训练学生的分析判断和逻辑推理能力，给出不等式的性质，并对一些性质给予证明。

3、通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切关系以及对人类历史发展的作用，激发学生学习数学的兴趣与信心。

二、教学方法从一些具体事例出发，通过列不等式引入不等关系，进而给出不等式的性质及其应用。

三、教学重难点重点：不等式的性质难点：不等式性质的应用四、课时安排1课时五、教学过程1、导入新课现实世界和日常生活中既有相等关系又有大量的不等关系。

我们知道的两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等。

人们还经常用长与短、大与小、轻与重等描述某种客观事物在数量或质量上存在的不等关系。

2、讲授新课问题1：某天的天气预报报道，最高气温15℃，最低气温7℃。

问题2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是40v。

问题3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5℅，蛋白质的含量p应不少于2.3℅，写成不等式组就是2.5%2.3%fp问题4：如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个正方形和圆。

在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为：2()4l。

所围成的圆的面积可以表示为：2()2l。

(1)如果要使正方形的面积不小于225cm，那么绳长l应满足怎样的条件？2()254l(2)如果要使圆面积不小于2100cm，则绳长l应满足怎样的条件？2()1002l【设计意图：由生活中的不等关系到数学中的不等关系，然后抽象出不等式概念，便于学生理解】不等式的概念根据等式的一些基本性质可以研究等式，那我们要根据不等式研究不等关系，就需要对不等式的性质有必要的了解。

教学设计2：2.1　第1课时　不等关系与不等式

2.1第1课时不等关系与不等式1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的大小比较3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．初试身手1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40 D．T≥40【答案】C【解析】限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 m【答案】A【解析】v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．【答案】4.5t <28 000【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M ，N 的大小关系为________．【答案】M ＞N【解析】M －N ＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0，∴M ＞N .【例1】，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解] 设复兴号列车速度为v 1，民航飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2，v 1，v 3的关系：v 1＞3v 3.规律方法在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.跟踪训练1．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ·⎝⎛⎭⎫15－x 2，依题意有S ≥216，即x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216，故该题中的不等关系可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.【例2】 [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．∵x ≤1，∴x －1≤0，而3x 2＋1＞0，∴(3x 2＋1)(x －1)≤0，∴3x 3≤3x 2－x ＋1.规律方法作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2．比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小．[解] (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＞0，∴2x 2＋5x ＋3＞x 2＋4x ＋2. 类型3 不等关系的实际应用【例3】其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．规律方法解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．跟踪训练3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解]设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x)，当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．课堂小结1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.当堂检测1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若a>b，则ac>bc一定成立．()[提示](1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．【答案】(1)√(2)√(3)×2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0【答案】C3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．【答案】>【解析】因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.。

初中不等关系的简写教案

初中不等关系的简写教案教学目标：1. 让学生了解不等关系的概念和特点。

2. 培养学生解决实际问题的能力，感受数学与生活的联系。

3. 引导学生掌握不等式的基本性质和解决方法。

教学重点：1. 理解不等关系的概念。

2. 掌握不等式的基本性质。

教学难点：1. 不等式的解法。

教学准备：1. 教科书。

2. 课件或黑板。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入不等关系的概念，通过举例说明生活中存在的不等关系，如身高、体重、温度等。

2. 引导学生认识到不等关系是现实生活中的普遍现象，数学可以用来描述和解决这些问题。

二、探究不等关系（15分钟）1. 让学生通过小组合作，探讨不等关系的特点和表达方式。

2. 引导学生发现不等关系可以用不等号（如>、<、≥、≤）来表示。

3. 举例讲解不等式的基本性质，如交换不等号两侧的数的位置，不等号的方向不变。

三、解决实际问题（15分钟）1. 让学生运用不等关系解决实际问题，如判断身高、体重是否符合要求。

2. 引导学生运用不等式表示实际问题中的不等关系，并求解不等式的解集。

四、不等式的解法（15分钟）1. 讲解不等式的解法，如加减法、乘除法、倒数法等。

2. 让学生通过练习题，巩固不等式的解法。

五、总结与评价（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结不等关系的概念和特点。

2. 评价学生在解决问题和解决不等式方面的表现。

教学反思：本节课通过引入实际生活中的不等关系，让学生感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。

在探究不等关系的过程中，学生通过小组合作，主动发现和总结不等关系的特点和表达方式，培养了学生的抽象思维能力。

在解决实际问题和不等式的解法环节，学生通过练习题，巩固了所学知识，提高了解决问题的能力。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

初中数学《不等式》单元教学设计以及思维导图

不等式适用年级七年级所需时间（说明：课内共用2课时，课外用1课时）主题单元学习概述本主题单元中首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念，然后类比等式性质，通过观察、对比、归纳得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式。

不等式的性质是解不等式的重要依据，因此本单元的重点是不等式的性质。

解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然的产生，教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1．了解不等式的意义，理解什么是不等式，能依题意准确迅速地列学习活动设计活动1问题1：你能猜想下列不等式的解集吗？x+3＞6 2x＜4 2x+3＞7问题2：你还记得等式有哪些性质吗？活动2教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：1、天平被调整到什么状态？2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？（通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

）活动31、用“＞”或“＜”填空．（1）－1 < 3 －1＋2 3＋2 －1－3 3－3(2) 5 >3 5＋a 3+a 5－a 3－a(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）(4) －2 < 3（－2）×6 3×6 （－2）×（－6）3×（一6）（5）－4 ＞－6 （－4）÷2（－6）÷2 （－4）十（－2）（－6）十（－2）2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流．3、让学生充分发表“发现”，师生共同归纳。

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典型例题
例1．比较x2-x和 x-2的大小
变式训练：比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。
学生板演
= x2-2x+2
=(x-1)2+1
因为(x-1)2≥0，所以（x2-x）-（x-2）＞0所以x2-x＞x-2。
学生做本上，教师检查
掌握比较两个代数式（实数）的大小的基本方法--作差比较法；
2.不等关系在数轴上的几何表示
3.做差法确定两数或代数式的大小
学生总结，回答
梳理本节所学知识，形成知识网
布置作业
1.必做：（1）书面作业：课本P63A组第2题，B组第1题
（2）预习作业：预习课本P64-P65，搞清以下问题：a.不等式有哪些性质？ b.如何证明？
2.选做：设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且3<x<4，比较与的大小
（4）得出结论。
学生先做，教师引导板演
教师引导，学生回答
进一步掌握比较两个代数式（实数）的大小的基本方法--作差比较法；
随堂小测
(1)下列命题正确的是
A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5
C、若x＞y，则x2＞y2D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣(2)设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是
典型例题
例2．当p,q都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与(px2+qy2)的大小
解：（px+qy）2-（px2+qy2）
=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy
又p+q=1，所以p-1=-q,q-1=-p
（px+qy）2-（px2+qy2）
=-pq(x-y)2
因为p,q为正数，所以
例如：（1）天气预报说：今天最低温度为22℃，最高温度为30℃，若用t表示今天气温，那么怎么用数学表达式表示t？
（2）上一章学习的等比数列中公比q什么范围
（3）根号a中，a的取值范围是什么？
（4）提问两同学的身高问题，让全体同学比较其大小关系。如A＞B
又如：课本P61 速度与手机话费问题，这些问题即是我们今天要研究的问题（板书课题）——不等关系与不等式。
问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？
问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？
点的关系：
点A在点B右侧
点A在点B左侧
点A和点B重合
数的关系：a＞b、a=b 、a＜b
问题五：如何比较两数大小？
强调：“如果P，则q”为正确命题，记作，
学生在纸上写出并回答：
（1）22℃≤t≤30℃
（2） q≠0
(3)a≥0
(4)根据实际情况回答
通过具体情境，了解不等式的概念。
小组合作探究
请学生思考并回答以下问题：
问题一：不等式的定义
（强调“≥、≤”的读法中的“或”引出问题二）
问题二：2≥2，这样写正确吗？（“≥“的含义是什么？）
这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b ，同样a≤b即为a＜b或a=b。
-pq(x-y)2≤0
所以 ≤ 当且仅当x=y时，等号成立
做差比较法的一般步骤：（教师引导，学生回答）
（1）?作差；ຫໍສະໝຸດ （2）变形；常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；
（3）判断差的符号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)
A.m＞n B. m＜n C .m=n D . 与x、y取值有关
(3)下列不等式中，恒成立的是
A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C. D.2a>0
（4）设a＞0,b＞0,且a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2试比较x,y的大小
学生当堂完成，小组完成批改
检测学生对所学知识掌握情况
归纳小结
1.不等式的定义
课下做
巩固所学知识
如果，同时，则记为。
学生思考并回答：用不等号连接两个解析式（以表示它们之间的不等关系）所得的式子，叫做不等式．
不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．
学生回答
学生回答
与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大
学生讨论比较两实数（代数式）大小的理论依据。
通过具体情境，了解不等式（组）的实际背景，借助数轴，能从“数”和“形”两方面来认识不等式，掌握比较两个代数式（实数）的大小的基本方法--作差比较法的理论依据；
教学设计
课题:
教师：长沟中学柴生艳
教学目标
1.通过具体情境，了解不等式（组）的实际背景，借助数轴，能从“数”和“形”两方面来认识不等式，掌握比较两个代数式（实数）的大小的基本方法--作差比较法；
2.通过较典型的问题，教师引导，学生自主探究，学生与教师进行交流，分析，抽象出数学模型，激发学生学习兴趣和积极性；
3.通过具体情景，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合的重要方法，学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。
教学重点
比较实数（代数式）大小的基本方法：作差比较法
教学难点
判断差的符号
教学方法
启发引导式
教学过程
教学步骤
教师行为
学生行为
设计意图
新课引入
现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，