排列组合细节插板法
排列组合中的解题方法之插板法
排列组合中的解题方法之插板法一、基础理论：插板是一个无形的东西即板子，它不能代表一个元素，它区别于插空法。
插板法是用于解决“相同元素”分组问题。
判断插板法的题目主要看题干中的两个词语：①相同元素②至少为1，如果有这样两个词语一般此题就可以直接插板进行解题。
引例说明：春节前单位慰问困难职工，将10份相同的慰问品分给6名职工，每名职工至少要分得1份慰问品，分配方法共有：A.84种B.126种C.210种D.252种【分析】此题第一眼给人的感觉是能用列举法进行分类解题，但是细一思考分类的情况太多了，不易计算，因为想用插板法解题一般是分两类或三类。
而插板法就可以使这种为题迎刃而解。
利用无形的板子把其分割开来。
【解析】“10份慰问品相同且每人至少得1份”，满足插板法的两个前提①相同元素②至少为1，故可直接使用插板法。
将10份慰问品依次排成一条直线，我们用插板的形式把慰问品分给6名职工，中间形成9个空，插上第1个板子，则第一个板子之前的分给第一名职工，在后面又插了一个板子，表示第1个板子和第2个板子之间的分给第二名职工，依次类推，因为要分给6个人，所以要插5个板子，第5个板子之后的分给第六名职工，所以只要板子固定了，那么每名职工分几份慰问品就固定了。
所以10分慰问品中间形成了9个空;分给6个人，插入5个板;共有=126种分配方法。
注：估计有的同学会问，为什么第一个慰问品之前的位置和最后一个慰问品之后的位置不能放板子。
其实原因在于“每名员工至少分1份慰问品”，如果在第一个慰问品之前的位置放板子那么第一名职工就一份分不到了，如果在最后一个慰问品之后的位置放板子那么最后一名职工就一份分不到了。
二、真题举例：例1、假设x、y、z是三个非零自然数，且有x+y+z=36，则共有多少组满足条件的解?A.700B.665C.630D.595【分析】此题可以看做是36块糖排成一排，即元素相同;由于x、y、z是非零自然数，即至少为1，问题：x+y+z=36，顺便看成3个人来分这36块糖。
排列组合 插板法 插空法 捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异?（2）所分成的每一组至少分得一个元素?(3) 分成的组别彼此相异?举个很普通的例子来说明?把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36?下面通过几道题目介绍下插板法的应用?e 二次插板法?例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位?所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合问题中插板问题解析
数学运算题型总汇经分析历年公务员考试行政职业能力测验试卷，发现数学运算部分题型众多，且每年都在推陈出新。
根据题目的特点，可将其分为五大类三十二个题型。
计算方法一．尾数计算法1！+2！+3！+4！+5！+……1000！尾数是几？解析：5！为0，5以后的数的！都为0，所以我们要算这个数的尾数，只算1！，2！，3！，4！就可以了，1！的尾数为1，2！的尾数为2，3！的尾数为6，4！的尾数为4，所以该式的尾数为（1+2+6+4=13）3。
注：！为阶乘，那么n ！所表达的意思就是小于和等于n 的自然数的乘积，比如说5！=1×2×3×4×5。
二．提取公因式法109919...39919299199919⨯++⨯+⨯+注意到相同部分9919提取 原式=)10...321(9919+++⨯=2)101(109919+⨯=995三．重复数字的因式分解 37373737÷81818181=（3737×10000+3737）÷（8181×10000+8181）=（37×1010000+37×101）÷（81×1010000+81×101）=（37×1010101）÷（81×1010101）=37/81四．整体代换法)3121()4131211()413121()31211(+⨯+++-++⨯++为多少？解析：这道题，如果我们直接算的话会很烦琐，展开式的项数太多，增加计算量，先观察没项的相同部分，可知为3121+，令3121+=a ，把分式41令为b ，这样原式就简化为a b a b a a ⨯++-+⨯+)1()()1(，这样来计算就简便多了。
五．利用公式法计算 如果8321,....,,a a a a 为各项都大于0的等差数列，公差不等于0，则有（）？A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a = D ．无法比较解析：由公式)0,(2)(2>+≤b a b a ab 当且仅当b a =时取得等号，也就是说当2个数的和一定时，要想使这2个数的积最大，那么这2个数应该相等，如不能相等时，差值也应最小，这道题5481a a a a +=+（等差数列），但54,a a 的差值比81,a a 小，所以选B 。
(推荐)排列组合问题之插板法
排列组合问题之插板法：插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?【解析】：题目中球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。
其分法种数为C37=35。
第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。
其分法种数2*C27=42。
第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。
其分法种数C17=7。
所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。
由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。
将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。
由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：①所要分的元素必须完全相同；②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
下面再给各位看一道例题：例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35 B．28 C．21 D．45【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。
排列组合插板法插空法捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、…．），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
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排列组合细节（插板法）
四个相同的求放入三个盒子，每个盒子最少有一个，总共有多少种方法？
盒子1 盒子2 盒子3
2=3钟。
但前提是每个盒子至少放一个。
三个盒子插两个板，有三个位置。
一共有С
3
如果四个相同的求放入三个盒子，盒子可空不放，总共有多少种方法？
可以分为三种情况：
1
0 0 4 С
3
3
0 1 3 A
3
1
0 2 2 С
3
1
1 1
2 С
3
一共15种。
如果用插板的话就会有两个空盒子的情况。
两板重合。
解法来自一道题 x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数。
可以看成100个一样的球放在四个盒子里，盒子可空。
把它转化为每个盒子至少有一个的情况
（x+1）+（y+1）+（z+1）+（w+1）=104
3种方法。
这样可以用插板法了，一共有С
103
所以使用插板法前提：元素相同，分组中元素个数大于等于1。