福建省莆田二中、泉州一中、南安一中2021届高三年级上学期三校联考数学试题

福建省莆田二中、泉州一中、南安一中2021届高三年级上学
期三校联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、未知
1．已知集合{}2
230A x x x =-->，集合(){}
lg 3B x y x ==+，则A
B =（ ）
A ．{}
31x x -<<- B ．{}
3x x > C ．{|31x x -<<-或}3x >
D ．{}
13x x -<<
2．某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过
2
3
的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
（1）有下列函数模型：①2016
x y a b -=⋅；②sin
2016
x
y a b π=+；③
1()(0,1)y a g x b a b =+>>（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=），以上函数
模型（ ）
A ．选择模型①，函数模型解析式2016
3
4()2
x y -=⋅，近似反映该城市近几年包装垃圾生
产量y （万吨）与年份x 的函数关系 B ．选择模型②，函数模型解析式4sin
20162016
x
y π=+，近似反映该城市近几年包装
垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系
C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
3．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.
若
sin sin sin B A C =
，数列{}n a 满足32|cos |2n
n a nB =，前n 项和为n S ，2n S =
__________.
4．已知函数()321
3f x x ex ax =-+，()ln x g x x
=，若不等式()()316f x x xg x +<有且
仅有一个整数解，则实数a 的取值范围为_________.
5．在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin c C b a B a b A =-+-.
(1)求角C ；
(2)
若c =，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 6．在①131n n n a a a +=
+；②1{}n a 为等差数列，其中236
111
,1,a a a +成等比数列；③
2123
111
132
n n n a a a a -++++=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列{}n a 中，11a =______. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设1,n n n n b a a T +=为数列{}n b 的前n 项和，求证：1
3
n T <. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 7．已知函数()f x 定义域是,,2k x x k Z x R ⎧⎫
≠∈∈⎨⎬⎩⎭
，且()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-
，当112
x <<时，()3x
f x =. （1）证明：()f x 为奇函数；
（2）求()f x 在1
(1,)2
--上的表达式； （3）当
1
12
x <<时，3log (2)2f x kx k ≥-+有解，求实数k 的取值范围. 8．已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若(1)5f =，函数2()
()(ln 1)0f x g x a x x
=+-≤在(1,)+∞上恒成立，求证：2a e <.
二、单选题
9．设复数z 满足(2)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为
A ．
35
B ．
35
C ．35
i
D ．35
i -
10．“22
2a b ab
+≤-”是“0a >且0b <”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不
必要条件
11．函数()2
x x
e e
f x x
--=的图象是下列图中的（ ） A ． B ．
C ．
D ．
12．若非零向量a ,b 满足4b a =,()
2a b a -⊥,则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
56
π 13．将函数()()sin f x x ϕ=+图象上所有点的横坐标变为原来的
()1
1ωω
>（纵坐标不
变），得函数()g x 的图象.若16g π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，203g π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭，且函数()g x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上具有单调性，则ω的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
14．已知函数()1
1ln ,01
1,12
x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()()2
10f x a f x a +--=恰有三
个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1
C ．()1,+∞
D ．()0,∞+
三、多选题
15．若“x M x x ∀∈>，
”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）
A ．()5-∞-，
B ．(]31--，
C ．()3+∞，
D ．[]03，
16．在空间中，已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）
A ．若//a b ，且，a α⊥，b β⊥，则//αβ
B ．若αβ⊥，且//a α，//b β，则a b ⊥
C ．若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交
D ．若a b ⊥，且//a α，b β//，则αβ⊥
17．函数()f x 在[a ，]b 上有定义，若对任意1x ，2[x a ∈，]b ，有
12121
(
)[()()]22
x x f f x f x ++，则称()f x 在[a ，]b 上具有性质P ．设()f x 在[1，3]上具有性质P ，下列命题正确的有（ ） A ．()f x 在[1，3]上的图象是连续不断的
B ．2()f x 在[1上具有性质P
C ．若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[1x ∈，3]
D ．对任意1x ，2x ，3x ，4[1x ∈，3]，有
123412341
(
)[()()()()]44
x x x x f f x f x f x f x ++++++
四、填空题
18．设向量(4,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则2a b +=__________.
五、双空题
19．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．
六、解答题
20．如图，在几何体ABCDEF 中，160AB CD AD DC CB ABC ∠︒，＝＝＝，
＝，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF ＝.
(1)求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；
(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为
()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围．
21．已知函数()sin cos f x m x n x ωω=+的部分图象如图所示，其中m ，n R ∈，0>ω．
（1）根据图中提供的信息，求函数()f x 的解析式；
（2）若ACB ∠为ABC 的内角，且4ACB f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
∠D 为AB 的中点，2AB =，若ACB ∠为锐角，求CD 的最大值．。