高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案

§集合的概念与运算

【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．

【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

2.

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．

(2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)．

(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)．

(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．

(5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B.

3．集合的运算

4.

并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A.

[难点正本疑点清源]

1．正确理解集合的概念

正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．

2．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况．

3．正确区分?，{0}，{?}

?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.

题型一 集合的基本概念

例1

(1)

下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}

C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}

D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如：

(2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝?

?????

0，b a ，b ，则b －a ＝___2_.

思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项

B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．

(2)因为{1，a ＋b ，a}＝?

?????

0，b a ，b ，a≠0，

所以a ＋b ＝0，得b

a ＝－1，

所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.

探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．

若集合A ＝{x|ax 2

－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a

＝ 0或98

_.

解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2

3

符合要求．

当a≠0时，Δ＝(－3)2

－4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98.

题型二 集合间的基本关系

例2

已知

集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1

则????

?

m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1

，解得2

综上，m 的取值范围为m≤4.

变式：（1）集合A 与B 中的等号问题，（四种情况：两开两闭，一开一闭） （2）集合A 与B 的关系。例如：,,A B A B A B ??=??≠?等

探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．

已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝_4___.

解析由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

而B＝(－∞，a)，

由于A?B，如图所示，则a>4，即c＝4.

变式：集合A与B的关系。

题型三集合的基本运算

例3设U ＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?U A)∩B＝?，则m的值是_1或2__．思维启迪：本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(?U A)∩B＝?对集合A，B的关系进行转化．

解析A＝{－2，－1}，由(?U A)∩B＝?，得B?A，

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2.

探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A?B?A，(?U A)∩B＝??B?A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．

设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2

＋

a<0}．

(1)当a ＝－4时，求A∩B 和A∪B； (2)若(?R A)∩B＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵A＝{x|1

2≤x≤3}，

当a ＝－4时，B ＝{x|－2

∴A∩B＝{x|1

2≤x<2}，A∪B＝{x|－2

(2)?R A ＝{x|x<1

2

或x>3}，

当(?R A)∩B＝B 时，B ??R A ，即A∩B＝?. ①当B ＝?，即a≥0时，满足B ??R A ；

②当B≠?，即a<0时，B ＝{x|－－a

4≤a<0.

综上可得，实数a 的取值范围是a≥－1

4.

题型四 集合中的新定义问题

例4设符号@是数集A中的一种运算：如果对于任意的x，y∈A，都有x@y＝xy∈A，则称运算@对集合A是封闭的．设A＝{x|x＝m＋2n，m、n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？

解设x＝m1＋2n1，y＝m2＋2n2，那么xy＝(m1＋2n1)×(m2＋2n2)＝(m1n2＋m2n1)2＋m1m2＋2n1n2.

令m＝m1m2＋2n1n2，n＝m1n2＋m2n1，则xy＝m＋2n，

由于m1，n1，m2，n2∈R，所以m，n∈R.

故A对通常的实数的乘法运算是封闭的．

探究提高本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．

已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A 时，若有x－1?A，且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有___6_____个．

解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．

集合中元素特征认识不明致误

典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y)|x∈A，y∈A，x －y∈A}，则B 中所含元素的个数为 ( D )

A ．3

B ．6

C ．8

D ．10

易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B 是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B 中的元素(x ，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B 的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x －y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．

解析 ∵B＝{(x ，y)|x∈A，y∈A，x －y∈A}，A ＝{1,2,3,4,5}， ∴x＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.

∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B 中所含元素的个数为10. 答案 D

温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x 、y 、(x ，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y ＝f(x)}表示函数y ＝f(x)的定义域，{y|y ＝f(x)}表示函数y ＝f(x)的值域，{(x ，y)|y ＝f(x)}表示函数y ＝f(x)图象上的点．

遗忘空集致误

典例：(4分)若集合P ＝{x|x 2

＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值组成的集合为

?

?????0，13，－12

易错分析 从集合的关系看，S ?P ，则S ＝?或S≠?，易遗忘S ＝?的情况． 解析 (1)P ＝{－3,2}．

①当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ；

②当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，

为满足S ?P 可使－1a ＝－3或－1

a

＝2，

即a ＝13或a ＝－1

2.故所求集合为?

?????0，13，－12.

温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝?时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1

a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，

避免漏解.

方法与技巧

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．

失误与防范

1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

4． Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

5．要注意A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?U A??U B、A∩(?U B)＝?这五个关系式的等价性．

A 组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则?U M 等于 ( C )

A ．U

B ．{1,3,5}

C ．{3,5,6}

D ．{2,4,6}

解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，∴?U M ＝{3,5,6}．

2． (2011·课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M∩N，则P 的子集共有( B ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个

解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N 的子集共有22

＝4个．

3． (2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(?U A)∪B 为 ( C ) A ．{1,2,4}

B ．{2,3,4}

C ．{0,2,4}

D ．{0,2,3,4}

解析 ∵?U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(?U A)∪B＝{0,2,4}．

4． 已知集合M ＝{x|x x －1≥0，x∈R }，N ＝{y|y ＝3x 2

＋1，x∈R }，则M∩N 等于 ( C )

A ．?

B ．{x|x≥1}

C ．{x|x>1}

D ．{x|x≥1或x<0}

解析 由x

x －1≥0，得???

??

x≠1，x x －1≥0，

∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N ＝{y|y≥1}， M∩N＝

{x|x>1}．

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． 已知集合A ＝{1,3，a}，B ＝{1，a 2

－a ＋1}，且B ?A ，则a ＝_－1或2__.

解析 由a 2

－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2

－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.

6． 已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y∈Z }，则A∩B＝_{(0,1)，(－1,2)}_.

解析 A 、B 都表示点集，A∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 7．(2012·天津)已知集合A ＝{x∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x∈R |(x －m)(x －2)<0}，且A∩B＝ (－1，n)，

则m ＝_－1__，n ＝_1__.

解析 A ＝{x|－5

8． (10分)已知集合A ＝{x|x 2

－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2

－2mx ＋m 2

－4≤0，x∈R ，m∈R }． (1)若A∩B＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

解 由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}， B ＝{x|m －2≤x≤m＋2}．

(1)∵A∩B＝[0,3]，∴?

??

??

m －2＝0，

m ＋2≥3. ∴m＝2.

(2)?R B ＝{x|xm ＋2}，∵A ??R B ，∴m－2>3或m ＋2<－1，即m>5或m<－3.

9．(13分)已知集合A ＝{y|y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a(a 2

＋1)>0}，B ＝{y|y ＝12x 2－x ＋52，0≤x≤3}．

(1)若A∩B＝?，求a 的取值范围；

(2)当a 取使不等式x 2

＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(?R A)∩B. 解 A ＝{y|ya 2＋1}，B ＝{y|2≤y≤4}．

(1)当A∩B＝?时，???

?

?

a 2＋1≥4，a≤2，

∴3≤a≤2或a≤－ 3.

(2)由x 2

＋1≥ax，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2

－4≤0，∴－2≤a≤2.∴a 的最小值为－2. 当a ＝－2时，A ＝{y|y<－2或y>5}．∴?R A ＝{y|－2≤y≤5}，∴(?R A)∩B＝{y|2≤y≤4}． B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

1． (2012·湖北)已知集合A ＝{x|x 2

－3x ＋2＝0，x∈R }，B ＝{x|0

解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2

－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2． (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ?A 且S∩B≠?的集合S 的个数是 ( B )

A ．57

B ．56

C ．49

D ．8

解析 由S ?A 知S 是A 的子集，又∵A＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ?A 的S 共有26

＝64(种)可能．又∵S∩B≠?，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ?A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23

＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56. 3． (2011·湖北)已知U ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，P ＝{y|y ＝1

x

，x>2}，则?U P 等于

( A )

C ．(0，＋∞)

D ．(－∞，0]∪????

??12，＋∞ 解析 ∵U＝{y|y ＝log 2x ，x>1}＝{y|y>0}， P ＝{y|y ＝1x ，x>2}＝{y|0

4． (2012·陕西改编)集合M ＝{x|lg x>0}，N ＝{x|x 2

≤4}，则M∩N＝(1,2]___.

解析 M ＝{x|lg x>0}＝{x|x>1}， N ＝{x|x 2

≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴M∩N＝{x|x>1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|1

5． 已知M ＝{(x ，y)|y －3x －2＝a ＋1}，N ＝{(x ，y)|(a 2

－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M∩N＝?，则a 的值为 1，

－1，5

2

，－4．

解析 集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M∩N＝?知，点(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，5

2

，－4.

6． 设A ＝{x||x|≤3}，B ＝{y|y ＝－x 2

＋t}，若A∩B＝?，则实数t 的取值范围是 (－∞，－3)_____． 解析 A ＝{x|－3≤x≤3}，B ＝{y|y≤t}，由A∩B＝?知，t<－3.