2020届山东省济南市高三第一次模拟考试数学试题(学生版)
2020年高三模拟考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集U R ＝，集合2{}A x x x >＝，则U A =ð（ ） A. []0,1
B. (0,1)
C. (],1-∞
D. (,1)-∞ 2.设复数21i z i
=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，）
A. 63
B. 69
C. 75
D. 81
4.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）
A. ()tan f x x x =+
B. ()sin 2f x x x =+
C. 1()sin 22f x x x =-
D. 1()cos 2
f x x x =- 5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，
每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（ ）
A. 甲
B. 丙
C. 戊
D. 庚
6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若8AB =，PQ =（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是（ ）
图1 图2
A. 13
B. 16
C. 172
D. 1144 8.已知直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公共点1122(,),(,)A x y B x y ，其中12x x ＜，则
122x x +=（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1
D. a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势．下面是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图．
下列说法正确的是（ ）
A. 2008年原油价格波动幅度最大
B. 2008年至2019年，原油价格平均值不断变小
C. 2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值
D . 2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶
10.已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
下列说法正确的是（ ）
A. 函数sgn()y x =是奇函数（ ）
B. 对任意的1,sgn(ln )1x x >=
C. 函数sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(,1)-∞
D. 对任意的,
sgn()x R x x x ∈⋅＝
11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是（ ）
A. 1A C ⊥面α
B. 存点P ，使得1AC ∥平面α
C. 存在点P ，使得点1A 到平面α的距离为53
D. 用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
12.已知函数()(sin cos )sin cos f x x x x x =+-，下列说法正确的是（ ）
A. ()f x 是周期函数
B. ()f x 在区间,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦-上是增函数 C. 若12()+()2f x f x =，则12()2
k x x k Z π+=∈ D. 函数()()1g x f x =+在区间[]0,2π上有且仅有1个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知2cos(2)33πα-=，则21sin ()26
πα--的值为______________． 14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的渐近线与圆()222+=1x y -相切，则该双曲线的离心率为__________．
15.已知12,e e u r u u r 是夹角为3π的
单位向量，若12,)ae be a b R +=∈u r u r ，则+a b 的最大值为_________．
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P
满足BP ．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17.若数列{}n a 满足221(,n n a a p n N p +-=∈＋为常数），则称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差．
（1）已知数列{},{},{},{}n n n n c d x y 分别满足2020,+1,2+1,3n n n n n c d n x n y ＝＝＝＝，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）；
（2）若数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列2{}n a 的前n 项和n S ． 18.如图，平面四边形ABCD ，点B ，C ，D 均在半径为533
的圆上，且3BCD π∠＝．
（1）求BD 的长度；
（2）若3,2AD ADB ABD ∠∠＝＝，求ABD ∆的面积．
19.如图1，平面四边形ABCD 中，2,,AB AC AB AC AC CD ⊥⊥＝＝，E 为BC 的中点，将ACD ∆沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥D ABC -
（1）证明：平面ADE ⊥平面BCD ；
（2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为4
π，求二面角A BD C --的余弦值． 20.网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2．
（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；
请根据题目所给信息完成下面22⨯列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？ 好评
中评或差
评
合计
物流迅速
（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X ．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率． 表1
（Ⅰ）求X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号
附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 参考数据：
21.在平面直角坐标系xOy 中，①已知点A ，直线l ：x P 满足到点A 的距离与到直线l ②已知圆C 的方程为224x y +=，直线l 为圆C 的切线，记点A 到
直线l 的距离分别为12,d d ，动点P 满足12,PA d PB d ＝＝；③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且
3ST ＝，动点P 满足21+33
OP OS OT =uu u r uu r uu u r ． （1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P
的轨迹方程；
（2）记（1）中的轨迹为E ，经过点(1,0)D 的直线l '交E 于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围． 22.已知函数2(1)()x a e x f x x
--=，且曲线()y f x ＝在(2,(2))f 处的切线斜率为1． （1）求实数a 的值；
（2）证明：当0x ＞时，()1f x ＞
； （3）若数列{}n x 满足1()n x n e
f x +＝，且113x ＝，证明：211n x n e -＜。
山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题含答案
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） ―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=12|M x x -<<，{|N x y ==，则=M N ⋂A ．{}1|x x >-B ．2|}0{x x ≤<C ．{}2|0x x <<D ．{12}x x |≤<2．函数()34=f x x x +-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33．已知命题1:,e 2exx p x ∀∈+≥R ，则p ⌝为 A ．1,e 2e xxx ∃∈+≥R B ．1,e 2e xx x ∃∈+<R C ．1,e 2exx x ∃∈+≤R D ．1,e 2exx x ∀∈+≤R 4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑．国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015─2019年GDP 数据．根据表中数据，2015-2019年我国GDP 的平均增长量为 A ．5.03万亿B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=则下列说法错误的是 A ．双曲线C 的实轴长为8 B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =±C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为947．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是 A ．14B ．516C ．38D ．128．在ABC 中，cos c os A B +=AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知复数1cos2sin 2()22z i ππθθθ=++-<<（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为 A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DPD 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>a ．，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．下列说法正确的是 A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________． 14．若5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________．15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为________．16．已知函数()2ln f x x =，21()(0)2g x ax x a =-->．若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x = 的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的取值范围是________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点．（1）求证：BMDF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2,,n n a n a n n b ⎧=⎨⎩奇数为偶数为，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A A πωω=+>>能同时满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2； ②函数()f x的图象可由)4y x π=-的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和． 20．（12分）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g ．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附： ①若()2~,X Nμσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知；随机变量2~(,)25Y N σμ；②若()2~,Nημσ，则0.68()26P μσημσ-<<+=，220.9()544P μσημσ-≤<+=， 330.9()974P p σημσ-<<+=；③通常把发生概率在0．05以下的事件称为小概率事件． 21．（12分）已知函数()ln()f x a x b =+-（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数． 22．（12分）已知平面上一动点A 的坐标为2(2,2)t t -． （1）求点A 的轨迹E 的方程； （2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t． （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆两圆公共弦的中点为H ．在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．–1；14．4.5；15．3； 16．32，32a ≥（本小题第一空2分，第二空3分）． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）证明：【方法一】连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面， 因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ， 因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥， 所以BMDF ⊥．【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1AD AF ==，2BC BE ==，所以()0,0,0B ，M ，()0,1,1D ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,1,0)DF =-，所以20BM DF ⋅==，所以BMDF ⊥．（2）【方法一】连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DFEN =，所以四边形ENDF 为平行四边形， 所以//EF DN ，所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为BD DN BN ===所以BND 为等边三角形，所以60BND ∠=，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒． 【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1AD AF ==，2BE =，所以()0,0,0B ，M ，()2,0,0E ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,0,1)EF =-所以1cos ,2||||BM EF BM EF BM EF ⋅<>===-．所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒．18．【解析】 （1）因为21122n S n n =+ 所以当1n =时，111a S ==. 当2n ≥时，2211111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式， 所以n a n =．（2）因为,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以对任意的+k ∈N ，2121(21)(21)2k k b b k k +--=+--=，则{}21k b -是以1为首项，2为公差的等差数列；222222242k k k k b b ++==， 则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()2462(12321)2222n n =++++-+++++()414(121)214nn n -+-=+- 124433n n +=+-19．【解析】（1）函数()sin(6x f x A πω=+）满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件之一，由③可知，Tπ=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件为①③；由①可知2A =， 所以()2sin(2)6f x x π=+（2）因为()10f x +=，所以1sin(2)62x π+=-， 所以22()66x k Z k πππ+=-+∈或722()66x k Z k πππ+=+∈， 即()6x k k ππ-+∈=Z 或()2x k k ππ+∈=Z又因为],[x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 所以方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为23π． 20．【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2．0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=．（个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ．假设面包师没有撒谎，则2~(1000,50)X N ． 根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则2~(1000,10)Y N ． 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据， 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．21．【解析】（1）当1a =，0b =时，l (n )f x x =-此时，函数()f x 定义域为(0,)+∞，1()f x x '=-=，． 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在(4,)+∞上单调递减．所以max ()(4)2ln 22f x f ==-．（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[0,)+∞，()a f x xb '==+， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的,()0x ∈+∞恒成立， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即()f x '在(0,)+∞上无变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ⅱ）当3440a b ->，即a >记方程()0h x =的两根分别为1x ，2x ，则120x x a +=>，120x x b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为2个．综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个．22．【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为2(2,2)t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222(,)t t当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B AAB B A y y t k x x t-==--所以直线AB 的方程为222(2)1t y t x t t +=--， 整理得2(2)1ty x t =--所以直线AB 过定点()2,0；（ⅱ）【方法一】因为A 的坐标为2(2,2)t t -，且圆A 与直线2x =-相切， 所以圆A 的方程为222()()(2)A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A Bx x x y y y y y x x -+-+-=- 将2(2,2)A t t -，222(,)B t t 带入并整理得1()(1)y t x t =-+①， 由（i ）可知直线AB 的方程为2(2)1ty x t =--②， 因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得2(2)(1)y x x =--+， 整理得2219()24x y -+=，即点H 的轨迹是以1(,0)2为圆心，32为半径的圆， 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．【方法二】由题意知直线2x =-为圆A 与圆B 的公切线，设切点分别为E ，F ，设两圆的公共弦交公切线2x =-于点G ，则G 为E ，F 的中点， 所以G 点横坐标为2G x =-，G 点的纵坐标为122E F A B G y y y y y t t++===-， 即1(2,)G t t--，因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为211AB t k t--=， 故公共弦所在的直线方程为211()(2)t y t x t t---=+ 整理得1()(1)y t x t =-+，所以公共弦恒过()1,0S -；由平面几何的知识可知，公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，记直线AB 所过的定点为R ，则R ，S ，公共弦的中点H ，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点H 在以RS 为直径的圆上： 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．。
2020-2021年山东省济南市质检一：济南市2020届高三第一次质量检测数学(理)试题附答案
山东省济南市2020届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2}C．{0，2，4}D．{1，2}
2．（5分）复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知p：2m+4n＜4，q：m+2n＜2，则p是q的（）
A．充分而非必要条件B．必要而非充分条件
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2020届山东省济南市高三第一模数学试题(word版含答案)
2020年山东省济南市高三一模数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知全集U R ＝，集合A ＝2{}x x x ｜＞，则UA ＝A ． []0,1B ． （0，1）C ． (],1-∞D ． 1-∞（，） 2.设复数21iz i+＝（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位:kg ）约为（参考数据:取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，） A ． 63 B ． 69 C ． 75 D ．814.已知函数y f x ＝（）的部分图象如图，则f x （）的解析式可能是 A ． f x x tanx （）＝＋ B ． 2f x x sin x （）＝＋ C ．1 22f x x sin x -（）＝ D. 1cos 2f x x x -（）＝ 5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。
某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。
若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A ． 甲 B ． 丙 C ． 戊 D ．庚6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q 。
若8AB PQ ＝，则＝ A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 87.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
济南市2020届高三第一次模拟考试及答案详解(精校版)
济南市2020届高三第一次模拟考试英语试题第一部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题;每小题2. 5分，满分37. 5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
AIf you want to learn why everything is usually cheaper, and what items are the best deals at your local or chain dollar or discount store, store employees have a lot of useful information. They tend to know what shoppers want —even before shoppers know themselves.Everyone buys unnecessary thingsWhether you shop at a chain dollar store such as Dollar Tree, Family Dollar or your local 99 cents store, not everything that’s on sale is necessarily worth purchasing. Bryan Waring, a former Dollar Tree employee, says that you’re not alone in buying more than necessary from these stores. “It seems basic, but everyone falls for this trap,” he says. “You go into a store where everything is cheap, and you walk out with things you don't need.” He suggests going into a store — yes, even the dollar store — with a checklist of things you truly need.Everything is cheaper after the holiday seasonPatricia, a seasonal worker at a Dollar Tree, says that the post-Christmas season means even more deals on everything from decorations to sweets. “After Christmas, all the gift wrap paper went to 50 cents, and all Christmas items were half price,” she says. “Even candy bars are 89 cents versus $ 1.”Products are less expensive because of their sizeIn order for dollar stores to keep their prices low, product sizes are usually smaller than normal, according to Cheapism. Dollar stores area t the only ones guilty of this trick. Cheapism also reports Walmart is guilty of doing the same thing to attract customers.1. What is Bryan’s advice against buying unnecessary things?A. Making a purchase aloneB. Writing a to-buy list ahead.C. Shopping at your local store.D. Buying basic things separately.2. Which of the following is a better time for shopping according to Patricia?A. In the Christmas sales.B. At a particular discount.C. After the Christmas season.D. During some holiday seasons.3. How do stores make their products cheaper?A. By reducing product sizes.B. By lowering product costs.C. By adopting discount strategies.D. By attracting more customers.BIt was just a normal day for Ruth Miller, a 63-year-old woman until everything went horribly wrong. She was walking to her car after shopping when the unthinkable happened.Right as she was unlocking her car, a man quickly came up behind her and tried to wrestle her purse away. Shewas in shock. Luckily she remembered she had her Safe Personal Alarm (SPA) on her purse, and since she was too scared to scream for help, she quickly reached for the alarm and pulled the pin (保险栓). Immediately her SPA started just screaming. The man didn't know what to do! He froze for a second, and then ran away like a bat out of hell!SPA is a safety device capable of creating a 125db sound that attracts attention and scares away potential attackers. To compare, it's the same volume as a military jet during takeoff.Paul Davidson, the inventor of SPA, knows all too well the type of situation that Ruth found herself in. But that's not the only type of situation that SPA helps protect against. Parents can give it to their kids as an extra means of protection. Teenagers can use it so they can feel safe walking home. Women can know it's there when they have to use the parking lot at night. “My mother, who is 76 years old, carries it around in case she falls and needs to ask people for help. I only wish I'd have thought of it earlier,” said Paul.The police have been recommending SPA since it first hit the market. In fact, since its launch, SPA has been in a state, shifting between in stock to sold out nearly every other week, and it's also got tons of loyal followers worldwide.4. What does the underlined part “the unthinkable” in Paragraph 1 refer to?A. An attempted robbery.B. A wrestling match.C. An angry argument.D. A car accident.5. How did Ruth react to the unexpected situation?A. She fought violently.B. She froze in great fear.C. She cried desperately for help.D. She sounded her safety device.6. Why does Paul mention his mother?A. To imply the elderly need more care.B. To suggest he cares about his mother.C. To show SPA can be widely used.D. To make an advertisement for SPA.7. What can be learned from the text?A. SPA is well received in the market.B. People hesitate to pay for security.C. SPA was sold out in the first two weeks.D. SPA is not important in life.C Like clockwork,nearly every fourth February includes one extra day. February 29th, otherwise known as Leap Day, isn’t exactly a holiday. Instead, it’s there to keep your calendar consistent with the earth’s rotation (旋转) around the sun.According to History, com, Roman emperor Julius Caesar is the “father” of Leap Year. Until he came along, people used a 355-day calendar, which was 10.25 days shorter than the solar year. Roman officials were supposed add an extra month e very now and then to keep the seasons exactly where they should be. But that didn’t work out all that well. When special occasions started shifting into different seasons around 45 BCE, Caesar consulted with astronomers and decreed (下令) that the empire should use a 12-month, 365-day calendar, which he named afterhimself, Caesar’s Julian calendar included a Leap Day every four years.Though Leap Day keeps your calendar in line with the earth’s rotation around the sun, it causes a diff erent kind of problem for leapsters. When should these February 29th babies celebrate their birthdays during the otherthree-quarters of their lives? Some party on February 28th, while others prefer a two-day celebration that spans the last day of February and the first day of March.Leap Day can be a nuisance in the legal system. In 2006, a court in Massachusetts was deciding whether criminal John Melo could be released a day early since his 10-year sentence included a Leap Day. In the case, the judge deci ded that since the man was sentenced to prison for years, not days. Leap Day didn’t make a bit of difference.Though a few timekeepers have pushed for calendars that don’t include Leap Day, almost all astronomers and societies agree that Leap Day is the best method to keep the calendar on track.8. Why was Leap Day created?A. To celebrate special occasions.B. To honor Emperor Julius Caesar.C. To keep pace with the solar year.D. To keep track of all the seasons.9. What is the problem with the birthday celebration of February 29th babies?A. It is sometimes delayed.B. It lasts at least two days.C. It has to be held every other year.D. It may take place on different dates.10. What does the underlined word “nuisance” in Paragraph 4 mean?A. Joke.B. Topic.C. Trouble.D. Mistake.11. what is the attitude of most astronomers towards Leap Day?A. Critical.B. Supportive.C. Doubtful.D. Cautious.DScientists have developed a new type of smart bandage (绷带) that can signal the type of bacterial (细菌的) infection it’s protecting, just like a traffic light, as well as release the right type of drugs on demand. The traffic light system works just like this: Green means no bacteria or a low concentration of bacteria, yellow means drug-sensitive (DS) bacteria responsive to standard antibiotics (抗生素) and causes antibiotic release, and red means drug-resistant (DR) bacteria that need extra help to be wiped out.In testing the bandage on mice, the research team was able to successfully treat both DS and DR infections using the new method. However, the common methods of sensing resistance are limited by time, the requirement for professional personnel, and expensive instruments. Moreover, the abuse of antibiotics causes the accelerated process of bacterial resistance.It’s easy to see how a simple bandage and light could overcome some of these limitations. Treatment doesn’t have to wait for a doctor to make a diagnosis, and the bandage can get the right sort of drugs applied at the earliest opportunity. What’s more, the person wearing the bandage gets real-time feedback on what’s happening with theinfection, if there’s an infection at all. The researchers say it offers numerous benefits over existing treatments that make use of light, including photodynamic therapy or PDT.We’ve been seeing quite a few upgrades to the traditional bandage in recent years, thanks to advances in science — like the nanofiber mesh that attracts bacteria and draws some of it out, speeding up the healing process. Then there’s the novel bandage for treating burns, which stops bacteria from multiplying and lowers the risk of infection.The more work that a bandage can do while it’s protecting a wound, the better. Efforts to improve bandages conti nue and now we've got a bandage that not only releases antibiotics, but also tells the patient exactly what’s going on too.12. What is the smart bandage mainly designed to do?A. Avoid the use of antibiotics.B. Clear out harmful bacteria.C. Detect bacterial infections.D. Increase treatment options.13. What is the advantage of the smart bandage?A. It saves much time and cost.B. It removes the risk of infection.C. It prevents the bacterial resistance.D. It improves doctor-patient relationship.14. What can be inferred from the last two paragraphs?A. Traditional bandages are out of use now.B. More smart bandages will be developed.C.Progress in science calls for more research.D. People are urged to study medical science.15. What does the text focus on?A. A successful test on mice.B. A colour-changing bandage.C. Sensing drug-resistant bacteria.D. Preventing abuse of antibiotics.第二节（共5小题;每小题2. 5分，满分12. 5分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
2020-2021学年山东省济南市高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题及答案解析
高考数学模拟试题参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3-- 2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.函数()3log 21y x =-的定义域为 A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b < C.若a b >，则()()22a c b c +>+D.若0ab >，则2a b b a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.9B.16C.25D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,a b c ππ=== A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225x f x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r 是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）设函数()223cos 2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π. （I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分）如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0x f x e ax a a R a =+-∈≠且. （I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于T 点.（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TF PQ的取值范围.17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分 （2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为: （1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点，所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o ，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA IDA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n qa a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=. 在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e . 综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分 21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分 解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+， 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则 436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434m G m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG -=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-）， 43m k OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时， 13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ -+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分 所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+> 设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(kk x k y +-=-=， 即)433,434(222kk k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
2020-2021济南市高三数学上期中一模试题带答案
（2）若 ， ，求 .
25． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
求C；
若 ，求， 的面积
26．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，
∵ ，
∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，
∴a4＋a2 013＝2，
∴ .
很明显a4－1>0，a2 013－1<0，∴a4>1>a2 013，
本题选择D选项.
12．D
解析：D
【解析】
分析：由正弦定理可将 化简得 ，由余弦定理可得 ，从而得解.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简 ，得到 ，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．
【详解】
由题意知， ，
结合正弦定理，化简可得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 或 ，
所以三角形是等腰或直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，验证 是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 .
对于①中的函数 ， ，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数 ， 不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题一含答案
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20M x x x =-≥，{}2N x x =<，则MN =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}12x x ≤<C ．{}012x x x ≤≤<或D ．{}01x x ≤≤ 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设向量a ，b 满足()3,1a b +=，1a b ⋅=，则a b -=（ ）A ．2BC ． D5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154 B ．154- C ．38 D ．38-6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-+∞7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A ．27-+ B ．43 C ．27+ D ．328．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则a a b b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞11．已知函数()122log x f x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x < C ．1232x x +< D ．2212512x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2θ=________． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________．16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，且5AB =，直线l 经过C的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1）（2）两问的解答． ①sin sin in sin s C A A b a cB--=+； ②2cos cos cos c C a B b A =+．（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列．满足15a =．且2a ，9a ，30a 成等比数列． （1）求{}30a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值．20．（12分）设点()A ，)B ，直线AP 和BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 和N 是轨迹C 上不同的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON 的面积为定值．21．（12分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要．某工厂生产N 95型口罩并成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有两件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格．以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为X ，求()E X ． （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22．（12分）已知定义在区间()0,2上的函数()ln mf x xx =+，m R ∈． （1）证明：当1m =时，()1f x ≥；（2）若曲线()y f x =过点()1,0A 的切线有两条，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 由20x x -≥，解得1x ≥或0x ≤，所以集合{}10M x x x =≥≤或．因为{}2N x x =<，所以{}012MN x x x =≤≤<或．故选C ．2．A()()()()1311324121112i i i i i i i i -----===--++-，∴复数131ii -+的虚部为2-．故选A ． 3．A 直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则21a =且51a≠-，解得1a =±，所以当1a =±时，满足两直线平行，则“1a =-”是“两条直线平行”的充分不必要条件．故选A ．4．B 因为()3,1a b +=，所以231a b +=+=22410416a b a b a b -=+-⋅=-⨯=，所以6a b -=．故选B ．5． D 由二项式定理可得62⎛⎫- ⎝的通项为()()663166120,1,2,3,62r r rrr r rrT C C x r---+⎛⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭，令32r-=，则1r=，所以2x的系数为()6111613228C-⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭．故选D．6．D ()()1f x x x=+，()()()1f x x x f x∴-=-+=-，()f x∴为定义域R上的奇函数．又当0x>时，()()21f X x x x x=+=+为增函数，()f x∴在R上单调递增．由()()220f x f x+->知，()()()222f x f x f x>--=-，22x x∴>-，即220x x+->，解得2x<-或1x>．故选D．7．C 连接1QF，由12PF F为等腰三角形且Q为2PF的中点，由2PF c=知12QF PF⊥，且22cQF=．由双曲线的定义知122cQF a=+，在12Rt FQF中，()2222222c ca c⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得双曲线C的离心率e=．故选C．8．C 函数sin2y x=的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()()sin22f x xϕ=-的图象，则当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,22xπϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．由函数()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可知，()2222222kk Zkππϕππϕπ⎧-+≤-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()4k k Zkππϕπ-≤-∈≤．又由02πϕ<<，可知04ππ<≤①．函数()f x的所有零点满足()22x k k Zϕπ-=∈，即()12k Zx kπϕ=+∈，由最大负零点在5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭内，得()511226Zk kπππϕ-+<-∈<，即()51112262Zk k kπππϕπ--<<-∈-，由02πϕ<<可知，当1k=-时，123ππϕ<<②．由①②可得，ϕ的取值范围为,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦．故选C．9．ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．ABCD 对实数a ，b ，m ．22am bm >，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，a ab b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a ∴+=+，设()()121f a a a a=+>，()2120a f a =-'>，()f a ∴在区间()1,+∞上单调递增，当1a →时，()3f a →，()3f a ∴>，即()23,a b +∈+∞，D 正确．11．ABC 由()122log x f x x =-，可知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <，则()f a ，()f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．12．AD 由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=，1211x x =，12+=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>，即12256x x >，B 错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ．13．解析：（方法一）因为cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5θ=，所以22222sin 22sin cos 4an 2cos 2cos t sin 3θθθθθθθ⎛ ⎝⎭====-⎛- ⎝⎭⎝⎭．（方法二）因为cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以tan 2θ=-，所以()()22222tan 4tan 21tan 312θθθ⨯-===---． 答案：4314．解析：因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为4，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 答案：2015．解析：如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ．设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60ABC AC r ===︒∠，即r =．当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =．由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 答案：649π16．解析：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由一元二次方程根与系数的关系得1232px x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()00,M x y ，由题意知204y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为答案：2 17．解：（1）选择①， 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 故3C π=（5分）选择②， 根据正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=．即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故3C π=． （5分）（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-．得225a b ab =+-， 即()253a b ab =+-， 解得2ab =， 又因为ABC 的面积为12sin ab C ， 所以ABC． （10分） 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠． 因为2a ，9a ，30a 成等比数列， 所以()()()2111298a d a d a d ++=+．又15a =，解得2d =或0d =（舍），所以23n a n =+． （4分） （2）依题意得123n n b b n +-=+，即121n n b b n --=+（2n ≥且*n N ∈）， 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()221321215322n n n n n n ++=++-+++==+． （7分）13b =对上式也成立，所以()2n b n n =+，即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． （9分） 所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1113232124211122n nn n n ⎛⎫=+ +--=-+++⎝⎭+⎪． （12分） 19．（1）证明：因为侧面11ABBA 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，所以AD =．在1Rt ABB 中，11tan 2AB AB B BB ∠==，在Rt ABD 中，tan ABD AD AB ==∠，所以1AB B ABD ∠=∠．又1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABD ∠+∠=︒，所以在AOB 中，90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1CO AB ⊥，又BD CO O =，所以1AB ⊥平面BCD ．又BC ⊂平面BCD ，所以1BC AB ⊥． （6分）（2）解：由（1）可知OD ，1OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33AB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，0,33AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =-，BC ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，得y =，z =，则(11,2,n =．又平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =，设二面角D BC A --的大小为θ，由题图可知θ为锐角，则12122cos 55n n n n θ⋅===⋅，所以二面角D BC A --的余弦值是5． （12分） 20．（1）解：设点P 的坐标为(),x y ，由题意知23AP BP k k ==-⋅， 化简得点P的轨迹方程为(22132x y x +=≠． （4分） （2）证明：由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0， 又由已知得23AP BP k k =-⋅， 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-⋅． 设直线MN 的方程为x my t =+，代入C 的方程得()222234260m y mty t +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+， （6分） 又()212122222121212262363OM ON y y y y t k x x m y y y t k mt y t m -⋅====-+++-，得22223t m =+． 所以12111222MONS t y y t t =-===，即MON 的面积为定值2（12分） 21．解：（1）从这箱产品中任取20件检验，每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立．因此设X 为不合格口罩数，X 符合二项分布．所以()()1822201f p C p p =-，所以()()()1722021110f p C p p p '=--，故当00.1p =时，()f p 取最大值． （5分）（2）（ⅰ）设剩余180件口罩中不合格品为Y ，则()~180,0.1Y B ，()18E Y =，则检验费用和赔偿费用之和为20225X Y =⨯+，()()4025E X E Y =+，所以()490E X =． （9分）（ⅱ）整箱检验费用为2200400⨯=元，因为()490400E X =>，所以需要对余下的所有口罩做检验． （12分）22．（1）证明：当1m =时，()1ln f x x x=+ ． ()22111x f x x x x-'=-+=， ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==，()1f x ∴≥． （3分）（2）解：当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，可知不符合题意．当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），又切线过点()1,0A ，()()()00001f x f x x '∴-=-，即()()0001f x f x x '=-， 000200ln 1mx m x x x x +=∴--， 整理得0200l 10n 21x m m x x ++--=． （*） 由题意，得方程（*）在区间()0,2上有两个不同的实数解． （5分）（方法一）令()221ln 1m m g x x x x+=+--， ()()()321x m x g x x --'=．①当21m =，即12m =时，()g x 在()0,2上单调递增，∴此时不满足要求． （6分） ②当21m >，即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减或在()0,1，()2,2m 上单调递增，在()1,2m 上单调递减，而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln 21ln 2048m g +=+->->，()12ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间()0,1上有唯一的零点，在区间()1,2上无零点．∴此时不满足要求． （8分）③当021m <<，即102m <<，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增． ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()20g m >，()20g >， ()g x ∴在区间()0,2上有唯一的零点，∴此时不满足要求． （10分）④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln 24m g -=+． 当()20g ≤，即24ln 23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一的零点，此时不满足要求． 当()20g >，即24ln 203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点，设为1x ，2x ． 此时，()21m f x x x '=-，显然()f x '在区间()0,2上单调递减． ()()12f x f x ''∴≠，∴此时满足要求．综上所述，实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分） （方法二）关于0x 的方程()0020021110ln x x x m x -+-+=在区间()0,2内有两个不同的实数解，显然12不是方程的解，故原问题等价于22l 12n x x x x m x+-=-在区间()0,2内有两个不同的实数解． 设()()22112l 2ln 1n x x x x x x x s x x x x +-+-==--，02x <<，12x ≠， 则()()()2ln 11212x x x x s x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，02x <<，12x ≠． 令()2ln 1h x x x =+，02x <<，12x ≠， 则()221221x h x x x x -'=-+=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()12ln 402h x h ⎛⎫∴>=-> ⎪⎝⎭． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0s x '>．当()1,2x ∈时，()0s x '<， 从而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()s x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()s x 单调递减． （9分）令()1ln t x x x x =+-，02x <<，12x ≠，()ln t x x '∴=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()1,2x ∈时，()0t x '>， ()()10t x t ∴≥=．∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x ≤． 而当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()10s x s ≤=，当x 从12右侧趋近12时，()s x →-∞，作出()s x 的大致图象如图所示， 故22l 12n x x x x m x +-=-在区间()0,2内有两解()20s m ⇔<<，解得24ln 203m -<<，即实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分）。
2020-2021济南市高三数学上期末第一次模拟试题(及答案)
2020-2021济南市高三数学上期末第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D12．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．113．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．2 4．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 5．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．566．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =7．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．458．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．329．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3210．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．6011．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A 25B 5C 310D 10二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；16．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．18．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．19．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 20．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2nn n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin a A b B c C B +=+()1求角C ； ()2求cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．23．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .24．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．25．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值．26．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．2．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 3．C解析：C 【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．4．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可． 详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 6．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 7．A解析：A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.10．B解析：B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度．【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是40cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα=-=-=-=-=-． 故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．11．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.12．C解析：C 【解析】 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=225AC AB BC +在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 2252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】 先求出22sin C =c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A 为锐角，则22cos 3A =，故2sin 3C =. 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故223sin 3621sin 3a Cc A=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 故2229722623b b =+-⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析：12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=. 故答案为:12n n a -=.【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.15．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 16．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=， ∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴199********log (99)199a =⋅=． 故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．17．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为解析：75︒【解析】)acosC ccosA b -=)sinAcosC sinCcosA sinB -=，即()2A C -=， ()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒， 又因为180B 120AC +=︒-=︒，所以2150,A 75A =︒=︒，故答案为75︒．18．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行解析：4980【解析】【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字，2018是该表的第1009个数字，由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字，由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置，即104984980m n =⨯=g， 故答案为：4980【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．19．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题解析：1-【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-，又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-.【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.20．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要【解析】33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．三、解答题21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）2552n n n T +=-【解析】试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：212n nn b += 23435792122222n n n T +=++++⋯+ ① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：23411311112122222222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故2552n n n T +=- 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．()()124C π=2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到222a b c +=，再由余弦定理得到()222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于3cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到三角函数的范围即可．解析：()2221sin sin sin sin a A b B c C B a b c +=∴+=Q即222a b c +-=由余弦定理()222cos 024a b c C C C ab ππ+-==∈∴=， （2cos 4A B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭31cos cos 2cos 442A A A A A A ππ⎫⎛⎫--+=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()110,,6612A A ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Q ，， 12sin 26A π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为2 23．(1)3C π=;(2)32. 【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=， 根据正弦、余弦定理得1cos 2C =，即可得到3C π=；（2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得32h =，即可得到结论．详解：（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B v v⋅=-+， 所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 所以3C π= ；（2）由余弦定理()22232cos 33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =，根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即113222⨯⨯=， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高32h =． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.24．（1）14n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49n n n T +-⋅=． 【解析】【分析】（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =， 可得41(14)8514a -=-，解得11a =， 则14n n a -=，*n N ∈；（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，两式相减可得23134444(1)4n n n T n --=+++⋯+--⋅14(14)(1)414n n n --=--⋅-， 化简可得4(34)49nn n T +-⋅=． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．25．（1）23C π=；（2）1a =. 【解析】【分析】（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值.【详解】（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a = 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯解得1a =【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.26．(1)212n a n =-;(2)4(13)n n S =-.【解析】【分析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、 （1）设{}n a 公差为d ，由已知得1126{50a d a d +=-+=解得110{2a d =-=, 212n a n =-（2）21232324b a a a a =++==-Q ，∴等比数列{}n b 的公比212438b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13n n n S -⨯-==--．。
2020年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
利用复数代数形式的乘除运算，求出 的坐标得答案．
【解答】
解：∵z= =
，
∴
，
则 在复平面内对应的点的坐标为（
故选 D．
2.答案：A
），位于第四象限．
解析：解：∵全集 U={x||x|＜2}=（-2，2），集合 P={x|log2x＜1}=（0，2） ∴∁UP=（-2，0] 故选：A． 利用补集定义直接求解． 本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20. 某用户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图 1 所示，两 个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．
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其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期
更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换．若用户在安装净水系统的同时
A. （-2，0]
B. （-2，1]
C. （0，1）
D. [1，2）
3. 已知{an}为等比数列，若 a3=2，a5=8，则 a7=（ ）
A. 64
B. 32
C. ±64
D. ±32
4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭 2018 年全年的收入与 2014 年
全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了
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19. 设 M 是抛物线 E：x2=2py（p＞0）上的一点，抛物线 E 在点 M 处的切线方程为 y=x-1． （1）求 E 的方程； （2）已知过点（0，1）的两条不重合直线 l1，l2 的斜率之积为 1，且直线 l1，l2 分别交抛物线 E 于 A，B 两点和 C，D 两点，是否存在常数 λ 使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|成立？若存在，求出 λ 的 值；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年度山东省济南市高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案
高考模拟考试 理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11212i i+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ） A ．2b ≥ B ．12b <≤ C ．1b ≤ D ．1b <3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s >4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．2213632x y += B ．22198x y += C ．22195x y +=D ．2211612x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．146.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．18B ．14 C ．316 D ．388.已知函数()sin()f x x ωϕ=+3cos()x ωϕ++0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为（ ）A ．13，21B ．34，55C ．21，13D ．55，34 10.设函数212()log (1)f x x =+112x++，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U11.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长1F M 与双曲线的右支相交于点N ，若13MN F M =u u u u r u u u u r，则此双曲线的离心率为（ ）A ．132 B ．53 C ．43D ．263 12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a =r ，(2,)b x =r，若a b +r r 与3a b -r r 平行，则实数x 的值是．14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为．15.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x 项的系数为．16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签： 原点处标数字0，记为0a ；点(1,0)处标数字1，记为1a ； 点(1,1)-处标数字0，记为2a ；点(0,1)-处标数字-1，记为3a ； 点(1,1)--处标数字-2，记为4a ；点(1,0)-处标数字-1，记为5a ； 点(1,1)-处标数字0，记为6a ；点(0,1)处标数字1，记为7a ； …以此类推，格点坐标为(,)i j 的点处所标的数字为i j +（i ，j 均为整数），记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则2018S =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=+，且ABC ∆的面积为3，求a .18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且6CD =，12AB =，将它沿对称轴1OO 折起，使平面1ADO O ⊥平面1BCO O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上（不同于A ，B 两点），连接OE 并延长至点Q ，使//AQ OB .（1）证明：OD ⊥平面PAQ ；（2）若2BE AE =，求二面角C BQ A --的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324改造有关；设备改造前设备改造后合计 合格品 不合格品 合计（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合．．格品中的频率．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 附：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.6352()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：24x y =，直线l 与抛物线1C 交于A ，B 两点.（1）若直线OA ，OB 的斜率之积为14-，证明：直线l 过定点； （2）若线段AB 的中点M 在曲线2C ：214(2222)4y x x =--<<上，求AB 的最大值. 21.已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x a +>.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题 13. 214. 315. -48 16. -249 三、解答题 17.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A -2sin 2sin()C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A -2(sin cos cos sin )B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：222b c a +-=，∴222cos 2b c a A bc+-===， 由0A π<<，得：6A π=，tan A =，∴tan B = 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =， 由12sin23S ac π=212==，得：2a =.18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取1OO 的中点为F ，连接AF ，PF ；∴//PF OB ， ∵//AQ OB ，∴//PF AQ ，∴P 、F 、A 、Q 四点共面， 又由图1可知1OB OO ⊥， ∵平面1ADO O ⊥平面1BCO O ， 且平面1ADO O I 平面11BCO O OO =， ∴OB ⊥平面1ADO O ， ∴PF ⊥平面1ADO O ， 又∵OD ⊂平面1ADO O ， ∴PF OD ⊥.在直角梯形1ADO O 中，1AO OO =，1OF O D =，1AOF OO D ∠=∠，∴1AOF OO D ∆≅∆，∴1FAO DOO ∠=∠，∴190FAO AOD DOO AOD ∠+∠=∠+∠=o， ∴AF OD ⊥.∵AF PF F =I ，且AF ⊂平面PAQ ，PF ⊂平面PAQ ， ∴OD ⊥平面PAQ .（1）【解法二（向量法）】由题设知OA ，OB ，1OO 两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为(0,0,0)O ，(6,0,0)A ，(0,6,0)B ，(0,3,6)C ，(3,0,6)D ，(6,,0)Q m .∵点P为BC中点，∴9 (0,,3)2P，∴(3,0,6)OD=u u u r，(0,,0)AQ m=u u u r，9(6,,3)2PQ m=--u u u r，∵0OD AQ⋅=u u u r u u u r，0OD PQ⋅=u u u r u u u r，∴OD AQ⊥u u u r u u u r，OD PQ⊥u u u r u u u r，且AQuuu r与PQuuu r不共线，∴OD⊥平面PAQ.（2）∵2BE AE=，//AQ OB，∴132AQ OB==，则(6,3,0)Q，∴(6,3,0)QB=-u u u r，(0,3,6)BC=-u u u r.设平面CBQ的法向量为1(,,)n x y z=u r，∵11n QBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，∴630360x yy z-+=⎧⎨-+=⎩，令1z=，则2y=，1x=，则1(1,2,1)n=u r，又显然，平面ABQ的法向量为2(0,0,1)n=u u r，设二面角C BQ A--的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则12126cosn nn nθ⋅==⋅u r u u ru r u u r19.【解析】（1）根据图3和表1得到22⨯列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172 192 364 不合格品28 8 36合计200 200 40022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.210≈.∵12.210 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050=，设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025=；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优. （3）由表1知： 一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16. 由已知得：随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480.240P X =（）1116636=⨯=，300P X =（）12111369C =⨯⨯=，360P X =（）1211115263318C =⨯⨯+⨯=，420P X =（）12111233C =⨯⨯=，480P X =（）111224=⨯=.∴随机变量X 的分布列为：∴240300369E X =⨯+⨯（）3604204804001834+⨯+⨯+⨯=. 20.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，得：2440x kx m --=， ()2160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，1212OA OBy y k k x x ⋅⋅=⋅2212121144x xx x ⋅=⋅12164x x m⋅==-， 由已知：14OA OB k k ⋅=-，所以1m =， ∴直线l 的方程为1y kx =+，所以直线l 过定点(0,1). （2）设()00,M x y ，则12022x x x k +==，2002y kx m k m =+=+， 将()00,M x y 带入2C：214(4y x x =--<<得： 22124(2)4k m k +=-，∴243m k =-.∵0x -<，∴2k -<k <<，又∵()216k m ∆=+22216(43)32(2)0k k k =+-=->，∴k <<，故k的取值范围是：(k ∈.AB ==243m k =-代入得：AB =22≤=当且仅当2212k k+=-，即2k =±所以AB 的最大值为. 21.【解析】 （1）【解法一】函数()f x 的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大. 设()ln 1g x x x =+-，∵1'()10g x x=+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增. 又∵(1)0g =，∴1x <时，()0g x <；1x >时，()0g x >. 因此：（i ）当01a <≤时，max ()()0f x a g a =⋅≤，则()f x 无零点， 不符合题意，舍去.（ii ）当1a >时，max ()()0f x a g a =⋅>， ∵12()(1)f a e e =-2110e e --<，∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点， ∵(31)ln(31)f a a a -=-2(31)(21)(31)a a a --+--[ln(31)(31)]a a a =---， 设()ln h x x x =-，(1)x >，∵1'()10h x x=-<， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，则(31)(2)ln 220h a h -<=-<， ∴(31)(31)0f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(,31)a a -上有一个零点，那么，()f x 恰有两个零点. 综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （1）【解法二】函数的定义域为：(0,)+∞.'()221a f x x a x =-+-(21)()x a x x+-=， ①当0a ≤时，易得'()0f x <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令'()0f x =得：x a =，则max 极大.∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()(ln 1)0f a a a a =+->，即ln 10a a +->，设()ln 1g a a a =+-，∵1'()10g a a=+>，则()g a 在(0,)+∞上单调递增， 又∵(1)0g =，∴1a >； 当1a >时： ∵12()(1)f a e e =-2110e e--<， ∴()f x 在区间1(,)a e上有一个零点； 设()ln h x x x =-， ∵11'()1xh x x x-=-=，∴()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)10h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴2()ln (21)f x a x x a x =-+-22(21)3ax x a x ax x x ≤-+-=--23(3)ax x x a x ≤-=-， 则(4)0f a <，∴()f x 在区间(,4)a a 上有一个零点， 那么，此时()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时，a 的取值范围是(1,)+∞. （2）【证法一】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()(2)F x f x f a x =--，(0,2)x a ∈， 则：'()'()'(2)F x f x f a x =--2(21)2a ax a x a x=-+-+-2(2)(21)a x a --+- 22()22(2)a a x a x a x x a x -=+-=--. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =， ∴()0F x <，∴()(2)f x f a x <-， ∵1(0,)x a ∈，∴11()(2)f x f a x <-， ∵12()()f x f x =，∴21()(2)f x f a x <-，∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. （2）【证法二】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当(0,)x a ∈时，()f x 是增函数； 当(,)x a ∈+∞时，()f x 是减函数； 不妨设：12x x <，则：120x a x <<<； 设()()()F x f a x f a x =+--，(0,)x a ∈， 则'()'()'()F x f a x f a x =++-2()(21)a aa x a a x a x=-++-++-2()(21)a x a --+- 222()()a a x a x a x a x a x =+-=+-+-. 当(0,)x a ∈时，'()0F x >，∴()F x 单调递增， 又∵(0)0F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-， ∵1(0,)a x a -∈，∴12()()f x f x =11(())(())f a a x f a a x =--<+-1(2)f a x =-， ∵2(,)x a ∈+∞，12(,)a x a -∈+∞，()f x 在(,)a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>. 22.【解析】（1）由已知得：11222x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=， 即：l20y -+=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=，即：C ：22(2)4x y +-=.（2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，∴11 PM PN+1212PM PN t tPM PN t t++==⋅⋅21212121212()4t t t t t tt t t t-+-⋅==⋅⋅13=.23.【解析】（1）当2x≤-时，()4f x x=-+，∴()646f x x≥⇒-+≥2x⇒≤-，故2x≤-；当21x-<<时，()3f x x=-，∴()636f x x≥⇒-≥2x⇒≤-，故xφ∈；当1x≥时，()4f x x=-，∴()646f x x≥⇒-≥10x⇒≥，故10x≥；综上可知：()6f x≥的解集为(,2][10,)-∞+∞U.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x xf x x xx x-+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x的图象，由图象知，当1x=时，13a-+≤-，解得：2a≤-，∴实数a的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x≤-时，4x x a-+≥-+恒成立，∴4a≤，当21x-<<时，3x x a-≥-+恒成立，∴2a≤-，当1x≥时，4x x a-≥-+恒成立，∴2a≤-，综上，实数a的取值范围为(,2]-∞-.。