求不超过120的素数个数.ppt
素数（超详细！！！）
素数（超详细）整数惟⼀分解定理素数筛法给定n，求出1~n之间所有的质数。
⼀、Eratosthenes筛法（☒此处本应有⼀幅动图，然鹅我并不知道该如何显⽰动图(｡-ω-)-ω-)-ω-)Eratosthenes筛法思想⼆、欧拉筛法（线性筛）埃⽒筛法中以n=30为例，30这个数被筛了3次，分别是：2*15(p=2)3*10(p=3)5*6(p=5)枚举 2~n 中的每⼀个数 i：如果 i 是素数则保存到素数表中;利⽤ i 和素数表中的素数 prime[j] 去筛除 i*prime[j] ，为了确保i*prime[j] 只被素数 prime[j] 筛除过这⼀次，要确保 prime[j] 是i*prime[j] 中最⼩的素还要⼩的素因⼦。
因⼦，即 i 中不能有⽐ prime[j] 还要⼩的素因⼦写法⼀：（仅⽤于判断）写法⼆：（可求出每个数的最⼩质因⼦）素数筛法优化素因数分解只要在判定素数时记录下每个数值的最⼩素因数即可。
⼀道肥肠简单的模板题——【例 1】Prime Distance（信息学奥赛⼀本通 1619）【题⽬描述】给定两个整数 L,R，求闭区间 [L,R] 中相邻两个质数差值最⼩的数对与差值最⼤的数对。
当存在多个时，输出靠前的素数对。
【输⼊】多组数据。
每⾏两个数 L,R。
【输出】详见输出样例。
【输⼊样例】2 1714 17【输出样例】2,3 are closest, 7,11 are most distant.There are no adjacent primes.。
高中数学竞赛讲义-容斥原理 新人教A 版
§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。
容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为。
例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。
那么，对于n=7。
求所有子集的“交替和”的总和。
2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。
化学数学都优秀8人。
这个班有5人任何一科都不优秀。
那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。
3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。
5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。
6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。
7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。
证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。
例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。
组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章资料
第三章3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。
[解].令：A 1={通过中文考试的学生}A 2={通过英语考试的学生}A 3={通过数学考试的学生}于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45此题没有给出：有多少人通过三门中至少一门；有多少人一门都没通过。
但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92故可以认为：至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8于是，根据容斥原理，有|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1∪A 2∪A 3|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)=|A 1∪A 2∪A 3|-(92+75+65)+(65+54+45)=|A 1∪A 2∪A 3|-232+164=|A 1∪A 2∪A 3|-68从而由 92-68≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤100-68即 24≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤32可得 24≤|A 1∩A 2∩A 3| ≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。
也可用容斥原理，即|1A ∩2A ∩3A |=|Z|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-232+164-|A 1∩A 2∩A 3|=32－|A 1∩A 2∩A 3|从而有 |A 1∩A 2∩A 3|=32-|1A ∩2A ∩3A |由已知 0≤|1A ∩2A ∩3A |≤8，可得24≤|A 1∩A 2∩A 3|≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32之间。
高中数学竞赛讲义-容斥原理
§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。
容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为。
例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。
那么，对于n=7。
求所有子集的“交替和”的总和。
2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。
化学数学都优秀8人。
这个班有5人任何一科都不优秀。
那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。
3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。
5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。
6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。
7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。
证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。
例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。
组合数学第三章答案
3.1题（宗传玉）某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议解:设A i为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则故甲参加的会议数为:28+5=33.3.2题（宗传玉）求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.解:设A3：被3整除的数的集合A5：被5整除的数的集合A7：被7整除的数的集合所以3.3.题（宗传玉）n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。
解:每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只有n－1种可能．，所以至少有２人的朋友数相等．3.4题（宗传玉）试给出下列等式的组合意义.解:(a) 从n 个元素中取k 个元素的组合，总含有指定的m 个元素的组合数为)()(kn m n mk m n --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m ,Ai 为不含a i 的组合（子集），i=1,…,m.()∑∑∑==∈⊄==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ml l m l l m i i lj i lk l n k m A k n k n m n k l n l j 01),(),...,(1m1i i i i i 1)1(A A A A 111213.5题（宗传玉）设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i 和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，b i=b j=c i=c j．证：显然，每列中必有两数字相同，共有种模式，有０或１两种选择．故共有·2种选择．·2=6．现有7列，．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．3.6题（宗传玉）在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于证：把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形．如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方形内的任两点的距离都小于．3.7题（王星）在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．证：把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．3.8题（王星）任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
《素数和合数》PPT课件 省一等奖课件 (2)
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是692 。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀 是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围 。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话 ”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老 师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方 法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她 常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次 考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中， 她的成绩一直稳定在年级前5名左右。
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动 。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的 睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
素数快速筛法及公式
素数快速筛法及公式素数快速筛法及公式梅生林安徽合肥2012.07.12摘要：在素数的研究中，总结出素数快速筛法及公式，在这个基础上扩展了素数的一些关系、性质。
关键词：素数快速筛法，素数通式，质数筛法公式1.引言素数（Prime Number）是指自然数中那些只能被1和本身整除的数，依次为2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…。
前人已证明：素数有无限多个。
一直到现在人们判定、寻找素数的方法，还是古希腊的数学家艾拉托斯芬（Eratosthenes）提出过的筛式方法，简称“艾氏筛法”。
即在任意有限自然数N以内判定素数时，先把N一个不漏的写下来，然后划掉根号N（）内所有素数的倍数，我们就能得到N以内的全部素数。
艾氏筛法判定素数的过程机械，也未能表示素数公式和一些性质。
关于寻找判定表示素数的方法公式，以前众多数学家进行了艰辛探索，也提出了很多关于素数的猜想和问题。
欧拉(Euler)就提出二项式公式n2-n+41能生成一部分素数的数型公式，直到现在，素数研究中仍然还有许多未解问题。
本文通过素数快速筛法及公式，总结出一些素数的新理论，使素数筛法及公式等都将是一次质变，将为素数研究抛砖引玉，也可能为数论增添上新的一页。
2.素数的快速筛法原理及公式当我们用艾氏筛法是要划掉每个合数，只2的倍数就差不多要划掉一半自然数，越往后面合数越多，而留下的素数越少。
我们能不能利用数学原理、公式去掉大部分合数呢？答案是肯定的。
2.1 当我们想去掉第一个素数2的倍数时，我们可能会想到用：2N+1 （N≥1）N为大于等于1的自然数，以下公式同上。
2.2 去掉2、3的倍数时，用2*3的倍数加上同为2、3互质的数：6N±12.3 去掉2、3、5的倍数时，用2*3*5的倍数加上同为2、3、5互质的数：30N±1，30N±7，30N±11，30N±13，2.4 去掉2、3、5、7的倍数时，同上的方法：210N±1，210N±11，210N±13，210N±17，210N±19，210N±23，210N±29，210N±31，210N±37，210N±41，210N±43，210N±47，210N±53，210N±59，210N±61，210N±67，210N±71，210N±73，210N±79，210N±83，210N±89，210N±97，210N±101，210N±103，2.5 去掉2、3、5、7、11的倍数时，同上的方法：2310N±1，2310N±13，2310N±17，2310N±19，……2310N±1139，2310N±1147，2310N±1151，2310N±1153，我们可以一直做下去，就会去掉从前面开始的素数倍数，划掉的合数比例将越来越少。
杨圣洪第三章习题一解答
第三章习题一一、求下列集合的幂集1、{杨,李,石}P({杨,李,石})={A000, A001, A010, A011, A100, A101, A110, A111 }={{},{石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只有一个元素，其幂集只有2个元素P={{},{1,2}}二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60人调查，25读《每周新闻》，26读《时代》，26人读《财富》，9人读《每周新闻》和《财富》，11读《每周新闻》和《时代》，8人读《时代》与《财富》，还有8人什么都不读，请计算：(1)阅读全部三种杂志的人数。
(2)分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：令A={每周新闻的读者}，B={时代的读者}，C={财富的读者}。
由于8人什么都不读，故只有52人读杂志，即|A∪B∪C|=52|A|=25，|B|=26，|C|=26|A∩C|=9，|A∩B|=11，|B∩C|=8由包含排斥原理可知|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩C|-|A∩B|-|B∩C|+| A∩B∩C|，故52=25+26+26-9-11-8+| A∩B∩C|故| A∩B∩C|=3即同时读三种杂志的人为3人|A-B-C|=|A|-|A∩B|-|A∩C|+| A∩B∩C|=25-9-11+3=8人只读每周新闻的人|B-A-C|=|B|-|B∩A|-|B∩C|+| A∩B∩C|=26-11-8+3=10人只读时代的人|C-A-B|=|C|-|C∩A|-|C∩B|+| A∩B∩C|=26-9-8+3=12人只读财富的人财富2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。