三线合一基本图形及其应用
等腰三角形（3）
——三线合一基本图形及其应用【学习目标】
1.回顾和梳理“三线合一基本图形”的有关知识。
2.探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境。
3.通过本次探究活动，提高基本图形分析法解决几何问题的应用意识。
4.体会到几何知识的运用也是有规律可循的，减少运用几何知识时的思维盲目性。
【学习重点】探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境
【学习难点】应用“三线合一基本图形”
一、复习
1、等腰“三线合一”的性质
等腰三角形的、、相互重合
符号语言①：如图∵，∴
符号语言②：如图∵，∴
符号语言③：如图∵，∴
2．如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.
求证：∠BFE=∠CFE.
二、探究：等腰三角形“三线合一”的性质能够逆用吗？（观看微视频）
在△ABC中,对于以下四个条件①AB=AC或（∠B=∠C），②∠BAD=∠CAD，③AD⊥BC
④BD=CD，据“三线合一”有①②→③④，①③→②④，①④→②③，反之将②③④中的任
两个作为条件，可以得出①吗？
（1）②③→①（2）③④→①已知：已知：
求证：求证：
A
B C
D
A
B C
D
（3）②④→①
已知： 求证：
理解深化：“三线合一”的应用： 在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，AD ⊥BC ，∠1=∠2等四个条件，只要 ，就能推导出
三、应用“三线合一基本图形”
例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ,D 为垂足，AB >AC 。
求证：∠2=∠1+∠B
例2：如图，在等腰△ABC 中，∠C =90°，如果点B 到∠A 的平分线AD 的距离为5cm, 求AD 的长。
四、归纳小结
A B C
D
五、课后练习：
1、如图，已知AB=BC，∠B=120°，DE是AB的垂直平分线.请说明CD=2AD
2、如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
3、已知，等边三角形ABC，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。
若DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点，请说明理由。
利用三线合一解题
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合.
1.等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
只要证DB=DE即可
4
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
Байду номын сангаас
交AC于D.
1
A
求证：∠DBC＝ ∠BAC.
2
D
B
C
5
当题目中出现等腰三角形和“三线” 之一时，直接得到其余两线的性质， 但表达要规范；
6
三线合一基本图形
7
∴
∠BAD=∠CAD BD=CD
------------- ----------------
1
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
2
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
证明：∵∠1=∠2 （对顶角相等） ∠A=∠D=90° AB=CD
∴△ABF≌△DCF （AAS） ∴BF=CF ∴ △BCF是等腰三角形. 又 E是BC的中点， ∴EF是∠BFC的角平分线.
∴ ∠BFE=∠CFE. ( 三线合一 )
3
（4）已知，等边三角形ABC，D是AC的中 点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。若 DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点， 请说明理由。
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一”定理应用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边长度相等。
在等腰三角形中，存在一个重要的定理，即“等腰三角形的三线合一”定理。
这个定理指出，在一个等腰三角形中，等腰线、中位线和高线三条线段会共点于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
等腰三角形的三线合一定理在几何学中有着重要的应用。
通过这个定理，我们可以推导出很多三角形的性质，并且可以帮助我们解决一些几何问题。
下面我们将通过几个具体的例子来展示等腰三角形的三线合一定理的应用。
我们来看一个简单的例子。
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是边AC的中位线，E是边BC的中点，连接DE。
我们要证明线段BD 与CE相交于垂心H。
根据等腰三角形的性质，我们知道角B和角C是等的，所以三角形ABC是等腰的。
根据等腰三角形的三线合一定理，我们知道线段BD、CE和AH相交于一个点H，即三角形ABC的垂心。
接下来，我们可以利用这个性质来解决几何问题。
我们可以通过这个定理来证明等腰三角形的顶角相等，或者计算等腰三角形的面积等等。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是具有对称性和稳定性，是几何学中常见的形状之一。
在等腰三角形中，有一定的定理和性质可以应用，在解决几何问题时起到重要作用。
本文将重点介绍等腰三角形的三线合一定理及其应用。
一、三线合一定理的概念在等腰三角形中，连接等腰三角形顶点与底边中点的直线被称为等腰三角形的三线合一。
三线合一定理指的是在等腰三角形中，三条线段的端点在同一直线上。
这是等腰三角形的一个重要性质，可以通过几何推理和证明加以验证。
假设在等腰三角形ABC中，AB=AC。
连接顶点A与底边BC的中点D，并将直线AD延长至E点。
因为AD是BC的中线，根据中线定理可知AD=DC。
又因为ABC 为等腰三角形，所以AB=AC，由此可得BD=DC。
考虑△ADE和△ACD，根据两边相等、夹角相等、以及对应边角对应相等的条件可以得出△ADE≌△ACD。
三角形三线合一
三角形三线合一三角形三线合一 1三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。
比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。
应用三条线合一是等腰三角形。
分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。
一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。
这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。
三线合一逆命题①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形三线合一 41.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一1”)。
3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导
初中数学巧用“三线合一”定理解几何题学法指导杨玲等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形的性质定理，也称为“三线合一”定理。
它在几何计算和论证过程中有着很重要的应用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。
例1 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=_________。
图1分析与解；如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB=α21，又∠EAC=︒90C ∠-，∠β=C 90∠-︒，所以∠EAC=β，αβ21=。
例2 已知：如图2，AB ∥CD ，M 为AD 的中点，并且AB+CD=BC ，求证：CM 平分∠BCD ，CM ⊥BM 。
图2分析：要证待证的结论，需延长BM 与CD 的延长线交于点E ，构造△CBE 由“三线合一”定理，只需证CE CB =，BM=EM 。
易证DEM ABM △△≅，可得BM=EM ，AB=DE ，又BC=AB+CD=DE+CD=CE ，从而本题得证。
证明：请同学们自己写出。
例3 如图3，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。
图3（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连结BE 后，还能得出什么新的结论，请至少写出三个（不要求证明）（1）证明：连结AC 、AD ，∵AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，∴△ABC AED △≅。
∴AC=AD 。
又CF=DF ，∴AF ⊥CD 。
（2）例如：①BE ∥CD ，②AF ⊥BE ，③△ACF ADF △≅，④∠BCF=∠EDF ，⑤五边形ABCDE 是以直线AF 为对称轴的轴对称图形等。
例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F 。
三线合一是什么三角形
三线合一是什么三角形
在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。
简称：三线合一。
有两边相等，且底角相等的三角形叫等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
1
1.等腰三角形的两个底角相等。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，最少有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
2
1.三角形三内角和等于180°；
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
5.在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
“三线合一”的性质在等腰三角形中的八种应用
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
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应用
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利用“三线合一”证明角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证∠DBC＝
1 ∠BAC. 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
1 ∠BAC. 2
∴∠CAF＝∠BAF＝
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD.
∵CD⊥BD，
∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE(ASA)．
∴CD＝ED，即CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠DCF. 又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
返回
应用
2
利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝ DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且
△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
第13章 轴对称
双休作业(六)
2
“三线合一”的性质在等腰三角形中
的八种应用
1
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6
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8
应用
1
利用“三线合一”求角
1．如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°， 立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.
全等三角形的三线合一
全等三角形的三线合一在学校的时候，大家一定都学过全等三角形吧？说到三角形，嘿，大家可能会想到那些三根边、三角角的几何图形，真是简单又神奇。
全等三角形，这个词听起来有点高大上，其实没那么复杂。
说白了，就是两个三角形在形状和大小上完全一样，哪怕你把它们翻过来，还是能对上号，就像双胞胎一样，谁也分不出来。
不过，你可别以为全等三角形就只在课堂上出现，它们在生活中可无处不在呢。
比如，你拿出一块巧克力，切成两个相同的三角形，嘿，那就是全等三角形的完美例子。
每次一切，心里那个美滋滋啊，仿佛找到了生活中的小确幸。
全等三角形有个很有意思的性质，就是它们的三条线合一，听起来神秘，但其实没那么难懂。
说到三线合一，首先得提到的就是角平分线、重心线和中线。
哎，别一听这些名词就头大，这可都是三角形的小伙伴。
角平分线就像是在三角形里找到了一个小调解员，帮助三角形里的角分开。
重心线呢，就像是一个指挥官，把三角形的重心找出来，让整个三角形看起来更稳定。
至于中线，它可负责把三角形的边分成两个相等的小段，简直是个完美的分配者。
这三条线合在一起，简直就是三角形的最佳拍档，像老友记一样，默契无比。
想象一下，一个三角形的内部结构。
中间的重心就像是个小宝贝，给周围的角和边们提供支持。
角平分线在两边的角之间跑来跑去，像是在搞笑的扭腰，想要让每个角都开开心心。
中线则静静地在一旁，把三角形的每一边都平分得当，生怕哪个角落被忽视了。
这时候，三条线相聚在一起，形成了一个平衡的局面，仿佛在跳一支和谐的舞蹈，真是太美妙了。
再说说实际应用。
全等三角形可不光是纸上谈兵，生活中随处可见。
想想你家里的家具，都是经过设计师的巧妙计算，确保每个角、每条边都达到完美的平衡。
就连咱们做饭的时候，切菜也有讲究，切成均匀的小块，让每一口都能尝到滋味。
没准，锅里那道菜就是因为全等三角形的理念才那么好吃呢！所以，别小看这些几何概念，生活中处处都藏着它们的影子。
全等三角形还可以帮助我们解决很多问题。
“三线合一”的妙用
“三线合一”的妙用安徽省无为县刘渡中心学校（238341）丁浩勇等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．一、证明角相等【例1】已知：如图1，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．求证：DBC BAC ∠=∠2．【分析】作出等腰ABC ∆的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得DBC ∠等于其中任一部分即可．【证明】作BAC ∠的平分线AE ，则有BAC ∠=∠=∠2121．∵AC AB =，21∠=∠，∴BCAE ⊥（三线合一）．∴︒=∠+∠902C ．又∵AD BD ⊥，∴︒=∠+∠90C DBC ．∴DB C ∠=∠2．∴DBC BAC ∠=∠2．【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．二、证明线段相等【例2】（2009·汕头）如图2，ABC ∆是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CD CE =，过点D 作BE DM ⊥，垂直为M ．求证：EM BM =．【分析】在BDE ∆中，BE DM ⊥．如果能证得DE DB =，由“三线合一”就可得出EM BM =．【证明】∵A B C ∆是等边三角形，D 是的AC 中点，∴︒=∠=∠60ACB ABC ，BD 平分ABC ∠（三线合一）．∴︒=∠30DBC ．又∵CD CE =，∴CDE E ∠=∠．又∵CDE E ACB ∠+∠=∠，∴︒=∠=∠3021ACB E ．∴︒=∠=∠30E DBC ．∴DE DB =．又∵BE DM ⊥，∴EM BM =（三线合一）．【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多．因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决．三、证明直线垂直【例3】（2009·义乌）如图3，在正△ABC 中，BC AD ⊥于点D ，以AD 为一边向右作正△ADE ．请判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明．图121 E DCBA 图2EC AMDB【分析】在正△ABC 中，由“三线合一”知︒=∠30CAD ．而△ADE 也是正三角形，于是有︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAD DAE FAE ，这样就得AF 是正△ADE 的角平分线，再由“三线合一”得DE AC ⊥．【证明】在正△ABC 中，∵BC AD ⊥，∴︒=∠30CAD （三线合一）．在正△ADE 中，∵︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAD DAE FAE ，∴AF 是DAE ∠的平分线．∴DE AC ⊥（三线合一）．【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线．FE D CB图3A。
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的三线合一
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，
三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）等边三角形是等腰三
角形的一种，也满足此条件。
如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么
这个三角形是等腰三角形。
（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。
（三线合一）（3）等边三角形是轴
对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心
合一）（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。
（等于其高）（6）等边三
角形拥有等腰三角形的一切性质。
（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）
1、在平面上三角形的内角和等同于°（内角和定理）。
2、在平面上三角形的外角和
等同于° (外角和定理)。
3、在平面上三角形的外角等同于与其不相连的两个内角之和。
4、一个三角形的三个内角中最少存有两个锐角。
5、在三角形中至少存有一个角大于等同
于60度，也至少存有一个角大于等同于60度。
6、三角形任一两边之和大于第三边，任
一两边之差大于第三边。
国画梅花构图“三线”组合法，简单、实用、重要
国画梅花构图“三线”组合法，简单、实用、重要
国画梅花构图“三线”组合法，这是非常简单的法则，又是非常重的法则。
既然重要，多说一遍也无妨。
三线指主线、辅线、破线，是指所画梅花在画面中形成的三条趋势和走向。
主线是确定形式的主导，起着决定大局的作用。
辅线用来加强主线的气势。
破线则是为打破单调布局，使画面更加灵活。
主线、辅线、破线不是简单的组合，而是要谐调好整体与布局、对立与统一的关系。
三条线可以不同方向、角度组合多种形式的构图。
【上面第一张梅花三线图】
【上面第二、三张梅花三线图】
国画梅花经典构图“八位出枝法”介绍
国画梅花“三点”布局法浅析，补充《芥子园画传》缺失，实用珍贵
国画宾主构图技巧之梅花篇。