三线合一专题练习
等腰三角形三线合一提高练习
1.如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD＝ED；（2）若AC＝AB，求证∠C＝∠DEC；（3）在（2）的条件下，若DE＝3，求AC的长．、2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周长分别为13cm和8cm．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）线段BC的长．3．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．5.已知：如图，D是△ABC的边BC上的一点，且AB＝BD＝AD＝DC，求∠B，∠C，∠BAC，∠DAC的度数．6.如图，△ABC中，AB＝AC，点D、点E分别在AC、AB上，且BC＝BD＝DE＝EA，求∠A的度数．7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．8.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）9．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．10.如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．11.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．12.如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．。
“三线合一”证题【精】精心总结
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一”例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。
求证：AD垂直平分EF分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD垂直平分EF例2. 如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。
由于有，，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D作DE//CK交BK于点E二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。
由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或问题得证。
（2）欲证，只要证，即可但由（1）已证出又，故问题解决证明：连结AD。
D是BC的中点，DA平分，四边形PEAF是矩形又又（2）又即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4. 如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。
证明：连结DM、CM，M是AB的中点是等腰三角形又N是CD的中点，例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF//BC分析：由BE 平分、容易想到：延长AE 交BC 于M ，可得等腰，E 为AM 的中点；同理可得等腰，F 是AN 的中点，故EF 为的中位线，命题就能得证。
“三线合一”证题
等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。
本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EFA1 2EFB D C图1分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有∠=∠12，所以只要证∆AEF 为等腰三角形即可 证明： DE AB DF AC ⊥⊥， ∠=∠=12，AD AD∴≅∴=Rt AED Rt AFDAE AF ∆∆又∠=∠12∴AD 垂直平分EF例2. 如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3图2分析：可考虑作DE//CK 交AB 于E ，因为M 是AD 的中点，所以K 是AE 的中点，只要证E 是BK 的中点，问题可得到解决。
由于有AB AC =，AD BC ⊥，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D 作DE//CK 交BK 于点EAB AC AD BC =⊥， ∴=∴=BD DC BE EK ， AM MD AK KE =∴=， ∴==AK KE EB ∴=AB AK 3二. 先连线，再用“三线合一”例3. 如图3，在∆ABC 中，∠=A 90，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥C图3分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。
观察DE 为∆BDE 或∆PDE的一边，DF 为∆DFP 或∆DFC 的边，但它们都没有全等的可能。
由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现∆∆AED CFD ≅或∆∆BDF ADF ≅问题得证。
12.6.2 三线合一 练习题 京改版八年级数学上册
第2课时三线合一【基础练习】1.在△ABC中,AB=AC,点D在BC上.(1)如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠,BD=;(2)如果∠BAD=∠CAD,BC=6 cm,那么∠BDA=°,BD=cm;(3)如果BD=CD,那么∠BAD=∠,AD⊥.2.[2020·房山期末]如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线.若∠CAD=25°,则∠B的度数是()A.25°B.55°C.65°D.75°3.[2020·海淀期末]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的动点(点D与点B,C不重合),△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2,下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是()A.BD=CDB.∠ADB=∠ADCC.S1=S2D.AD=1BC24.如图,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于点C,D,连接CD.CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连接CE,DE.②分别以点C,D为圆心,以大于12③连接OE交CD于点M.下列结论中错误的是()A.∠CEO=∠DEOB.CM=MDCD·OEC.∠OCD=∠ECDD.S四边形OCED=125.如图1是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D处挂一个铅锤E,让其自然下垂,调整架身,使点A恰好在铅垂线上,这时AD和BC的位置关系为.图16.如图2所示,AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E.求证:AE⊥BC.图2 7.[2020·大兴期末]如图3,在△ABC中,点D,E在边BC上,BD=CE,且AD=AE.求证:AB=AC.图38.如图4,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且AE=BE,则AH与2BD相等吗?请说明理由.图4【能力提升】9.如图5,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.求证:EF=ED.图510.如图6,已知AB=AC,BD⊥AC,垂足为D.求证:∠DBC=1∠A.2图6 11.如图7,在△ABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE.求证:DE⊥BC.图712.在△ABC 中,AB=AC ,∠1=12∠ABC ,∠2=12∠ACB ,BD 与CE 相交于点O ,如图8,∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系?若∠1=13∠ABC ,∠2=13∠ACB ,则∠BOC 与∠A 的大小关系如何? 若∠1=1n∠ABC ,∠2=1n∠ACB ,则∠BOC 与∠A 的大小关系如何?图8答案1.(1)CAD CD (2)90 3 (3)CAD BC [解析] 等腰三角形三线合一的性质.2.C3.D4.C5.AD ⊥BC6.证明:在△BAD 与△CAD 中,{AB =AC ,AD =AD ,BD =CD ,∴△BAD ≌△CAD (SSS).又∵AB=AC,∴AE⊥BC.7.证明:过点A作AF⊥BC于点F.又∵AD=AE,∴DF=EF.又∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF,即BF=CF.又∵AF⊥BC,∴AB=AC.8.解:相等.理由如下:∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD.∵AD,BE是高,∴∠ADC=∠AEH=∠BEC=90°.∴∠HAE+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°.∴∠HAE=∠CBE.在△AHE和△BCE中,{∠HAE=∠CBE, AE=BE,∠AEH=∠BEC,∴△AHE≌△BCE.∴AH=BC.又∵BC=2BD,∴AH=2BD.9.证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.又∵EF⊥AB,∴∠EFB=∠ADB=90°.∵BG平分∠ABC,∴∠FBE=∠DBE.又∵BE=BE,∴△FBE≌△DBE.∴EF=ED.10.证明:作∠BAC的平分线交BC于点E,则∠EAC=12∠BAC,∠AEC=90°.∴∠EAC+∠C=90°.∵BD⊥AC,垂足为D,∴∠BDC=90°.∴∠DBC=∠EAC=12∠BAC.11.证明:如图,过点A 作AF ⊥BC 于点F .∵AB=AC ,AF ⊥BC , ∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC. ∵AD=AE ,∴∠D=∠AED=12∠BAC. ∴∠BAF=∠D. ∴AF ∥DE.又∵AF ⊥BC ,∴DE ⊥BC.12.解:∵AB=AC ,∠1=12∠ABC ,∠2=12∠ACB ,∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-12(∠ABC+∠ACB )=180°-12(180°-∠A ).即∠BOC=90°+12∠A.∵∠1=13∠ABC ,∠2=13∠ACB ,∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-13(∠ABC+∠ACB )=180°-13(180°-∠A ).即∠BOC=120°+13∠A.∵∠1=1n ∠ABC ,∠2=1n ∠ACB ,∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-1n (∠ABC+∠ACB )=180°-1n (180°-∠A ).即∠BOC=180°(n -1)n+1n ∠A.。
三线合一解题
这节课你有那些收获?
?
三线合一的简单应用 （1）如图，已知AB=BC，D是AC的中点，
∠A=34°，则∠DBC= 56 度.
（2）△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.指出 图中各对相等的线段，且说明理由.
(3)如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与 BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
∵ △ABC中,AB=AC,-∠---B--A---D--=---∠--C---A--D-
A
∴
AD⊥BC
BD=CD
------------- ----------------
2.等腰三角形底边上的中线也是的顶角平分线、 底边
上的高线.
∵ △ABC中,AB=AC,-----B--D---=---C--D-------
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
已知:
B
D
C
求证:
例：如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，
如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm, 求AD的长。
B
E 10cm D
A
F C
练习：已知：如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
只要证DB=DE即可
练习：如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC
交AC于D.1来自A求证：∠DBC＝ 2 ∠BAC.
D
B
C
在△ABC中 ①AB=AC或（∠B=∠ C）
A
② ∠BAD=∠CAD
③ AD⊥BC
④ BD=CD
圆形三线合一专项综合练习
圆形三线合一专项综合练习
1.引言
本文档旨在介绍圆形三线合一专项综合练的内容和目标。
通过此练，学员将能够深入理解圆形三线合一的概念、原理和应用，并通过实际练提升解题能力。
2.练内容
圆形三线合一专项综合练主要涵盖以下内容：
2.1 圆的基本概念
圆的定义
圆心和半径的性质
弧长和扇形面积的计算方法
2.2 圆角和圆周角
圆角和圆周角的定义
各类角的关系和计算方法
2.3 圆的三线合一
圆的三条特殊线（半径、切线和法线）的定义和性质
圆的三线合一原理
三线合一的应用例题
3.研究目标
通过完成圆形三线合一专项综合练，学员将能够达到以下目标：
掌握圆的基本概念和性质
熟练计算圆的弧长和扇形面积
理解圆角和圆周角的概念，能够计算各类角的度数
熟悉圆的三条特殊线的定义和性质
理解圆的三线合一原理，并能够应用解决实际问题
4.练建议
为了取得最好的研究效果，建议学员在进行圆形三线合一专项综合练时，注意以下几点：
充分理解圆的基本概念和性质，确保掌握基础知识
注重实际应用，通过解题训练提升解题能力
注意技巧和方法，善于总结归纳
遇到难题时不要轻易放弃，可以寻求帮助或查找相关资料
5.结语
本文档介绍了圆形三线合一专项综合练习的内容和目标，希望学员能够通过此练习提升自己的解题能力，并对圆形三线合一有更深入的理解。
祝愿大家学有所成，取得好成绩！。
2024八年级数学上册阶段拔尖专训第3招等腰三角形“三线合一”六种常见题型习题课件新版浙教版
即∠ EAC ＝∠ ECA ＝45°，
而题设中∠ BAC 并不一定是45°，故选项A不符合题意；
∵ AB ＝ AC ＞ BC ，
过程.
利用“三线合一”求角的度数
1. 如图，直线 l1∥ l2， A ， B 是 l1上两点，以点 A 为圆心，
AB 长为半径作弧，交 l2于点 C ，连结 BC ，分别以 B ， C
为圆心，大于 BC 长为半径作弧，两弧相交于点 D ，作
射线 AD ，交 l2于点 E ，若∠ BCE ＝28°，则∠ CAE 的度
为
42°
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
【点拨】
∵ AB ＝ AC ， AB ＝ AE ， AD ， AF 分别为△ ABC 和
△ ABE 的中线，
∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ BAF ＝∠ EAF ，∠ ABE ＝∠ E ，
∠ ABC ＝∠ C ，∠ BDA ＝∠ BFA ＝90°.
∵∠ BOD ＝∠ AOF ＝69°，
浙教版 八年级上
第3招
等腰三角形“三线合一”
六种常见题型
CONTENTS
目
录
01
分类训练
教你一招
等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的
中线”，只要知道其中“一线”，就可以说明这条线同时也
是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明
角相等、线段相等或垂直，可减少证全等的次数，简化解题
∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C .
在△ BDE 和△ CFD 中，
＝，
ቐ∠＝∠，
＝，
等腰三角形三线合一练习题
等腰三角形三线合一练习题十一初中八班姓名：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= 0000A．10B.12.C.1D.20DC第3题图FDC第4题图第2题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为。
CC第5题图B第7题图 F C第6题图7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．19、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?证：∠ACE=∠B。
10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BCBC，E在△ABC外，求2EADBC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ． 12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACBEADGFMBCN三线合一专项练习一、选择题：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= A．10B.12.C.1D.20D第2题图C第3题图FDC第4题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三线合一专题练习
一、直接运用三线合一证题
1、如图，在Rt ABC △中，
90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC
于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60
2、已知，如图1，AD 是∆ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是∆ABD 和∆ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF
A
1 2
E
F
B D C
图1
3、如图2，∆ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3
A
K
M
E
图2
二、做辅助线利用三线合一
4、如图3，在∆ABC 中，∠=A 90
，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F
求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A
E
F
B D P 图3
5、如图，在等腰梯形ABCD中，G为对角线交点，△ADG、△GBC为正三角形。
F、E、H为AG、BG、DC的中点。
连接CE BF
（1）求证：△EFH为正三角形；
（2）若AD=2，BG=3，求S△EFH；
ACB ADB90 ，M、N分别为AB、CD的中6、如图4，已知四边形ABCD中，∠=∠=
⊥
点，求证：MN CD
C
N
D
A M B
图4
7、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
A
D
1
B M
C E
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。