太原理工大学 2013级研究生《数值分析》试题及解答
太原理工大学数值计算方法题库讲解
数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
《数值分析》所有参考答案
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
2013年元月数值分析(题解)
工科硕士研究生课程考试试题及参考解答(2013年1月)一 填空（共30分）（1）设多项式1964)(34+++=x x x x f ，则求)(0x f 仅含有四次乘法运算的算法为____________ __．（2）设)ln(),(y x y x f +=，35.1*=x 、650.0*=y 是x 、y 的近似值，若*x 、*y 均为有效数，则),(**y x f 的相对误差限为210-⨯（小数点后保留三位）．（3） 设13)(3+-=x x x f ，则)(x f 以0、1、2为插值节点的二次插值多项式=)(2x P _______． （4）设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的五次Lagrange 插值基函数，则∑=++535)()12(i i i i x l x x=_____________．（5）取初始向量T )111()0(=V，用乘幂法迭代两步求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103025034A 按模最大的特征值1λ时，其近似值)1(1)2(1)2(1V V =λ=_____________（)(1k V 为第k 次迭代向量的第一个分量）． （6） 给定三点 A(0,1)、B(1,3)、C(2,2)，按最小二乘法拟合这三点的直线为_____________． （7） 设61)(22++=ax x x g ，对于任意常数0C 、1C 均满足条件0))((10102=+⎰dx x C C x g则a = ． （8）迭代格式 ,1,0),2(3121=+=+k x cx x kk k 局部收敛到3c （c ≠0），其收敛阶为____阶． （9） 常数a=_____________，⎰-1023)(dx a x 取最小值．（10） 对于n 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为_____．二（10分）（1）建立计算52008近似值的迭代格式，并给出能保证迭代格式收敛的初始0x ； （2）计算52008的近似值，要求结果具有五位有效数字．三.（12分）用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17121077521x x ．四.（12分）对于求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--262410121014321x x x 的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代，迭代格式是否收敛？哪一个迭代格式收敛快？Gauss-Seidel 迭代与Jacobi 迭代的收敛速度之比等于多少？五.（12分）确定参数α，使得求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的如下格式,2,1)],,(),()1(),([)(21111111=+-+++=--++-+n y x f y x f y x f h y y y n n n n n n n n n αα 其阶数达到最高；并要求给出局部截断误差的表达式，且指明方法的阶．六.（12分）运用反射（Householder ）矩阵将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124213431A 正交相似化为对称三对角矩阵． 七.（12分）设],[)(3b a C x f ∈，⎰=badx x f f I )()(，给定求积分)(f I 的求积公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)32(3)(4)(b a f a f a b f Q （A ） （1）求上述求积公式（A ）的代数精度； （2）求截断误差表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q f I ∈-=-ηη中的常数k ；（3）取正整数n ，记nab h -=，),,1,0(n i ih a x i =+=． 试构造求积公式（A ）对应的复化求积公式)(f Q n ，并求极限30)()(lim h f Q f I n h -→．一.答案 （1）1]9)64[()(02000+++=x x x x f ；（2） 210397.0-⨯；（3）153)(22+-=x x x P ；（4）∑=++535)()12(i i ii x l x x1235++=x x ；（5）7)1(1)2(1)2(1==V V λ；（6）x y 2123+=； （7）1-=a ；（8）二阶收敛；（9）41=a ；（10）至少为n -1．二. 解（1）设52008=α，2008)(5-=x x f ，则α为方程0)(=x f 的根．由于0)5(,0)4(><f f ，且在[4,5]上0)(>'x f ，故α为方程0)(=x f 在]5,4[内的唯一实根． 根 （a ）0)5()4(<f f ；（b ）当]5,4[∈x 时，0)(>'x f ，0)(>''x f ；（c ）0)5()5(>''f f （则取50=x （或]5,4[0∈x ）时，Newton 迭代格式 ,1,0,52008451=--=+k x x x x kk k k 收敛． （2）用牛顿迭代格式计算：取50=x ，有64256.41=x ，578545224.42=x ，576704602.43=x ，57670312.44=x ． 因4341021-⨯<-x x ，故5767.420085≈． 三. 解 设T LL A =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛22121122121110775l l l l l l ，比较等式两边矩阵的对应元素，得 5211=l ，71121=l l ，10222221=+l l ．当限定矩阵L 的对角元全为正时，得 511=l ，5721=l ，5122=l ．故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515755157510775． 根据 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛17125157521y y ，解得T)51,512(=y ． 根据 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛515125157521x x ，解得T )1,1(=x ．四. 解 （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为)(1U L D B +-=-J ，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-04102102104100101010104241J B 由 0)41(4102121412＝-=--=-λλλλλλJ B I ，解得21,21,0321-===λλλ，故迭代矩阵谱半径21)(=J B ρ，Jacobi 迭代收敛． （2）Gauss-seidel 迭代格式的迭代矩阵为U L D B 1)(-+-=S ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0001000104100210041s B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=813210218100410 由0)41(813210218100412=-=---=-λλλλλλS B I ，解得41,0,0321===λλλ，故迭代矩阵谱半径41)(=S B ρ，Gauss-Seidel 迭代收敛．（3）对于Jacobi 迭代：21)(=J B ρ，其收敛速度2ln 21ln )(ln =-=-=J J B ρη；对于Gauss-Seidel ：由41)(=S B ρ，其收敛速度2ln 241ln )(ln =-=-=S S B ρη．因为J S ηη> (或)()(J S B B ρρ<)，所以Gauss-seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快．且2=JSηη．五. 解 所给格式的局部截断误差为)()()1()()(21)(21)(11111-+-++'-'--'---=n n n n n n n x y h x y h x y h x y x y x y R αα )()(6)(2)()(432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=)(21n x y -)]()(6)(2)()([21432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''-''+'-- )]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''+'-)()1(n x y h '--α)]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''-'-α)(]14121[)(])1(1211[2n n x y h x y h ''+--+'----+=ααα )()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α要使公式的局部截断误差阶数最高，则令0)1(1211=----+αα，即43=α．当43=α时，1+n R )(]14121[2n x y h ''+--=α)()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α．)()(8543h O x y h n +'''-=且该方法是二阶方法．六. 解 对向量T)4,3(作反射变换，使其与T)0,1(平行，此时40 ,)4,8(,54322===+=βσT u ．Tuu I H β-=22~[]48484011001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53545453 所求反射阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=5354054530001H ，THAH ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=252325140251425735051七. 解 （1）当1)(=x f ，a b f I -=)(，a b f Q -=)(； 当x x f =)(，)(21)(22a b f I -=，)(21)(22a b f Q -=；当2)(x x f =，)(31)(33a b f I -=，})32(3{4)(22b a a a b f Q ++-=333a b -=； 当3)(x x f =，)(41)(44a b f I -=，)(}9)2({4)(33f I b a a a b f Q ≠++-=．所以，求积公式为二次代数精度．（2）做)(x f 的二次Hermite 插值多项式)(2x H ，要求其满足)32()32(),32()32(),()(ba fb a H b a f b a H a f a H +'=+'+=+=． 则 ),()(,)32)((!3)()()(2)3(b a x b a x a x f x H x f ∈+--=-ξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-⎰)32(3)(4)()()(b a f a f a b dx x f f Q f I ba ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰)32(3)(4)(b a H a H a b dx x f badx x H dx x f b a b a ⎰⎰-=)()(（根据求积公式为二次代数 ),()(,)32)((!3)(2)3(b a x dx b a x a x f ba∈+--=⎰ξξ ),(,)32)((!3)(2)3(b a dx b a x a x f b a ∈+--=⎰ηη),(),()(2161)3(4b a f a b ∈-⋅=ηη 所以，表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q fI ∈-=-ηη中的常数2161=k ．（3）求积公式（A ）对应的复化求积公式∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=11)3(3)(4)(n i i i i n x x f x f h fQ ，根据)(f Q 的截断误差，得),(,)(2161)()(110)3(4+-=∈=-∑i i i n i i n x x f h f Q f I ηη．因此，30)()(lim h f Q f I n h -→⎰∑'''==-=→b a n i i h dx x f hf )(2161)(lim 21611)3(0η)]()([2161a f b f ''-''=。
数值分析试卷及其答案1
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有６位有效数字，求绝对误差限。
（4分)解:由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分）解:{},88,4,1max 1==A１分{},66,6,1max ==∞A1分()AA A T max 2λ=1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T420⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001220-⎥⎥⎥⎦⎤440＝⎢⎢⎢⎣⎡00180⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分{}3232,8,1max )(max ==A A T λ1分24322==A3. 设32)()(a x x f -= （６分） ① 写出f(x ）＝0解的Ne ｗt ｏｎ迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,１……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①N ｅwton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分 ②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组A ｘ=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=０,１……)求解Ａx ＝b,问取什么实数α，可使迭代收敛(8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B ２分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I2分即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α ２分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jaco ｂｉ迭代法的收敛性,并建立Gauss-Ｓeidel 迭代格式 (9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-21)(1U L D B J22--⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分,03213=====-λλλλλJ B I2分即10)(<=J B ρ,由此可知Jaco ｂi 迭代收敛 １分Gauss －Ｓeidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k=０,1,2,3……) ３分6. 用Dool ｉttl ｅ分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i ＝1,2,3)其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= (１2分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=ＬU 3分由Ly=ｂ1,即⎢⎢⎢⎣⎡111110⎥⎥⎥⎦⎤100ｙ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974得y ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分由Ｕｘ1＝y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得ｘ1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421ｘ2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111由Ly=ｂ2=x １，即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 １分由U ｘ2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 由L ｙ=ｂ3=x2,即⎢⎢⎢⎣⎡111110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分由U ｘ3＝y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分)解:作重点的差分表,如下:3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+１)+2ｘ.ｘ(x ＋1）=232x x +3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表,并利用Ｎew ｔon 前插公式给出它的插值多项式 (7分)解:由已知条件可作差分表,3分i ih x x i =+=0 (i ＝0，１，2,3）为等距插值节点，则N ｅw ｔｏn 向前插值公式为: 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f hx x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+= ＝4＋５ｘ＋x(ｘ-1)=442++x x4分9. 求f(x)=x 在[-1，1］上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ,并求出平方误差 （8分)解:令22102)(x a x a a x P ++=2分取m ＝1, ｎ=x ， k=2x ，计算得： （m,m)＝dx ⎰-111＝0 (m,ｎ)=dx x ⎰-11=１ (m ，k)=dx x⎰-112＝0(n,k)=dx x⎰-113=0．5 （k,ｋ)=dx x⎰-114=０ （m,y ）＝dx x ⎰-11=1(n,ｙ)=dx x ⎰-112＝０ (k ，y ）=dx x ⎰-113＝0.5得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零） 即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+=１分平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据:用复合梯形公式，复合Ｓi ｍps ｏn 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位) （８分)解:用复合梯形公式: )}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3．1３９4分用复合Ｓimpso ｎ公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++= ＝３.142４分11. 计算积分⎰=2sin πxdx I ，若用复合Simpso ｎ公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分？若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解: ①由Simp ｓon 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ２分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π,由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯１分12. 用改进Eu ｌe ｒ格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为０．1，计算y(1.１）的近似值 （保留小数点后三位)[提示:sin1＝0.84,ｓi ｎ1.1=0．８9] （6分）解：改进Ｅul ｅr 格式为:⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y2分于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=０,1,2……) 2分 由y(１）=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y2分即ｙ（1.1)的近似值为0.83８13. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明:]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出4分14. 证明:设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数,则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值,x 为相对应的特征向量,则有Ａx=λｘ１分且λρ=)(A ,若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ1分而xx ⋅=λλx A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax2分 由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以1分 故A A ≤)(ρ1分当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
数值分析版试题及答案
数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
2013数学数值分析试题A
七、（本题满分 10 分）（从下列两题中选择一道题完成）
1、设 f (x) = x ,在[−1,1]求关于ϕ = span{1,x2} 的最佳平方逼近多项式。
解：定义内积（f , g）= ∫1 f (x)g(x)dx ， −1
记ϕ0 (x) = 1，ϕ1(x) = x2 ，则有
∫ (ϕ0 ,ϕ0 ) =
式。
解：（1）确定V = ϕ(i) 的形式。将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这
些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取
V = a + bi
（2）建立法方程组。
1 1
1
2
1 4
A = ，-----------------------------2 分
−1
2
2
法方程为：
2 3
2 3 2 5
c0 c1
=
1 1 2
-------------------------------2
分
解得： c0
= 3, 16
c1
=
15 16
----------------------------------------2
A
A
数。 解：由条件得， • A 的齐次性和三角不等式性是显然的，我们只需考虑正定性，
证明如下： 考虑方程组 Ax = 0 解的情况： (1) 若 A 非奇异，则原方程组有唯一零解： x = 0 ，
由此可得
x = 0 ⇔ x A = Ax = 0 (2) 若 A 奇异，则原方程组有无穷解，不满足正定性。
1 6
2013研究生数值分析试题参考答案
太原科技大学硕士研究生2013/2014学年第1学期《数值分析》课程试卷公式提示：1、Legendre 多项式)(x p n 的递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x p n n x xp n n x p x x p x p n n n2、Chebyshev 多项式)(x T n 的递推关系式：⎪⎩⎪⎨⎧=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n一、填空题（每小题5分，共35分）1、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将x cos 1-改写为___22sin2x___ 2、已知x=0.03056是经过四舍五入得到的近似值，则x 有____5__位有效数字.3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则=∞)(A Cond ___21___.4、已知()sin 1f x x x =--，则牛顿法的迭代公式是_____1sin 1,0,1,2,...1cos k k k k kx x x x k x +--=-=-__________5、求解非线性方程310x x --=的一个收敛的简单迭代公式为_______10,1,2,...k x k +==________。
6、设,,2,1,0,,53)( ==+=k kh x x x f k 则=++],,[21n n n x x x f _______3h________。
7、若用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+=+3242121x ax ax x ，其中a 为实数，则Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是应使a 满足______a <<_________。
二、（本题满分15分）（1）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x （2）写出用Jacobi 迭代求解上述方程组的迭代公式的分量形式。
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证明 证明：
x R 有 二 次 型 x Ax 0， 故 得 ①正 定 性 ， 因 为 A 对 称 正 定 ， 所 以 对
n T
f ( x) xT Ax 0 ，且 f ( x) 0 当且仅当 x 0；
②奇次性，对 c R 有 f (cx) (cx) A(cx) c 2 xT Ax c
( x) 的不动点，则 xk (1) 若 x ( xk ) 称为不动点迭代法； ( x) ，称 x是 1
(2) 若 ( x) 满足下列三个条件，则结论成立 ① ( x) 在其定义域连续（ ( x) C[a, b] ）， ② ( x) 的值域是定义域的子集（ ( x) [a, b] ），
法方程组是
n n xi i 1
n x yi i a i 1 i 1 n n b xi2 xi yi i 1 i 1
n
；
5. 改进欧拉法的局部截断误差的阶为
O(h2)
二、每小题15分，共30分
a 2 1 x 1 1 1. 已知方程组 ， 2 a 2 x2 2 1 2 a x3 1
（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当 a 4 时，雅可比迭代法收敛； （3）取 a 5, x
8. 设 A
。
3 2 ( A) ，则 || A || 5 , 2 1
7 。
9. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和 10. 设方程组 Ax b , A
C
k 0
n
(n) k
__1__。
0 0.5 ， 1.5 0
2 1 ，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是 3 2
得按模最大特征值为 1
51 12.75 ， 4
T
16 1 对应的特征向量为 x1 1, , (1, 031373, 0.33333)T . 51 3
n 2 时,
x l ( x ) _
i 1 2 i i
n
x2___．
(二) 单项选择题 单项选择题（ （每空2分，共10分） 1. 幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法．
3 2. 321.750 有5位有效数字,其误差限 . 10
( ×) ( × ) ( √ ) ( ×)
；
1) arctan x , x 1 的等价计算公式为 6. 避免损失有效数字， arctan( x
arctan
1 1 x ( x 1)
。
7. 5阶矩阵A作LU分解时的计算公式 l54
a54 (l51u14 l52u24 l53u34 ) u44
，
u34 a34 (l31u14 l32u24 )
T
2
f ( x y ) ( x y ) A( x y ) x Ax y Ay x Ay y Ax
2 T T T T T
xT Ax yT Ay 2 xT Ay f 2 ( x) f 2 ( y ) 2 xT Ay
而 x Ay ( Lx) ( Ly ) Lx
T T 2 2
1 a 1 33 1 33 3.38 ，使谱半径满足 ( B) 1， 2a 2a a
T
得特征值为 1 , 2,3
即得 a 3.38 4 时Jacobi迭代法收敛； (3) a 5 时， x
(1) (0)
1 1 1 , , ，迭代结果为 10 5 10
太原理工大学2013级《数值分析》试卷 《数值分析》试卷（ （A）
一、共40分 (一) 填空题 填空题（ （每空2分，共30分） 1. 已知 A
a 3 2 ,当a满足条件 a 2
4 3 2
a>4
时, A可作LLT分解, 其中L是对角线元
素均为正的下三角矩阵。 2. f ( x ) 2x 3x 5x 1以 2, 1, 0,1, 2, 3 为插值节点的五次插值多项式为
T
是有
xT Ay ( Bx)T ( By ) ( Bx)T ( Bx) ( By )T ( By ) xT Ax yT Ay
代入得
f ( x y ) xT Ax yT Ay 2 xT Ax yT Ay xT Ax yT Ay f ( x) f ( y )
故 f ( x) xT Ax , x R n 是一种向量范数. 或，存在可逆矩阵 L ，使 A L L ， f ( x) xT ( LT L) x ( Lx)T ( Lx) Lx
6
f ( x)dx 9
5
28 3 27 ，右 ，等式不 7 5 精确成立，故此积分公式代数精度为5；因为3点 n 2 ，且 2n 1 5 ，故为Guass型. (3) 由(1)结果，做积分变量变换 t ，计算积分为 2 x, dx 1 2 dt
(2) 显然当 f ( x ) x 时等式精确成立，当 f ( x ) x 时，左 ，得 f 0 f f ( x)dx 2 f (0.5t )dt 9 f 5 9 9 5
T
xT Ax c f ( x) ；
③三角不等式，因为
f ( x y ) ( x y )T A( x y ) xT Ax yT Ay xT Ay yT Ax xT Ax yT Ay 2 xT Ay
又因 A 是正定矩阵 ， 所以存在可逆矩阵 B ， 使 A B B ， 从而 xT Ay ( Bx)T ( By ) ，于
Gauss-Seidel 法的迭代分向量式为 x1
(k 1)
1 (k ) 1 (k 1) 1) ( x2 ( b1 ) ， x2 3 x1( k b2 ) . 2 2
11.
l0 ( x ), l1 ( x ), , ln ( x ) 是 以 x0 , x1 , , xn 为 插 值 节 点 的 Lagrange插 值 基 函 数 ， 则
T T
1 8 1 13 8 13 T x , , (0.1,0.32,0.1)T ， x (2) , , (0.052, 0.32, 0.052) . 10 25 10 250 25 250
2. 设（1）确定常数 A, B, C 及 使求积公式 数精度尽量高； （2）是否为高斯型求积公式？ （3）用上述公式计算 解
Ly
2
f ( x) f ( y ) ，
2 f ( x) f ( y ) 故 f ( x y ) ，所以有 f ( x y ) f ( x) f ( y ) 。
2. 什么是不动点迭代法？ 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛 x 于 的不动点？ x 说明 说明：
A B C 4 ( A C) 0 2 16 (A C ) 3 3 ( A C) 0 4 (A C ) 64 5
得积分公式为
2 2
解得
10 A C , 9 16 B , 9 3 2 . 5
10 3 16 10 3 f 2 f 0 f 2 ， 5 9 9 5
) Bf (0) Cf ( ) 的代 f ( x )dx Af (
2
2
e
1
1
x2
dx （保留4位小数）.
1 2k 1 (1) 当 f ( x) x 2 k 时，左 (C A) ， 0 ，右
对4个参数，取 f ( x ) 1, x , x 2 , x 3 , x 4 等式精确成立，得
(1,1,1) 。 前两次迭代的值）取初值 v 0
T
解
vk Auk 1, 2, 1, k 幂法公式为 ，初值 vk uk (1,1,1)T 计算如下 max(vk ) k uk vk / k T T vk uk k k
0 1 2 1， -5， 51/4, 1， 2， -4, 1 8 17/4 1 8 51/4 1， -3/4, 1, 1， 1/4, -16/51, 1 1 1/3
0 2 1 1 或 由Jacobi迭代迭代矩阵 B ，特征方程为 2 0 2 a 1 2 0 a 2 1 a 3 2 1 1 1 I B 3 2 a 2 3 a 4 a 2 a a 1 2 a a 3 2 a 1 3 a a 3 2 1 1 1 a 2 2 3 (a 1)((a )2 a 8) 0， a 0 0 a 1
பைடு நூலகம்
L5 ( x ) f(x) 。
3. 求积公式
f ( x )dx f ( ) f ( ) f ( ) 3 4 3 2 3 4
0
1
2
1
1
1
2
3
具有
3
次代数精度。
1, 2, , n) ，用直线y＝a＋bx拟合这n个点，则参数a、b满足的 4. 已知数据对 ( xk , yk ) ( k
1 2 1
1
2
5 3 8
8 5 e0 e 9 9
5 3
e
1
1
x2
1 2 dx e 2 2
t ( )2 2
5 dt e 9
3 5
3 5
1.498679589... .
三、每小题10分，共30分 1. 设A为n阶正定矩阵， f ( x ) x Ax , x R ，证明 f ( x ) 是一种向量范数。
( x) 满足L－条件，即存在常数 L(0 L 1) 及 ③ x1 , x2 [ a, b] 有
( x2 ) ( x1 ) L x2 x1 .