2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 答案和解析
山西省2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 含答案
的单调性，并用定义证明．
（2）设g(x)=3f(x)−3e
，试判断函数
x
(x)=sinx+3sinxcosx．
2
17．（10分）已知函数f
f(x)
（1）求函数
的单调递增区间；
5
x0,
f(x)m
恒成立，求实数m的取值范围．
（2）当
时，
12
(x)=x−ax−a−1
R
18．（10分）已知函数f
（1）若关于x的不等式
．
30=lg10+
M
13
N
−
由已知可得：
，
40=Mlg10+N
−12
30=−13M+N
M=10
即
，解之得
，
40=−12M+N
N=160
所以解析式为：
（2）由已知可得：当40D70
所以
D=10lgI+160．
时，适合人与人交流谈话，
4010lgI+16070，
即：
−12010lgI−90，
9
−12lgI−9
(x)=
综上，f
．
max4−4,0
aa
[0,1]，则u[6,9]
．
u=x+2x+6x
（2）令
2
，
g(x)
u[6,9]
，
y=
logu
函数
换元得：
，
3
(x)=log9=2
根据函数的单调性，可得g
．
max
3
1
x,2
x
[0,1]，
2
由任意的
人教版2020--2021学年度上学期高一年级数学期末测试题及答案(含两套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年上学期期末考试高一年级数学测试卷及答案（满分：150分 时间：120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）A B C D2、下面各组函数中为相同函数的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．若a<12，则化简4(2a －1)2的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 4 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ） A B C D 不能确定 5.化简的结果是（ ）A.B.C.D.6、下列判断正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、 7、若集合A={y|y=log x ，x>2}，B={y|y=()x，x>1}，则A ∩B=（ ）A 、{y|0<y<}B 、{y|0<y<1}C 、{y|<y<1}D 、φ8．已知α为锐角，则2α为( )A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第一或第二象限角D 、小于1800的角9、则θ在 ( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限 10． 已知,则的大小关系是（ ） A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．{}{}|02,|12A x x B x x =<<=≤<A B ⋃={}|0x x ≤{}|2x x ≥{}02x ≤≤{}|02x x <<x x g x x f ==)(,)(2x x g x x f ==)(,)(3322)(,)()(xx g x x f ==x x g xx x f ==)(,)(2()833-+=x x f x ()2,10833∈=-+x x x 在()()(),025.1,05.1,01<><f f f (1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,2)1352-sin πcos35π-cos35π±cos35π52cosπ-35.27.17.1>328.08.0<22ππ<3.03.09.07.1>2212121,0sin tan >θθf(x)=|lgx|11()()(2)43f f f 、、)41()31()2(f f f >>)2()31()41(f f f >>)31()41()2(f f f >>)2()41()31(f f f >>内 不 得11． 幂函数的图象过点，则的解析式是 __ ．12、 ；若 。
2020-2021学年吉林省吉林市高一上学期期末考试数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年吉林省吉林市高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合U =R ，{}220A x x x =--<，则UA =（ ）A ．[12]-，B ．(12)-， C ．(1)(2)-∞-+∞，，D ．(][),12,-∞-⋃+∞答案：D解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的补集运算即可求解. 解：{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{U2A x x =≥或}(][)1,12,x ≤-=-∞-⋃+∞，故选：D2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-答案：A由三角函数的定义可求出cos α的值. 解：由三角函数的定义可得3cos 5α==-，故选A.点评：本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 3．“4πα=”是“sin 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B分别从充分性与必要性两个方面论证判断.解：因为sin4π=，所以满足充分性；而sin α=，2,4k k Z παπ=+∈或32,4k k Z παπ=+∈，所以不满足必要性，所以4πα=是sin α=. 故选：B.4．已知0.52021a =，20210.5b =，20210.5c log =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>答案：C分析得到1,0,01a c b ><<<，即得解. 解：由题得202120210.510c log log =<=，0.50202021211a >==，202100.05.51b <==且0b >，所以a b c >>. 故选：C点评：关键点睛：解答本题的关键正确运用指数对数函数的单调性，理解掌握了指数对数函数的单调性，就容易判断,,a b c 的范围了，即得它们的大小关系了.5．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知a 克糖水中含有b 克糖(0a b >>)，再添加m 克糖(0m >)(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（ ） A ．b b m a a m+>+ B ．b b m a a m +<+ C ．a a mb b m+>+ D ．a a mb b m+<+ 答案：B根据不等式中两个重要不等式判定即可 解：解：根据不等式中两个重要不等式判定得b b m a a m +<+，a a m b b m+>+， 糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有b b m a a m+<+符合. 故选：B.点评：两个重要不等式：若0,0a b m >>>则（1）;(0)b b m b b m b m a a m a a m +-<>->+-； （2）;(0)a a m a a mb m b b m b b m+-><->+-. 6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x =C ．tan y x =D ．sin2x y = 答案：C利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 解：解：在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()20,x π∈，sin 2y x =没有单调性，故排除A. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()20,x π∈，cos 2y x =单调递减，故排除B. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为π，故C 正确； 根据函数以π为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412ππ=，可排除D.故选：C.点评：本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题. 7．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(30)-， B ．(]30-，C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()[),30,-∞-+∞答案：B根据一元二次不等式恒成立讨论0k =，0k ≠即可.解：解：当0k =时，308-<对一切实数x 都成立，故0k =符合题意； 当0k ≠时，要使不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则203034208k k k k <⎧⎪⇒-<<⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，综上：30k -<≤ 故选：B.点评：方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+答案：D由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．解：根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D点评：关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.9．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案：C根据函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，得到124x x a +=，212x x a ⋅=，然后由121214a x x a x x a++=+，利用基本不等式求解. 解：因为函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，所以124x x a +=，212x x a ⋅=，所以1212144a x x a x x a ++=+≥=， 当且仅当14a a =，即12a =时，取等号， 所以则1212ax x x x ++的最小值为4 故选：C10．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(52)()1t K I t e--=+其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）(ln193)≈ A ．60 B ．65C ．66D ．69答案：B将t t *=代入函数()()0.23521t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.解：()()0.23521t K I t e--=+，所以()()0.23520.951t K I t K e**--==+，则()0.235219te *-=，所以()0.2352ln193t *-=≈，解得352650.23t *≈+≈.故选：B.二、多选题11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得,AC a BC b ==，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD CD ≥直接证明的不等式为（ ）A ．(00)2a bab a b +≤>>， B ．2(00)abab a b a b≥>>+， C ．222(00)a b ab a b +≥>>， D ．22(00)22a b a b a b ++≤>>，答案：BCD由,AC a BC b ==，得到()12OD a b =+，然后利用射影定理得到2CD ab =判断. 解：因为,AC a BC b ==， 所以()12OD a b =+, 因为90ADB ∠=，所以由射影定理得2CD ab =， 因为OD CD ≥， 所以2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 故选：BCD12．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有（ ）A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在降低D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米 答案：ABD建立如图所示的平面直角坐标系，求出点P 的坐标后可求高度关于t 的函数关系式，结合函数关系逐项判断后可得正确的选项.解：以O 为原点，过O 且平行于地面的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，O 为摩天轮，P 为圆上的动点，设P 到地面的高为h . 由题设有40cos ,40sin 3232P t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故40sin 4540cos 45323h t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，其中0t ≥. 对于A ，令5h =，则cos13t π=-，解得63,t k k N =+∈，故点P 首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A 正确. 对于B ，当4t =时，1440cos 453h π=+，当8t =时，2840cos 453h π=+， 因为481coscos 332ππ==-，故12h h =，故B 正确. 对于C ，当710t ≤≤，710333t πππ≤≤， 而71073332ππππ<<<且cos y u =在73,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增的， 故40cos453h t π=+在[]7,10上是单调递增函数，故C 错.对于D ，考虑06t ≤≤时不等式40cos 45653t π+≥的解，故1cos 32t π≥， 解得01t ≤≤或56t ≤≤，故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D 正确. 故选：ABD.点评：本题考查函数三角函数在实际中的应用，注意根据问题的特征建立合适的坐标系，便于构建时间和高度的时间关系，本题属于综合题，有一定的难度.三、填空题13．已知312ab +=a b =__________． 答案：3利用指数幂的运算性质即可求解.22132223333333a bb a ab a a a b +-+===⋅==故答案为：3点评：本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题.14．某市在创建全国文明城市活动中，需要在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域.若设计该区域的半径为20米，圆心角为45，则这块绿化区域占地___________平方米. 答案：50π利用扇形的面积公式：212S r α=，即可求解. 解：由题意，扇形半径为20米，圆心角为45， 所以22112050224S r παπ==⨯⨯=. 故答案为：50π15．已知,αβ为锐角，且cos α=17 ， cos ()αβ+=1114-，则β=_________． 答案：3π根据角()βαβα=+-，求出角β的一个三角函数值，即可得到角β． 解：因为,αβ为锐角，所以，0αβ<+<π，243sin 1cos αα=-=，()()253sin 1cos αβαβ+=-+=．∵()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦53111433714⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭，而β为锐角，∴3πβ=． 故答案为：3π． 点评：本题主要考查“给值求角”的解法应用，同角三角函数基本关系的应用，以及两角差的正弦（或余弦）公式的应用，属于基础题．四、双空题16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，则m 的取值范围是___________；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m的取值范围是___________.答案：(0]3，()3+∞， 由题意画出函数()f x 的图象，结合图象可得关于m 的不等式，求解得答案. 解：0m >时，函数()2,2+4,>x x m f x x mx m x m⎧≤=⎨-⎩的图象如下图所示：要使()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，则24m m m，解得03m ≤≤，又0m >，所以m 的取值范围是(0]3，； 要使关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则24m m m -<，即2>3>0m m m ，所以m 的取值范围是()3+∞，， 故答案为：(0]3，；()3+∞，．点评：方法点睛：对于分段函数的单调性，方程的根的个数等相关问题，运用数形结合是常采用的方法．五、解答题17．如图，在平面坐标系xoy 中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A ，且点A的纵坐标为45．（1）求sin α，cos α，tan α的值；（2）先化简再求值：()()()sin sin cos 42tan ππααπαπα⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭-． 答案：（1）4sin 5α，3cos 5α=-，4tan 3α=-；（2）原式sin 2cos 3tan 2ααα-+==--． （1）由题意可得4sin 5α，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入求值即可；解：解：（1）由题知，4sin 5α，因为22sin cos 1αα+=，所以3cos 5α=±， 又α为第二象限角，所以3cos 5α=-，sin tan s 43co ααα==-． （2）原式()432sin cos cos sin 2cos 3554tan tan 23ααααααα⎛⎫-+⨯- ⎪-++--+⎝⎭====---． 点评：本题主要考查了三角函数定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．18．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值.答案：（1）最大值为100；（2）最小值为940.（1）由基本不等式变形后求得最大值；（2）利用“1”有代换得定值后由基本不等式得最小值．解：（1）因为0,0x y >>，404x y ∴=+≥=(当且仅当4x y =，即=205，x y =时等号成立)所以100xy ≤，因此xy 的最大值为100（2）因为440x y +=，即1(4)140x y += 所以11111=(x 4y)()40x y x y+++1419(5)(5404040y x x y =++≥+= (当且仅当2x y =，即4020=33，x y =时等号成立) 所以11x y +的最小值为940． 点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位. 答案：（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．解：（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 点评：关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．20．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，对于任意的12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x +=+，（1）求(0)f ，并证明()f x 为R 上的奇函数；（2）若(1)2f -=，解关于x 的不等式()(3)4f x f x --<.答案：（1）(0)0f =，证明见解析；（2）1()2+∞，. （1）根据题意令120x x ==得(0)0f =，令12,x x x x ==-，得()()f x f x -=-即证；（2）令121x x ==-得(2)4f -=，转化为()(3)(2)f x f x f --<-，结合奇函数得(23)(2)f x f -<-，结合单调递减得232x ->-化简即可.解：（1）令120x x ==，则有(0)2(0),(0)0f f f =∴=令12,x x x x ==-，则有()()(0)0f x f x f +-==即()()f x f x -=-所以()f x 为R 上的奇函数（2）令121x x ==-，则有(2)2(1)224f f -=-=⨯=所以不等式()(3)4f x f x --<化为()(3)(2)f x f x f --<-由于()f x 为R 上的奇函数，所以(3)(3)f x f x --=-所以()(3)()(3)(23)f x f x f x f x f x --=+-=-因此不等式进一步化为(23)(2)f x f -<-已知函数()f x 是定义在R 上的减函数所以有232x ->-，解得12x >因此不等式的解集为1()2+∞，点评：判断函数奇偶性的3种常用方法：(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证()()f x f x -=±或其等价形式()()0f x f x -±=是否成立．(2)图象法：若()f x 的图象关于原点对称，则()f x 为奇函数；若()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数.(3)性质法：设(),()f x g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()()()()8161301548030m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？答案：（1）300台；（2）90(人).（1）求出()p x x，然后由基本不等式得最小值； （2）求出300台机器人的日平均分拣量的最大值，并计算此时人工分拣时需要的人工数，然后可得结果．解：（1）由总成本21()150600p x x x =++，得每台机器人的平均成本()1150112600p x x x x =++≥=， 当且仅当1150600x x=，即300x =时，等号成立． 所以若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为()()()()8161301548030m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，当130m ≤≤时，300台机器人的日平均分拣量为2300160(8(16)160)16096005m m m m m m ⨯-=-+-=， 对称轴30m =，开口向下，∴当30m =时，日平均分拣量有最大值144000件， 当30m >时，日平均分拣量为480300144000⨯=件，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件，若传统人工分拣144000件，则需要人数为144000=1201200(人) ∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=(人) 点评：关键点点睛：本题考查函数模型的应用．在已知函数模型时，关键是怎样利用已知函数模型求解．如第一小题关键是求平均最大，即求()p x x的最大值，而不是()p x 的最大值．第二小题中可先求出300台机器人的日平均分拣量的最大值，然后得出人工分拣时的人工数，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.22．已知函数2()2xx m f x n -=+是定义在R 上的奇函数. （1）求实数m n ，的值；（2）函数()g x 满足()()22x x f x g x -⋅=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)[()2]16g x t g x ≥--恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）1m =，1n =；（2）(8],-∞.（1）利用()()f x f x =--求解；（2）将（1）中()f x 的解析式代入()()22x x f x g x -⋅=-，解出g()222x x x -=++，然后得出(2)[()2]16g x t g x ≥--的表达式，令()222x x u u -=+>，则原不等式可化为216u tu ≥-，利用参数分离法求解t 的取值范围.解：解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=- 即22212221x x x x x x m m m n n n ----⋅-=-=-++⋅+， 化简得1()(14)(1)20x x m n mn +--+-=. 由于x ∈R ，所以有010m n mn -=⎧⎨-=⎩ 解得1m n == （2）因为12()12xxf x -=+， 所以221212(12)g()2222122x x x x x x x x x --++=⨯==++-设22x x u -=+，因为x ∈R 且0x ≠，222x x -+>=所以2u >因为2222(2)222(22)x x x x g x u --=++=+=所以不等式可化为216u tu ≥-，即16t u u≤+在2u >时恒成立由基本不等式得168u u +≥=，当且仅当4u =时等号成立 所以实数t 的取值范围是(8],-∞点评：本题考查根据函数的奇偶性求参及函数与不等式的综合问题，解答时主要思路如下：（1）当已知函数的奇偶性求参数值时，注意运用奇偶性的定义，列出关于参数的方程并求解即可；（2）解答关于指数函数有关的不等式恒成立综合问题时，要先对原不等式进行变形，利用换元法将原不等式化为熟悉的简单不等式模型求解，或采用参变分离法，转化为讨论函数的最值来求解.23．已知函数()ln(1)x f x e mx =+-是定义在R 上的偶函数.（1）求m 的值；（2）设1()()2h x f x x =+， ①若()ln(21)h x a ≥-对于[0]，x e ∀∈恒成立，求a 的取值集合；②若[22e]，a ∃∈，使得不等式()ln(21)h x a ≥-有解，求x 的取值集合. 答案：（1）12m =；（2）①13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；②{}|ln2x x ≥. （1）由函数为偶函数可得()()f x f x -=，代入即可求解.（2）①将不等式转化为1210x e a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立，求出e 1x y =+在[]0,e 上的最小值，只需()min 1210x e a +≥->，解不等式即可；②不等式转化为1210x e a +≥->在22a e ≤≤时有解，求出21y a =-在[22e]，上的最小值，只需()min 121x e a +≥-即可求解. 解：（1）根据题意()f x 的定义域是R()ln(1)x f x e mx =+-()ln(1)ln(1)(1)x x f x e mx e m x -∴-=++=++-又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=因此(1)mx m x -=-恒成立，故12m = （2）①1()()=ln(e 1)2x h x f x x =++不等式()ln(21)h x a ≥-等价于1210x e a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立因为e 1x y =+在[0]，x e ∈时是增函数，所以min (1)2x e +=，因此2210a ≥->，解得1322a <≤ 所以a 的取值集合为13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ ②不等式ln(e 1)ln(21)x a +≥-在22a e ≤≤时有解，等价于1210x e a +≥->在22a e ≤≤时有解，因为21y a =-在[22]，a e ∈时是增函数，所以min (21)3a -=， 所以13x e +≥，解得ln 2x ≥，所以x 的取值集合为{}|ln2x x ≥.点评：关键点点睛：本题考查了函数的奇偶性求参数值，不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是利用对数函数的单调性将不等式转化为求函数的最值问题，注意转化变量，考查了转化与化归的思想.。
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末数学试题 含答案
山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末考试高一数学2021．1本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,0,1A =−，{}1,2,5B =，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1,2,5 B ．{}1,0,1,5−C ．{}1,0,1,2,5−D ．{}1,0,2,5−2．函数31y x =的定义域是（ ） A ．(,1]−∞ B ．(,0)(0,1]−∞⋃ C ．(,0)(0,1)−∞⋃D ．(0,1]3．把A ，B 两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设A 队得分的极差为x ，B 队得分的25%分位数为y ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．42 66.5B ．47 66.5C ．42 69D ．47 694．方程ln 4x x =−的根所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（ ）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.6996．函数2()1xf x x =−+的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算2035年我国城镇常住人口数为（ ） A ．10.82亿B ．10.66亿C ．10.98亿D ．9.12亿8．已知函数()2xf x =，且函数()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，函数()x ϕ的图像与()g x 的图像关于x 轴对称，设12a f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13c ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、多项选择题：9．若0a b >>．0c ≠，则（ ） A ．ac bc <B ．a c b c +>+C ．22a b>D ．11a b< 10．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ） A ．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D ．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件11．若函数,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+−<⎩（0a >且1a ≠）在R 上为单调函数，则a 的值可以是（ ）A ．13B ．23CD ．212．已知()f x 为奇函数，且()1f x +为偶函数，若()10f =，则（ ） A ．()30f =B ．()()35f f =C ．(3)(1)f x f x +=−D ．(2)(1)1f x f x +++=三、填空题：13．1249log 24⎛⎫+=⎪⎝⎭______． 14．若“x ∃∈R ，220x ax a −−<”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是______．15．如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，写出一个关于甲、乙两种产品销售额比较．．的统计结论：____________________________________．16．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()2()f x x x =∈R ，1()(0)g x x x=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =−+，则实数b 的取值范围是______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知全集为R ，[,5]A a =，(,2](6,)B =−∞⋃+∞． （1）若[3,2]A B ⋂=−，求RA ；（2）从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是RA B ⊆的什么条件？（只需说明充分必要性，无需证明）．①[3,2)a ∈−−；②(3,4)a ∈．18．已知函数2()(1)4f x x k x =+−+，且关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,m ．（1）求实数m ，k 的值； （2）当(0,)x ∈+∞时，()f x b x<恒成立，求实数b 的取值范围．19．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1个红球，4个白球除颜色外球的质地大小完全相同）．（1）从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？（2）现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？ 20．已知函数()2()31x f x λλ=−∈+R ． （1）若32λ=，求函数()f x 的零点； （2）探索是否存在实数λ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ的值并证明；若不存在，请说明理由．21．某市约有30万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值a ，若居民某月用电量不超过a 度则按第一阶梯电价标准收费，价格为0.5元/度；若某月用电量超过a 度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为b 元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了200户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值a 应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数；（2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过a 度的居民用电量保持不变；月用电量超过a 度的居民节省“超出部分”的40%，试估计全市居民每月节约的电量；（3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价b ．（结果保留两位有效数字）22．已知函数()log log ()2a a a f x x x a ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）． （1）当2a =时，解不等式()1f x >；（2）[2,4]x a a ∀∈，()1f x ≤，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在,(,)a αβ∈+∞，使()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log a a βα？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，试说明理由．山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准2021．1一、单项选择题 1-4 CBDC 5-8 BAAD二、多项选择题 9．BCD 10．BD11．ABD12．ABC三、填空题 13．214．[]8,0− 15．结论一：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品；结论二：甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较大；结论三：甲产品的月销售额的极差小于乙产品的月销售额的极差．16．1⎡⎤−−⎣⎦四、解答题17．解：（1）由题意可得3a =−， 所以R(,3)(5,)A =−∞−⋃+∞，（2）当选择①时，则结论是既不充分也不必要条件； 当选择②时，则结论是充分不必要条件．18．解：（1）由题意得m ，1是方程2(1)40x k x +−+=的根，由韦达定理得14m ⨯=， 所以4m =，又151m k +==−， 解得4k =−． 所以4m =，4k =−．（2）由题意得，254x x b x −+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，令254()x x g x x−+=，只需min ()b g x <即可，由均值不等式得4()551g x x x =+−≥=−， 当且仅当4x x =，即2x =时等号成立．所以1b <−，所以实数b 的取值范围是(),1−∞−．19．解（1）甲盒中的3个红球记为1a ，2a ，3a ；2个白球记为1b ，2b ； 从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1213111221232122313231321112131221222321,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a a b a b a a a a a b a b b a b a b a b b b a b a b a b b ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭共20个样本点，记事件A ：至少取得一个红球，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()121311122123212231323132111213212223,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a A a b a b a a a a a b a b b a b a b a b a b a b a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭共18个样本点，所以至少取得一个红球的概率189()2010P A ==； （2）参考答案一：选择的是甲盒， 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为35，在乙盒中摸到红球的概率为15， 在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应是甲盒， 但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性． 参考答案二：选择的是乙盒 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为35，在乙盒中摸到红球的概率为15， 虽然在乙盒中摸到红球的概率较低，但是不为0，所以存在选择乙盒的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性． 参考答案三：无法判断， 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为35，在乙盒中摸到红球的概率为15， 都是概率不为0的随机事件，都有可能发生，所以可能无法判断． 20．解：（1）当32λ=时，32()231x f x =−+， 由()0f x =得，23312x =+， 所以4313x +=，133x =，解得1x =−，所以函数()f x 的零点为1−．（2）假设存在实数λ，使得函数()f x 为奇函数， 因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 则(0)10f λ=−=， 所以1λ=，此时31()31x x f x −=+，又因为3113()()3131x xx x f x f x −−−−−===−++，此时()f x 为奇函数，满足题意．故存在实数1λ=，使得函数()f x 为奇函数．21．解：（1）由频率分布直方图可得，区间[]0,160的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值a 的值为160，众数为(]120,160的中间值140，平均数为200.04600.121000.241400.31800.252200.05130⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）由（1）知，月用电量在[]0,160内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为0度； 月用电量在(]160,200内的50户居民，平均每户用电180度，超出部分为20度，根据题意，每户每月节电2040%8⨯=（度），50户每月共节电850400⨯=（度）；月用电量在(]200,240内的10户居民，平均每户用电220度，超出部分为60度，根据题意，每户每月节电6040%24⨯=（度），10户每月共节电2410240⨯=（度） 故样本中200户居民每月共节电400240640+=（度）， 用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为3064096200⨯=（万度）． （3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出部分”对应的总电费也不变，在200户居民组成的样本中，每月用电量共超出205060101600⨯+⨯=度，实行“阶梯电价”后，共节约640度，剩余960度，所以16000.5960b ⨯=⨯，解得0.83b ≈． 22．解：（1）2a =时，()2222()log (1)log (2)log 32f x x x x x =−+−=−+ 函数定义域为(2,)+∞，()1f x >，即()222log 32log 2x x −+>，所以2322x x −+>， 即230x x −>， 解得0x <或3x >， 又(2,)x ∈+∞，所以不等式()1f x >的解集为(3,)+∞． （2）[2,4]x a a ∀∈，()1f x ≤， 即max ()1f x ≤成立，又222233()log log 22416a a a a a f x x ax x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=−−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数223416a t x a ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭在[2,4]a a 上为增函数，①若01a <<，则(2)1f a ≤，所以223log 21416a a a a ⎡⎤⎛⎫−−≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2232416a a a a ⎛⎫−−≥ ⎪⎝⎭，则3102a a ⎛⎫−≥⎪⎝⎭， 解得23a ≥或0a ≤． 又01a <<，所以213a ≤<．②若1a >，则(4)1f a ≤，所以223log 41416a a a a ⎡⎤⎛⎫−−≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即2234416a a a a ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭，则21102a a ⎛⎫−≤⎪⎝⎭， 解得2021a ≤≤， 又1a >，所以a ∈∅． 综上a 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（3）假设存在α，β满足题意，由（2）知213a ≤<，所以()f x 在(,)a +∞上是减函数，则()log ()log a a f f ααββ=⎧⎨=⎩， 所以2222322322a a a a αααβββ⎧−+=⎪⎪⎨⎪−+=⎪⎩， 即α，β是方程22322a x ax x −+=的大于a 的两个不等实根， 设223()122a h x x a x ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭，其对称轴为3142x a =+，由题意得2231,423140,22()0,a a a a h a ⎧+>⎪⎪⎪⎛⎫∆=+−⨯>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩11所以260a a a <⎧⎪>−⎨⎪<⎩或6a <−− 又213a ≤<，所以a ∈∅． 综上，不存在满足题意的实数α，β．。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
2020-2021高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为() A ． B ． C ． D ．2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－155．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(),3-∞ D ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e8．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]9．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 10．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12x f x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12C ．13D ．－1212．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞ B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞ 二、填空题13．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．14．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.16．函数22log (56)y x x =--单调递减区间是 ．17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.19．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ､(1,1)B ､(0,0)O ､(1,1)C --､(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.20．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．三、解答题21．已知函数()10()m f x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.22．已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =（1）求函数()f x 的解析式（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；23．已知函数sin ωφf xA xB (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 32，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移22个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围. 24．已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)26．已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx -+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ．故答案为C 。
2020-2021学年四川省南充市高一上学期期末考试数学试题及答案及答案 解析版
绝密★启用前四川省南充市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{|12}A B x x =-=-<<，则A B =（ ）A. {1,0}-B. {1,1}-C. {0,1}D. {1,0,1}-2. cos 210︒=（ ）A.2B. C.12D. 12-3. 已知函数22()1x f x x=+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 5B. 3C.13D.154. 已知向量(2,1),(3,5)a b =-=，则2a b =-（ ） A. (8,9)--B. (4,9)--C. (5,6)--D. (8,11)5. 若函数()xf x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个不同零点，则a 的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. (0,1)6. 角α终边上有一点(,)P a a ，(0)a ≠，则sin α=（ ）A.2B. 2-C. 2±D. 17. 为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度8. 已知f （x ）=5x +a 3x +bx-8，且f （-2）=10，那么f （2）等于（ ）A. -26B. -18C. -10D. 109. 已知1tan 2α=，则2sin sin cos ααα+=（ ） A.15B. 25C. 35D.4510. 给定集合A ，B ，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈，若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *中的所有元素之和为（ ） A. 15B. 14C. 27D. 14-11. 已知12,e e 是单位向量，1223e e ⋅=-，若平面向量a 满足11a e ⋅=，22a e ⋅=且12a xe ye =+，则x y +=（ ） A. 9B. 8C. 7D. 612. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,(2)a f b f c f m ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c b a <<D. c a b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量(1,),(2,2)a m b ==-，且a b ⊥，则m =__________． 14. 若12sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 6πα-=__________． 15. 幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则(3)f -=__________.16. 函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17. 已知函数1()21f x x x =+++ （1）求()f x 定义域；（2）若0a >，求(1)f a -的值．18. 已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且()12f =．（1）求a ，b ；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在R 上是增函数． 19. 已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 20. 设函数()2sin 26f x x mπω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称，其中102ω<<． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图象过点(,0)π，求()f x 在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；21. 已知二次函数()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1)，函数()kg x x=的图象过点(1,8),()()()h x f x g x =+．（1）求()h x 的解析式；（2）证明：当3m >时，函数()()()H x h x h m =-有三个零点．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22. 已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围. 23. 若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，求实数k 的取值范围．南充市2020-2021学年度上期高中一年级教学质量监测 数学试卷（解析版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{|12}A B x x =-=-<<，则A B =（ ）A. {1,0}-B. {1,1}-C. {0,1}D. {1,0,1}-答案：C 【解析】利用交集定义求解即可． 解：由题意，{}0,1A B =故选：C.2. cos 210︒=（ ）A.2B. C.12D. 12-答案：B 【解析】利用诱导公式化简求值即可．解：()cos 210cos 18030cos30︒=︒+︒=-︒= 故选：B3. 已知函数22()1x f x x=+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 5 B. 3C.13D.15答案：D 【解析】根据函数的解析式，代入准确计算，即可求解.解：由题意，函数22()1x f x x=+，可得221()112()1251()2f ==+. 故选：D.4. 已知向量(2,1),(3,5)a b =-=，则2a b =-（ ） A. (8,9)-- B. (4,9)--C. (5,6)--D. (8,11)答案：A 【解析】利用平面向量坐标公式求解即可． 解：2(6,10)b =，2a b ∴=-(8,9)--故选：A5. 若函数()xf x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个不同零点，则a 的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)答案：B 【解析】先讨论01a <<，根据函数单调性，判定不满足题意；再讨论1a >，结合图形，即可判定出结果. 解：当01a <<时，()xf x a x a =--在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意； 当1a >时，根据函数()x f x a x a =--有两个不同零点，可得方程x a x a =+有两个不等实根， 即函数xy a =与直线y x a =+有两不同零点，指数函数xy a =恒过点()0,1；直线y x a =+过点()0,a ，作出函数x y a =与y x a =+的大致图象如下：因为1a >，所以点()0,a 在()0,1的上方，因此1a >时，y x a =+与xy a =必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意； 综上1a >. 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6. 角α的终边上有一点(,)P a a ，(0)a ≠，则sin α=（ ）2 B. 2 C. 2 D. 1答案：C【解析】根据三角函数的定义，分类讨论，即可求解.解：由题意，角α的终边上有一点(,)P a a ，则222r OP a ===，当0a >时，根据三角函数的定义，可得2sin 22y r a α===； 当0a <时，根据三角函数的定义，可得2sin 22y r a α===--， 综上，sin α=2故选：C7. 为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A. 向右平移6π个单位长度B. 向左平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度答案：D 【解析】因为把2y sin x =的图象向右平移12π个单位长度可得到函数22126y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，所以，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象，向右平移12π个单位长度故选D.8. 已知f （x ）=5x +a 3x +bx-8，且f （-2）=10，那么f （2）等于（ ） A. -26 B. -18C. -10D. 10答案：A 【解析】令()g x =5x +a 3x +bx ，利用函数的奇偶性求解即可.解：令()g x =5x +a 3x +bx ，由函数的奇偶性定义，函数为奇函数， 则()()8f x g x =-，所以()()22810f g -=--=， 得()218g -=，又函数()g x 是奇函数，即()()22g g =--， 所以()218g =-，则()()22818826f g =-=--=-. 故选：A点评：本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.9. 已知1tan 2α=，则2sin sin cos ααα+=（ ） A.15B. 25C. 35D.45答案：C 【解析】根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入即可求解. 解：因为1tan 2α=， 由2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+222211()tan tan 32211tan 51()2ααα++===++. 故选：C.10. 给定集合A ，B ，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈，若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *中的所有元素之和为（ ） A. 15 B. 14C. 27D. 14-答案：A 【解析】根据集合的新定义，分别表示出符合A B *的集合的元素，再求和即可 解：由题可知，456m ,,=，1,2,3n =， 当4m =时，1,2,3n =时，321m n ,,-= 当5m =时，1,2,3n =时，432m n ,,-= 当6m =时，1,2,3n =时，543m n ,,-= 所以{}12345A B ,,,,*=，元素之和为15 故选A点评：本题考查对新定义的理解，元素与集合的关系，解题关键在于不遗漏,m n 的取值，正确算出m n -，属于基础题11. 已知12,e e 是单位向量，1223e e ⋅=-，若平面向量a 满足11a e ⋅=，22a e ⋅=且12a xe ye =+，则x y +=（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6答案：A 【解析】对12a xe ye =+两边都与1e 、2e 求数量积，所得两个式子相加即可求解. 解：因为12a xe ye =+，所以211211a e xe ye e ⋅=+⋅=，即213x y -=①， 因为12a xe ye =+，所以221222a e xe e ye ⋅=⋅+=，即223x y -+=②， 两式相加可得：11333x y +=，所以9x y +=， 故选：A点评：关键点点睛：本题解题的关键是将12a xe ye =+两边都与1e 、2e 求数量积即可利用已知条件的数据得出关于x 和y 的两个方程.12. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,(2)a f b f c f m ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c b a <<D. c a b <<答案：D 【解析】根据()f x 为偶函数便可求出m ＝0，从而||()21x f x =-，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.解：∵()f x 为偶函数； ∴()()f x f x -= ； ∴||2121x m x m ----=-；∴--=-x m x m 得()()22x m x m --=- ，0mx = 得0m = ∴()21xf x =- ；∴()f x 在[)0,+∞上单调递增，并且()()0.52log 3log 3a f f ==，()()2log 5,(2)0b f c f m f ===∵220log 3log 5<<； ∴c a b <<． 故选：D点评：方法点晴：对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[)0,+∞上，根据单调性去比较函数值大小．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量(1,),(2,2)a m b ==-，且a b ⊥，则m =__________． 答案：1 【解析】因为a b ⊥，则0a b ⋅=，代入坐标求解即可求出答案. 解：因为a b ⊥，所以=220,1a b m m ⋅-=∴=. 故答案为：1. 14. 若12sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 6πα-=__________． 答案：1213【解析】 由于362πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得632πππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，然后由诱导公式可得 cos cos sin 6323ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，最后写出结果即可解：362πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，632πππαα⎛⎫∴-=+- ⎪⎝⎭，12cos cos cos sin 63223313ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：1213.点评：关键点点睛：本题的解题关键是由角的关系得出632πππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，进而利用诱导公式进行计算.15. 幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则(3)f -=__________. 答案：19【解析】设出幂函数的解析式，由图象过12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭确定出解析式，然后令x ＝-3即可得到f （-3）的值．解：设f （x ）＝x a ，因为幂函数图象过12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有14＝2a ，∴a＝-2，即f （x ）＝x -2， ∴f（-3）＝(-3)-2＝19，故答案为19．点评：本题考查了待定系数法求幂函数解析式的问题，考查了求幂函数的函数值，属于基础题. 16. 函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______ 答案：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 解：当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-，整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点评：本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17. 已知函数1()21f x x x =+++ （1）求()f x 的定义域；（2）若0a >，求(1)f a -的值．答案：（1）{|2x x ≥-且}1x ≠-；（2）1(1)1f a a a-=+ 【解析】（1）由1020x x +≠⎧⎨+≥⎩，解不等式可得定义域；（2）0a >时，将1a -代入求值即可．解：（1）由1020x x +≠⎧⎨+≥⎩，解得2x ≥-且1x ≠-故()f x 的定义域为{|2x x ≥-且}1x ≠- （2）若0a >，11(1)11f a a a-==-+18. 已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且()12f =． （1）求a ，b ；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在R 上是增函数． 答案：（1）2a =，0b =；（2）证明见详解. 【解析】（1）根据函数是奇函数，得到()00f b ==，根据()12f =求出a ，再验证函数奇偶性，即可得出结果；（2）任取12x x <，作差比较()1f x 与()2f x ，根据函数单调性的定义，即可得出结论. 解：（1）因为()f x ax b =+是R 上的奇函数，所以()00f b ==，则()f x ax =；又()12f =，所以2a =，则()2f x x =，此时()()2f x x f x -=-=-，所以()2f x x =是奇函数，满足题意；故2a =，0b =；（2）任取12x x <，则()()()121220f x f x x x -=-<显然成立，即()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上是增函数. 点评：方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -； 3.定号：确定()()12f x f x -的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论.19. 已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=.（1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．答案：（1）23π；（2（3）【解析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 解：（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361aa b b-⋅-=.又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=；（3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝14322⨯⨯⨯=点评：该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 20. 设函数()2sin 26f x x m πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称，其中102ω<<． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y f x =的图象过点(,0)π，求()f x 在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； 答案：（1）3T π=；（2）[]3,0-． 【解析】（1）由函数图象关于直线x π=对称，可得ω的值，进而得出函数的最小正周期；（2）由函数()y f x =的图象过点(,0)π，求出m 的值，由30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象和性质得出函数的值域．解：（1）函数()2sin 26f x x m πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称，则2,62k k Z ππωππ⨯-=+∈，解得1,23k k Z ω=+∈ 又102ω<<，则当0k =时，13ω= 即2()2sin 36f x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2323T ππ==；（2）函数()y f x =的图象过点(,0)π， 则()22sin 036f m πππ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，解得2m =- 故2()2sin 236f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭302x π≤≤，203x π∴≤≤，256366x πππ-≤-≤ 则12sin 1236x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，232sin 2036x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭()f x 在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,0-． 21. 已知二次函数()y f x =的图象以原点为顶点且过点(1,1)，函数()kg x x=的图象过点(1,8),()()()h x f x g x =+．（1）求()h x 的解析式；（2）证明：当3m >时，函数()()()H x h x h m =-有三个零点． 答案：（1）28()h x x x =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）待定系数法即可求解（2）将方程变形，分解因式，分析实数根的个数.解：（1）设2()=f x ax ，由(1)1f a ==可得2()f x x =(1)8g k ==，()8g x x=故28()h x x x=+（2）令()()()0H x h x h m =-= 故22880x m x m-+-= 即()()1180x m x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，故()()80m x x m x m xm -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭即()()80x m x m xm ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦，0x ≠ 故()280x m x mx m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭① 当3m >时，22288821803m m m m m +-=->->，2320m m+> 故280x mx m+-=有两实根，且不为0和m 0x m -=有一根，为m故()()()0H x h x h m =-=有三实数根故()()()H x h x h m =-有三个零点. 点评：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22. 已知集合{}34A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+，且B A ⊆，求实数m 的取值范围. 答案：{|1}m m ≥- 【解析】B A ⊆时，要分类讨论，分B =∅和B ≠∅讨论．解：∵B A ⊆，∴当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，当B ≠∅时，213142m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得12m -≤<，综上所述，m 的取值范围是{|1}m m ≥-．点评：本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论． 23. 若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，求实数k 的取值范围．答案：k ≤【解析】先根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，进而得πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，在求函数πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小值即可得答案.解：解：根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．∵ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ π20,33x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴π0tan 23x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭πtan 203x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴min πtan 23x k ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴k ≤点评：方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。
北京市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。
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参考答案
1．D
【解析】
由直线 ，可得直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），
则tanα=-1，∴α=135°．
故选D
2．A
【解析】
因为集合 则A∩B={1，2}，
故选A．
3．B
【分析】
易知函数 是 上的增函数, ,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.
A． B． 或0C． D． 或0
7．如图，长方体 中， ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角是（）．
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 ，则函数 与函数 的图象可能是（）
故选：D
【点பைடு நூலகம்】
本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．C
【解析】
设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（-2，1），由中点坐标公式得 解得a=-4，b=2．∴半径r= ∴圆的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0．
3．函数 的零点所在的区间是（）
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
4．一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 与直线 平行，则实数 的值是（ ）
分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为 ，代入圆锥体积公式即可得到答案．
解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形
∴r=1，h=
∴v= = π
故选D．
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．
和 分别是 和 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2） ；
（3）平面 平面 .
21．已知圆 的圆心为点 ，点 在圆 上，直线 过点 且与圆 相交于 两点，点 是线段 的中点.
（1）求圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
22．已知函数 是偶函数， （其中 ）.
（1）求函数 的定义域；
（2）求 的值；
若m=2时，两直线为x+4y-1=0，2-2y=0，不平行，舍去；
即有 解得 ，
故选A.
7．D
【分析】
连接 ，由长方体的结构特征易得 ，从而 是异面直线 与 所成角，然后在 中求解.
【详解】
如图所示：
连接 ，由长方体的结构特征得 ，
所以 是异面直线 与 所成角，
因为 ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故异面直线 与 所成角
A． B．
C． D．
10．给出下列命题：
①如果不同直线 都平行于平面 ，则 一定不相交；
②如果不同直线 都垂直于平面 ，则 一定平行；
③如果平面 互相平行，若直线 ，直线 ，则 ；
④如果平面 互相垂直，且直线 也互相垂直，若 ，则 ；
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知圆 和两点 ， ，若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
12．偶函数 满足 ，且在区间 与 上分别递增和递减，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数 的定义域为____________
14．已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧棱垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为 的球面上.如果该四棱柱的底面边长为1 ，则其侧楞长为____________ .
18．如图，三棱柱 内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是 ，底面直径与母线长相等.
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱 的体积.
19．已知函数 是奇函数（ 是常数），且满足 .
（1）求 的值；
（2）试判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明.
20．如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 底面 ， ，
故选C．
9．B
【分析】
条件化为 ，然后由 的图象确定 范围，再确定 是否相符．
【详解】
，即 .
∵函数 为指数函数且 的定义域为 ，函数 为对数函数且 的定义域为 ，A中，没有函数的定义域为 ，∴A错误；B中，由图象知指数函数 单调递增，即 ， 单调递增，即 ， 可能为1，∴B正确；C中，由图象知指数函数 单调递减，即 ， 单调递增，即 ， 不可能为1，∴C错误；D中，由图象知指数函数 单调递增，即 ， 单调递减，即 ， 不可能为1，∴D错误．
15．已知 ，过原点 作圆 的切线，则此时的切线方程为___________
16．已知函数 满足对任意的 ，都有 恒成立，那么实数 的取值范围是______________
三、解答题
17．已知直线 与直线 ，其中 为常数.
（1）若 ，求 的值；
（2）若点 在 上，直线 过 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线 的方程.
【详解】
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5．D
【详解】
∵0＜a=0.80.7＜0.80=1，b=log20.7＜log21=0，c=1.30.8＞1.30=1，∴b＜a＜c．
故选D．
6．A
【解析】
直线l1：x+2my-1=0与直线l2：（m-2）x-my+2=0平行，
若m=0，则两直线为x-1=0，2-2x=0，则重合舍去；
【全国区级联考】广东省广州市天河区【最新】高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】
函数 是 上的增函数, 是 上的增函数,
故函数 是 上的增函数.
, ,
则 时, ; 时, ,
因为 ,所以函数 在区间 上存在零点.
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.
4．D
【分析】
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．