高二数学导数大题练习(详细答案)
…………（8 分）
2a 1 ，即 0 a 2 时，函数 y g ( x) 在区间 (1, ea ) 不存在零点 2 2a 1 ，即 a 2 时 （ii）当 2 若 a (1 ln a ) 0 ，即 2 a 2e 时，函数 y g ( x) 在区间 (1, ea ) 不存在零点 2 2 若 a (1 ln a ) 0 ，即 a 2e 时，函数 y g ( x) 在区间 (1, ea ) 存在一个零点 x e ； 2 2 若 a (1 ln a ) 0 ，即 a 2e 时，函数 y g ( x) 在区间 (1, ea ) 存在两个零点； 2 2
f ( x)的最大值是 f (1) 7, f ( x)的最小值是 f (2) 8 36 30 74
函数 f ( x)在区间[2,2] 上的最大值与最小值的差等于81， 所以 | f (2 sin ) f (2 sin ) | 81 ． 4．解： （I） f ( x) e x 1 0 ，得 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ， …………（2 分） ∵ a 0 ，∴ f (a) f (0) 1 ，∴ e a a 1 a ，即 ea a ． …………（4 分） （II） g ( x) 2 x a x
f ' (2) 3
…………（2 分）
d 3 c 0
…………（4 分）
（II）依题意
且 f (2) 5
12a 4b 3a 2b 3 8a 4b 6a 4b 3 5
解得 a 1, b 6 所以 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 3 …………（8 分） （III） f ( x) 3x 2 12x 9 ．可转化为： x 3 6 x 2 9 x 3 x 2 4 x 3 5 x m 有三个 不等实根，即： g x x 3 7 x 2 8 x m 与 x 轴有三个交点； g x 3x 2 14x 8 3x 2x 4 ，
3
（III）在（II）的条件下，函数 y
f ( x) 与 y
1 f ( x) 5 x m 的 3
图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围．
2．已知函数 f ( x) a ln x ax 3(a R) ． （I）求函数 f ( x ) 的单调区间； （ II ） 函 数 f ( x ) 的 图 象 的 在 x 4 处 切 线 的 斜 率 为
1 2 （I）讨论函数 f ( x ) 的单调性；
（II）证明：若 a 5, 则对任意x1 , x2 (0,), x1 x2 , 有
10．已知函数 f ( x)
1 2 x a ln x, g ( x) ( a 1) x , a 1 ． 2
（I）若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同，求 实数 a 的取值范围； 2.71828 ) （II）若 a (1, e] ( e ，设 F (x) f (x) g (x) ，求证：当 x1 , x2 [1, a ] 时，不 等式 | F ( x1 ) F ( x2 ) | 1 成立．
分）
2．解： （I） f ' ( x)
a (1 x) ( x 0) （2 分） x 当 a 0时, f ( x)的单调增区间为0,1, 减区间为1,
当 a 0时, f ( x)的单调增区间为1,, 减区间为0,1; 当 a=1 时， f ( x ) 不是单调函数 （II） f ' (4)
f ( x) 3x ( x) 0 x 1或x 2a 3 ，因为当 x 1 时取得极大值， 3
高二数学导数部分大题练习 所以 2a 3 1 a 3 ，所以 a的取值范围是 : (,3) ；
(2a 3) 2 9
恰好有两个不同的根，求 f ( x ) 的解析式；
（III）对于（II）中的函数 f ( x) ，对任意 、 R ，求证：| f (2 sin ) f (2 sin ) | 81 ．
x 4．已知常数 a 0 ， e 为自然对数的底数，函数 f ( x) e x ， g ( x) x 2 a ln x ． （I）写出 f ( x) 的单调递增区间，并证明 ea a ； （II）讨论函数 y g ( x) 在区间 (1, ea ) 上零点的个数．
高二数学导数部分大题练习 1 ．已知函数 f ( x) ax bx 2 (c 3a 2b) x d 的图象如图所 示． （I）求 c, d 的值； （II）若函数 f ( x) 在 x 2 处的切线方程为 3x y 11 0 ，求函 数 f ( x) 的解析式；
x
2 , 3
2 3
2 4 ， 3
4
4，
+ 增
g x
+ 增
0 极大值
减
0 极小值
g x
2 68 …………（10 分） g m, g 4 16 m ． 3 27 2 68 当且仅当 g m 0且g 4 16 m 0 时，有三个交点， 3 27 故而， 16 m 68 为所求． …………（12 27
27 2 x2
，试证明：对任意两个不相
等正数 x1、x2 ，不等式 | g ( x1 ) g ( x2 ) | 38 | x1 x2 | 恒成立．
高二数学导数部分大题练习 9．已知函数 f ( x) x 2 ax (a 1) ln x, a 1.
f ( x1 ) f ( x 2 ) 1. x1 x 2
当x
2a 2
时，函数 y g ( x) 取极小值 g (
2
e 2 a e a 由（I） ea a ，∵ a a 2
，∴ e2a a ，∴ e a
g (1) 1 0 ， g (e a ) e 2 a a 2 (e a a)(e a a) 0
12．定义 F ( x, y) (1 x) y , x, y (0,) ， （I）令函数 f ( x) F (3,log2 (2x x2 4)) ，写出函数 f ( x) 的定义域； （II）令函数 g ( x) F (1,log2 ( x3 ax2 bx 1)) 的图象为曲线 C，若存在实数 b 使得 曲线 C 在 x0 (4 x0 1) 处有斜率为－8 的切线，求实数 a 的取值范围； （III）当 x, y N * 且 x y 时，求证 F ( x, y) F ( y, x) ．
27 9
所以函数 f ( x ) 的解析式是： f ( x) x3 9x2 15x （III）对任意的实数 , 都有 2 2 sin 2,2 2 sin 2, 在区间[-2，2]有： f (2) 8 36 30 74, f (1) 7, f (2) 8 36 30 2
g ' (1) 0, g ' (3) 0.
2
m 3, 19 （8 分） 19 （10 分） m ( ,3) 3 m , 3
f (1) 0 b 2a 3
（12 分）
3．解： （I） f (0) 0 c 0, f ( x) 3x2 2ax b,
2
7．已知函数 f ( x) x 2 4 x (2 a) ln x, (a R, a 0) （I）当 a=18 时，求函数 f ( x ) 的单调区间； （II）求函数 f ( x ) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值．
8．已知函数 f ( x) x( x 6) a ln x 在 x (2, ) 上不具有 单调性． ．．． （I）求实数 a 的取值范围； （II）若 f ( x) 是 f ( x) 的导函数，设 g ( x) f ( x) 6
（5 分）
3a 3 得a 2, f ( x) 2 ln x 2 x 3 4 2 1 m g ( x) x 3 ( 2) x 2 2 x, g ' ( x) x 2 (m 4) x 2 （6 分） 3 2 g ( x)在区间(1,3)上不是单调函数, 且g ' (0) 2
高二数学导数部分大题练习 答案 ' f ( x) 3ax 2 2bx c 3a 2b 1．解：函数 f ( x) 的导函数为 （I）由图可知 函数 f ( x) 的图象过点（0，3） ，且 f ' (1) 0 得
d 3 3a 2b c 3a 2b 0
11．设曲线 C ： f ( x) ln x ex （ e 2.71828 ） ， f ( x ) 表示 f ( x ) 导函数． （I）求函数 f ( x ) 的极值； （II）对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， x1 x2 ，求证：存在唯一的 x0 ( x1 , x2 ) ，使直线 AB 的斜率等于 f ( x0 ) ．
高二数学导数部分大题练习 5．已知函数 f ( x) ln( x 1) k ( x 1) 1 ． （I）当 k 1 时，求函数 f ( x) 的最大值； （II）若函数 f ( x) 没有零点，求实数 k 的取值范围；
6．已知 x 2 是函数 f ( x) ( x 2 ax 2a 3)e x 的一个极值点（ e 2.718 ） ． （I）求实数 a 的值； （II）求函数 f ( x ) 在 x [ 3 ,3] 的最大值和最小值．
3
（II）由下表：
x
f ( x )
高二数学导数大题练习(详细答案)
高二数学导数大题练习(详细答案)一、解答题1．已知函数()32f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值．2．已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．(1)设函数()()eax f x g x '=，求()g x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围3．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.4．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 5．已知函数ln ()xf x x=(1)填写函数()f x 的相关性质；(2)通过（1）绘制出函数()f x 的图像，并讨论ln x ax =方程解的个数．6．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 7．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值. 8．已知函数2()e 1x f x ax x =---． (1)当1a =-时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，321()22f x x ax ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．9．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为4027-． 【解析】 【分析】（1）由题意可得(0)4,(2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)由题意可得，2()32f x x ax b '=++．由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ 经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-．(2)由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，得12x =-，223x =，()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27-． 2．(1)当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞ (2)2(e ,).+∞ 【解析】 【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e ax f x g x a x a x'==++，则21()ax g x x -'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案． （2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()()(21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案． (1) 依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axax f x a x x'=++, 则()1()ln e ax f x g x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a =，所以，当1(0,)x a∈时，()0g x '<，()g x 递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞ (2)因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点， 由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()()(21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()()0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1()0g a =，()g x 有一个零点1a ，不合题意；当2e a >时，1()0g a<，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21()0g a >， 所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =； 又因为1()e 0eg =>，所以存在211(,)ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：e a >综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞ 3．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e x xrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h r ππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 4．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20xx x x x -++-=由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x x x x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条. 5．(1)详见解析 (2)详见解析【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的性质；（2）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为ln xa x=，即转化为y a =与ln xy x=的交点个数. (1) 函数()ln xf x x=的定义域是()0,+∞， ()21ln xf x x -'=， 当0e x <<时，0f x ，函数单调递增，当e x >时，0f x，函数单调递减，所以当e x =时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，()1e ef =， 当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()0f x →， 函数的值域是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，()ln 0xf x x==，得1x =，所以函数的零点是1x =，函数()f x 的图象如图，ln x ax =，即ln x a x =，方程解的个数，即y a =与ln xy x=的交点个数， 当1ea >时，无交点，即方程ln x ax =无实数根；当1ea =或0a ≤时，有一个交点，即方程ln x ax =有一个实数根； 当10,ea ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点，即方程ln x ax =有两个实数根.6．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点.(3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可.①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-， 当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意. 综上，a 的取值范围是0,1.【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.7．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =，max 10()3g x = 【解析】【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间；（2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域：()0,∞+()()22122x f x x x x --'=-+=， 由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >，∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞.(2)()21a g x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点，∴()10g '=，即10a -=，∴1a =，从而()1g x x x =+，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上递增, 又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =, ∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =. 8．(1)()f x 在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减； (2)274e a -≥ 【解析】【分析】（1）直接求导，先确定导数的单调性及零点，即可确定()f x 的单调性；（2）当0x =时， a R ∈，当0x >时，参变分离得3211e 2xx x a x++-≥，构造函数()h x 求导得()321e 2()21x x x h x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'--=--， 再构造函数21e 12()x m x x x ---=确定()h x 单调性后，即可求出实数a 的取值范围．(1)当1a =-时，2()e 1x f x x x =+--，()e 21x f x x '=+-，易得()'f x 在R 上递增，又(0)0f '=，故当()0x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增；故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x单调递减，所以()f x 在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减； (2)当0x =时，不等式321()22f x x ax ≥-恒成立，可得a R ∈；当0x >时，由2321e 122x ax x x ax ---≥-恒成立可得3211e 2x x x a x++-≥恒成立， 设3211e 2()xx x h x x++-=，则()4223333111e 222(2)1e e 22x x x h x x x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+-⋅-⋅+'+=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝()()()33322211e 22e 1222x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+-+----- ⎪⎝⎭=-， 可设21e 12()x m x x x ---=，可得e 1()x x m x =--'，设e 1,e 1()()x x k x k x x '-=--=，由0x >，可得()0k x '>恒成立，可得()k x 在()0+∞，递增，即()m x '在()0+∞，递增，所以()(0)0m x m ''>=，即()0m x '>恒成立，即()m x 在()0+∞，递增， 所以()(0)0m x m >=，再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在()0,2上递增，当2x >时，()0h x '<，()h x 在()2,+∞递减，所以2max 7e ()(2)4h x h -==，所以274e a -≥； 综上可得274e a -≥. 【点睛】本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为()321e 2()21x x x h x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'--=--， 再把分子的因式构造成函数21e 12()x m x x x ---=，确定()(0)0m x m >=后，即得()h x '的正负，进而求解.9．(1)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增(2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.(1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x +-+-=+-== 由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭， 解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a (1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln xbx x b x b a a+-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
高二数学导数大题练习(详细答案)
1．已知函数d xb ac bxaxx f )23()(23的图象如图所示．（I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113yx，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y 与m xx f y5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4x处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23m x f x xx g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．已知函数c bx ax x x f 23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2ax f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|f f ．4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x ex f x)(，x a xx g ln )(2．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(ae 上零点的个数．5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．已知2x 是函数2()(23)xf x xax ae 的一个极值点（718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[x的最大值和最小值．7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2aR a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．8．已知函数()(6)ln f x x x a x 在(2,)x 上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x 是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x 恒成立．9．已知函数.1,ln )1(21)(2a x a ax xx f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121x x x f x f x x x x a 有则对任意10．已知函数21()ln ,()(1),12f x xa x g x a x a．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ，设()()()F x f x g x ，求证：当12,[1,]x x a 时，不等式12|()()|1F x F x 成立．11．设曲线C ：()ln f x x ex （ 2.71828e ），()f x 表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ，使直线AB 的斜率等于0()f x ．12．定义),0(,,)1(),(y x x y x F y，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x ，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx 的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x yN 且x y 时，求证(,)(,)F x y F y x ．答案1．解：函数)(x f 的导函数为b ac bx ax x f 2323)(2'…………（2分）（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且)1('f 得03023233c db a cbad …………（4分）（II ）依题意3)2('f 且5)2(f 534648323412babab a b a 解得6,1b a 所以396)(23x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2x x x f ．可转化为：m x x x x x x 534396223有三个不等实根，即：m x x x x g 8723与x 轴有三个交点；42381432xx x xxg ，x32,32432，4，4x g + 0 - 0 + xg 增极大值减极小值增m g m g 164,276832．…………（10分）当且仅当01640276832mg mg 且时，有三个交点，故而，276816m为所求．…………（12分）2．解：（I ）)0()1()('xxx a x f （2分）当,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当;1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数（5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('x x x f aa f 得2)4()(',2)22(31)(223xm xx g x xmxx g （6分）2)0(',)3,1()(g x g 且上不是单调函数在区间.0)3(',0)1('g g （8分）,319,3mm （10分）)3,319(m （12分）3．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax xx f c f 320)1(a bf ),323)(1()32(23)(2axx a ax xx f 由33210)(a xxx f 或，因为当1x时取得极大值，所以31332aa ，所以)3,(:的取值范围是a ；（II ）由下表：x)1,(1)332,1(a 332a ),332(a )(x f + 0 - 0 - )(x f 递增极大值2a递减极小值2)32(276a a 递增依题意得：9)32()32(27622aa a，解得：9a所以函数)(x f 的解析式是：xxx x f 159)(23（III ）对任意的实数,都有,2sin22,2sin22在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(f f f ,7)1()(f x f 的最大值是7430368)2()(f x f 的最小值是函数]2,2[)(在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin2()sin 2(|f f ．4．解：（I ）01)(xex f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(，…………（2分）∵0a ，∴1)0()(f a f ，∴a a e a1，即a ea．…………（4分）（II ）xa x a xxa x x g )22)(22(22)(，由0)(x g ，得22a x，列表x )22,0(a 22a ),22(a )(x g - 0 + )(x g 单调递减极小值单调递增当22a x时，函数)(x g y 取极小值)2ln 1(2)22(a a a g ，无极大值．由（I ）a ea，∵22a a e eaa，∴22a ea，∴22a ea01)1(g ，0))(()(22a ea eaee g aaaa…………（8分）（i ）当122a ，即20a时，函数)(x g y在区间),1(ae 不存在零点（ii ）当122a，即2a 时若0)2ln 1(2a a ，即e a 22时，函数)(x g y 在区间),1(ae 不存在零点若0)2ln 1(2a a ，即e a 2时，函数)(x g y 在区间),1(ae 存在一个零点e x；若0)2ln 1(2aa ，即e a 2时，函数)(x g y 在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y在(1,)ae 上，我们有结论：当02a e 时，函数()f x 无零点；当2a e 时，函数()f x 有一个零点；当2a e 时，函数()f x 有两个零点．5．解：（I ）当1k时，2()1xf x x )(x f 定义域为（1，+），令()0,2f x x 得，∵当(1,2),x 时()0f x ，当(2,),x 时()0f x ，∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)在上是减函数∴当2x 时，()f x 取最大值(2)0f （II ）①当0k 时，函数ln(1)y x 图象与函数(1)1yk x 图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求；②当0k时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x ………………（6分）令1()0,k f x x k 得，∵1(1,),()0,k x f x k 时1(1,),()0x f x k时，∴1()(1,1)f x k 在内是增函数，1[1,)k在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k ，1k ，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k6．解：（I ）由2()(23)xf x xax a e 可得22()(2)(23)[(2)3]xxxf x xa exaxaexa x ae……（4分）∵2x 是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f ∴2(5)0a e ，解得5a （II ）由0)1)(2()(xe x x xf ，得)(x f 在)1,(递增，在),2(递增，由0)(x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f 是()f x 在]3,23[x 的最小值；……………（8分）2347)23(ef ，3)3(ef ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f ee e e ef f ∴()f x 在]3,23[x的最大值是3)3(ef ．7．解：（Ⅰ）x xxx f ln 164)(2，xxx xxx f )4)(2(21642)('2分由0)('x f 得0)4)(2(x x ，解得4x 或2x 注意到0x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞）由0)('x f 得0)4)(2(x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(.综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0(6分（Ⅱ）在],[2e e x 时，x a x x x f ln )2(4)(2所以xax xxa x x f 242242)('2，设a x x x g 242)(2当0a 时，有△=16+4×208)2(a a ，此时0)(x g ，所以0)('x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以ae e ef x f 24)()(2min 8分当0a 时，△=08)2(2416a a ，令0)('x f ，即02422a x x ，解得221a x 或221a x ；令0)('x f ，即02422a xx ，解得221a 221a x.①若221a ≥2e ，即a ≥22)1(2e时，)(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a eee f x f 244)()(242min.②若2221ea e ，即222)1(2)1(2ea e 时间，)(x f 在区间]221,[a e 上单调递减，在区间],221[2e a 上单调递增，所以min )(xf )221(a f )221ln()2(322aa aa .③若221a ≤e ，即a 0≤２2)1(e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e ee f x f 24)()(2min综上所述，当a ≥２22)1(e 时，a e a x f 244)(24min；当222)1(2)1(2eae 时，)221ln()2(322)(mina a aa x f ；当a ≤2)1(2e 时，aeex f 24)(2min 14分8．解：（I ）226()26a xx af x x xx，∵()f x 在(2,)x 上不具有．．．单调性，∴在(2,)x 上()f x 有正也有负也有0，即二次函数226yxx a 在(2,)x 上有零点………………（4分）∵226yxxa 是对称轴是32x，开口向上的抛物线，∴222620ya 的实数a 的取值范围(,4)（II ）由（I ）22()2a g x x x x ，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x xxx，∵4a，∴323233444244()22a xx g x xxxxx，…………（8分）设2344()2h x xx ，3448124(23)()x h x xx x()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2增函数，当32x 时，()h x 取最小值3827∴从而()g x 3827，∴38(())027g x x ，函数38()27y g x x 是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x ，则22113838()()2727g x x g x x ∴212138()()()27g x g x x x ，∵210x x ，∴1212()()3827g x g x x x ∴1212()()g x g x x x 3827，即121238|()()|||27g x g x x x ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x 上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x a x x x x x x ，12122x x x x ，4a12223121212122()422()x x a a x x x x x x x x 31212442()x x x x ………（8分）设121,0t tx x ，令32()244MNk u t tt ，()4(32)u t t t，由()0u t ，得2,3t由()0u t 得20,3t ()u t 在)32,0(上是减函数，在),32(上是增函数，)(t u 在32t处取极小值2738，38()27u t ，∴所以1212()()g x g x x x 3827即121238|()()|||27g x g x x x 9．（1）)(x f 的定义域为),0(，xa x x xa ax xxa ax x f )1)(1(11)('2（i ）若2,11a a 即，则.)1()('2x x x f 故)(x f 在),0(单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11x f axaa a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(a x f x f xax 在故时及当单调减少，在（0，a-1），),1(单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g )()(.ln )1(212x x a ax x由.)11(1)1(121)1()('2a ax a xxa a xx g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5x g x g a a ，从而当021x x 时有,0)()(,0)()(212121x x x f x f x g x g 即故1)()(2121x x x f x f ，当210x x 时，有1)()()()(12122121x x x f x f x x x f x f 10．解：（I ）(),()1a f x xg x a x ，∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x 时，2(1)()()()0a xa f x g x x恒成立，即2(1)()0a x a 恒成立，∴21a ax在[1,3]x 时恒成立，或21a ax在[1,3]x 时恒成立，∵91x，∴1a 或9a（II ）21()ln ,(1)2F x xa x a x ，()(1)()(1)a xa x F x xaxx ∵()F x 定义域是(0,)，(1,]a e ，即1a ∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a 是增函数∴当1x 时，()F x 取极大值1(1)2MF a，当x a 时，()F x 取极小值21()ln 2mF a a aaa ，∵12,[1,]x xa ，∴12|()()|||F x F x M m M m设211()ln 22G a M m aa a，则()ln 1G a a a ，∴1[()]1G a a，∵(1,]a e ，∴[()]G a ∴()ln 1G a a a 在(1,]a e 是增函数，∴()(1)0G a G ∴211()ln 22G a aa a在(1,]a e 也是增函数∴()()G a G e ，即2211(1)()1222e G a ee，而22211(1)(31)1112222e ee，∴()1G a Mm ∴当12,[1,]x x a 时，不等式12|()()|1F x F x 成立．11．解：（I ）11()0ex f x exx，得1xe当x 变化时，()f x 与()f x 变化情况如下表：x1(0,)e 1e1(,)e()f x ＋0 －()f x 单调递增极大值单调递减∴当1xe时，()f x 取得极大值1()2f e，没有极小值；（II ）（方法1）∵0()AB f x k ，∴2121021ln ln ()1x x e x x ex x x ，∴21201lnx x x x x即20211ln()0x x x x x ，设2211()ln ()x g x x x x x 211211()ln()x g x x x x x ，1/211()ln 10x x g x x ，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x ，∴2122222()()ln()0x g x g x x x x x ；222211()ln()x g x x x x x ，2/221()ln10x x g x x ，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x ，∴1211111()()ln()0x g x g x x x x x ，∴函数2211()ln ()x g x x x x x 在12(,)x x 内有零点0x ，又∵22111,ln0x x x x ，函数2211()ln()x g x x x x x 在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x x g x x x 在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立（方法2）∵0()AB f x k ，∴2121021ln ln ()1x x e x x ex x x ，即020112ln ln 0x x x x x x ，012(,)x x x ，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x ，则1121112()ln ln g x x x x x x x ，再设22()ln ln h x x x x x x x ，20x x ，∴2()ln ln 0h x x x ∴22()ln ln h x x x x xxx 在20xx 是增函数∴112()()()0g x h x h x ，同理2()0g x ∴方程2112ln ln 0x x x x x x 在012(,)x x x 有解∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x 是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x 在012(,)x x x 有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分．12．解：（I ）22log (24)0x x ，即2241x x 得函数()f x 的定义域是(1,3)，（II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx 设曲线0(41)C x x 在处有斜率为－8的切线，又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ∴存在实数b 使得111482302030020bx axxx b ax x有解，由①得,238020ax xb代入③得082020ax x，200028041xax x 由有解，……………………（8分）①②③高二数学导数部分大题练习方法1：0082()()a x x ，因为41x ，所以0082()[8,10)()x x ，当10a时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222aa或，1010,10.aaa 或方法3：是222(4)(4)802(1)(1)8a a 的补集，即10a （III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx xx x h x xx x h 由又令,0),1ln(1)(xx xx x p 0)1(11)1(1)(22x x xx x p ，),0[)(在x p 单调递减.……………………（12）分0()(0)0,1()0,xp x p x h x 当时有当时有),1[)(在x h 单调递减，xyy x y x x y y y xx y x)1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1有时，).,(),(,x y F y x F y xN y x 时且当。
(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案
(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.2．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 3．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.4．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()1ln xf x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)10x y +-=；(2)ln 3⎡-⎣.【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，将问题转化为当0x ≥时，()min 0g x ≥恒成立；①当10m +≥时，由导数可证得()g x 单调递增，由()00g ≥可求得m 范围； ②当10+<m 时，利用零点存在定理可说明存在()00g x '=，并得到()g x 单调性，知()()020min 13e e 022x xg x g x ==-++≥，由此可解得0x 的范围，根据00e x x m -=可求得m 范围. (1)当2m =-时，()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-；令()e 21xf x '=-=-，解得：0x =，∴切点坐标为()0,1，∴所求切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=；(2)令()()22221313e 222222x m m g x f x x mx x ⎛⎫=-+-=+--+ ⎪⎝⎭，则原问题转化为：当0x ≥时，()0g x ≥恒成立，即()min 0g x ≥恒成立；()e x g x m x '=+-，()e 1x g x ''=-，则当0x ≥时，()0g x ''≥，()g x '∴在[)0,∞+上单调递增，()()01g x g m ''∴≥=+； ①当10m +≥，即1m ≥-时，()0g x '≥，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()()2min301022m g x g ∴==-+≥，解得：m ≤≤m ⎡∴∈-⎣； ②当10+<m ，即1m <-时，()00g '<，当x →+∞时，()g x '→+∞；()00,x ∴∃∈+∞，使得()00g x '=，即00e x x m -=，则当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()()00022022000000min e1313e e e 222222x x x x xm g x g x mx x x x x -∴==+--+=+---+00213e e 022x x =-++≥， 解得：01e 3x -≤≤，即0ln 3x ≤，又()00,x ∈+∞，(]00,ln3x ∴∈，令()e xh x x =-，则()1e xh x '=-，∴当(]0,ln3x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在(]0,ln3上单调递减，()[)000e ln33,1x h x x ∴=-∈--，即[)ln33,1m ∈--；综上所述：实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为()min 0g x ≥，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围. 2．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==-⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =.即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞. 3．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．4．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去， 列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =，所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：()f x 0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x ++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x ++=，则()2eln x x g x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee 1x h x x x-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=， ()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.8．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值； （2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=， 所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<， 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．9．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--， 因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-， 故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
高二数学导数大题练习(详细答案)
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．之巴公井开创作创作时间：二零二一年六月三十日（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x , 求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下, 函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个分歧的交点, 求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1, 3）上不是单调函数, 求m 的取值范围．3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点, 且在1=x 处取得极年夜值．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个分歧的根, 求)(x f 的解析式；（III ）对（II ）中的函数)(x f , 对任意R ∈βα、, 求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．已知常数0>a , e 为自然对数的底数, 函数x e x f x-=)(,x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间, 并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）那时1k =, 求函数()f x 的最年夜值；（II ）若函数()f x 没有零点, 求实数k 的取值范围；6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最年夜值和最小值．7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时, 求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数, 设22()()6g x f x x '=+-, 试证明：对任意两个不相等正数12x x 、, 不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．9．已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同, 求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=, 设()()()F x f x g x =-, 求证：那时12,[1,]x x a ∈, 不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅）, ()f x '暗示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对曲线C 上的分歧两点11(,)A x y , 22(,)B x y , 12x x <, 求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈, 使直线AB 的斜率即是0()f x '． 12．界说),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ,（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+, 写出函数()f x 的界说域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C , 若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线, 求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时, 求证(,)(,)F x y F y x >．谜底 1．解：函数)(x f 的导函数为b ac bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0, 3）, 且0)1('=f 得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根, 即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点；42381432--=+-='x x x x x g ()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分）当且仅那时()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且, 有三个交点, 故而, 276816<<-m 为所求． …………（12分）2．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时, )(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分） ⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或, 因为那时1=x 取得极年夜值,所以31332-<⇒>+-a a , 所以)3,(:--∞的取值范围是a ；（依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a , 解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2, 2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f函数]2,2[)(-在区间x f 上的最年夜值与最小值的差即是81, 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．解：（I ）01)(≥-='x e x f , 得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞, …………（2分）∵0>a , ∴1)0()(=>f a f , ∴a a e a >+>1, 即a e a >． …………（4分）（II ）xa x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-=', 由0)(='x g , 得22ax =, 列表x)22,0(a 22a ),22(+∞a )(x g ' - 0 +)(x g单调递加 极小值单调递增那时22ax =, 函数)(x g y =取极小值)2ln 1(2)22(a a a g -=, 无极年夜值．由（I ）a e a >, ∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22aa e e aa , ∴22a e a >, ∴22ae a >1)1(>=g ,))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分） （i ）当122≤a, 即20≤<a 时, 函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点（ii ）当122>a, 即2>a 时 若0)2ln 1(2>-aa , 即e a 22<<时, 函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a , 即e a 2=时, 函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a , 即e a 2>时, 函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述, )(x g y =在(1,)a e 上, 我们有结论： 那时02a e <<, 函数()f x 无零点； 当2a e = 时, 函数()f x 有一个零点； 那时2a e >, 函数()f x 有两个零点． 5．解：（I ）那时1k =, 2()1x f x x -'=-)(x f 界说域为（1, +∞）, 令()0,2f x x '==得, ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>, 当(2,),x ∈+∞时()0f x '<,∴()(1,2)f x 在内是增函数, (2,)+∞在上是减函数 ∴那时2x =, ()f x 取最年夜值(2)0f =（II ）①当0k ≤时, 函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点,∴函数()f x 有零点, 分歧要求；②当0k >时,1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得, ∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时,∴1()(1,1)f x k +在内是增函数, 1[1,)k++∞在上是减函数,∴()f x 的最年夜值是1(1)ln f k k+=-,∵函数()f x 没有零点, ∴ln 0k -<, 1k >,因此, 若函数()f x 没有零点, 则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞ 6． 解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点, ∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=, 解得5a =-（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f , 得)(x f 在)1,(-∞递增, 在),2(+∞递增,由0)(<'x f , 得)(x f 在在)2,1(递加∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =,3)3(e f =∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最年夜值是3)3(e f =．7．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=,xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x , 解得4>x 或2-<x注意到0>x , 所以函数)(x f 的单调递增区间是（4, +∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x , 解得-2＜x ＜4,注意到0>x , 所以函数)(x f 的单调递加区间是]4,0(.综上所述, 函数)(x f 的单调增区间是（4, +∞）, 单调减区间是]4,0( 6分（Ⅱ）在],[2e e x ∈时, x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2, 设a x x x g -+-=242)(2那时0<a , 有△=16+4×208)2(<=-a a ,此时0)(>x g , 所以0)('>x f , )(x f 在],[2e e 上单调递增, 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分那时0>a , △=08)2(2416>=-⨯-a a ,令0)('>x f , 即02422>-+-a x x , 解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f , 即02422<-+-a x x ,解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e , 即a ≥22)1(2-e 时,)(x f 在区间],[2e e 单调递加, 所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<, 即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间,)(x f 在区间]221,[a e +上单调递加, 在区间],221[2e a +上单调递增, 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322aa a a +-+--=.③若221a +≤e , 即a <0≤22)1(-e 时, )(x f 在区间],[2e e 单调递增,所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述, 当a ≥222)1(-e 时, a e a x f 244)(24min -+-=； 那时222)1(2)1(2-<<-e a e , )221ln()2(322)(min aa a ax f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时, a e e x f -+-=24)(2min14分8．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=,∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性, ∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0,即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a=-+是对称轴是32x =, 开口向上的抛物线,∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ （II ）由（I ）22()2a g x x xx =+-,方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->, ∵4a <, ∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=, …………（8分） 设2344()2h x x x =-+, 3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数, 在3(,)2+∞增函数, 那时32x =, ()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>, ∴38(())027g x x '->, 函数38()27y g x x =-是增函数,12x x 、是两个不相等正数, 无妨设12x x <, 则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-, ∵210x x ->, ∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>, 即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点,121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--,12x x +>4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->+-1242x x >+ ………（8分）设0t t =>, 令32()244MN k u t t t ==+-, ()4(32)u t t t '=-, 由()0u t '>, 得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数, 在),32(+∞上是增函数,)(t u ∴在32=t 处取极小值2738, 38()27u t ∴≥, ∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->-9． （1）)(x f 的界说域为),0(+∞,xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-=（i ）若2,11==-a a 即, 则.)1()('2xx x f -= 故)(x f 在),0(+∞单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少, 在（0, a-1）,),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()(.ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a , 从而那时021>>x x 有 故1)()(2121->--x x x f x f , 那时210x x <<, 有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+,∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同, ∴那时[1,3]x ∈,2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立, 即2(1)()0a x a ++≥恒成立, ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立, 或21a a x <-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立, ∵91x -≤≤-, ∴1a >-或9a ≤-（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+, ()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 界说域是(0,)+∞, (1,]a e ∈, 即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数, 在(1,)a 实际减函数, 在(,)a +∞是增函数 ∴那时1x =, ()F x 取极年夜值1(1)2M F a ==--,那时x a =, ()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--,∵12,[1,]x x a ∈, ∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- 设211()ln 22G a M m a a a =-=--, 则()ln 1G a a a '=--,∴1[()]1G a a''=-, ∵(1,]a e ∈, ∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数, ∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数∴()()G a G e ≤, 即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-, 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=, ∴()1G a M m =-< ∴那时12,[1,]x x a ∈, 不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==, 得1x e= 当x 变动时, ()f x '与()f x 变动情况如下表：∴那时1x e=, ()f x 取得极年夜值1()2f e=-, 没有极小值；（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=, ∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-,∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=, 设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--, 1/211()ln 10x x g x x =->, 1()g x 是1x 的增函数, ∵12x x <, ∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--, 2/221()ln 10x x g x x =->, 2()g x 是2x 的增函数, ∵12x x <, ∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=,∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ,又∵22111,ln 0x x x x >∴>, 函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数,∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x , 命题成立（方法2）∵0()AB f x k '=, ∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-,即020112ln ln 0x x x x x x -+-=, 012(,)x x x ∈, 且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-, 则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-, 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-, 20x x <<, ∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=, 同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解, 命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明, 没有去证明曲线C 不存在拐点, 不给分．12．解：（I ）22log (24)0x x -+>, 即2241x x -+>得函数()f x 的界说域是(1,3)-, （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线,又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解, 由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ,200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解, ……………………（8分）方法1：0082()()a x x <-+-, 因为041x -<<-, 所以0082()[8,10)()x x -+∈-, 那时10a <, 存在实数b , 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或, 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集, 即10a < （III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x x x h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x x x x p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p , ),0[)(+∞∴在x p 单调递加. ……………………（12）分),1[)(+∞∴在x h 单调递加,xy y x y x x yy x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时,①②③。
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1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x-=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．9．已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,](2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．12．定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．答案1．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点；42381432--=+-='x x x x x g ()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；（依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）xa x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表x)22,0(a 22a ),22(+∞a)(x g ' - 0 +)(x g单调递减 极小值 单调递增当22a x =时，函数)(x g y =取极小值)222(ag ，无极大值． 由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22aa e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．5．解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<，∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f =（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞ 6． 解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '= ∴2(5)0a e +=，解得5a =-（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =．7．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=， xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(.综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=； 当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=；当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分8．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=，∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0，即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ （II ）由（I ）22()2a g x x xx =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->，∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->1242x x > ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->-9． （1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= （i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加． （II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+，∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x>-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- （II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--，∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=-设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==，得1x e=当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e=-，没有极小值；（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --=即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ，又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> 得函数()f x 的定义域是(1,3)-， （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， 由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分）①②③高二数学导数部分大题练习方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或， 1010,10.a a a ∴<<∴<或 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a <（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x x x h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xx x p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分 0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当。
高二数学导数大题练习及详细答案
高二数学导数大题练习及详细答案一、解答题1．已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知函数()ln f x x x x =-，()2ln 1g x a x x =-+.(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)证明：1111232022e 2023+++⋅⋅⋅+>，e 是自然对数的底数.3．已知()2,13,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩，()()ln g x x a =+．(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．已知函数ln ()xf x x=(1)填写函数()f x 的相关性质；(2)通过（1）绘制出函数()f x 的图像，并讨论ln x ax =方程解的个数． 6．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.7．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 8．已知函数()ln xf x x =， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．9．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围． 10．已知函数2()e 1x f x ax x =---． (1)当1a =-时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，321()22f x x ax ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)1a = (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e 2xf x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或2ln x a=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. (1)()()(1)e 2x f x x a =+-'，则(0)2f a '=-，由已知(2)1a a -=-，解得1a = (2)()()(1)e 2x f x x a =+-'（ⅰ）当0a ≤时，e 20x a -<，所以()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减； （ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2ln x a=， ①02e a <<时，2ln 1a>-，所以()01f x x '>⇒<-或2ln x a >，()012ln af x x <⇒-<<'，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②2e a =时，()1()2(1)e 10x f x x +=+'-≥，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；③2e a >时，2ln 1a<-，所以2ln ()0x a f x >⇒<'或1x >-，2ln ()01f x ax <⇒<<-'， 则()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增．综上，0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；02e a <<时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2e a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；2e a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． (3) 方法一：2()ln 2(0)f x x x x x ≥--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+≥>当21ea ≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+>令221()eln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --⎛⎫=--+=+- ⎝'⎪⎭令21()e x h x x-=-，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增 ∵11(1)10,(2)02h h e =-<=>， ∴存在0(1,2)x ∈，使得()00h x =，即020001e,2ln x x x x -=-=- 当()00,x x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞上单调递增∴()02min 000000001()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=⋅+--+=∴()0g x ≥，故2()ln 2f x x x x ≥--- 方法二： 当21a e≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--令ln 2t x x =+-，则t R ∈， 令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-'当0t <时，()0k t '<；当0t >时，()0k t '>∴()k t 在区间(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增． ∴()(0)0k t k ≥=，即()0g x ≥ ∴2()ln 2f x x x x ≥---， 【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 2．(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导求单调性即可求解；（2）()()220a x g x x x-'=>，分类讨论单调性得到()ln 1222max g x a a a =-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤，又由（1）可得到ln 10222a a a -+≥，所以ln 10222a a a -+=，即可求解；（3）由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得到22ln 1x x ≤-，所以ln 1t t ≤-，所以e 1xx ≥+，即11e >nn n+，代入证明即可. (1)()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0,f x '> 故()f x 在()01,上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 所以()()11min f x f ==-. (2)()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减， 此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾.当0a >时，x ∈时，()0g x '>，)x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()1ln 12222maxa a a ag g x a ==+=-+， 要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-，即ln 1x x x -≥-，（当且仅当1x =时，等号成立）.令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 10222a a a -+=且12a = 所以2a =. (3)证明：由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令)0x t =>，则ln 1t t ≤-（当且仅当1t =时等号成立），令e x t =，所以ln e e 1x x ≤-，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立），令()*10x n N n =>∈，则111e >1n n n n++=从而有11111320212022223420222023e e eee>12320212022⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯所以111112320212022e 2023.+++⋯++> 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 3．(1)0a =或4； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在1x ≥-有()2000ln 21x x x -=--，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a ，在1x <-上根据已知列方程组求参数a ，即可得结果. （2）讨论a 的范围，利用导数研究()h x 的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数. (1)1x ≥-时()2f x x x =-，原条件等价于200000ln()1210x x x a x x a ⎧-=+⎪⎨-=>⎪+⎩，∴()2000ln 21x x x -=--，令()()2ln 21x x x x ϕ=-+-，则()221021x x x ϕ'=-+>-， ∴()ϕx 为增函数，由()10ϕ=，则()0x ϕ=有唯一解01x =，所以0a =，1x <-时，()000311x ln x a x a ⎧+=+⎪⎨=⎪+⎩，解得：4a =． 综上，0a =或4． (2)ⅰ.0a <时0x a +>，则0x a >->，()()()22ln ln h x x x x a x x x x ϕ=--+>--=，而()121x x x ϕ'=--，()2120x x ϕ''=+>，即()x ϕ'为增函数，又()01ϕ'=， 当()0,1∈x 时()0ϕ'<x ；当()1,x ∈+∞时()0ϕ'>x ，故()()10x ϕϕ≥=， ∴()0h x >恒成立，故0a <时零点个数为0；ⅱ.0a =时，()2ln h x x x x =--，由①知：仅当1x =时()0h x =，此时零点个数为1．ⅲ.01a <≤时，()()()2ln h x x x x a x a =--+>-，则()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，2102a h a a⎛⎫'-=---< ⎪⎝⎭，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=仅有一解，设为0(,1)2ax ∈-，则在()0,a x -上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>，所以()h x 最小值为()0h x ，故()()010h x h ≤<．又2ln 02422a aa a h ⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭，()()22ln 20h a =-+>，故0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,2x 上()h x 各有一零点，即()h x 有2个零点．ⅳ.14a <<时，(),1a --上()()()()3ln 3ln 4h x x x a x x p x =+-+>+-+=，()()()1103304p x x p x p x '=-=⇒=-⇒≥-=+， ∴()h x 无零点，则[)1,-+∞上()()2ln h x x x x a =--+，()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=有唯一解，设为x '，则()()10h x h '≤<，又()()12ln 10h a -=--+>，()()22ln 20h a =-+>，故()1,x '-、(),2x '上，()h x 各有一个零点，即()h x 有2个零点．ⅴ.4a =时，由（1）知：(]4,1--上()h x 有唯一零点：3x =-；在()1,-+∞上()()2ln 4h x x x x =--+，则()1214h x x x '=--+，()2120(4)h x x ''=+>+， 所以()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()4105h '=>，故1(1,1)x ∃∈-使1()0h x '=，则1(1,)x -上()0h x '<，()h x 递减；1(,)x +∞上()0h x '>，()h x 递增； 故1()()h x h x ≥，而1()(1)ln 50h x h <=-<，又(1)2ln30h -=->，(2)2ln 60h =->，故在1(1,)x -、1(),2x 上()h x 各有一个零点， 所以()h x 共有3个零点．综上：0a <时()h x 零点个数为0；0a =时()h x 零点个数为1；04a <<时()h x 零点个数为2；4a =时()h x 零点个数为3． 【点睛】 关键点点睛：（1）根据分段函数的定义域讨论x ，结合函数、方程思想求参数.（2）讨论参数a ，利用二阶导数研究()h x '的单调性，进而判断其符号研究()h x 单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数. 4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x 的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011xxx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<， 因为()22616212e 201t a tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x -> 综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x+'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m xax a x =-++++21x x ->5．(1)详见解析 (2)详见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的性质；（2）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为ln xa x=，即转化为y a =与ln xy x=的交点个数. (1)函数()ln xf x x=的定义域是()0,+∞， ()21ln xf x x -'=， 当0e x <<时，0f x ，函数单调递增，当e x >时，0f x，函数单调递减，所以当e x =时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，()1e ef =， 当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()0f x →， 函数的值域是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，()ln 0xf x x==，得1x =，所以函数的零点是1x =， f ()x定义域 值域 零点极值点单调性 性 质 ()0,+∞1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 1x =e x =单调递增区间()0,e ，单调递减区间()e,+∞(2)函数()f x 的图象如图，ln x ax =，即ln x a x =，方程解的个数，即y a =与ln x y x=的交点个数， 当1ea >时，无交点，即方程ln x ax =无实数根；当1ea =或0a ≤时，有一个交点，即方程ln x ax =有一个实数根； 当10,ea ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点，即方程ln x ax =有两个实数根.6．(1)0a ≤(2)()()21f x f x <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分离参变量，得到ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得1ln x x -≥，从而判断()g x 的单调性，确定1213122x x <<<<，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出122x x +<；再次构造函数1ln ()12t tF t t -=-+，判断其单调性，由此推出2211ln ln x x x x -<-，可得结论. (1)()1x f ax ≥+恒成立，即ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立， 令ln 1()x x h x x --=，2ln ()xh x x'=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 递增， 故min ()(1)0h x h ==， 所以0a ≤. (2)2()121212ln 12(1ln )g x x x x x x x x '=--=--，由（1）知1ln x x -≥，所以在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0g x '≥，所以()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0g =.所以1213122x x <<<<，设()12(1ln )m x x x x =--，()12(22ln )m x x x '=--， 设()12(22ln )n x x x =--，则12(21)()x n x x -'=，13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n x '>， 所以()m x '在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0m '=，所以()m x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()()(2)H x g x g x =+-，()()(2)12[22ln (2)ln(2)]H x g x g x x x x x x '''=--=--+--， 令()()G x H x '=，()2()12ln 2G x x x '=--，31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0G x '>，所以()H x '在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H ''>=，所以()H x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H >=， 所以()()()22220H x g x g x =+->，()()()2212g x g x g x ->-=，而()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以212x x ->，122x x +<；设1ln ()12t tF t t -=-+，()()()221021t F t t t '--=≤+， 所以()F t 单调递减，且(1)0F =，1t >，()0F t <，所以210x F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即221121ln 121x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，即212121ln 2ln x x x x x x -<+-， 所以212121ln ln 12x x x x x x-+<-<， 所以2121ln ln x x x x -<-，即2211ln ln x x x x -<-. 所以()()21f x f x <. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.7．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--.令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 8．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1xk x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l x x x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0，若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则 ()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线.(2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.9．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()e xa f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e x a f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减， 所以()e 0x a f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立， 即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1a a x x-+≤， 即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0ah x a x x x =--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<， 当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.10．(1)()f x 在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减； (2)274e a -≥【解析】 【分析】（1）直接求导，先确定导数的单调性及零点，即可确定()f x 的单调性；（2）当0x =时， a R ∈，当0x >时，参变分离得3211e 2xx x a x++-≥，构造函数()h x 求导得()321e 2()21xx x h x x x ⎛⎫⎪⎝⎭'--=--，再构造函数21e 12()x m x x x ---=确定()h x 单调性后，即可求出实数a 的取值范围． (1)当1a =-时，2()e 1x f x x x =+--，()e 21x f x x '=+-，易得()'f x 在R 上递增，又(0)0f '=，故当()0x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增；故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减； (2)当0x =时，不等式321()22f x x ax ≥-恒成立，可得a R ∈；当0x >时，由2321e 122xax x x ax ---≥-恒成立可得3211e 2x x x a x++-≥恒成立， 设3211e 2()xx x h x x++-=，则()4223333111e 222(2)1e e 22x x x h x x x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+-⋅-⋅+'+=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝()()()33322211e 22e 1222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+-+----- ⎪⎝⎭=-， 可设21e 12()x m x x x ---=，可得e 1()x x m x =--'，设e 1,e 1()()x x k x k x x '-=--=，由0x >，可得()0k x '>恒成立，可得()k x 在()0+∞，递增，即()m x '在()0+∞，递增，所以()(0)0m x m ''>=，即()0m x '>恒成立，即()m x 在()0+∞，递增， 所以()(0)0m x m >=，再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在()0,2上递增，当2x >时，()0h x '<，()h x 在()2,+∞递减，所以2max 7e ()(2)4h x h -==，所以274e a -≥；综上可得274e a -≥. 【点睛】本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为()321e 2()21xx x h x x x ⎛⎫⎪⎝⎭'--=--，再把分子的因式构造成函数21e 12()x m x x x ---=，确定()(0)0m x m >=后，即得()h x '的正负，进而求解.。