线性代数几个基本基础概念
线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
线性代数的基本概念与性质
线性代数的基本概念与性质线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量空间和线性映射之间的关系。
它是许多其他数学分支和应用领域的基础，如计算机科学、物理学、经济学等。
本文将介绍线性代数的基本概念和一些重要性质，并探讨其在现实生活和学术研究中的应用。
一、向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以简单地理解为具有大小和方向的量。
向量空间是一种包含向量的集合，它满足一定的性质。
一个向量空间必须包含零向量，且对于任意向量v和w，和v+w以及数乘kv仍然属于向量空间。
向量空间还需要满足加法的结合律、交换律和数乘的分配律。
二、矩阵与线性映射矩阵是由数值按照一定规则排列成的矩形的数组。
矩阵可以用于表示线性映射，线性映射是一种将向量从一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。
矩阵乘法是线性代数中的重要操作，它可以用于将线性映射的复合表示为矩阵相乘的形式。
三、基和维数在向量空间中，基是一组线性无关的向量，任何一个向量都可以用基向量的线性组合表示。
维数是表示向量空间中的基向量的个数，它是一个向量空间的重要性质。
对于有限维向量空间，任意两个基的维数是相同的，这个维数被称为向量空间的维数。
四、线性相关性与线性无关性在向量空间中，如果存在一组非零向量的线性组合等于零向量，则这组向量是线性相关的。
相反，如果不存在这样的线性组合，则这组向量是线性无关的。
线性无关性是判断向量组和矩阵的重要性质，它决定了矩阵的秩和解的存在性。
五、特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的另一个重要概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ被称为A的特征值，v被称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和行为，它们在数值计算、物理仿真等领域有广泛应用。
六、应用领域线性代数作为一门基础学科，广泛应用于各个学术研究和实际应用领域。
在计算机科学中，线性代数用于图形学、机器学习等领域；在物理学中，线性代数用于描述物理系统的量子力学性质；在经济学中，线性代数用于解决经济模型和最优化问题。
大一线性代数必考知识点
大一线性代数必考知识点线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程。
掌握线性代数的基础知识对于后续学习高等数学、概率论、统计学等学科都非常重要。
接下来，本文将介绍大一线性代数必考的知识点，以帮助大一学生有效备考。
一、向量和矩阵1. 向量的概念和运算：向量的定义、数量积、向量的代数运算等。
2. 矩阵的概念和运算：矩阵的定义、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。
3. 向量和矩阵的性质：向量和矩阵的加法和乘法满足的性质，线性相关和线性无关的概念等。
二、线性方程组1. 线性方程组的概念和解法：齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、高斯消元法、矩阵的秩等。
2. 向量空间和子空间：向量空间的定义、子空间的定义、线性无关组和基、维数的概念等。
三、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念和基本性质等。
2. 对角化和相似矩阵：对角化的概念、相似矩阵的性质等。
四、内积空间和正交性1. 内积的定义和性质：内积的定义、内积的基本性质等。
2. 正交向量和正交投影：正交向量的定义、正交投影的概念等。
五、线性变换1. 线性变换的定义和基本性质：线性变换的定义、线性变换的基本性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换与矩阵的关系、矩阵的相似和对角化等。
六、向量空间的维数和秩1. 向量空间的维数和秩的定义和性质：向量空间的维数的定义、秩的定义与性质等。
2. 雅可比矩阵和秩-零度定理：雅可比矩阵的定义和性质、秩-零度定理等。
这些是大一线性代数课程中必考的知识点，通过学习这些知识点，掌握了线性代数的基础知识，将能够更好地理解和应用其他数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
在备考过程中，建议多做习题和练习，加深对这些知识点的理解，并且理论联系实际，将其与实际问题进行结合，提高解决实际问题的能力。
祝大家在线性代数的学习中取得优异的成绩！。
线性代数基础知识
线性代数基础知识线性代数是一门运用数学工具和思维方式研究矢量、向量、线性方程组、矩阵、线性变换和空间几何性质的学科。
线性代数被广泛应用于工程、物理学、计算机科学、经济学、生物学、金融学、地理学等领域。
本文将介绍一些线性代数基础知识，帮助读者更好地理解线性代数的基本概念和应用。
1. 向量与矢量向量和矢量是线性代数中非常重要的概念。
它们是指有大小和方向的量，比如力、速度和加速度等。
在几何中，向量通常用箭头表示，矢量则用带箭头的线条表示。
向量和矢量有相同的性质，可以加减和相乘。
线性代数中通常用列向量表示，如：$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{bmatrix}$其中$x_1$，$x_2$，$x_3$是向量的三个分量。
矢量也可以用类似的表示方法，如：$\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$其中$a_x$，$a_y$，$a_z$是矢量在$x$，$y$，$z$轴上的投影，$\hat{i}$，$\hat{j}$，$\hat{k}$是单位向量。
在计算机图形学和机器学习等领域中，向量和矢量的使用非常普遍，因此掌握它们的基本概念和运算法则是非常重要的。
2. 矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干数排成的矩形数表。
矩阵可以用符号表示为：$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{bmatrix}$其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行第$j$列的元素。
线性代数的几个基本概念
矩阵与线性变换
在线性空间中，当选定一组基之后，不
仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个
对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任
何一个运动（变换）.也即对于任何一个线性
变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述.
.
在线性空间中选定基之后，向量刻画对象， 矩阵刻画对象的运动. 而使某个对象发生对应运动的方法，就是 用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的 向量.用矩阵与向量的乘法施加运动. 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述
Amn
2
n
Column space
C( A ) {Ax : x R } R
n
m
span(1 , 2,
1 3 5 0 7 0 0 0 1 2 1 3 5 1 9
, n )
Amn
n=5
Row space
C ( A ) {A x : x R } R
矩阵与坐标系
n 维线性空间里的方阵 A 的 n 个 n维向量
如果线性无关，那么它们就可以成为度量
n维
线性空间的一组基，事实上就是一个坐标系体系
.
1 A 0
0 1
矩阵描述了一个坐标系
b b?
1 b 0 0 b Ib 1
b
M b MIb M b ?
明确、使它华丽、使它完美. 使它更易于
理解和使用. 这个过程也就是一个人学懂
数学的过程.
数无形时少直观,
形无数时难入微,
数形结合百般好, 隔离分家万事休.
--------华罗庚
将抽象思维形象化 将理论知识实用化
二、矩阵的四个基本子空间
基本定义 记：
线性代数基础
线性代数基础线性代数是数学的一个分支，它研究包括向量空间在内的线性相关概念。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学以及经济学等。
在本文中，我们将介绍线性代数的基础概念和应用。
1. 向量和向量空间在线性代数中，向量是指具有大小和方向的量。
我们通常表示向量为箭头，其长度表示向量大小，方向表示向量的方向。
一个向量可以在坐标系中表示，坐标系是由基向量组成的。
任意一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示。
向量空间是一个包含向量的集合，它满足一定的条件，包括加法和数乘运算。
向量空间包括了所有可以用基向量表示的向量，例如二维平面上的向量空间可以由两个基向量来表示。
2. 矩阵和矩阵运算矩阵是一个由数值组成的矩形数组。
一个矩阵可以表示为一个$m\times n$的矩阵，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。
矩阵和向量之间可以进行乘法运算。
向量和矩阵的乘法及矩阵和矩阵的乘法分别称为矩阵向量乘积和矩阵乘积。
矩阵乘积是矩阵运算中最基本也是最重要的运算之一，有着广泛的应用。
3. 线性方程组线性方程组是形如$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n =b_1$的方程组，其中$x_1,x_2,...,x_n$是未知数，$a_{11},a_{12},...,a_{1n},b_1$是已知数。
线性方程组的解是指满足所有方程的解，可以用行列式、矩阵、向量等方式表示。
4. 特征值和特征向量在矩阵中，特征向量是指任意非零向量$V$，当被某个矩阵$A$线性变换时，$V$仅被缩放而不改变方向。
特征值是指对于某个矩阵$A$的特定向量，通过线性变换后与原向量方向相同但长度发生改变的倍数。
特征向量和特征值有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，特征向量和特征值可以用于图像压缩和模式识别。
5. 应用案例线性代数的应用非常广泛。
下面我们列举一些实际应用案例。
(1)平面几何。
向量通常用于二维平面上的几何中，例如用于描述线段的位置和方向。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
高等数学中的线性代数初步讲解
高等数学中的线性代数初步讲解近几年，线性代数已成为高等数学课程中必修的一门学科。
与其他数学分支不同，线性代数在实际生活中占据着重要的角色。
它不仅是数学基础中的重要组成部分，也在计算机科学、化学、物理学、社会科学、经济学等各个领域得到了广泛应用。
本文旨在初步讲解高等数学中的线性代数内容，帮助读者更好地理解这一学科。
一、向量和矩阵线性代数以向量和矩阵为其基本的概念。
向量简单的理解就是有方向的线段。
我们可以使用坐标来描述每个向量的位置。
假设在平面直角坐标系中有两个向量，分别表示为向量$u$和向量$v$，那么它们的坐标表示分别是:$u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2)$两个向量的和是它们的坐标分别相加:$u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$与此同时，矩阵也是线性代数中的重要概念。
矩阵是一个由数值排列成的矩阵。
例如下面的2x2的矩阵:$\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}$矩阵的上下文语境是重要的，它可以表示线性映射、方程组、向量空间等概念。
二、线性变换和线性方程组线性变换是指一种将每个向量映射到另一个向量的映射方法。
它是一种线性的映射方法，遵循以下原则：（1）变换不改变向量的零长度；（2）变换不改变两向量之间的距离或角度；（3）变换不改变向量的方向。
线性变化有一个特殊的矩阵形式，称之为变换矩阵，利用这个矩阵可以表示线性变化。
例如，下面的矩阵：$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$其中零在最后一行最后一个位置上。
这个变换矩阵表示将三维空间中的向量映射到二维空间中。
线性方程组在实际应用中也非常广泛。
我们可以使用矩阵和向量表示线性方程组。
例如，下面的二元一次方程：$ax + by = c \\dx + ey = f$可以表达为如下矩阵形式：$\begin{bmatrix}a & b \\d & e\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c \\f\end{bmatrix}$当然，这样表示的优势不仅仅在于简化表达，也在于简化解决问题的方法。
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矩阵既是坐标系，又是变换.
数学定义：
矩阵就是由 m行 n列数
放在一起组成的数学对象
数学书上的语言是经过千锤百炼的。这 种抽象的语言，精准的描述了人类对数学某 些局部理解的精微.
这些描述的语言可能可以有更完善的改 进，就像编写的程序有些地方的语句可以改 得更巧妙更坚固一样.
数学容许我们每个人按自己的理解方 式来理解, 这就看你怎样对它加工，使它 明确、使它华丽、使它完美. 使它更易于 理解和使用. 这个过程也就是一个人学懂 数学的过程.
1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2. 这些点之间存在相对的关系； 3. 可以在空间中定义长度、角度； 4. 这个空间可以容纳运动.
这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的 跳跃（变换）,而不是微积分意义上的“连续” 性的运动.
容纳运动是空间的本质特征
“空间”是容纳运动的一个对象 集合，而空间的运动由变换所规定.
span(1, 2, , n )
1 3 5 0 7
Amn 0 0 0 1 2 n=5
1 3 5 1 9
Row space
C( AT ) {AT x : x Rm} Rn
span(1T
,
T 2
,
,
T m
)
1 3 5 0 7
Amn 0 0 0 1 2
x k22 k33 k55
dim N(R) n r
- 3
5
7
1
0
0
其中2 =
0 0
,3
1 0
,5
0
2
0
0
1
dim N(R) n r 5 2 3
矩阵是什么？
矩阵
1. 矩阵只是一堆数，如果不对这堆数建立一 些运算规则.
2. 矩阵是一列列向量，如果每一列向量列举 了对同一个客观事物的多个方面的观察值.
3. 矩阵是一个图像，它的每一个元素代表相 对位置的像素值.
4. 矩阵是一个线性变换，它可以将一些向量 变换为另一些向量.
要回答“矩阵是什么”，取决于你从什 么角度去看它.
Null space N ( A) {x : Ax 0, x Rn}
N (R) {x : Rx 0, x Rn}
1 3 5 0 7
Rmn 0 0 0 1 2 1, 2, 3, 4, 5
0 0 0 0 0 有三个自由变量：x2 , x3, x5. 方程 Rx 0 有解：
变换
M b M (I b) M b a
坐标
M b (MI )b M b
b
a
a Ia Mb
(RM ) (RM )I TI
T M
I
从变换的观点来看，对坐标系M施加R变换， 就是对组成坐标系M的每一个向量施加R变换.
从坐标系的观点来看，对坐标系M的每一个 基向量，把它在I坐标系中的坐标找出来,然后通 过R组成一个新的（坐标系）矩阵.
则存在可逆矩阵B使得
BA R A B1R
Notice
C( A) C(R)
例1
1 3 5 0 7 m=3
Rmn 0 0 0 1 2 n=5
0 0 0 0 0 r=2
Pivot rows 1 and 2 Pivot columns 1 and 4
rankR dim C(R) dim C(RT ) 2
0, 0, 0, 0, 0
y (0, 0, y3 ) N (RT )
dim N (RT ) m r
例2
1 0 3
1 0 3
设 A33 0 1 2 R33 0 1 2
1 1 5
0 0 0
行基 1=（1，0，3） 2 =（0，1，2）
量组成A的一个完备的标准正交特征向量系.
对于实的非对称矩阵A，不再有像式（1）的分解，
但却存在两个正交矩阵P和Q，使 PT AQ 为对角矩阵，
即有下面的正交对角分解定理.
定理 设 A Rnn 非奇异，则存在正交矩阵P和Q，
使得
PT AQ diag(1,2 ,...n )
(2)
其中 i 0(i 1, 2,...n)
例4
若
A
1 3
2 6
分解
x
4 3
得
xr
xn
2 4
2 1
1 Axr 3
2 6
2 4
10
1 3
C(
AT
)
1 2 2 0 Axn 3 6 1 0 N(A)
三、矩阵的奇异值分解
应用领域
1.最优化问题； 特征值问题； 最小二乘问题； 广义逆矩阵问题等.
2.统计分析； 信号与图像处理； 系统理论和控制等.
矩阵的正交对角分解
若A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得
QT AQ diag(1, 2 ,...n )
(1)
其中 i (i 1, 2,...n) 为矩阵A的特征值，而Q的n个列向
(3)
称式（3）为正交矩阵A的正交对角分解
引理：
1.设
A
C mn r
(r
0),
则 AT A 是对称矩阵，
且其特征值是非负实数.
2. rank( AT A) rankA
3. 设
A
C mn r
(r
0),
则
A0
的充要条件是
AT A 0
定义 设 A是秩为 r的m n 实矩阵，AT A
P1AP B学理论描述、证 明不能令人满意和信服 ！
一、线性空间和矩 阵的几个核心概念
空间
基本定义: 存在一个集合，在这个集合上定义某某概
念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间.
为什么要用“空间”来称呼一些这样的集 合呢？奇怪!
三维的空间
数无形时少直观, 形无数时难入微, 数形结合百般好, 隔离分家万事休.
--------华罗庚
将抽象思维形象化 将理论知识实用化
二、矩阵的四个基本子空间
基本定义
记：
1
Amn
2
1
2
n
m
Column space
C( A ) {Ax : x Rn} Rm
同一个线性变换的矩阵具有性质： 若A和B是同一个线性变换的两个不同矩阵，
则一定存在非奇异矩阵P，使得
A P1BP
即同一个线性变换在不同的坐标系下表现为不同 的矩阵，但其本质相同，所以特征值相同.
相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的 描述矩阵. 或者说相似矩阵都是同一个线性变 换的描述 .
线性变换可以用矩阵的形式呈现，也就是 说，矩阵是形式，而变换 ——也就是各种映射 才是本质， 而代数的重要任务之一就是研究各 种数学结构之间的关系——也就是映射.
矩阵与线性变换
在线性空间中，当选定一组基之后，不 仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个 对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任 何一个运动（变换）.也即对于任何一个线性 变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述.
.
在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，
矩阵刻画对象的运动.
而使某个对象发生对应运动的方法，就是
则有 QT ( AT A)Q 2 或者 ( AQ 1)T AQ 再令 P AQ 1 ,于是有
PT P ( AQ 1)T ( AQ 1) I 即P为正交矩阵，且使
PT AQ diag(1,2 ,...n ) 改写式(2)为
A P diag(1,2,...n ) QT
1 X ,2 X L(1,2 ) X
C(AT ) N ( A)
(1,0,3)
C(AT ) L(1,2 )
(0,1,2)
(3,2,-1)
N(A)
1 例3 A 2
2 4
3 6
1
2
3
则 C ( A) span(1 )
由 AT y
线性代数的几个基本概念
(一)
引言
F
(a, b，c)
实用 直观
抽象
几何的抽象化
数学的表述方式和抽象性产生了全面的升华 !
按照现行的国际标准，线性代数是通 过公理化、系统性表述的，具有很强的逻 辑性、抽象性，是第二代数学模型.
通常的教学模式 概念——相应定理公式——例题求解
直觉性丧失！
问题
用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的
向量.用矩阵与向量的乘法施加运动.
矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述
线性变换不同于线性变换的一个描述
对于同一个线性变换，选定一组基，就可 以找到一个矩阵来描述这个线性变换；换一组 基，就得到一个不同的矩阵.
所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描 述，但又不是线性变换本身.
的特征值为 r(r 0)
1 2 r r1 n 0
则称 i i (i 1, 2, , r) 为A的奇异值.
奇异值分解定理
设A是秩为 r(r 0) 的 m n 实矩阵,
则存在 m 阶正交矩阵 U 与 n 阶正交矩阵 V ,
使得
U T AV
0 解得
y
2 1
则 N ( AT ) span( y)
显然 C ( A) N ( AT )