用配方法求解一元二次方程《用配方法求解较复杂的一元二次方程》(北师大版)
3
3 3
,
配方, 得
2 ）2= （ 2 ）2 - 1 x2 - 4 x + （ 3 3
3
.
即
（x - 2 ）2 = 1
3
9 3
两边开平方,得
x - 2 =± 1
3
即
2 x- = 1 3 3
x1 = 1
2 或x=1 3 3
x2 = 1
所以
3
课堂小结
用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤：
①将二次项系数化为1. ②将常数项移到方程的右边，左边只有二次项和一次项. ③两边都加上一次项系数一半的平方. ④直接用开平方法求出它的解.
步骤：（1）将常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二 次项和一次项; （2）两边都加上一次项系数一半的平方. （3）直接用开平方法求出它的解.
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
例3：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它
在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？ 解：将 h = 10代入方程式中. 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以-5,得
配方,得 t2 -
t2 - 3t = -2,
3 2 3 2 3t + ( ) =( ) - 2, 2 2 3 2 1 （t ） = . 2 4
.
两边开平方,得
x - 5 =±
2
15 . 2
即
x- 5 =
2
15 2 2
或x-
5 = 2
15 . 2
所以
x1 = 5 15
x2 =
5 15 . 2
2.用配方法解方程：3x2 - 4x + 1 = 0.
解：方程两边同时除以 3 ,得
x2 - 4 x + 1 = 0- 4 x = - 1
结论 在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系 数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
例2：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以3,得 8 x2 + x - 1=0. 3 配方,得 4 2 8 4 2 2 x + x+( ) -( ) - 1 = 0, 3 3 3 25 （x + 4 ）2 =0. 9 3 移项,得 4 5 x+ =± , 3 3 5 4 5 4 即 x+ = 或 x+ = . 3 3 3 3 1 所以 x1= , x2 = -3 . 3
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
想一想怎么来解 3x2 +18x +24 = 0.
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得
解得
x + 3 = ±1.
x1 = -2 , x2= -4.
例1：用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 配方, 得 开平方, 得 解得 x2 + 6x = -8 , （x + 3）2 = 1. x + 3 = ±1. x1 = -2 , x2= -4 .
移项,得
即 所以
1 （t - 3 ）2 = , 2 2 3 1 3 1 t= ,或 t = . 2 2 2 2 t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
注意
①二次项系数要化为1；②在二次项系数化为1时，常数项也要
除以二次项系数；③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方.
拓展提升
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ C ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 （2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =1时有最小值3 当x =2时有最大值-4
第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
导入新课
问题：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是 什么？
当堂练习
1 2
1.用配方法解方程：
x2 +
5 5 x = 0. 4 2
解：方程两边同时除以 1 ,得
2
x2 - 5x + 移项，得
配方, 得
即
5 =0. 2 5 x2 - 5x = , 2 5 5 5 x2 - 5x + （ ）2= （ ）2 2 2 2 5 2 15 （x + ） = . 2 4
《用配方法求解一元二次方程》第2课时示范课教学设计【数学九年级上册北师大】
《用配方法求解一元二次方程》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.会用配方法解二次项系数不为1的较复杂的一元二次方程.
2.能够熟练、灵活应用配方法解一元二次方程.
3.进一步经历用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学的思想.
4.培养学生的数学意识，感受数学学习的价值.
二、教学重难点
重点：用配方法解二次项系数不为1的较复杂的一元二次方程.
难点：熟练、灵活的应用配方法解一元二次方程.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第40页。
2.用配方法求解一元二次方程PPT课件(北师大版)
一、复习回顾，引入新课
3、用估算法求方程 x2 4x 2 0 的
解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能 利用这种方法求出其精确解吗？
这种方法繁琐，运算量大，不能求 出精确解。
二、自主探究，合作交流
你会解下列一元二次方程吗？
（1）x2 5 （2） 2x2 3 5
x1 5，x2 5
x1 1，x2 1
四、练习提高，巩固新知
解下列方程：
(1)x2 -10x + 25 = 7； (2)x2 -14x = 8; (3)x2 + 3x = 1; (4)x2 + 2x + 2 = 8x
五、合作探究，知识沉淀 如图，在一块长35m、宽26m的矩形耕地
面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路 （两条道路各与矩形的一条边平行），剩余 部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850m2，道路的宽应为多少？
三、合作探究，发现规律
上面等式的左边常数项和一次项系 数有什关系？对于形如 x2 ax 的式子 如何配成完全平方式？
左边填的是“一次项系数一半的
平方”，右边填的是“一次项系数 绝对值的一半”
三、合作探究，发现规律
解方程：（找小组代表板书） （1）x2+8x-9=0 （2）x2+12x-15=0
八、布置作业，课后促学
必做题：课本37页 习题2.3 第1题． 选做题：课本57页 复习题 第15题．
教师寄语：
严谨性之于数学家,犹 如道德之于人.
谢谢同学们！
第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程（1）
一、复习回顾，引入新课
1、如果一个数的平方等于4，则这个数 是 2或-2 ，若一个数的平方等于7，则 这个数是 7或- 7 。一个正数有几个平 方根，它们具有怎样的关系？
北师大版初三上册第二章用配方法求解一元二次方程(教案)
北师大版初三上册第二章2教学目标：1、了解配方法的概念，把握运用配方法解一元二次方程的步骤．2、通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．教学重难点：重点：讲清配方法的解题步骤．难点：把常数项移到方程右边后， 两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具预备：小黑板教学过程一、复习回忆活动内容：回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的差不多步骤。
活动目的：回忆配方法的差不多步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
实际成效：教学中为了便于学生回忆，能够通过举例的形式，关心学生回忆并整理步骤，例如，x 2-6-40=0移项，得 x -6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x -6x+32=40+32即 （x -3）=49开平方，得x -3 =±7即x -3=7或x -3=-7因此学生一样都能整理出配方法解方程的差不多步骤：2222.4,1021-==x x通过对那个方程差不多步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，把握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。
配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练把握差不多的步骤，把握每一步的原理，如此会增强学生对那个知识点的驾驭能力。
一样的一元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求解）及注意事项。
移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平方）原理是依照公式a ＋2ab ＋b ＝（a ＋b ）进行的；开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。
二、情境引入活动内容：（1）.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.1.x +2x+________=(x+______)2.x -4x+________=(x -______)3.x +________+36=(x+______)4.x +10x+________=(x+______)5. x -x+________=(x -______)（2）.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x +6x+8=02.3x +18x+24=0探讨方程2的应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的差不多形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。
北师大版九年级数学上册2.22用配方法解较复杂的一元二次方程教案
2 用配方法求解一元二次方程课题第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程授课人教学目标知识技能会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．通过经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．数学思考经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想，总结用配方法解一元二次方程的基本步骤.问题解决能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.情感态度通过配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的数学思想方法，并培养学生的合作交流及探索意识，养成良好的思维品质．教学重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．教学难点理解配方法．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.定义：我们通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.2.配方根据：(1)平方根的意义：如果x2＝a，那么x＝±a；(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法，进一步加深对配方法的理解.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】1.(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).①x2＋2x＋________＝(x＋________)2；②x2－4x＋________＝(x－________)2；③x2＋________＋36＝(x＋________)2；④x2＋10x＋________＝(x＋________)2.(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.①x2＋6x＋8＝0；②3x2＋18x＋24＝0.探讨：方程②应如何去解呢？2.复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？1.让学生回顾配方法的过程，能熟练将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式.2.让学生梳理用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤，主要是夯实基础，为完善用配方法求解一元二次方程(二次项系数不为1)的步骤做准备.活动二：实践探究交流新知【探究1】(多媒体出示)观察方程3x2＋8x－3＝0，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．【探究2】用配方法解一元二次方程的步骤．师：下面请大家仔细观察教材例2的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下．交流归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括如下：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；(4)开平方；(5)解——方程的解为x＝―m±n.1.让学生在实践中逐步体会配方法求解一元二次方程的一般步骤，在学生有了初步认识的基础上，教师再展示步骤，目的是引导学生掌握这种思想，而不是让学生死记硬背这些步骤．使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验．2．通过让学生探讨总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，一方面培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力，另一方面学生能熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例解方程：3x2＋8x－3＝0.[变式题1] 方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为()A．1B．2C．1或2D．1或－2[变式题2] 解方程：(1)6x2－7x＋1＝0；(2)2x2－5x－2＝0.引导学生自我锻炼、合作交流，小组互评，让学生熟悉利用配方法求解一元二次方程的步骤.【拓展提升】1．利用配方法解方程例1解下列方程：(1)3x2－4x＋1＝0；(2)5x2－9x－18＝0.图2－2－62.应用一元二次方程解决实际问题例2如图2－2－6，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P，点Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1 cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？3．应用配方法求最值例3用配方法求：(1)2x2－7x＋2的最小值；(2)－3x2＋5x＋1的最大值．1.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标．2．知识的综合与拓展，提高应考能力.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1．课本P39中的随堂练习2．课本P40习题2.4中的T1、T2、T3当堂检测，及时反馈学习效果.【板书设计】第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程1.二次项系数是1的一元二次方程的配方法解题步骤：(学生完善)2.二次项系数不是1的一元二次方程的配方法解题步骤：(教师指导学生完善)投影区提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]本节课一开始通过复习，让学生用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，然后给出方程3x2＋8x―3＝0，对比与前面所学的方程有何不同，引出本课课题，从而点明本节课的主要内容是如何解二次项系数不为1的一元二次方程，学生接受起来很自然.②[讲授效果反思]在授课过程中通过对比，层层递进，不仅抓住了学生的兴趣，而且步步引导学生自主探究，通过学生的自主探究与合作交流，探讨方程3x2＋8x―3＝0的解法，并归纳﹑总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤，使学生在探究、合作的过程中掌握知识，顺利地突破重点、难点.在整个教学过程中，学生均处于主导地位，培养了学生独立思考﹑合作探究及分析问题﹑解决问题的能力，形成良好的情感态度和价值观.③[师生互动反思]_______________________________________________ _______________________________________________④[习题反思]好题题号______________________________________ 错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.。
2.2用配方法求解一元二次方程教学设计2023-2024学年-北师大版数学九年级上册
教学流程
（一）课前准备（预计用解“用配方法求解一元二次方程”的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习“用配方法求解一元二次方程”内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确“用配方法求解一元二次方程”教学目标和“用配方法求解一元二次方程”重难点。
答案：x1=2，x2=-2。
3.例题3：求解一元二次方程3x^2+6x+1=0
解答：首先，计算判别式Δ=b^2-4ac=6^2-4*3*1=36-12=24>0，所以方程有两个不相等的实数根。
然后，展开并简化方程：3x^2+6x+1=0可以写成9x^2+12x+4-2=0，即9x^2+12x+2=0。
-（3）判断Δ的值，确定方程的根的性质。
-（4）如果Δ>0，用公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求解方程的两个实数根。
-（5）如果Δ=0，方程退化为一元一次方程，用公式x=-b/2a求解方程的根。
-（6）如果Δ<0，先求出方程的共轭复数根，再用公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求解方程的两个复数根。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与“用配方法求解一元二次方程”内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。
情感升华：
结合“用配方法求解一元二次方程”内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
-配方法的应用范围广泛，可以用于解决实际问题中的方程求解问题。
北师大版九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》说课稿
北师大版九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》说课稿一. 教材分析1. 教材基本信息•课本名称：北师大版九年级数学上册•课程：数学•章节：第X章-X.X-X节•知识点：用配方法求解一元二次方程2. 教材内容概述本节课是北师大版九年级数学上册的第X章-X.X-X节，主要内容是介绍如何利用配方法求解一元二次方程。
通过本节课的学习，学生将会掌握配方法的基本原理和具体应用，并能够独立解决一元二次方程的求解问题。
二. 教学目标1. 知识目标•了解一元二次方程的基本概念；•掌握用配方法求解一元二次方程的步骤；•熟练运用配方法解决一元二次方程的实际问题。
2. 能力目标•培养学生的问题分析与解决能力；•培养学生的逻辑思维和数学推理能力；•培养学生的实际问题应用能力。
3. 情感目标•培养学生的兴趣和自信心；•培养学生的团队合作精神；•培养学生的数学思维能力。
三. 教学重难点1. 教学重点•理解配方法的基本原理；•掌握用配方法求解一元二次方程的步骤。
2. 教学难点•运用配方法解决一元二次方程的实际问题。
四. 教学过程1. 导入与激发兴趣通过引入实际问题，如抛物线的应用，引发学生的思考和兴趣，激发学习热情。
2. 知识点讲解与示范首先，向学生介绍一元二次方程的定义、解的含义及一元二次方程的标准形式。
然后，详细讲解配方法的基本原理和步骤，并通过具体例子进行示范。
3. 学生练习与巩固让学生根据所学知识，完成一些基础练习题，检验学生对配方法的理解程度。
随后，组织学生进行小组讨论，解决一些更为复杂的实际问题。
4. 拓展与应用在巩固学生对配方法的掌握之后，引导学生运用所学知识解决一些实际生活中的问题，如抛物线的图像问题等。
5. 归纳与总结通过本节课的学习和练习，归纳总结配方法的基本原理和步骤，并强调其实际应用。
6. 课堂小结与作业布置对本节课所学内容进行小结，并布置相应的作业，如完成课堂练习、预习下一课内容等。
五. 教学资源1. 教学工具•黑板、白板及相应标记工具•教材及教辅资料2. 多媒体技术•PPT演示文稿3. 其他辅助材料•学生练习题集•相关实际问题材料六. 教学评估1. 课堂观察通过观察学生的积极性、参与度、合作能力等来评估学生的学习情况。
2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时直接开平方法和配方法课时目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.学习重点用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计知识回顾1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是±2;如果一个数的平方等于7,那么这个数是±√7;如果x2=a,那么x=±√a.3.用字母表示因式分解的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.4.练一练:x2-4x+4=(x-2)2;x2+6x+9=(x+3)2.设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.新知引入怎样解x2=2?解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±√2,记为x1=√2,x2=-√2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.典例精讲 1.解下列方程:(1)x 2- 4=0; (2)4x 2-1=0.分析:x 2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x 2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x 2=p 的形式,再用直接开平方法直接计算.解:(1)x 2-4=0,x 2=4,x =±2,即x 1=2,x 2=-2. (2)4x 2-1=0,4x 2=1,x 2=14,x =±12,即x 1=12,x 2=-12. 2.解方程:(x +1)2=2.分析:只要把(x +1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解. 解:(x +1)2=2 x +1=±√2即x 1=-1+√2, x 2=-1-√2.设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.探究新知1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方) 填上适当的数,使下列等式成立.(1)x 2+12x + 36 =(x +6)2;(2)x 2-6x + 9 =(x -3)2; (3)x 2+8x + 16 =(x + 4 )2;(4)x 2-4x + 4 =(x - 2 )2. 2.想一想,解方程x 2- 12x -15=0的流程是怎样的?↓移项,把常数项移到方程的右边↓两边都加36[即(b 2)2]使左边配成x 2-2bx +b 2的形式↓使等式左边写成完全平方式↓ 两边开平方√51↓√51↓ 解一元一次方程√51设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.典例精讲解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.所以x1=1,x2=-9.小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流) 设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.巩固训练解下列方程:(1)x2-10x+25=7;(2)x2-14x=8;(3)x2+3x=1;(4)x2+2x+2=8x.解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±√7,即x-5=√7或x-5=-√7.所以x1=5+√7,x2=5-√7;(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±√57,即x-7=√57或x-7=-√57.所以x1=7+√57,x2=7-√57;(3)两边同时加上(32)2,得x 2+3x +(32)2=1+(32)2,即(x +32)2=134.两边开平方得x +32=±√132,即x +32=√132或x +32=-√132.所以x 1=-3+√132,x 2=-3-√132;(4)移项得x 2+2x -8x =-2,两边都加9得x 2-6x +9=-2+9,即(x -3)2=7.两边开平方得x -3=±√7,即x -3=√7或x -3=-√7.所以x 1=3+√7,x 2=3-√7.设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备.课堂小结师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题.设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第37页习题2.3第1,2,3题. 2.七彩作业.第1课时 直接开平方法和配方法解一元二次方程的方法: 例(略) 1.直接开方法(略). 2.配方法(略).教学反思第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课时目标1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.学习重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.学习难点将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计回顾旧知1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.例如,x2-6x-40=0.解:移项,得x2-6x=40.方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32,即(x-3)2=49.开平方,得x-3=±7,即x-3=7或x-3=-7.所以x1=10,x2=-4.2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答)(1)x2+2x+1=(x+1)2;(2)x2-4x+4=(x-2)2;(3)x2+12x +36=(x+6)2;(4)x2+10x+25=(x+5)2;(5)x2-x+14=(x-12)2.设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础.探究新知请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.(1)x2+6x+8=0;(2)3x2+18x+24=0.解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程.探讨方程(2)应该如何求解呢?设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.典例精讲解方程:3x 2+8x -3=0.解:方程两边同时除以3,得x 2+83x -1=0, 移项,得x 2+83x =1.配方,得x 2+83x +(43)2=1+(43)2,即(x +43)2=259.两边开平方,得x +43=±53,即x +43=53,或x +43=-53.所以x 1=13,x 2=-3.注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x +43=±53后,在移项得到x +43=53与x +43=-53的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错. 设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x +m )2=n (n ≥0)形式.扩展应用一个小球从地面以15 m/s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系:h =15t -5t 2,小球何时能达到10 m 的高度? 解:根据题意,得15t -5t 2=10. 方程两边都除以-5,得t 2-3t =-2. 配方,得t 2-3t +(32)2=-2+(32)2,即(t -32)2=14.两边开平方,得t -32=±12,即t -32=12或t -32=-12.所以t 1=2,t 2=1.所以当t =1或2时,小球能达到10 m 的高度.设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用.巩固训练 1.解下列方程:(1)3x 2-9x +2=0; (2)2x 2+6=7x ; (3)4x 2-8x -3=0.解:(1)移项,得3x 2-9x =-2. 方程两边同时除以3,得x 2-3x =-23. 配方,得x 2-3x +(32)2=-23+(32)2,即(x -32)2=1912.两边开平方,得x -32=±√576. 所以x 1=32+√576,x 2=32-√576; (2)移项,得2x 2-7x =-6.方程两边同时除以2,得x 2-72x =-3. 配方,得x 2-72x +(74)2=-3+(74)2,即(x -74)2=116.两边开平方,得x -74=±14. 所以x 1=2,x 2=32;(3)移项,得4x 2-8x =3. 两边同时除以4,得x 2-2x =34. 配方,得x 2-2x +12=34+12,即(x -1)2=74. 两边开平方,得x -1=±√72. 所以x 1=1+√72,x 2=1-√72.2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题.解:设总共有x 只猴子,由题意,可得(18x)2+12=x.解得x 1=16,x 2=48.答:总共有16只或48只猴子.设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力.课堂小结1.解一元二次方程的基本步骤.2.利用一元二次方程解决实际问题的思路.设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.课堂8分钟.1.教材第40页习题2.4第1,3题.2.七彩作业.第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程解一元二次方程的方法:配方法.教学反思。
北师大版《用配方法解一元二次方程》
(2)x2-4x+22=(x+2)2 （4）x2+px+ =(x+ )2
思考：常数项与一次项系数之间有什么关系？ 结论：常数项等于一次项系数一半的平方
4
配方法
将一元二次方程转化为（x+m）2=n的 形式，它的一边是一个完全平方式, 另一边是一个常数，当n≥0时,两边 开平方就可以求解。
学习其实是一件 很快乐的事
1
情境导入
读诗词解题:(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 多少年华属周瑜? 哪位学子算得快。
解: 设个位数字为x,十位数字为X-3
x2 10(x 3) x
2
回忆与巩固
回忆:一元方程方程的概念
一元二次方程： 只含有一个未知数，并且最高项次数为2的整式方程
完全平方公式（a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab
3
• 你能想出下列方程的根吗？
• 1.x2+2x=8
2x2-x-15=0
• 填空 • （1）x2+6x+ =(x+ 3)2
（3）x2+8x+42=(x+ 4）2
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
7
活学活用
x2 x 15 0
解： 移项：x2 2x 15
配方：（x -1）2 16
开方：x -1 4
求根：x1 5果一次项的系数不是1？
4x2-16x-20=0
解：二次项系数化简得：x2-4x-5=0
北师大版九年级上册数学2章《用配方法求解一元二次方程》教案
2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣． 【学习重点】 用配方法解一般一元二次方程． 【学习难点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤． 一、情景导入 生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研 生成能力知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度． 对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。
北师大版九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》第1课时示范公开课教学设计
第二章一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时一、教学目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.理解配方法的基本思路.3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.4.经历用配方法解一元二次方程的过程，使学生在学习中体会转化等数学思想，感受数学学习的价值.二、教学重难点重点：根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.难点：理解配方法的基本思路.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计大于等于0的常数.【做一做】问题1：你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1) a 2+2ab +b 2=( )2； (2)a 2-2ab +b 2=()2.预设：(1)a+b (2)a-b问题2：填上适当的数或式,使下列各等式成立.x 2 + 12x +_____ = (x +6)2 x 2 - 4x +_____= (x - ___)2 x 2 + 8x +_____= (x +___)2上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？预设：62；22 2；42 4.二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方.追问：对于形如 x 2+ax的式子如何配成完全平方式？预设：222.22a a x ax x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【思考】怎样解方程: x 2+6x +4=0? 预设：追问：为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9，而不是别的数呢？预设：要配成完全平方式，常数项是一次项系数的一半的平方，所以两边只能加上9.【归纳】像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.【典型例题】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.解下列方程(1) x2-10x + 25 = 7；(2)x2-14x = 8；(3)x2 + 3x = 1；(4)x2+2x+2 = 8x + 4.2.如图，在一块长35 m、宽26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2. 道路的宽应为多少？3.游行队伍有8 行12 列，后又增加了69 人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？答案：1.解: (1) 移项，得x2-10x =18 .思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第37页。