第六章 平面向量及其应用 数学探究 教材分析与教学建议 (无棣一中 李春阳)

必修第二册第六章《平面向量及其应用数学探究》教材分析与教学建议发言日期：2020年3月20日学校：山东省无棣第一中学******各位数学同仁，大家上午好！我发言的专题是必修二第六章《平面向量及其应用数学探究》部分，不当之处请批评指正！第一方面：本章在整册教材及高中数学中的地位与作用.向量是重要的数学概念和工具,具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景，利用它能有效地解决许多问题,向量具有几何形式与代数形式的“双重性”,与代数、几何有着密切的关系.向量作为数学知识网络的一个交汇点,它是联系众多知识的媒介与桥梁,因此以向量为工具是高考命题的一个亮点.解此类题的关键是把那些以向量形式出现的条件“还其本来面目”,作为工具,向量在代数、几何、物理、三角、数列等领域的应用是高考命题的方向,常考常新.本章编写从整体来看，着重体现了“问题引导学习”的理念，从生活实例切身感悟，通过探究、推广等方式环环相扣地给出了一条观察事物（情景）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习.从以下几个方面可以进一步体会教材编写的特点。

一、多角度展开向量知识的研究.本章是必修课程与选择性必修课程中几何与代数主题的开篇.本章编写更注重了内容的整体性，体现了内容之间的有机衔接。

突出了几何直观与代数运算之间的融合，及通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。

另外，本章内容与物理联系紧密。

因而可从物理、几何、代数三个角度展开本章内容的研究，形成贯穿全章的三条主线.1.物理角度. 教科书注意从丰富的物理背景中引入向量内容。

例如，借助位移、速度、力等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，从而给出向量的概念。

又如，从位移的合成，力的合成引入向量加法的三角形法则与平行四边形法则。

再如，从力的分解引出平面向量基本定理，建立基的概念和向量的坐标表示。

这样做有助于学生形成有关的概念，引出有关的定理。

另外，引导学生应用向量解决物理问题，让学生在解决实际问题的过程中把握本章内容与实际的联系。

2.几何角度. 引入向量概念后，即借助有向线段建立向量的直观形象。

在建立向量运算体系时，说明运算的几何意义，运用几何的一些基本定理证明运算的性质，通过几何直观让学生了解向量投影以及投影向量的意义。

另外，引导学生应用向量解决几何问题，特别是用向量方法证明余弦定理、正弦定理，让学生掌握平面几何中的向量方法。

3. 代数角度.向量属于代数学中向量空间的内容，本章遵循向量空间结构体系理论，并充分考虑高中学生的认知基础和特点，把向量及其运算与数及其运算联系起来，在研究的思想方法上进行类比. 这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量学习找到合适的思维固着点. 为此教科书在向量概念的引入，向量的线性运算、向量的数量积等内容的展开上，都注重在向量空间结构体系理论这条“暗线”的指导下，把语数及其运算进行类比作为“明线”.另外，向量的坐标表示用有序数对刻画向量，向量运算的坐标表示实际上实现了向量运算的数量化.二、如何形成向量概念1.对力、位移、速度等物理量进行抽象是引入向量概念的一条途径.物理背景有助于对带方向的量的理解，例如，位移不但有大小，还有方向，大小相同但方向不同的位移，它们的效果是不同的。

2.有向线段的使用把向量引入到几何学，借助有向线段的长度和方向，可以对向量的大小和方向进行刻画，引出零向量与单位向量等特殊向量，直观表示相等向量与共线向量的特殊关系，进一步的探究向量运算的几何意义，有利于直观理解向量的运算。

3.建立平面直角坐标系后，平面内的任意一个向量都可以用有序数对（x,y）表示.引入向量的坐标表示后,向量的运算完全数量化,向量的运算使向量的威力得到充分的发挥.三、如何建立向量运算体系引入向量概念后，建立向量运算体系至关重要，平面向量的运算体系，为运用向量运算解决问题奠定的基础。

类比平面向量的运算体系，可以在选择性必修课程中建立空间向量的运算体系，将平面向量、空间向量及其运算一体化，可以得到高等数学中的空间向量的概念。

与数运算体系的建立相同，教材编写重点考虑引入向量运算和研究运算的性质，向量运算性质的研究过程中，首先是提出运算性质，然后是证明运算性质。

通过类比数的运算性质提出向量的运算性质，比如数的加法，满足交换律，即两个数相加交换加数的位置和不变，因而提出向量的加法，是否满足交换率的问题进行研究。

四、关注投影向量的几何意义在引入向量数量积时，教科书首先定义了向量的夹角，由向量夹角的概念给出向量垂直的概念，投影向量是与向量垂直有关的概念.通过探究其几何意义，可以更好的理解投影向量的性质与向量数量积之间的联系.五、体现平面向量基本定理的基础性地位平面向量基本定理表明，任何一个平面向量都可以唯一的表示成一个基底的线性组合，这是对平面向量的一个基础性，结构性的认识，平面向量基本定理，也为用向量解决问题奠定了基础。

平面向量基本定理的基础性地位，还体现在引入向量的坐标，由平面向量基本定理可知，选定{x,y}基底后，平面内任意向量a可以唯一的表示成向量a=xi+yj,即对于每一个平面向量a都有唯一的有序数对(x,y)与它对应.六、余弦定理、正弦定理的编写思考余弦定理、正弦定理是三角形中的边、角定量关系。

在初中，学生学过勾股定理、锐角三角函数等直角三角形中的边、角定量关系。

要研究一般三角形的定量关系，借助刚学过的三角函数和向量知识很容易获得两个定理，在解决三角形实际问题时两个定理的工具性也能更好的得到应用。

七、设置恰时恰点问题，体现数学知识的形成过程.本章教材编写充分利用思考、探究等栏目设置了大量问题，通过这些问题启发学生独立思考，体现数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平。

例如：在给出向量减法法则后，设置探究栏目“向量减法的几何意义是什么？”在讨论向量数乘运算时，先提出“已知非零向量a，让学生动手作，探讨它的长度和方向分别是怎样的？在讨论余弦定理时，设置探究栏目“在三角形ABC中，三个角A,B,C所对的边是a,b,c,怎样用a,b和C表示c? 这样的问题设计有利于学生从物理、几何、代数等角度思考和解决问题，提升学生们的数学学科核心素养。

第二方面：新教材编写亮点、设计意图一、内容要求及教学要求《课程标准（2017版）》将向量内容分两部分安排，必修课程中的“平面向量及其应用”和选择性必修课程中的“空间向量与立体几何”.平面向量是学习空间向量的基础，空间向量是平面向量的推广.在本章，教科书介绍的平面向量及其运算、平面向量基本定理及坐标表示等基本知识，通过举例说明，用向量解决一些平面几何问题、物理问题的方法，特别是用向量方法证明余弦定理、正弦定理，让学生感受向量方法的力量，平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体.平面向量及其运算在其他数学内容中有广泛的应用.在本章中，体现在平面几何中的应用，介绍的解决平面几何问题的向量方法；体现在三角函数中的应用，用向量方法证明了两角差的余弦公式、余弦定理、正弦定理.下一章介绍复数及其运算时也联系了平面向量及其运算.新教材这一结构体系安排，体现了研究一个数学对象及其应用的基本思路和方法.学习的重要目的之一在于应用，教科书依次介绍了向量在几何、物理中的应用以及余弦定理、正弦定理.内容的介绍按照定理的引入、证明、运用定理解决三角形问题，解决简单的实际问题的顺序展开.1.对比新旧教材知识结构，可以清楚的看到：重要知识点全部保留，但新教材调整了部分知识点的学习顺序。

例如，原教材2.4节的数量积内容，被拆分为二部分，公式运算部分被归类到6.2节的“向量运算”，坐标表示部分被归类到6.3节的“平面向量基本定理及坐标表示”。

顺序结构改变后，使得本章知识主线更清晰、条理结构更成体系，易教易学易掌握，更为高三的二轮复习打下很好的基础。

2.新增内容. 余弦定理、正弦定理”被收编为本章内容，不再独立成章.并且学习的顺序改为先余弦定理后正弦定理，使得证明更加自然，降低了难度，学生更容易接受，提高了课堂效果.余、正弦定理被提前主要是考虑两点：（1）体现向量学习的整体性，两个定理与平面向量都具有较强的工具性，方便后面知识的学习；（2）两个定理的证明均可以用向量法得到，余弦定理的证明更能充分展示向量法的巨大威力。

3.例题改变.个别知识点后新增了典型例题，且后面多跟有针对性较强的练习题。

学有所用，能让学生从课后练习的“成就感”中感受到课本有用、课堂有用、数学有用，从而激发其学习的乐趣.4.练习题、习题结构的改变. 本书的习题分为练习、习题、复习参考题三类。

练习供课上使用，有些练习是对所学内容的巩固，有些练习是相关内容的延伸；习题供课内或课外作业时选用，复习参考题供复习全章时选用。

其中习题、复习参考题按照题目的功能分为“复习巩固”“综合应用”“拓广探索”三个层次，区分度更高.另外，新教材还增加了数学探究、阅读与思考，开拓学生眼界的同时，还可以让学生意识到平面向量在人类历史发展上作用.5.例题位置发生变化.知识点未变，例题自身条件、结论未变，但新教材把老教材的个别例题改变了位置.比如6.2节的例6，单就这个变化来说，新教材更加注重突“讲”“练”搭配的针对性和系统性，更注重数学思想方法的一般化.由此，应对学生在类比、推广、特殊化等一般逻辑思想方法上加以引导.四、本章教材的教学建议、课时安排1.把握好本章内容的主要变化，这是运用好新教材的关键之关键；2.平时教学多加强单元教学设计，多强调数学的整体性、思维的系统性、思想方法前后的一致性，知识发生发展过程的逻辑连贯性.好的单元教学设计更有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构；3.充分利用好引言提供的情景.教师要引导学生从“数学有用”的角度来认识平面向量，使学生在学习之初就建立起从数学模型的角度解决问题的意识；4.新版教材配套的教师教学用书实用性、指导性强，建议多参考.数学探究用向量法研究三角形的性质5.本章学时安排建议如下（合计约18课时）6.1 平面向量的概念约1课时6.2 平面向量的运算约6课时6.3 平面向量基本定理及坐标表示约4课时6.4 平面向量的应用约5课时小结约2课时数学探究—用向量法研究三角形的性质约3课时恳请各位专家同仁批评指正！谢谢！。