浙教版-数学-九年级上册- 二次函数
形 EFGH的面积，并列表表示.
2–X
X
X 2–X
2–X X
X 2–X
例题讲解：
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
分析:S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4×SRt△AEH
解：由题意，得 y 22 4 1 x(2 x) 2
y 2x2 4x 4
2–X
X
(0 x 2)
例题讲解：
例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全
等 的直角三角形 (图中阴影部分 )。设AE＝BF＝CG＝DH＝ x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
（2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四边
二次函数解析式为y x2 12x 15.
试一试:
已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时,函数 值为3, 当x= －2时, 函数值为2, 求这个二次 函数的解析式.
二次函数解析式为：y 1 x2 1 x 3 84
这节课你有什么收获？
1、二次函数的概念：形如 y ax2 bx c(a 0)
(3)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年 后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定 期的年利率为 x， 两年后王先生共得本息y元;
(4)拟建中的一个温室的 平面图如图,如果温室外
围是一个矩形，周长为 120m , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)·
当x 1时，y 2 12 4 1 4＝（ 2 cm2 )
当x 1.5时，y 2 1.52 4 1.5 4＝2.（ 5 cm2 )
当x 1.75时，y 2 1.752 4 1.75 4＝3.12（ 5 cm2 ) 列表如下：
x(cm) 0.25 0.5
1
1.5 1.75
y(cm2 ) 3.125 2.5
y 2x2 4x 2 2
y 1 x2 13x 2
1 2
y x2
4
2
13
0
0
0
二次函数y=ax²+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，请说 出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) y 2x2 3 是 a 2,b 0, c 3 (2) y x2 1 3 不是，因为不是整式
x
下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，请说 出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) y 2x(1 x) 是 a 2,b 2, c 0 (2) y (x 1)2 (x 1)(x 1) 不是
函数 y (m2 m 2)xm22 当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 学科网 （1）若是二次函数，则 m2 2 2且m2 m 2 0
独立思考：
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 X 之间的关系：
（1）圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
（2）菱形的两条对角线长的和为26cm，其中一
条对角线长为xcm，菱形面积为y cm2
合作学习：
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 X 之间的关系：
当 a 0,b 0 时，是一次函数； 当 a 0,b 0, c 0时，是正比例函数；
函数解析式
y ax2 bx c (a, b, c为常数a 0)
y kx b(k 0)
y kx(k 0)
y k (k 0) x
系数
自变量的次数
知识拓展：
温馨提示：同桌交流， 互相帮助！
∴当 m 2时，是二次函数。 （2）若是反比例函数，则 m2 2 1且 m2 m 2 0
∴当 m 1 时，是反比例函数。
二次函数的解析式y=ax²+bx+c
(其中a,b,c是常数，a≠0)
注意:当二次函
数表示某个实际 问题时,还必须根 据题意确定自变 量的取值范围.
想一想:函数的 自变量x是否可 以取任何值呢?
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要 求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能 否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
2、a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项 3、用待定系数法求二次函数的解析式
4、二次函数与一次函数、正比例函数、反比例函数的 区别
函数 y ax2 bx c（其中a、b、c为常数），当a、
b、c满足什么条件时， （1）它是二次函数； （2）它是一次函数； （3）它是正比例函数；
当 a 0 时，是二次函数；
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做 二次函数。 学科网
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项，
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
a
b
c
y x2 58x 112 －1
58 －112
种植面积 通道
合作学习：
y x2 y 1 x(26 x) y 2(1 x)2
2
y 1 x2 13x y 2x2 4x 2
2
y (x 2)(56 x)
y x2 58x 112
上述四个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
2
2.5 3.125
试一试:
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的 一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
(2)当x=3时
y 2 32 20 3 42m2
X
2–X
2–X
X
学科网
X
2–X
例题讲解：
求 （2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应 的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
当x 0.25时，y 2 0.252 4 0.25 4＝3.12（ 5 cm2 ) 学科网
当x 0.5时，y 2 0.52 4 0.5 4＝2.（ 5 cm2 )
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2 . x
例题讲解：
例２ 已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 bx c,得：
1 b c 4 4 2b c 5
解得，b 12,c 15.
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师 讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t 的变化规律有如下关系式：
t 2 24t 100 0
7t 380
20 t 40
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时 比较，何时学生的注意力更集中？
浙教版-数学-九年级上册-求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠.方法：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式.例1、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为 ．分析：表格给出了自变量x 和函数值y 的六组对应数值，也就知道了二次函数的图像经过的六个点的坐标，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点（-1，-2）、（0，-2）、C （1，0）三点，所以220a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得112a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以该二次函数的解析式为22y x x =+-.二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠ 方法：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式.例2、如图（1）所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x =C ．212y x =-D ．212y x =分析：由图可知二次函数的顶点坐标为（0、0），所以二次函数的解析式可以设为2y ax =进行求解.解：设二次函数为2y ax =，把点（2，-2）代入解析式，得222a -=⨯，解得12a =-，所以二次函数的解析式为212y x =-，故选C.三、已知与x 轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)y a x x x x a =--≠ 方法：将抛物线与x 轴两个交点的横坐标1x 、2x 代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式.例3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 . 分析：二次函数的图象经过原点，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（-1，0）或（1，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式.解：因为二次函数的图象经过原点，并且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（-1，0）或（1，0），当另一个交点的坐标为（-1，0）时，设所求的二次函数的解析式为(1)y ax x =+.因为二次函数的图像经过点（12-，14-），所以111()(1)422a -=⨯--+，解得1a =，所以二次函数的解析式为2y x x =+，当另一个交点的坐标为（1，0）时，设所求的二次函数的解析式为(1)y ax x =-.因为二次函数的图像经过点（12-，14-），所以111()(1)422a -=⨯---，解得13a =-，所以二次函数的解析式为21133y x =-+，综上所述，该二次函数的解析式为2y x x =+或21133y x =-+.图（1） 图（2）。
2024年浙教版数学九年级上册1.1《二次函数》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是2024年浙教版数学九年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。
教材内容安排合理，由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但学生在学习二次函数时，可能会觉得比较抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中提炼出二次函数模型，培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义及其一般形式；2.掌握二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点等；3.能够通过实际问题，建立二次函数模型，并解决相关问题；4.提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其一般形式；2.二次函数的性质，特别是开口方向、对称轴、顶点的理解；3.实际问题中二次函数模型的建立和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现二次函数的规律；2.利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象和性质；3.运用讨论法，鼓励学生积极参与，培养学生的合作意识；4.采用案例分析法，使学生能够将理论知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入和巩固二次函数的知识；2.制作PPT，展示二次函数的图象和性质；3.准备一些练习题，用于让学生在课堂上练习和巩固所学知识；4.准备一些拓展问题，激发学生的思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如抛物线运动，引出二次函数的概念。
让学生观察实际问题中的数量关系，引导学生发现二次函数的规律。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图象，让学生直观地了解二次函数的性质。
同时，引导学生总结二次函数的一般形式。
3.操练（10分钟）让学生根据二次函数的定义和性质，解决一些相关问题。
浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
2023-2024学年浙教版数学九年级上册-
无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并
且向下无限伸展.
二次函数 = 的性质：
二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐
标原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，
抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴
对称轴与抛物线
的交点叫做抛物
线的顶点
二次函数y=ax2(a不等于0)的图象是一条抛物线，它
关于y轴对称，顶点是坐标原点。
在同一直角坐标系中，画出函数y=
x2 ，y=2x2 的图象
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
y
··· －4 －3 －2 －1
象在x轴的下方(除顶点外)。
直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2(a≠0)相交于B，C两点，已知C(
－2，4)．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)在同一坐标系中画出它们的图象；
(3)求S△AOC.
解：(1)∵直线 y＝kx＋b 经过点 A(2，0)，C(－2，4)，
2k＋b＝0，
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入 = ，得-3=(−) ，
解得：a=
这个二次函数的表达式是 = −
(2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴
新浙教版九年级上册初中数学 1-1 二次函数 教学课件
但不能没有二次项 . (4) 自变量x的取值范围是 任意实数
新课讲解
知识点2 二次函数的应用
典例分析
例
不一定是，缺少 a≠0的条件
不是，等号右 边是分式
不是，x的最 高次数是3
不是，化简后 为一次函数
新课讲解
新课讲解
练一练
y m 3 xm2 7 2.
（1）m取什么值时，此函数是一次函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由一次函数的定义可知，
m2 7 1，
m
3
0，
（2）由二次函数的定义可知，
m2 7 2,
解得m=3.
新课导入
情境导入
你观察过公园的拱桥吗？篮球入框，公园里的喷泉，雨后的彩 虹都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
新课讲解
知识点1 二次函数的定义
合作探究
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多 种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵 树,平均每棵树就会少结5个橙子.
m 3 0,
课堂小结
定义
二次函数
一般形式
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
特殊形式
当堂小练
1.用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S（m²）与矩形一边长 a（m）之间的关系是什么？ 是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a（60 -a）=a（30-a）=30a-a²=-a²+30a .
浙教版数学九年级上册_《二次函数》整章教材分析
第一章二次函数本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
二次函数的图像课件浙教版九年级数学上册
能否说出二次函数y=3x2-6x+5图象的顶点坐标， 对称轴呢？
我们知道,像y=a(x-m)2+k这样的函数,容易确定相应抛
物线的顶点为(m,k),二次函数 y 3x2 6x 5 也能化成这
样的形式吗?
思考:如何求一般形式的二次函数顶点坐标?
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
归纳
y=ax²+bx+c
二次函数一般式的配方法：
=a（x2+
b a
x）+c
(1)“提”：提出二次项系数；
=a〔x2+
b a
x+
b
2
2a
–
b 2
2a
〕+c (2)“配”：括号内配成完全平方
= a(x+ b )2 + 4ac b2
(3)“化”：化成顶点式.
2a
4a
函数y ax2 bx c图象的性质？
y ax2 bx c
y a(x b )2 4ac b2
配方法
2a
4a
➢图象是一条抛物线，
➢对称轴是直线x= b
2a
➢顶点坐标是为（ b
2a
， 4ac b2 ）
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点.
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
m左加右减，k上加下减
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
向上 向下
直对线称x轴=-3 顶( -点3,坐5 标) 直线x=1 ( 1 , -2 )
浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用--二次函数与一元二次方程》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》是2024年浙教版数学九年级上册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数图象解决一元二次方程的问题。
教材通过实例引导学生探究二次函数图象与一元二次方程解之间的关系，培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识。
但部分学生可能对一元二次方程的解法还不够熟练，对数形结合的思想还缺乏深刻的理解。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，引导他们通过观察、操作、思考、探究等活动，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握利用二次函数图象解决一元二次方程问题的方法。
2.培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。
3.激发学生的学习兴趣，培养合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，利用二次函数图象解决一元二次方程问题。
2.难点：对二次函数与一元二次方程关系的深入理解，以及数形结合思想的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现数学问题，激发学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，培养学生的独立思考能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.数形结合法：利用二次函数图象，直观地展示一元二次方程的解法。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和问题，以便引导学生探究。
2.制作课件，展示二次函数图象和一元二次方程的解法。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
例如，假设一个物体从地面上抛，其高度与时间之间的关系可以表示为一个二次函数。
新浙教版九年级上册知识点及典型例题
新浙教版数学九年级上册知识点第一章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a >向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a >向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当0a >向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac AB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习1、函数aaxy-=2与xay=在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B C D2、反比例函数y = k -1x与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（）3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y元与单价上涨x元的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？第二章简单事件的概率一、可能性1、必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件．2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件．3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。