偏微分方程课程教学大纲
教学大纲-偏微分方程
《偏微分方程》教学大纲课程编号：121322B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课 专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程（以上标题为黑体，四号字；内容为宋体，四号字）一、教学目标（黑体，小四号字）目标1：本课程是偏微分方程理论的入门课，以数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程为先修课程，并且是先修课程的运用和知识的深化。
目标2：本课程具有较强的应用性，在物理、经济、金融等学科中有广泛的应用。
物理、经济、金融中的偏微分方程的学习和研究对理解相关领域前沿本质问题有深刻的作用。
目标3：本课程的学习使学生对进一步研究更深的数学、金融、经济前沿科学知识打下坚实的基础二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（黑体，小四号字）本课程包括经典线性偏微分方程的推导、理论和应用。
精讲偏微分方程的背景和严格推导、二阶双曲型偏微分方程理论、二阶抛物型偏微分方程理论、二阶椭圆型偏微分方程理论，及偏微分方程在金融、经济中的应用等；选讲偏微分方程的变分原理、反问题等。
通过对实际问题的分析、模拟、以往知识的回顾，循序渐进讲授重点内容。
学生要活学活用已学知识认真完成课后作业。
该课程能有效地开阔学生的学术视野，增强知识能力，为进一步研究学习前沿科学厚实学识基础。
三、各教学环节学时分配（黑体，小四号字）以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：（宋体，小四号字）教学课时分配四、教学内容（黑体，小四号字）第一章方程的导出和定解条件第一节守恒律第二节变分原理第三节定解问题的适定性1 、重点、难点多重指标记号2、考核要求：掌握多重指标记号, 偏微分方程中的基本概念和定解问题的意义。
3、复习思考题：复习主要偏微分方程的物理背景、定解的适定性。
第二章波动方程第一节一阶线性方程的特征线解法第二节初值问题（一维情形）第三节初值问题（高维情形）第四节混合问题1 、重点、难点波动方程的解法及其初值问题和初边值解的唯一性及稳定性。
偏微分方程课程大纲
《偏微分方程》课程大纲一、课程简介教学目标：“偏微分方程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分支和自然科学与工程技术中的广泛应用是众所周知的。
本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对几类典型方程数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述，为学生日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具，并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。
主要内容：1. 了解几类典型方程及其定解条件的物理背景2．掌握方程的分类及其化简方法3. 熟练掌握各类方程的求解方法（包括具有普适性的方法，如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等，以及针对某类方程的特定方法，如特征线法）4. 会用一些基本方法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质二、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第一章引论主要内容：1、偏微分方程简介a)偏微分方程的历史、现状和用途b)什么是偏微分方程？介绍有关偏微分方程基本概念和研究内容c)例子：简单而多样的例子帮助学生初步了解偏微分方程2、二阶线性偏微分方程的分类和特征理论a)两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式与典型例子，混合型方程b)多个自变量的二阶线性偏微分方程方程的分类及其例子c)二阶线性方程的特征理论*3、四类典型方程的数学模型：包括波动方程、热传导方程、调和方程、和一阶方程4、其他预备知识：线性方程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点：通过化标准型将二阶方程进行分类、特征的概念（这是偏微分方程中最基本也是最重要的概念）、各类方程及其定解条件的物理意义第二章波动方程主要内容：1、弦振动方程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决定区域和影响区域，特征线法（行波法）的其他应用和例子，Duhamel齐次化原理及其物理解释2、弦振动方程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例子，非齐次方程的情形，非齐次边界条件的情形，高维波动方程分离变量法的例子3、高维波动方程Cauchy问题的求解：三维波动方程的球平均法，二维波动方程的降维法4、波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波动方程解的长时间性态5、能量不等式与唯一性和稳定性：初边值问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性重点与难点：针对于波动方程：特征线与特征锥、特征线方法、波的有限传播速度；适用于各种方程的普遍方法：能量积分方法、分离变量法第三章热传导方程主要内容：1、求解初边值问题的分离变量法：一维情形，高维的例子2、Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，用Fourier变换法求解Cauchy问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应用3、极值原理与唯一性和稳定性：有界区域的极值原理，无界区域的极值原理，初边值问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性4、解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态重点与难点：Fourier变换方法、极值原理、关注与波动方程的区别第四章调和方程主要内容：1、调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的自由度与可解性条件，调和方程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的唯一性和稳定性2、Green函数：定义和性质，用静电源像法求一些特殊区域的Green函数，一般单连通区域的Green函数，用Green函数法求解调和方程与Poisson方程3、调和函数的进一步性质―――Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值原理、Neumann边值问题解的唯一性。
偏微分方程选讲教学大纲
第五章 双曲型方程的差分方法（3 学时） [目的要求] 1．要求学生重点掌握一阶线性双曲型方程 Cauchy 问题的特征线法和差分方法 2．理解特征方向、特征关系等基本概念 3. 掌握一阶拟线性双曲型方程 Cauchy 问题的特征线法，特征差分格式等方法
学计算能力以及解决实际问题的能力。 教学要求：
（一）从内容上，应使学生熟练掌握求解常微分方程的欧拉法、改进的欧拉法和标 准四阶龙格-库塔法；熟练掌握求解抛物型方程的六点加权隐式差分格式；熟练掌握求 解 Laplace 方程和 Poisson 方程的五点差分格式；熟练掌握求解一阶双曲型方程的特征 线法和求解双曲型方程的差分方法等内容；熟练掌握方程的导出及定解条件的确定；熟 练掌握变分原理、球平均法、傅里叶变换及叠加原理，并可以利用它们求解定解问题的 精确解。
第七章 椭圆型方程的差分方法（4 学时） [目的要求] 1．要求学生掌重点握矩形域中的 Laplace 方程、Poisson 方程 Dirichlet 边值问题的五 点差分格式，了解 Neumann 边值问题的差分思想，理解一般二阶线性椭圆型方程 的 Jacobi 迭代、Cass-Seidel 迭代和超松弛迭代等方法 2．会求收敛速度，会判断超松弛迭代法的收敛性 [主要内容] §7.1 矩形区域上的 Poisson 方程的五点差分格式、九点差分格式、极坐标下的差分
《偏微分方程选讲》教学大纲
课程名称：偏微分方程选讲 英文名称： PDEs to choose speak 课程性质：选修课 学时/学分： 2
(完整版)偏微分方程课程教学大纲
4
上课
作业
掌握思想
测验一
波动方程的有限传播速度
2
上课
作业
掌握波动方程的特性
一维波动方程初边值问题
4
上课
作业
掌握分离变量法
波动方程的能量方法
4
上课
作业
掌握PDE能量方法
期中考试
热方程的Cauchy问题
4
上课
作业
掌握Fourier变换及基本解思想
热ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的初边值问题
2
上课
作业
掌握分离变量法
在该课程中，我们将重点讲解刻画粒子输运、波的传播、温度变化及物理场论的输运方程、波动方程、热方程及Laplace方程的理论与方法，从而了解双曲型、抛物型及椭圆型三类偏微分方程的特性及基本分析思路,为进一步学习与研究打下一定的基础。
＊课程简介(Description)
In this course，we shall teach students how to formulate the partial differential equation models based on certain elementary laws in physics and mechanics, then purpose some analytic methods for studying qualitative and quantitative properties of solutions to several important kinds of partial differential equations,which could inspire students to understand some basic idea of modern methods and theories of partial differential equations。 By solving the explicit solutions of PDEs， it can explain some important phenomena in physics and mechanics, which could inspire the students to study further。
偏微分方程数值解教学大纲
《偏微分方程数值解》教学大纲
一．课程的性质、教育目标及任务：
偏微分方程数值解法在数值分析中占有重要地位，在各个科技领域的应用日渐广泛。
通过本课程的学习，使学生能了解偏微分方程数值解的最基础的知识和方法，确切地理解基本概念，掌握和正确使用两类主要方法。
二．教学内容及基本要求：
（1）弄清有限差分法的基本概念和各种差分格式。
（2）掌握双曲型，抛物型、椭圆型方程的差分方法。
（3）理解数理方程的变分原理，掌握变分问题的近似计算法。
（4）掌握有限元离散方法的原理及应用。
三．作业、辅导答疑等教学环节要求：
1．作业量：每章5--6大题，共30--40题。
2．辅导答疑：1/3总课时。
四．学时分配及说明：。
201411213-偏微分方程-教学大纲
偏微分方程课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：201411213课程中文名称：偏微分方程课程英文名称：Partial differential equations课程性质：专业主干课考核方式：大作业开课专业：数学与应用数学开课学期：第6学期总学时：56（其中理论56学时）总学分：3二、课程目标以三大偏微分方程为主体的偏微分方程，是大学理科数学与应用数学、信息与计算科学专业的重要课程，为该专业课程体系中的重要组成部分。
开设此课程将为其他课程打下基础。
通过此课程的学习，使学生掌握偏微分方程的基本知识，偏微分方程分析的基本方法、基本技巧，并了解现代偏微分方程的基本结果。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）偏微分方程是在自然科学和工程技术中提炼出来的，因此，不仅要求学生在掌握理论知识的同时，还应该密切联系实际并把所得的结果放到实践中进行检验。
本课程要求如下：（1）要求学生掌握偏微分方程的基本知识及基本方法，透彻理解其数学概念；（2）使学生掌握数学推理的逻辑严密性及灵活性；（3）要求学生善于运用本课程所学知识、方法及技巧去解决物理等学科中出现的实际问题，并把所得到的结果再带回到实践中进行检验。
四、教学内容与学时分配1 波动方程（28学时）导出波动方程，介绍波动方程的柯西问题、混合问题及其解法，证明波动方程解的唯一性、稳定性。
2 热传导方程（10学时）导出热传导方程，介绍热传导方程的柯西问题、混合问题及其解法，证明热传导方程解的唯一性、稳定性3 调和方程（16学时）建立调和方程，求解调和方程，证明调和方程解的唯一性。
4 现代偏微分方程理论（2学时）现代偏微分方程的泛函理论和可解性问题。
五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）主要采用理论教学，选择性地使用电子教案，并穿插习题课以及学生讨论。
六、实验（或）上机内容无七、前续课程、后续课程前续课程：微积分、常微分方程后续课程：Sobolev空间八、参考教材及学习资源教材：[1] 谷超豪、李大潜等，数学物理方程，复旦大学出版社参考资料：[1] 陈恕行、秦铁虎，数学物理方程—方法导引，复旦大学出版社[2] 梁昆淼，数学物理方法，高等教育出版社九、考核方式撰写人签字：院（系）教学院长（主任）签字：。
偏微分方程 教学大纲
数学与应用数学专业《偏微分方程》教学大纲●本课程教学的目的偏微分方程是数学专业的一门重要专业课程。
它的理论和方法，对于其他数学学科，对于物理，力学及工程技术中的某些问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生正确理解偏微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，培养学生分析问题和解决某些实际问题的能力。
●学习方法指导1．贯彻理论联系实际的原则，力求反映偏微分方程的实际背景及其应用，每章讲解时安排适当的应用例题。
2．注意通过典型例题的介绍，使学生理解与掌握基本概念，领会基本理论的作用与意义。
3．注意基本技能的训练，安排一定数量的练习题及难度适宜的证明题。
4．加强与有关课程的联系与配合。
通过对数学分析、高等代数、普通物理、常微分方程、复变函数、泛函分析等课程中已学过的知识的应用，使学生得到巩固和深化。
5．适当注意内容现代化。
将有关偏微分方程的最新研究动态及研究成果贯穿于相应内容的讲解中，让学生及时了解世界最前沿的有关偏微分方程的研究进展。
●本课程的重、难点偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科。
学习这门课程必须掌握几类经典方程的求解方法、基本理论，并能运用基本理论解释物理现象，这些内容既是偏微分方程的基本内容也是重、难点内容。
●本课程教学基本内容及课时分配和教学环节安排第一章方程的导出及定解问题的提法（7学时讲授讨论作业）【知识点提示】偏微分方程的基本概念；几个经典的偏微分方程；定解问题的提法。
【重、难点提示】偏微分方程的基本概念；如何从物理现象导出几个经典的方程。
【教学目的】通过本章的教学，使学生对偏微分方程的基本概念和本课程学习的主要内容有一个大概的认识，了解如何从物理现象导出几个经典的方程及各种定解问题的提法。
【教学内容】第一节序言第二节基本概念1.1. 什么是偏微分方程1.2. 偏微分方程的解1.3. 偏微分方程的阶1.4. 线性偏微分方程1.5. 非线性偏微分方程第三节几个经典方程2.1. 弦振动方程2.2. 热传导方程2.3. 拉普拉斯(Laplace)方程第四节定解问题3.1. 定解问题3.2. 三类典型的边界条件3.3. 适定性第二章特征理论与方程的分类（7学时讲授讨论作业）【知识点提示】二阶方程的特征和分类，化方程为标准型。
偏微分方程教案
偏微分方程教案
【教案】
一、教学目标：
1. 掌握偏微分方程的基本概念和分类；
2. 理解偏微分方程在实际问题中的应用；
3. 能够运用偏微分方程解决实际问题。
二、教学重点：
1. 偏微分方程的概念和分类；
2. 偏微分方程的应用。
三、教学难点：
1. 偏微分方程解决实际问题的方法；
2. 对偏微分方程进行分类和理解。
四、教学过程：
1. 导入（5分钟）
引入偏微分方程的概念，比较偏微分方程和常微分方程的区别。
2. 知识讲解（30分钟）
通过具体例子介绍偏微分方程的基本概念和分类，包括：
- 偏导数的定义和求解；
- 偏微分方程的一阶和二阶分类；
- 常见的偏微分方程及其应用。
3. 实例分析（40分钟）
选取一些实际问题，通过建立对应的偏微分方程来解决这些问题，包括：
- 热传导方程在热平衡问题中的应用；
- 波动方程在弦的振动问题中的应用；
- 扩散方程在物质传输问题中的应用。
4. 练习与讨论（30分钟）
让学生自己动手解决一些实际问题，通过讨论与交流，巩固对偏微分方程的理解和应用能力。
五、课堂总结（5分钟）
回顾本节课所学内容，总结偏微分方程的基本概念、分类和应用，并展望下节课内容。
六、课后作业（10分钟）
出一些练习题供学生巩固所学知识，鼓励学生自主学习和思考。
【文章结束】。
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4
上课
作业
掌握思想
测验一
波动方程的有限传播速度
2
上课
作业
掌握波动方程的特性
一维波动方程初边值问题
4
上课
作业
掌握分离变量法
波动方程的能量方法
4
上课
作业
掌握PDE能量方法
期中考试
热方程的Cauchy问题
4
上课
作业
掌握Fourier变换及基本解思想
热方程的初边值问题
2
上课
作业
掌握分离变量法
课程教学大纲（course syllabus）
*学习目标(Learning Outcomes)
1．基于物理、力学的一些基本定律建立相应的偏微分方程模型
2．掌握输运方程、波动方程、热方程及Laplace方程的求解方法及内涵；
3.掌握双曲型方程的能量方法、抛物型方程与椭圆型方程的极值原理及其应用；4.理解偏微分方程的特征理论初步；
5．了解几类简单的非线性偏微分方程。
*教学内容、进度安排及要求
(Class Schedule
&Requirements)
教学内容
学时
教学方式
作业及要求
基本要求
考查方式
几类偏微分方程的引入及物理背景
4
上课
作业
掌握建模方法
输运方程
4
上课
作业
掌握特征线方法
一维波动方程Cauchy问题
4
上课
作业
掌握行波法及波的叠加
*课程性质
（Course Type）
必修课（数学与应用数学（致远荣誉计划））
授课对象
（Target Audience）
ction)
中文及英文
*开课院系
（School）
数学科学学院
先修课程
（Prerequisite）
微积分、线性代数、常微分方程、复变函数
在该课程中，我们将重点讲解刻画粒子输运、波的传播、温度变化及物理场论的输运方程、波动方程、热方程及Laplace方程的理论与方法，从而了解双曲型、抛物型及椭圆型三类偏微分方程的特性及基本分析思路，为进一步学习与研究打下一定的基础。
*课程简介（Description）
In this course, we shall teach students how to formulate the partial differential equation models based on certain elementary laws in physics and mechanics, then purpose some analytic methods for studying qualitative and quantitative properties of solutions to several important kinds of partial differential equations, which could inspire students to understand some basic idea of modern methods and theories of partial differential equations. By solving the explicit solutions of PDEs, it can explain some important phenomena in physics and mechanics, which could inspire the students to study further.
授课教师
（Instructor）
王亚光
课程网址
(CourseWebpage)
*课程简介（Description）
该课程着重教授学生基于物理、力学等的一些基本定律建立相应的偏微分方程模型；结合物理背景，讲解几类重要偏微分方程的求解方法及研究定解问题数学理论的分析方法，由此也启发学生了解偏微分方程的一些现代方法与理论的雏形；通过偏微分方程方程解析解的求解，解释相应的物理、力学现象，激发学生进一步学习的兴趣。
In this course, we shall mainly study the transport equations, wave equations, heat equations and Laplace equations, which model the transport of particles, the propagation of waves, the transfer of temperature, and the field theory in physics,from that the students will understand the main characters and elementary ideas in studying the hyperbolic,parabolic and ellipticequations. This will help students to have a solid basis for further study.
调和函数性质及其应用
4
上课
作业
理解研究椭圆方程解的基本思想
线性PDE的特征理论及其分类
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上课
作业
了解特征对决定PDE性质的重要性
二阶线性PDE的一般理论
4
上课
作业
二阶PDE的分类
非线性偏微分方程初步
4
上课
作业
Burgers方程、激波理论初步
期末考试
*考核方式
(Grading)
测验一10分+期中考试25分+测验二10分+期终考试45分+作业与上课情况等10分=100分
《偏微分方程》课程教学大纲
Course Outline
课程基本信息（Course Information）
课程代码
（Course Code）
MA302
*学时
（CreditHours）
4
*学分
（Credits）
4
*课程名称
（Course Title）
（中文）偏微分方程
（英文）Partial Differential Equations
抛物型方程的极值原理及应用
4
上课
作业
掌握建立（退化）抛物方程的极值原理思想，并研究抛物方程定解问题的适定性
Laplace方程解的平均值公式、极值原理及其应用
4
上课
作业
理解椭圆方程的极值原理
测验二
Green函数及其性质
4
上课
作业
掌握引入Green函数的思想
Laplace方程边值问题
4
上课
作业
确定Laplace方程几类特殊区域上Green函数