2020-2021学年山东省新高考质量测评联盟高二上学期12月联考数学试题 pdf版
槡 5/351
%! 0# %0# *
,3,%,&
4 分
高二数学试题答案 第"# 页 共 3 页
当 %1,!* 时
5/35的最小值为#
槡! *
即一条牵引绳长度的最小值为#
槡! *
!
%! 分
槡*! 0 ,# !
(
%&
分
所以 +1+ 或 +1,%!!
所以所求切线方程为 *#,#%0+ 1& 或 *#,#%,%! 1&! %! 分
%4!% 证明如图取 0+的中点为 (连接 (-"(!
因为 0(1(
% !
*+!
因为 5为 ")中点四边形 ")*+为菱形
所以 ,4 1% 0*40% 0! :! ,#4 1& + 分
所以 413( !
所以当
与
,4 互相垂直时实数
4的值为
3 (
!
%&
分
%+!解% 圆 *的方程可化为 #,!! 0 %,%! 1# % 分
所以 #! 1,!9 ,3 解得 91#*
图(
所以抛物线的方程为 #! 1,+* %! ( 分
! 设 / & ,! 为灯笼所在点 3 # % 为抛物线上设置牵引绳的点
则 5/351槡#! 0 %0!! 6 分
')&+1 ! ! & ')&-1 & & !
图3
设'*&(1'*&51 ,! ,# !
1 ,! ,# ! &,,% 6 分 则')&(1')&*0'*&(
1 & # & 0 ,! ,# !
{ { '*&+1& ,!#! 1& '0&*1& 即 !#! 0!%! ,! 槡*7! 1&
令 %! 1槡* 则 1 & 槡* % %& 分 设平面 0)*与平面 0*+所成锐二面角为
则 ;<=15555551%# !
所以
;<=7
91555 51槡3(:(
1% 槡3
1槡33
所以 与 的夹角余弦值为槡33! ( 分
! ,4 1%%! ,4 ,*&# 1% 0*4%! ,#4 3 分
因为 与 ,4 互相垂直
则 "&&& )!&& *!!& +&!&
图!
0&&! 槡* 3 分 所以')&*1&!& '0&*1!! ,! 槡* '*&+1 ,!&& ! 设平面 0)*的一个法向量 1 #% %% 7%
设点 (到平面 )+-的距离为 6
6
15')&5(5515!
,# 槡!
51# *槡!
%& 分
解得 1!* 或%*& 舍 ! %% 分
%6!解% 因为 1%%! 1 ,*&# % 分
所以 1% : ,* 0% :& 0! :# 1(! ! 分
5 51槡%! 0%! 0!! 1槡3
5 51槡 ,*! 0#! 1( * 分
所以平面
0)*与平面
0*+所成锐二面角的余弦值为
% #
!
%!
分
选条件 因为 0"#平面 ")*+
所以直线 0*与平面 ")*+所成角为%0*"! 3 分
因为 0"1! 槡* %0*"13&, 所以 "*1!
所以)")*为正三角形! 取 )*中点为 . 连接 ". 以 "为坐标原点 '"&. '"&+ '"&0的方向分别为 #轴 %轴 7轴的正方向建立空间直角
所以 )-#平面 ")*+! * 分
因为 *+"平面 ")*+
所以 *+#)-! # 分
! 解 存在 由 % 知 )-#平面 ")*+且 ")#)* 以 )为坐标原点 ')&" ')&* ')&-的方向分别为 #轴 %
{ { ')&*1& !%% 1& '0&*1& 即 !#% 0!%% ,! 槡*7% 1& 高二数学试题答案 第"! 页 共 3 页
令 #% 1槡*则 1槡*&% + 分
设平面 0*+的一个法向量 1 #! %! 7!
1
2
3
4
5
6
山东新高考质量测评联盟 %! 月联考试题 高二数学参考答案及评分标准
!&!&!%!
一选择题本题共 + 小题每小题 ( 分共 #& 分)在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的)
%)$""!).""*)-""#)-""()$""3)/""6)-""+)."" 二选择题本题共 # 小题每小题 ( 分共 !& 分)在每小题给出的选项中有多项符合题
轴 7轴的正方向建立空间直角坐标系 如图 3!
( 分
) & & & " ! & & * & # &
+ ! ! & - & & ! 5 ,! & !
3 分
坐标系 如图 #!
图#
则 "& & & ) 槡* ,% & * 槡* % &
+ & ! & 0 & & ! 槡* ')&*1 & ! & '0&*1 槡* % ,! 槡* '*&+1 ,槡* % & !
设平面 0)*的一个法向量 1 #% %% 7% !
,槡*#! 0%! 1& 槡*#! 0%! ,! 槡*7! 1&
令 #! 1% 则 1 % 槡* % %& 分 设平面 0)*与平面 0*+所成锐二面角为 则 ;<=15555551*(
所以平面
0)*与平面
0*+所成锐二面角的余弦值为
* (
!
%!
分
!&!解 % 以抛物线的顶点 $为坐标原点 抛物线的对称
轴为 %轴 建立平面直角坐标系 如图 (!
则 " ,# ,3 ) # ,3 ! 分 设抛物线的标准方程为 #! 1,!9% 99& ! * 分
因为 )点在抛物线上
{ { ')&*1& !%% 1& '0&*1& 即 槡*#% 0%% ,! 槡*7% 1&
令 #% 1! 则 1 ! & % + 分
设平面 0*+的一个法向量 1 #! %! 7! !
{ { '*&+1& '0&*1& 即
高二数学试题答案 第 % 页 共 3 页
! 由% 得直线 &的方程为 *#,#%0* 1&! 6 分
因为切线与直线 &平行
所以设所求的切线方程为 *#,#%0+1&! + 分
因为直线与圆相切
所以圆心到切线的距离 6
15! :* ,# 0+515! 0+51!!
因为 5")51! 槡*所以圆心到直线 &的距离为 %! ! 分 圆心到直线 &的距离 6 15! ,1 0% 515* ,1 51% # 分
槡% 01! 槡% 01!
所以 1 1#* ! 3 分
所以
"5*
% !
*+
图%
所以 (-*"5
所以四边形 "5-(为平行四边形 ! 分
所以 5-!"( * 分
因为 5-+平面 0"+"("平面 0"+ # 分
目要求)全部选对的得 ( 分有选错的得 & 分部分选对的得 * 分) 4)$/""%&)$-/""%%)$./""%!)-./ 三填空题本题共 # 小题每小题 ( 分共 !& 分)
%* !4 ""%# !%18槡* #""%( !槡!%# ""%3 !4!
"
* #
四解答题本题共 3 小题共 6& 分!解答应写出文字说明证明过程或演算步骤!
* (
!
%!
2021-2022学年山东省学情高三上学期质检数学试卷(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年山东省学情高三上学期质检数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.已知集合A={x|−1<x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|0≤x≤1}D. {x|−1<x≤0}2.复数z=52−i的虚部是()A. iB. 53C. 53i D. 13.已知角α的终边过点P(1,2)，则2sinα+cosα3sinα−cosα=()A. 0B. 1C. −1D. −24.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a7>0，S11<0，则S n的最小值为()A. S4B. S5C. S6D. S75.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A. y23−x2=1B. y2−x23=1C. y29−x23=1D. y23−x29=16.2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为()A. 25B. 12C. 815D. 357.已知三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为649π，则三棱锥P−ABC的体积的最大值为()A. 2√3B. 2√33C. 4√33D. 4√398.已知直线l 1：mx −y −3m +1=0与l 2：x +my −3m −1=0相交于点P ，线段AB 是圆C ：(x +1)2+(y +1)2=4的一条动弦，且AB =2√3，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A. 2√2B. 4√2C. 2√2−2D. 4√2−29.若复数z 满足iz =1−i(其中i 为虚数单位)，则复数z −在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|lnx ≤1}，则A ∩B =( )A. (1,e]B. [1,3]C. (0,e]D. (0,3]11. 已知等比数列{a n }的公比为q ，则q >1是{a n }为增数列的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 如图所示，正方体的棱长为√3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为( )A. π6 B. π C. 4π3 D. 4π13. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有( )A. 90种B. 125种C. 150种D. 243种14. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N(100,225)，从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为( )A. 12B. 23C. 34D. 7815. 已知抛物线C ：y 2=4x ，圆F ：(x −1)2+y 2=1，直线l ：y =k(x −1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是( )A. |M 1M 2|⋅|M 3M 4|B. |FM 1|⋅|FM 4|C. |M 1M 3|⋅|M 2M 4|D. |FM 1|⋅|M 1M 2|16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x ≤212f(x −2),x >2，若关于x 的方程[f(x)]2−(a +1)f(x)+a =0(a ∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为( )A. −4B. 4C. 8D. −4或8二、多选题（本大题共8小题，共40.0分） 17. 下列命题中，真命题的是( )A. 若样本数据x 1，x 2，⋯，x 10的方差为2，则数据2x 1−1，2x 2−1，⋯，2x 10−1的方差为8B. 若回归方程为y ̂=−0.45x +0.6，则变量y 与x 负相关C. 若随机变量X 服从正态分布N(3,σ2)，P(X ≤4)=0.64，则P(2≤X ≤3)=0.07D. 在线性回归分析中相关指数R 2用来刻画回归的效果，若R 2值越小，则模型的拟合效果越好18. 如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ=45°的平面所截，截面是一个椭圆，则( )A. 椭圆的长轴长为4B. 椭圆的离心率为√24C. 椭圆的方程可以为x 24+y 22=1 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√219. 对于函数f(x)=13x 3+12x 2+cx +d ，c ，d ∈R ，下列说法正确的是( )A. 存在c ，d 使得函数f(x)的图像关于原点对称B. f(x)是单调函数的充要条件是c ≥14C. 若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，则x 14+x 24>18D. 若c =d =−2，则过点P(3,0)作曲线y =f(x)的切线有且仅有2条20. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是( )A. 若N 为DD 1中点，当AM +MN 最小时，CM CC 1=1−√22B. 当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C. 直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为[√33,√22]D. 若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为9221.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到X2=50×(13×20−10×7)223×27×20×30≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是()参考数据：A. 有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C. 95%的数学成绩优异的同学选择物理D. 若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化22.已知x>0，y>0，2x+y=1，则下列说法正确的是()A. xy的最大值是18B. 2x+1y的最小值是8C. 4x2+y2的最小值是12D. x2+y2的最小值是1523.已知函数f(x)=cos(ωx−π4)(ω>0)，则下列说法正确的是()A. 若将f(x)图象向左平移π4个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为1C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54]D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]24.长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，则下述结论正确的是()A. 若点P为底面四边形A1B1C1D1内的一个动点，且AP=2，则点P的轨迹长度为√32πB. 若点P为侧面四边形D1C1CD内的一个动点，且AP⊥D1C，则点P的轨迹长度为√32C. 若点P为侧面四边形B1C1CB内的一个动点，且AP与平面ABCD所成的角为30°，则点P的轨迹为双曲线的一部分D. 若点P 为底面四边形A 1B 1C 1D 1内的一个动点，且平面ABP 与平面ABCD 所成的角为45°，则点P 的轨迹为椭圆的一部分三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）25. 已知f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=x 2−sin(πx)，则f(2)=______． 26. 若(13x 3−x)n 的展开式中第r +1项为常数项，则rn =______．27. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤λ−x 2+6x −8,x >λ，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______．28. 已知扇形POQ 的半径为2，∠POQ =π3，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B ，C 在弧PQ ⏜上)，则矩形ABCD 面积的最大值为______．29. 曲线f(x)=ln(2x)+x 2在点(1,f(1))处的切线方程为______．30. 某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是______．31. 已知在△ABC 中，AB =3，AC =5，其外接圆的圆心为O ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 32. 已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，设S 1，S 2分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆的面积，则S 1+S 2的取值范围为______． 四、解答题（本大题共12小题，共142.0分）33. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ⃗⃗⃗ =(c,b)，n ⃗ =(√32,sinB)，m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (1)求C ；(2)求sinA +sinB 的取值范围．34. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n+1=2S n +n +1． (1)证明：数列{a n +1}为等比数列；(2)在a k 和a k+1(k ∈N ∗)中插入k 个数构成一个新数列{b n }：a 1，2，a 2，4，6，a 3，8，10，12，a 4，⋯，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列，求数列{b n }的前30项和T 30．35. 如图，在三棱锥P −ABC 中，BC ⊥平面PAC ，AD ⊥BP ，AB =2，BC =1，PD =3BD =3．(1)求证：PA ⊥AC ；(2)求二面角P −AC −D 的余弦值．36. 某校开展“学习新中国史”的主题学习活动．为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次都答错，答题测试不过关，得0分．某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m ，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p ．(1)若m =0.5，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为f(p)，当f(p)取最大值时，求p ，m ．37. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左，右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4+2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)P 为圆x 2+y 2=5上任意一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，判断PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．38. 已知函数f(x)=2ax −x 2−2lnx ．(1)若数f(x)在定义域内单调，求实数a 的取值范围；(2)若a ≤52，m ，n 分别为f(x)的极大值和极小值，求m −n 的取值范围．39. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3tanAtanB −tanA −tanB =√3，角C 的平分线CD 交AB 于D ． (1)求证：√3CD =1CA +1CB；(2)若CD =CB =2，求△ABC 的面积．40.已知数列{a n}满足a n−1−a n=a n−a n+1(n≥2)，且a1=1，a7=13；数列{b n}的前n项和为S n，且S n=3n−12．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若数列c n={a n,n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前n项和T n．41.如图，四边形ABCD为梯形，AD//BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，平面ABP⊥平面ABCD，AD=2BC=2，点M在边PC上，且PM=2MC．(1)证明：PA//平面BDM；(2)当二面角C−BM−D的平面角的正切值为√6时，求四棱锥P−ABCD的体积．42.购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性．某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月销售量/千个3456791012月利润/万元 3.64.14.45.26.27.57.99.1(1)求出月利润y(万元)关于月销售量x(千个)的回归方程(精确到0.01)；(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学．用X表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求X的分布列和数学期望．参考数据：∑x i 28i=1=460，∑x i 8i=1y i =379.5．附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．43. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)，F 2(1,0).过F 2与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点D ，点D 在x 轴上方，且|DF 1|=3√22． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在一定点M 使得k MA +k MB 为定值，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．44. 已知函数f(x)=ln(x+1)x，g(x)=xsinx −ln(x +1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x ∈[π2,π]时，xsinx >2cosx +1； (3)判断g(x)在区间(π2,2π)上零点的个数．。
山东省2021-2022学年高二12月联考数学试题
②
由①②解得
，
所以圆的方程为 .
故答案为：
16．
【分析】
由离心率为 ，可得 ， ，再由 轴，结合双曲线的定义可表示出 ，从而可表示出 的内切圆和外接圆半径，进而可求得答案
【详解】
由 ，得 ，则 ，
设 ， ，
因为 轴，所以 ，
所以 ，
所以 的内切圆半径为
，
的外接圆半径为 ，
所以 的内切圆和外接圆半径之比 ，
对于②，当 与 的夹角为钝角时，可得 ，且 与 不共线，若 ，则 ，得 ，若 与 共线，则 ，得 ，所以当 与 的夹角为钝角时， 且 ，所以②错误，
对于③，直线 可化为 ，所以直线 的一个方向向量为 ，所以③正确，
对于④，由于实数 不全为零，所以不妨设 ，则由 ，可得 ，所以由共面向量定理可知 共面，所以④共面，
①若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
②向量 ，若 与 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 ；
③直线 的一个方向向量为 ；
④若存在不全为0的实数 使得 ，则 共面．
其中正确命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
7．等差数列 满足： ．数列 的前n项和 取最大值时， （）
A．12B．13C．14D．15
故选：A
6．C
【分析】
对于①，由向量的定义判断即可，对于②，当 与 的夹角为钝角时，可得 ，且 与 不共线，从而可求出实数m的取值范围，对于③，由已知条件求出直线的斜率，从而可求得答案，对于④，由空间向量共面定理判断即可，
【详解】
对于①，因为向量是自由向量，所以空间中任意两个向量都共面，所以①错误，
（1）求抛物线的标准方程；
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
2020-2021学年山东省中学联盟高三(上)大联考数学试卷(12月份)(附答案详解)
2020-2021学年山东省中学联盟高三（上）大联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若集合A ={−3,−1,1，3}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {−3,−1,1}B. {−1,1，3}C. {−3}D. {3}2. 已知i 是虚数单位，则(1+√3i2i)2在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a ⃗ =(2,3，−4)，b ⃗ =(−3,x ，y)分别是平面α，β的法向量，若α//β，则( ) A. x =92，y =6 B. x =−92，y =6 C. x =−92，y =−6D. x =92，y =−64. 已知圆C ：x 2+y 2+4x −2y −4=0关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则原点O到直线l 的距离为( )A. 4√3737B. 1C. 4√55D. √555. “∀x ∈[−2,1]，x 2−2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a ≥0B. a ≥1C. a ≥2D. a ≥36. 设p =ln2，q =lg3，则( )A. p −q >pq >p +qB. p −q >p +q >pqC. p +q >pq >p −qD. p +q >p −q >pq7. 已知实数x ，y 满足x +1x +9y +1y =17，其中x >0，y >0，则1x +1y 的最小值为( )A. 116B. 1C. 2D. 168. 正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ，点P 为圆Q 上任意一点.若QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围( )A. [−1,1]B. [−12,12]C. [−√22,√22] D. [−√2,√2]二、多选题（本大题共4小题，共12.0分）9. 函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1的图象的一个最值点为( )A. (π3,32)B. (5π6,12)C. (5π6,52)D. (4π3,52)10. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，若双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，则下列说法正确的是( )A. 实轴长√2B. 双曲线的离心率为2C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为√6D. 存在点P ，使得|F 2P|=111. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x.设函数g(x)=f(x)−kx −k ，下列结论成立的是( )A. 函数f(x)的一个周期为2B. f(43)=−23C. 当实数k >−1时，函数g(x)在区间[1,2]上为单调递减函数D. 在区间[−1,3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k 的取值范围是(0,14]12. 棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，下列结论成立的是( )A. PB 1//平面BC 1DB. 动点P 一定在线段AD 1上C. |PB 1|∈[1,√2]D. PB 1与平面BC 1所成角的正弦值可以是√32三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 与棱长为√2的正方体所有棱都相切的球的体积为______ ． 14. 近两年，中国移动推动5G 和4G 技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原4G 线路传输资源，并高效建设5G 基站.如图，南北方向的公路l ，城市A 地(看作一点)在公路正东√3km 处，城市B 地(看作一点)在A 北偏东60°方向2km 处，原有移动4G 线路PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等.现要在线路PQ 上一处M 建一座5G 基站，则这座5G 基站到城市A ，B 两地的总距离最短时为______ km ．15. 已知数列{1(2n−1)(2n+3)}的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立，则实数a 的取值范围是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω>0)在[0,π]有且仅有3个零点，则函数f(x)在[0,π]上存在______ 个极小值点，实数ω的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =5，cosB =35．(1)求△ABC 的面积的最大值； (2)若√2csin B+C 2=asinC ，求△ABC 的周长．18. 已知数列{a n }的前n 项和是A n ，数列{b n }的前n 项和是B n ，若A 3=14，a n+1=2a n ，n ∈N ∗.再从三个条件：①B n =−n 2+21n ；②B n+1+2=B n +b n ，b 1=20；③b n =22−2log 2a n ，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b .记c n =a n ∗b n ，求数列{c n }的前100项的和T 100．19. 某工厂有一批材料被预定制作“阳马”(中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体)，材料是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”.材料的尺寸如图所示，BE =1，DG =4，AB =2．(1)求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；(2)求平面AEFG与底面ABCD所夹锐角的余弦值．20.某地方舱医院的建设中，为了使得内部环境更加温馨，在儿童病区采用了如图所示的一个窗户(该图为轴对称图形)，其中上半部分曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线E1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cosx−1，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ1(t)；曲线E2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ2(t)；窗户的下半部分中，AB，BC，CD是矩形ABCD的三条边，由总长度为6米的材料弯折而成，记BC边的长度为2t米(1≤t≤32).(1)分别求函数ℎ1(t)、ℎ2(t)的表达式；(2)为了使得点O到BC边的距离最大，窗户的上半部分应选择曲线E1还是曲线E2？请说明理由，并求出此时矩形部分的BC边长度应设计成多少米．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−1,√32)，短轴的一个端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆E的方程；(2)定义k PQ为P，Q两点所在直线的斜率，若四边形ABCD为椭圆的内接四边形，且AC，BD相交于原点O，且k AC=14kBD，试判断k AB与k BC的和是否为定值.若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．22.函数m(x)=alnx+x2．(1)当a≠0时，若函数m(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)=−x2m′(x)+lnx+2x3，a∈R．(ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+n，求实数a，m的值；(ⅰ)对于曲线y=f(x)上的两个不同的点M=(x1,f(x1))，N=(x2,f(x2))，记直线)<k．MN的斜率为k，若；的导函数为f′(x)，证明：f′(x1+x22答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，又集合A={−3,−1,1，3}，所以A∩B={−1,1，2}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合交集定义的理解和应用，一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为(1+√3i2i )2=(1+√3i)2(2i)2=−2+2√3i−2=1−√3i，所以(1+√3i2i)2在复平面内对应的点的坐标为(1,−√3)，位于第四象限．故选：D．先利用复数乘法的运算法则将复数化为代数形式，然后利用复数的几何意义进行分析求解即可．本题考查了复数乘法运算法则的运用，复数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(2,3，−4)，b⃗ =(−3,x，y)分别是平面α，β的法向量，∵α//β，∴a⃗//b⃗ ，∴−32=x3=y−4，解得x=−92，y=6．故选：B．由α//β，得a⃗//b⃗ ，利用向量平行的性质能求出x，y．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：圆C 的标准方程为(x +2)2+(y −1)2=9，则圆心C(−2,1)， 因为圆C 关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则圆心C(−2,1)在直线l 上，则有−2−2a +4=0，解得a =1， 故直线l 的方程为x −2y +4=0， 所以原点O 到直线l 的距离为d =√12+(−2)2=4√55． 故选：C ．先求出圆C 的标准方程，从而得到点C 的坐标，利用圆的对称性，可知点C 在直线l 上，从而求出a 的值，得到直线l 的方程，由点到直线的距离公式求解即可． 本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆关于直线对称性问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意可知2a ≥x 2在[−2,1]上恒成立． 由函数y =x 2图象可知在[−2,1]上y 的最大值是4，∴2a ≥4， ∴a ≥2． 故选：D ．解出a 的取值集合，从选项中找其真子集可解决此题．本题考查充分不必要条件的意义、函数思想，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为1<2<e ，所以ln1<ln2<lne ，即0<p <1， 而1<3<10，所以lg1<lg3<lg10，即0<q <1， 所以p +q >p −q ，故A ，B 错误，因为0<lg3<lg1012=12，0<lne 12=12<ln2，所以p >12,0<q <12，因为p−q pq =1q −1p >0，所以p −q >pq ，故选项C 错误，综上可得，p +q >p −q >pq ，故选项D 正确． 故选：D ．利用对数函数的单调性求出0<p <1，0<q <1，从而判断选项A ，B ；再将p ，q 与特殊值0，12比较，即可判断选项C ，D ．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了利用对数的单调性将函数值与特殊值进行比较，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设a =1x +1y ，b =x +9y ，则a +b =17， ∵ab =(1x+1y )(x +9y)=9y x+x y+10≥2√9+10=16，当且仅当9y x=xy时取等号，∴ab ≥16，又∵a +b =17，∴a(17−a)≥16，即a 2−17a +16≤0，解得1≤a ≤16， ∴1≤1x +1y ≤16，∴1x +1y 的最小值为1． 故选：B ．设a =1x +1y ，b =x +9y ，得到a +b =17，再利用基本不等式求出ab ≥16，转化为a 的一元二次不等式即可求解．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，又由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则QP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 变形可得：(m +n)2−3mn =14， 又由mn ≤(m+n)24，则有(m +n)2≤1，解可得：−1≤m +n ≤1，即m +n 的取值范围为[−1,1]； 故选：A ．根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量数量积的运算性质可得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得：(m +n)2−3mn =14，结合基本不等式的性质，变形分析可得(m +n)2≤1，解可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及正三角形的性质和基本不等式的性质和应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1=1−cos2x 2+√32sin2x =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+32，当sin(2x −π6)=1，即2x −π6=π2+2kπ,k ∈Z ，即x =π3+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值52，当sin(2x −π6)=−1，即2x −π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，即x =−π6+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值12，故选项A ，C 错误，选项B ，D 正确． 故选：BD ．先利用二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)的解析式，然后利用正弦函数的最值以及整体代换，求出f(x)的最值情况，对照选项判断即可．本题考查了三角函数最值问题的求解，涉及了二倍角公式以及辅助角公式的运用，正弦函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，可得2c =4√2，即c =2√2，ba =√3，8=a 2+b 2，解得a =√2，b =√6， 所以实轴长为2√2，A 不正确；双曲线的离心率为：2√2√2=2，所以B 正确；双曲线的焦点到渐近线的距离为b =√6，所以C 正确； c −a =2√2−√2=√2>1，所以D 不正确． 故选：BC ．利用双曲线的渐近线方程以及焦距，求解a ，b ，c ，然后判断选项的正误即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A ，因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)， 令x −1=t ，则x =t +1，所以f(t)=f(t +1+1)=f(t +2)，所以对于任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)， 则函数f(x)的周期为2，故选项A 正确； 对于B ，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，所以f(43)=f(−23+2)=f(−23)=f(23)=23，故选项B 错误； 对于C ，设x ∈[1,2]，则2−x ∈[0,1]，所以f(2−x)=2−x ，因为f(2−x)=f(−x +2)=f(−x)=f(x)， 所以f(x)=2−x ，x ∈[1,2]， 因为函数g(x)=f(x)−kx −k ，所以当x ∈[1,2]时，g(x)=2−x −kx −k =−(k +1)x −k +2， 当k >−1时，k +1>0，所以−(k +1)<0， 所以g(x)在[1,2]上为单调递减函数，故选项C 正确； 对于D ，因为g(x)=f(x)−kx −k ，所以函数g(x)在[−1,3]内的零点个数等价于函数f(x)的图象与直线y =kx +k =k(x +1)在[−1,3]内交点的个数， 作出两条函数图象如图所示，在区间[−1,3]内，因为函数g(x)由4个零点，则实数k 的取值范围为0<k ≤1−03−(−1)=14，即k ∈(0,14]，故选项D 正确． 故选：ACD ．利用偶函数的性质以及周期函数的定义判断选项A ；利用周期性，将f(43)转化为f(23)，再利用已知的解析式求解，即可判断选项B ；求出f(x)在x ∈[1,2]上的解析式，从而得到g(x)在x ∈[1,2]上的解析式，由解析式即可确定函数g(x)的单调性，从而判断选项C ；将函数的零点问题转化为两个图象的交点问题，利用数形结合法进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的周期性、奇偶性、单调性的应用，函数解析式的求解，函数零点的应用，综合性强，对学生的能力要求较高，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：作出图形如图所示，对于B ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，所以AD 1⊥CD ，因为AD 1⊥A 1D ，且CD ∩A 1D =D ，A 1D ，CD ⊂平面A 1CD ，所以AD 1⊥平面A 1CD ，因为A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1C ⊥AD 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，因为AB 1∩AD 1=A ，AB 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1，因为P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，则PB 1⊂平面AB 1D 1，因为平面AB 1D 1∩平面ADD 1A 1=AD 1， 所以P ∈线段AD 1，故选项B 正确；对于A ，因为在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD//C 1D 1，且AB =CD =C 1D 1， 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形，故AD 1//BC 1，又AD 1⊄平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，所以AD 1//平面BC 1D ， 同理可证AB 1//平面BC 1D ，又AB 1∩AD 1=A ，AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1//平面BC 1D ，又B 1P ⊂平面AB 1D 1，故B 1P//平面BC 1D 1，故选项A 正确；对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，所以AB1=B1D1=AD1=√2，故△AB1D1是边长为√2的正三角形，所以|PB1|∈[(√2)，故|PB1|∈[√62,√2]，故选项C错误；对于D，在在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ADD1A1//平面BCC1B1，所以PB1与平面BCC1B1(即平面BC1)所成的角等于PB1与平面ADD1A1所成的角，连结A1P，因为A1B1⊥平面ADD1A1，所以∠B1PA1就是PB1与平面ADD1A1所成的角，因为√22≤A1P≤1，所以在Rt△B1A1中，B1P=√A1B12+A1P2=√1+A1P2∈[√62,√2]，所以sin∠B1PA=|A1B1||B1P|=1|B1P|∈[√22,√63]，因为√32>√63，所以PB1与平面BC1所成角的正弦值不可能是√32，故选项D错误．故选：AB．利用线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理和性质定理即可判断选项A；利用平面的基本定理判断选项B；利用△AB1D1是边长为√2的正三角形，求解|PB1|的范围，即可判断选项C；利用线面角的定义找到对应的角，然后由边角关系求解，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识的综合应用，涉及了线面位置关系，点与直线位置关系，线面角等知识的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．13.【答案】4π3【解析】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：2，故R=1，所以该球的体积为43πR3=4π3．故答案为：4π3．正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长，即可求出该球的体积．本题是基础题，考查球的体积，确定与正方体的棱相切球的半径，是解决本题的关键．14.【答案】2√3【解析】解：建立如图所示的坐标系：直线l 方程为：x =−√32，A(√32,0)，B(3√32,0)， 弧线PQ 的方程为，y 2=2√3x ，由抛物线的定义可知点M 到点A 的距离与到直线l 的距离相等， 故当直线BN 垂直直线l 且与曲线PQ 相交于点M 时MB +MA 的值最小， 此时最小值为2√3， 故答案为：2√3．利用题中的条件，建立直角坐标系，转化成抛物线的问题，进而可以解决．本题考查了抛物线的定义，学生的逻辑推理能力，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,−1]∪[2,+∞)【解析】解：由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，可得T n =14(1−15+13−17+15−19+...+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3) =14(1+13−12n+1−12n+3)=13−14(12n+1+12n+3)<13， 任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立， 可得a 2−a ≥6×13， 解得a ≥2或a ≤−1，则a 的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[2,+∞)．由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，运用数列的裂项相消求和可得T n ，由不等式的性质可得T n <13，由不等式恒成立思想，结合二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】1 [13π6,19π6)【解析】解：当x ∈[0,π]时，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，由于函数f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点，则2π≤ωπ−π6<3π， ∴136≤ω<196，∴ω的取值范围为[13π6,19π6).令t =ωx −π6，则2π≤t <3π，作出函数y =sint 在区间[−π6,ωπ−π6]上的图象如图所示，∴函数f(x)在[0,π]上有且仅有1个极小值点． 故答案为：1，[13π6,19π6).由x ∈[0,π]可得，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，根据题意可得2π≤ωπ−π6<3π，令t =ωx −π6，作出函数y =sint 的图象，利用数形结合即可．本题考查了正弦型函数求解零点的个数问题，涉及到换元法，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为cosB =35，所以sinB =45，由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2accosB ，即25=a 2+c 2−65ac ≥2ac −65ac ， 当且仅当a =c 时取等号， 故ac ≤1254，所以S =12acsinB ≤12×1254×45=252，所以△ABC的面积的最大值为252；(2)因为√2csin B+C2=asinC，由正弦定理得√2sinC⋅sinπ−A2=sinA⋅sinC，因为sinC≠0，所以√2sinπ−A2=sinA，即√2cos A2=sin A2⋅cos A2，又cos A2≠0，故sin A2=√22，则A=90°，又因为sinB=45=ba，所以a=254，则c=a⋅cosB=254⋅35=154，故周长为a+b+c=254+5+154=15．【解析】(1)由同角三角函数关系求出sin B，由余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，利用三角形的面积公式求解即可得到答案；(2)利用正弦定理将已知的等式边化角，再利用三角恒等变换进行化简，求出角A，利用边角关系求出a，c，即可得到△ABC的周长．本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式求最值的应用，三角恒等变换以及三角形面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知得，{a n}为等比数列，公比为q=2，则a1+2a1+22a1=14∴a1=2∴a n=2n选择①当n=1时，b1=B1=20，当n≥2时，b n=B n−B n−1=22−2n，∴b n=22−2n．选择②B n+1−B n=b n−2，即b n+1=b n−2，所以{b n}是首项为20，公差−2的等差数列，∴b n=22−2n．选择③b n=22−2log22n=22−2n．(2)由(1)知：c n=a n∗b n={2n,1≤n≤322−2n,n≥4(n∈N∗)所以，T 100=a 1+a 2+a 3+b 4+b 5+b 6+⋅⋅⋅+b 100=a 1(1−q 3)1−q+97(b 4+b 100)2=2(1−23)1−2+97(14−178)2=24−2−7954=−7940．【解析】(1)由已知得，{a n }为等比数列，公比为q =2，求出通项公式， 选择①，利用b n =B n −B n−1求解通项公式即可．选择②B n+1−B n =b n −2，推出{b n }是首项为20，公差−2的等差数列，求解通项公式． 选择③，利用已知条件化简求解即可．(2)利用新定义，化简通项公式，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设点F(0,0，ℎ)，且有A(2,2，0)，G(2,0，4)，E(0,2，1)，因为几何体是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的， 所以平面ADG//平面BCFE ，又平面ADG ∩平面AEFG =AG ，平面BCFE ∩平面AEFG =EF ， 所以AG//EF ，同理AE//GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(0,−2,4)=(0,−2,ℎ−1)，得ℎ=5 易知制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ， 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+4+25=√33， 所以FA 的长为√33．(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 由(1)知，AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,4)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1) 设平面AEFG 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则由{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2y +4z =0−2x +z =0，即{y =2z x =z 2 令z =2，所以n⃗ =(1,4,2)，所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1×√1+16+4=√21=2√2121， 所以平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值为2√2121．【解析】(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.判断四边形AEFG 是平行四边形．说明制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ，利用空间向量的距离公式求解即可．(2)求出平面ABCD 的一个法向量，平面AEFG 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值即可．本题考空间点、线、面距离的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)曲线E 1解析式为y =cosx −1，所以点D 的坐标为(t,cost −1)，点O 到AD 的距离为1−cost ，而AB =DC =3−t ，则ℎ1(t)=(3−t)+(1−cost)=−t −cost +4，(1≤t ≤32)， 关于曲线E 2，可知抛物线的方程为x 2=−94y ．所以点D 的坐标为(t,−49t 2)，点O 到AD 的距离为49t 2， 又AB =DC =3−t ，可得ℎ2(t)=49t 2−t +3(1≤t ≤32)． (2)因为ℎ′(t)=−1+sint <0， 所以ℎ1(t)在[1,32]上单调递减，所以当t =1时，ℎ1(t)取得最大值为3−cos1． 又ℎ2(t)=49t 2−t +2(1≤t ≤32)二次函数开口向上，在[1,98]上单调递减，在[98,32]上单调递增， 当t =32时，ℎ2(t)取得最大值为52经比较，cos1>cos π3=12，所以3−cos1<3−12=52 所以，选用曲线E 2，满足点O 到BC 边的距离最大， 此时2t =3，即矩形部分的BC 边长度设计成3米．【解析】(1)利用题中的条件易解出ℎ1(t)，ℎ2(t)，即可解出； (2)由(1)知分别对两个函数进行求导，解出最值，即可解决．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−1,√32)，所以1a 2+34b 2=1， 又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为2，即a =2， 联立方程{1a 2+34b 2=1a =2．解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)k AB +k BC =0.理由如下：设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， ∴△=(8km)2−4(4k 2+1)×4(m 2−1)=16(4k 2−m 2+1)≥0，{x 1+x 2=−8km1+4k 2x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2， 因为k AC =14k BD，所以k OA k OB =14，所以4y 1y 2=x 1x 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， ∴(4k 2−1)x 1x 2+4km(x 1+x 2)+4m 2=0． ∴(4k 2−1)4(m 2−1)1+4k 2+4km −8km1+4k 2+4m 2=0．整理得4k 2=1，∴k =±12， ∵A ，B ，C ，D 可以轮换，∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是−12， ∴k AB +k BC =0．【解析】(1)利用椭圆过点P(−1,√32)，结合短轴的一个端点到焦点的距离为2，求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率，推出结果即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)函数m(x)=alnx +x 2(a ≠0)的定义域为(0,+∞)，∴m′(x)=ax +2x =2x 2+a x，①当a >0时，m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增， 取x 0=e −1a ，则(e −1a )=−1+(e −1a )2<0，因为m(1)=1，所以m(x 0)m(1)<0，此时函数m(x)有一个零点， ②当a <0时，令m′(x)=0，解得x =√−a2，当0<x <√−a2时，m′(x)<0，所以m(x)在(0,√−a2)m′(x)<0上单调递减，当x >√−a2时，m′(x)>0，所以m(x)在(√−a2,+∞)上单调递增，要使函数m(x)有一个零点，则m(√−a 2)=aln √−a 2−a2=0，即ln(−a2)=1，解得：a =−2e ，综上，若函数m(x)恰有一个零点，则a =−2e 或a >0． (2)(ⅰ)∵f(x)=lnx −2a ，∴f′(x)=1x −a ，∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =2x +m ， ∴{f′(1)=1−a =2f(1)=−a =2×1+m ，解得：{a =−1m =−1； (ⅰ)证明：f(x 1)−f(x 2)=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)， k =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2x 1−x 2−a ，又f′(x)=1x −a =1−ax x，f′(x 1+x 22)=2x 1+x 2−a ，f′(x 1+x 22)−k =2x1+x 2−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x1−x 2[2(x 1−x 2)x 1+x 2−ln x 1x 2]=1x1−x 2[2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x1x 2]，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，即2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt ．令ℎ(t)=2(t−1)t+1−lnt(t >1)，则ℎ′(t)=−(t−1)2(1+t)2t <0，因此ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 又0<x 2<x 1，所以x 1−x 2>0，所以f′(x 1+x 22)−k <0，即f′(x 1+x 22)<k ．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a 的范围即可；(2)(i)结合切线方程得到关于a ，m 的方程组，解出即可； (ii)表示出k ，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，得到2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt.令ℎ(t)=2(t−1)−lnt(t>1)，求出函数ℎ(t)的导数，结合函数的单调性证明即可．t+1本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
2020-2021学年山东省东营市胜利一中高二上学期12月份质量检测数学(解析版)
胜利一中2019级高二年级12月份质量检测考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆2241x y +=的长轴长为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．4 2. 在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( ) A. 1-B. 1C.D.733．“2<m<6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若m α⊂，m n ⊥，则n α⊥ B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则m n ⊥ D ．若//m α，n β⊥，//αβ，则m n ⊥ 5．直线cos 40x y α--=的倾斜角的取值范围是（ ） A.0,B. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭6. 美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种 A ．216 B ．180C ．120D ．967. 已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡123，D.⎥⎦⎤ ⎝⎛220，8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 在棱AB 上，且1AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为16，则动点P 到B 点的最小值是（ ）．A ．72B ．22C ．6D ．2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省新高考联合质量测评2024届高三上学期12月联考数学试题
植物第
1
代开粉红色花和黄色花的概率都是
1 2
，从第
2
代开始，若上一代开粉红色的花，
则这一代开粉红色的花的概率是 3 ，开黄色花的概率是 2 ；若上一代开黄色的花，则这
5
5
一代开粉红色的花的概率为
1 5
，开黄色花的概率为
4 5
．设第
n
代开粉红色花的概率为
Pn
．
(1)求第 2 代开黄色花的概率；
(2)证明：
AC 和 CC1 的中点，D 为棱 A1B1 上的点，设 B1D m ， BF A1B1 ．
试卷第 3页，共 4页
(1)证明： BF DE ； (2)当 m 为何值时，平面 BB1C1C 与平面 DEF 的夹角的余弦值最大．
20．已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ， 2 Sn an 1 ；数列bn是递增的等比数列，
3 人分到同一项目中的情况有
种．（用数字作答）
14．若将上底面半径为 2，下底面半径为 4 的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球
的表面积为
．
15．设函数
f
x
2 sin
x
π 3
1
（
0 ）在区间 0, π
内恰有两个零点，则
的取
值范围是
．
16．函数 f x sin x ln 2x 5 的所有零点之和为
境，超过 50 分贝将对人体有影响，90 分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰
弱等疾病.如果强度为 v 的声音对应的分贝数为 f v （dB），那么满足：
f
v
10
lg
v 11012
.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～
2022-2023学年山东省潍坊市高二上册12月四校联考数学试题(含解析)
2022-2023学年山东省潍坊市高二上册12月四校联考数学试题本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线经过两点(2,),(,1)--A m B m m 且倾斜角为135︒，则m 的值为A ．2B ．32C ．1D ．32-2．抛物线22y x =-的焦点坐标为A ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭3.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，点N 为AB 中点，则MN =A ．112223a b c +-r r r B ．111222a b c+- C ．121232a b c -+ D ．211322a b c-++ 4.若圆22:2410A x y x y +-++=与圆22:(4)(2)B x y λ-+-=相切，则λ的值为A ．3B ．9C ．3或7D ．9或495.为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有A ．540B ．240C ．150D ．1206.点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为A.233B.2C.3D.57.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCD A -中，AB ⊥面BCD ，CD BC ⊥，且CD BC AB ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．32B ．43C ．33D ．428.设P 是椭圆2212516x y +=上一点，M ，N 分别是圆221:(3)1C x y ++=和222:(3)4C x y -+=上的点，则PM PN +的最大值为A.13B.10C.8D.7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知方程221169x y m m+=-+，则A ．(9,16)m ∈-时，方程表示椭圆B ．0m =C ．16(),m ∈+∞时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线D ．11m =-时，所表示曲线的渐近线方程为y x =10．已知,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，给出下列命题中正确的是A ．若,//,m n αα⊥则m n ⊥B ．若//,m n n β⊂则//m βC ．若//,//,//m n αβαβ，则//m nD ．若,//,m m βα⊥则αβ⊥11.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角60θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是A ．椭圆的长轴长为8B ．椭圆的离心率为2C ．椭圆的离心率为12D ．椭圆的一个方程可能为2216416x y +=12．平面内到定点()0,2F 的距离比到直线l ：1y =-的距离大1的动点的轨迹为曲线C，则A ．曲线C 的方程为28x y =B ．点P 是该曲线上的动点，其在x 轴上的射影为点Q ，点A 的坐标为()41-,，则PA PQ +的最小值为5C ．过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两点，若2AF FB =，则9AB =D ．点M 为直线2y =-上的动点，过M 作曲线C 的两条切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则12OA OB ⋅=-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆221:(2)(1)1C x y -+-=与圆222:4C x y +=相交，则它们交点所在的直线方程为_________.14.已知双曲线1C ：22148x y-=，与1C 共渐近线的双曲线2C 过()2,4，则2C 的方程是________.15.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m .若水面下降1m ，则水面宽度为______m .16.设1,F 2F 为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的两个焦点，点P 在C 上，e 为C 的离心率.若12PF F △是等腰直角三角形，则e =________；若12PF F △是等腰钝角三角形，则e 的取值范围是________.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题10分）已知圆C:()2215x y +-=，直线:10.l mx y m -+-=（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，若AB l 的方程.18．（本题12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=0a >0b >的实轴长为8，离心率54e =.（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l 与双曲线C 相交于,P Q 两点，弦PQ 的中点坐标为()8,3A ，求直线l 的方程.19．（本题12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1CD A ；（2）若12AA AC CB ===，AB =1A CDE -的体积．20.（本题12分）在①02PF x =+；②0024y x ==；③PF x ⊥轴时，4PF =这三个条件中任选个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且______.（1）求抛物线C 的标准方程.（2）若直线:10l x y --=与抛物线C 交于,A B 两点，求ABF ∆的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21.（本题12分）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，2BC =，4AB =，60ABC ∠= .（1）求证：BE ⊥平面ACE ；（2）若直线CE 与平面ABC 所成的角为45 ，求二面角E AB C --的余弦值.22．（本题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆的左焦点1F 作直线l ，且直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，问x 轴上是否存在一点M ，使得MP MQ ⋅为常数，若存在，求出M 坐标及该常数，若不存在，说明理由．答案及评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5CAADC6-8ACA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BC10.AD11.BD11.BD12.ACD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.240x y +-=14.22184y x -=15.16.22或1,11,132⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）直线()110m x y --+=，经过定点()1,1，()221115+-<，............3分∴定点在圆内，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点 (5)分（2）由圆心()0,1到直线10mx y m -+-=的距离d ==， (6)分而圆的弦长AB ==即=2117441m ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，23m =，解得m =，............9分10y -+-=或10.y -+=.................10分18.解:（1）由题意可得2222854a c e a c b a =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：435a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C 的方程为.221169x y -=............................4分（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为弦PQ 的中点坐标为()8,3A ，所以1216x x +=，126y y +=，.....................5分将点()11,P x y ，()22,Q x y 代入双曲线221169x y -=可得：2211222211691169x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得.22221212169x x y y --=...............................7分即()()()()21212112169x x y y y x x y ++-=-，所以()()1212166169y x x y =--， (10)分所以直线l 的斜率为：12219362y y k x x --===，所以直线l 的方程为：()3382y x -=-即32180x y --=.............................12分19.（1）证明:若O 是11,AC A C 的交点，连接OD ，由111ABC A B C -为直棱柱知：O 是1AC 的中点，且D 为AB 的中点．..............2分∴1ABC 中有1//OD BC ，.................4分又OD ⊂面1CD A ，1BC ⊄面1CD A ，∴1//BC 平面1CD A ；...................6分（2）由题设，222AC BC AB +=，即ABC 为等腰直角三角形，则CD AB ⊥，....................7分∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC面11ABB A AB =，CD ⊂面ABC ，∴CD ⊥面11ABB A ，即CD ⊥面1A DE ，.............8分由11A CDE C A DE V V --=，由上知：CD 是面1A DE 上的高且CD 2=，又16A D =，3ED =，13A E =.............9分∴22211A D ED A E +=，故1A DE 是直角三角形，则11326322A DES=⨯⨯=，....................11分∴111113A CDE C A DE A DE V V CD S --==⋅=..........................12分20.（1）解：选择条件①.由抛物线的定义可得02p PF x =+.因为02PF x =+，所以0022px x +=+，解得4p =..........................3分故抛物线C 的标准方程为28y x =............................................4分选择条件②.因为0024y x ==，所以02x =，04y =，..............................1分因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2002y px =，即164p =，解得4p =，............3分所以抛物线C 的标准方程为28y x =..............................................4分选择条件③.当PF x ⊥轴时，422p pPF =+=，所以4p = (3)分故抛物线C 的标准方程为28y x =.................................................4分（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）可知()2,0F .............................5分由2108x y y x --=⎧⎨=⎩，消去y 得21010x x -=+，..........................................6分则1210x x +=，121=x x ，...................................................7分所以()212121249646x x x x x x -=+-==，.....................8分又111y x =-，221y x =-，所以1212y y x x -=-，....................................9分故()()()222121212122283AB x x y y x x x x =-+-=-=-=.....10分因为点()2,0F 到直线:10l x y --=的距离212211d -==+，.........................11分所以ABF 的面积为1128326222S AB d =⋅=⨯⨯=...............................12分21.解：（1）在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 12AC BC AB AB BC ABC =+-⋅∠=，..1分222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥， (2)分又平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =，AC ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面BCDE ，又BE ⊂平面BCDE ，BE AC ∴⊥， (4)分BE EC ⊥ ，AC EC C =I ，,AC EC ⊂平面ACE ，BE ∴⊥平面ACE ；................6分（2）作EF BC ⊥于点F ，平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =，EF ⊂平面BCDE ，EF ∴⊥平面ABC ，EAF ∴∠即为直线CE 与平面ABC 所成的角，45EAF ∴∠= ，又BE EC ⊥，∴BCE 为等腰直角三角形，F ∴为BC 中点，过F 作//FG AC ，交AB 于G ，则G 为AB 中点，FG BC ∴⊥，则,,EF BF FG 两两互相垂直，则以F 为坐标原点，,,FB FG FE为,,x y z 轴可建立如图所示空间直角坐标系， (8)分则()0,0,1E ，()1,0,0B，()1,A -，()1,0,0C -，()2,AB ∴=-，()1,EA =-，EF ⊥ 平面ABC ，()0,0,1m ∴= 是平面ABC 的一个法向量；.......................9分设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则200n AB x n EA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得：x =z =，n = ， (10)分cos ,m n m n m n⋅∴<>===⋅分由图形可知，二面角E AB C --为锐二面角，∴二面角E AB C -- (12)分22.解（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得，2a c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，.......................................3分所以2222b a c =-=，........................................4分故椭圆C 的方程为22132x y +=； (5)分（2）由（1）可知，1(1,0)F -，假设在x 轴上存在一点(,0)M t ，使得MP MQ ⋅恒为常数．①当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =+，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程组22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(23)6360k x k x k +++-=，所以2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+，.........................................5分故212121212()()()()(1)(1)MP MQ x t x t y y x t x t k x x ⋅=--+=--+++ 22221212(1)()()k x x k t x x k t =++-+++22222222222(1)(36)()6(61)6232323k k k t k t k k t tk k k +--⋅--=-++=++++2222211616(2)(23)(4)41333223323t k t t t t t k k -+-++=+=+--++，.................7分因为MP MQ ⋅ 是与k 无关的常数，则有16403t +=，即43t =-，此时119MP MQ ⋅=- ；.................................9分②当直线l 与x 轴垂直时，此时点P 、Q的坐标分别为(-，(1,-，当43t =-时，亦有119MP MQ ⋅=- ....................................11分综上所述，在x 轴上有在定点4(,0)3M -，使得MP MQ ⋅ 恒为常数，这个常数为119-． (12)分。
山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高一年级12月联考试题
山东新高考质量测评联盟12月联考试题高一数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{2,0,2}M =-，{}2N x x =<，则M N =A ．{2,0,2}-B ．{0}C ．{}22x x -≤≤D ．{}2x x ≤2．已知:2p x ∀<，390x -<，那么p ⌝是 A ．2x ∃≥，390x -≥ B ．2x ∀≤，390x -> C ．2x ∀>，390x ->D ．2x ∃<，390x -≥ 3．不等式260x x +-<的解集为 A ．(2,3)- B ．(3,2)- C ．(,2)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(2,)-∞-+∞4．下列函数在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．1()2f x x =-+B ．1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2()log f x x =-D ．2()1f x x x =-+5．幂函数1y x -=，y=x 及直线y=1，x=1将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，V ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数54y x -=的图像在第一象限中经过的“卦限”是A ．Ⅳ和ⅦB ．Ⅳ和ⅧC ．Ⅲ和ⅦD ．Ⅲ和Ⅷ6．某人的智能手机密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是 A ．201126 B ．210612 C ．110631 D ．1206217．若正实数a ，b 满足339log log log ()a b =+，则a+b 的最小值是 A ．2 B ．4 C ．6D ．88．已知m ，n 为正实数，且11221m n +=，则下列不等式一定成立的是A ．n m m n ≥B ．n m m n ≤C ．12m n m n +<D ．12m n m n +> 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知实数a ，b ，c ，且a>b ，则下列不等式中一定成立的是A ．22a b --<B ．||||a c b c >C ．1122log log a b <D ．2211a bc c >++ 10．下列说法正确的是 A ．函数1()1f x x =+在定义域上为减函数 B ．“21x ≠”是“1x ≠”的充分不必要条件C ．幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数的一个充分条件是1α>D ．0<n<m 是log 2log 20m n <<的必要不充分条件11．中国传统文化中有很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的数学之美．现给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“和谐函数”，下列命题正确的是A ．对于任意一个圆O，其“和谐函数”有无数个B ．函数13()f x x =不是任何一个圆的“和谐函数”C ．函数(()ln f x x =+可以是某个圆的“和谐函数”D ．函数()y f x =是“和谐函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形12．已知函数1()1x x a f x a -=+（a>0且1a ≠），则下列结论正确的是A ．x ∀∈R ，等式()()0f x f x -+=恒成立B ．若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠C ．[0,)m ∀∈+∞，方程|()|f x m =有两个不相等的实根D ．存在无数多个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-有三个零点 三、填空题：13．函数()f x =________．14．方程242480x x -⨯-=的解为________． 15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上单调递增，且有(1)0f -=，则不等式(2)()0x f x -⋅-≤的解集为________．16．已知函数21341,0,()log ,0,x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则实数a 的取值范围是________，()4122343x x x x x ⋅++⋅的最大值是________． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．化简并求值：（11220.25316(8)849-⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭（2）ln 28274lg lg12.5log 9log 8e 5-+-⋅+．18．已知302x A x x ⎧-⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}240B x x =-<．（1）求()A B R；（2）已知函数2()1f x x kx =-+，从①(0,)x ∀∈+∞，都有()0f x ≥成立，②[1,2]x ∃∈，使得f （x ）<0成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答． 问题：记:()p k A B ∈⋃R，q ：________，若p 为假，q 为真，求实数k 的范围．（若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分） 19．函数()22()x x f x a a -=⋅+∈R ．（1）当a=0时，求函数()21y f x =-的值域；（2）当x<0时，函数()4y f x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．20．“凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物．某市2019年底为了净化某水库的水质，引入“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，2020年1月底“凤眼蓝”覆盖面积为16m ²，到了4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为54m ²，“凤眼蓝”覆盖面积y （单位：m ²）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型x y ka =（k>0且a>1）与2(0)y mx n m =+>可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）经测得2020年5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为80m ²，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到640m ²时的最小月份．（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈） 21．已知()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，且()11f -=，若对任意的m ，[1,1]n ∈-，0m n +≠，都有()(()())0m n f m f n ++<．（1）判断并证明()f x 的单调性；（2）解不等式(1)(21)0f x f x ++--<；（3）若不等式()22f x at ≥--对于任意x ，[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围． 22．已知()()ln e 1x f x kx =+-是R 上的偶函数，其中e 为自然对数的底数． （1）求实数k 的值； （2）设()2()ex f x g x +=，求函数22e e 2(()())()x x y g x g x λλ-=+---∈R 在[0,)x ∈+∞的最小值；（3）已知()h x 为()g x 的反函数，设a>0，若对任意的1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x ，2[,1]x b b ∈+，不等式121111ln 4h a h a x x ⎛⎫⎛⎫++-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．。
山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期12月联合调研检测数学试题
解： ，
为实数， ，
，解得 ．
故选： ．
3．C
【分析】
将 两边平方可得， ，再根据数量积的定义可知，“ ”是“ ”的充要条件．
【详解】
解：因为 ， 等价于 ，由数量积的定义可知， 等价于 ，
故“ ”是“ ”的充要条件．
故选： ．
4．B
【分析】
求出样本中心坐标代入回归直线方程，求解即可．
【详解】
则有 种选法，
故选： ．
7．A
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的定义域、奇偶性以及f(x)函数值的符号,验证与函数图象是否一致，综合可得答案.
【详解】
对于 ， ，有 ，解可得 ，即 的定义域为 ，
又由 ， 为奇函数，
在区间 上， ， ， ，
在区间 上， ， ， ，符合题意，
对于 ， ，有 ，解可得 ，即 的定义域为 ，
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）是否存在实数 ，使得 在 上的最小值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
20．在四棱台 中，底面 是边长为2的菱形， ， ， ， ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
21．潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案：
2021届山东省中学联盟高三上学期12月大联考数学试卷及答案
2021届山东省中学联盟高三上学期12月大联考数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知全集为R ,集合{}211,6802x A x B x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则R A C B ⋂=A. {}0x x ≤B. {}24x x ≤≤C. {}024x x x ≤<>或D. {}024x x x <≤≥或 2.已知a 是实数,1a ii-+是纯虚数,则a =A. 1B.1- D. 3.“18a =”是“对任意的正数x ,21ax x+≥”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若tan3θ=,则sin2cos3sin cosθθθθ-=+A.110B.45- C.25D.310-5.已知向量()()2,4,1,a b n==,若a b,则3a nb-=A. 8B.12C. 45D. 56. 函数2()ln2xf xx-=+的图象大致为7.朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙,虽然贵为藩王世子,却自幼俭朴敦本,聪颖好学,遂成为明代著名的律学家、历学家、音乐家. 朱载堉对文艺的最大贡献是他创建了十二平均律,亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份,也就是说,半音比例应该是1122. 如果12音阶中第一个音的频率是F,那么第二个音的频率就是1122F,第三个音的频率就是2122F,第四个音的频率就是3122F,......,第十二个音的频率是11122F,第十三个音的频率是12122F,就是2F. 在该问题中,从第二个音到第十三个音,这十二个音的频率之和为A. 2FB. 121212112F - C. 112121F - D. 112112221F -8. 如图,在四面体ABCD 中,3,11,23AB CD AC BD AD BC ======,ABC ∆的重心为O ,则DO =A. 2B. 43C. 83D. 3二、多项选择题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。