(精品)材料力学课件：扭转 (2)
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材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
浙江大学材料力学乙-第七讲-扭转2
T (1 )
2
d 02 t (1 2 )
T (1 ) 1 2 A0 t (1 2 ) 1 2
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题2
一厚度为30 mm、内直径为230 mm t d 的空心圆管，承受扭矩T=180 kN· m。 试求管中的最大切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 d0 解： （4）精确解 2 2 max 1 ( 1) err 1 1 max max 1 1 1
-0.025 -0.05 -0.075 -0.1 -0.125
d
d0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
即当 t
r0 10
-0.15
，可视为薄壁圆筒。
-0.175 -0.2
err
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3
图示阶梯圆轴， AB 段的直径 d1 = MA 120 mm ， BC 段的直径 d2 = 100 mm 。 扭 转 力 偶 矩 为 MA = 22 kN· m，MB = 36 kN· m ，MC =14 A kN· m . 已知材料的许用切应力[] T 22 kN· m = 80 MPa，试校核该轴的强度。 + 解： （1）做轴的扭矩图 分别校核两段轴的强度
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题2
一厚度为30 mm、内直径为230 mm t 的空心圆管，承受扭矩T=180 kN· m。 试求管中的最大切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 解： （1）利用薄壁管的近似理论可求得
d
d0
d0 d t 230 30 260mm
2
d 02 t (1 2 )
T (1 ) 1 2 A0 t (1 2 ) 1 2
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题2
一厚度为30 mm、内直径为230 mm t d 的空心圆管，承受扭矩T=180 kN· m。 试求管中的最大切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 d0 解： （4）精确解 2 2 max 1 ( 1) err 1 1 max max 1 1 1
-0.025 -0.05 -0.075 -0.1 -0.125
d
d0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
即当 t
r0 10
-0.15
，可视为薄壁圆筒。
-0.175 -0.2
err
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3
图示阶梯圆轴， AB 段的直径 d1 = MA 120 mm ， BC 段的直径 d2 = 100 mm 。 扭 转 力 偶 矩 为 MA = 22 kN· m，MB = 36 kN· m ，MC =14 A kN· m . 已知材料的许用切应力[] T 22 kN· m = 80 MPa，试校核该轴的强度。 + 解： （1）做轴的扭矩图 分别校核两段轴的强度
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题2
一厚度为30 mm、内直径为230 mm t 的空心圆管，承受扭矩T=180 kN· m。 试求管中的最大切应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 解： （1）利用薄壁管的近似理论可求得
d
d0
d0 d t 230 30 260mm
材力讲稿第3章扭转1-2
内外径之比
Wp =
Ip D/2
=
π
16
D 3 (1 − α 4 )
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形
Tρ τ ρ = Gρθ = Ip
T
由两种不同材料组成的圆轴， 讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材 料的剪切弹性模量分别为G 料的剪切弹性模量分别为 1和G2，且G1＝2G2。圆轴 尺寸如图中所示。 尺寸如图中所示。 圆轴受扭时， 外层之间无相对滑动。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中( 、 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D) 、 、 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
T
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 观察到的变形现象 （1）A ） B C D A B C ∴横截面上存在切应力！ 横截面上存在切应力！ D
（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 圆周线大小、位置、形状、间距保持不变， 对转动。 对转动。 ∴横截面上不存在正应力！ 横截面上不存在正应力！
薄壁圆轴的扭转 扭 转/薄壁圆轴的扭转
薄壁圆轴两端截面之间相对 转动的角位移， 转动的角位移，称为 相对扭
m
A B
γ
D C
m
ϕ
转角 ，用ϕ 表示。 表示。
薄壁圆轴表面上每个格子的直 角的改变量，称为 切应变。 角的改变量， 用 γ 表示 。
(c)
A D
横截面上没有正应力，只有切应力。 横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向， 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的(壁厚较小 。 是均匀分布的 壁厚较小)。 壁厚较小
材料力学-第四章 扭转_2
T
T 6b 3T TS 2 2 2 2 4G 4G ( 2b ) 8Gb 3
1 2b 2
1 4b 2 2 2 3
结论 若将开口件加工为闭口件，将极大地提高构件的扭转
强度和刚度。
本 章 作 业
4-5，4-10， 4-13，4-29 4-16， 4-17 ， 4-19 4-21（c），4-23 4-32，4-34
max
T h b2 T [ ] 2 0.246 2b b
取 b = 45 mm。
6 T 3 10 b 3 3 44.3 0.492[ ] 0.492 70
由 h / b = 2 查表得 = 0.229
T 3 10 6 2 1 2 10 m G 2b b 3 80 103 0.229 2 454
闭口薄壁杆件切应力分析
F
dx dx
x
0
1 1dx 2 2 dx 0
1
1
2
x
2
1 1 2 2
dFS ds
Const
dT ds
T ds ds 2
S S
闭口薄壁杆件切应力
ds dFS
例 正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转。在强度相同
长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。
转矩 T 在矩形边中点引起最大切应力。 max 由正方形 h / b = 1
T h b2
3
查表得 = 0.208
圆轴
max
T [ ] 3 0.208b
16T d π[ ]
2.约束扭转
材料力学 扭转(2)
2. 刚度校核
1
M d n1 dx 1 GIp
2
M d n2 dx 2 GI p
M n1 d 因 M n1 M n 2 故 max 1 GI p dx max
max
180 N m 180 0.43 ( ) / m [ ] (80109 Pa)(3.0 105 10-12 m 4 ) π
§4-5 扭转扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转变形（相对扭转角）
d M n dx GI P Mn d dx GI P d M n dx GI P
扭转变形与内力计算式
Mn Mn
Mn L dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
扭转角单位：弧度（rad） GIP——抗扭刚度。
2.绘扭矩图
7640 N m
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
A M e1
( )
M e2
d 2 M e3
C
max
3
16M n 3 d1
3
B
4580 N m
16M n d1 π[ ]
16 7640 π 70 106
82.2 103 m 82.2mm
n
3）等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 N m m。
从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：
M n x dx AB 截面相对扭转角为： l d l GI p
M n x dx d GI p
4）变截面圆杆，A、B 两端直径 分别为 d1、d2 。
解： 1.外力
P M e1 9549 1 n
1
M d n1 dx 1 GIp
2
M d n2 dx 2 GI p
M n1 d 因 M n1 M n 2 故 max 1 GI p dx max
max
180 N m 180 0.43 ( ) / m [ ] (80109 Pa)(3.0 105 10-12 m 4 ) π
§4-5 扭转扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转变形（相对扭转角）
d M n dx GI P Mn d dx GI P d M n dx GI P
扭转变形与内力计算式
Mn Mn
Mn L dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
扭转角单位：弧度（rad） GIP——抗扭刚度。
2.绘扭矩图
7640 N m
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
A M e1
( )
M e2
d 2 M e3
C
max
3
16M n 3 d1
3
B
4580 N m
16M n d1 π[ ]
16 7640 π 70 106
82.2 103 m 82.2mm
n
3）等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 N m m。
从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：
M n x dx AB 截面相对扭转角为： l d l GI p
M n x dx d GI p
4）变截面圆杆，A、B 两端直径 分别为 d1、d2 。
解： 1.外力
P M e1 9549 1 n
材料力学扭转PPT课件
方向如图所示
Nm
MB
MC
MA
MD
14
材
料 力
外力偶矩、扭矩和扭矩图
学
Mechanics of Materials
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
B
C
A
主动轮 D
13
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549 PA n
11.68 103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68 103
材 料 力 学
Mechanics of Materials
第四章 扭转
1
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
工程实例
2
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
受力特点：两个等值反向的 力偶矩分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点：杆件的各横截面 绕杆的轴线发生相对转动
12
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
例 如图所示的传动轴的转速n=300转 /分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动 轮B、C及D的输出功率分别为 PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴 的扭矩图，并确定最大扭矩Tmax及其所在位
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学扭转第2节 扭矩和扭矩图
• 假截留半； • 内力代换； • 内外平衡。
例4-1 如图所示，传动系统的主轴ABC，其转速
n 1450r/min，输入功率 PA 100kW，输出功率PB 80kW，PC 20kW，不计轴承摩擦等功率消耗。并画
扭矩图。
解：1）计算外力偶矩
MA
9550
PA n
659 N m
MB
9550
PB n
527 N m
MC
9550 PC n
132 N m
2）用截面法求扭矩 a）取1-1截面左侧
T11 M 659 N m
b）取2-2截面右侧
T22 M C 132 N m
3）作出扭矩图如图
1 1
T1 T
659 Nm
2 2
3）作出扭矩图如图
3kNm
扭矩图的简捷画法
• 在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。
• 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
T2
132 Nm
例4-2 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩 1）取1-1截面左侧
T11 M 3 kN m
2）取2-2截面右侧
= 3kNm 1
= 5kNm = 2kNm
2
1
2
2kNm
T
T22 M C 2 kN m
（a）
（b）
三、扭矩图
• 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位
置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。
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横截面上剪应力
T
IP
验证?
Page13
➢ 圆轴横截面上最大扭转切应力
T
IP
max
圆轴扭转最大切应力：
max
TR IP
T IP / R
定义
WP
IP R
max
T WP
Page14
公式的适用范围
max
T WP
● 材料在比例极限范围内。
● 只能用于圆截面轴(包括空心圆截面轴)。
Page15
➢ 极惯性矩与抗扭截面模量
Page8
变形几何方程 小变形
bb' tan ab
d
dx
d
dx
dx
O1
O2
d
b
a b’
d c
d’
Page9
d
dx
2、物理方程
a
b
c
d
d’
G
G d
dx
O1
O2
A
B
C
D
分布：与 成正比
方向：垂直于半径
Page10
3、静力学方面
微剪力 dQ dA
微力矩 dT dQ
则有：
G
求A,B端的支反力距
A
C
B
M
a
b
A MA
C M
B MB
变形协调条件:
AC BC 0
M MB MA
AC
M Aa GI P
BC
MBb GI P
Page31
例：套管与轴两端用刚性板固定，其扭转刚度分别为 G1IP1 、 G2IP2。求在扭力距M作用下，套管与轴的扭矩。
A
BM
C
M
l1
l2
T1
M dD
a
a
a
a
解：
1、扭矩图 T
d T dx
l
l GI P
M
x
2M
Page28
2、总扭转角
T
A
总
a 0
2M xdx a
G D4
2Ma
G D4
Ma
G D
4
G
2M
Ma
D4 d 4
32
32
32
32
M
Bx
3、强度校核
T Wp
max
AB,CD段为危险段
dD
a
a
a
a
max
m
ax
G1
组合轴G2>G1
R1
R2
G2 G1
Page18
组合轴扭转切应力分析
平面假设成立
r
d
dx
0 R1
G
所以：
G2 G1
d
dx
d
dx
0 R2 R2 R1
R1
R2
T
G2
G1
R1 R2 G2 G1
组合轴 G2 G1
扭转应力的一般公式适用范围：圆截面轴， max
Page19
T
WP
max
[
]
根据强度条件可以解决以下几类强度问题
max
T WP
max
?[
]
WP
Tmax
[ ]
Tmax WP [ ]
1、校核构件的强度 2、选择构件截面尺寸 3、确定构件承载能力
给定T、 []，确定结构参数
4、最轻重量设 计
Page22
例：已知 T=1.5kN.m, 50MPa
GI P
GI P
工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率。
许用扭转角变化率： []
工作时扭转角变化率： d T
dx GIP
刚度条件：
T ( GI P
)max
[
]
一般[]单位为度/m
强度条件：
max
T
WP
max
[ ]
Page27
例：计算总扭转角，并校核轴的强度与刚度
m=2M/a 3M
➢ 研究思路
几何、物理、静力学三方面分析
1、几何方面 方法： 观察外部变形 建立几何方程
假设内部变形
Page4
观察外部变形
圆周线： 形状与大小不变
径向无变形
间距不变
轴向无变形
纵向线 ： 偏转同一个角度
周向无变形
结论：相邻圆周线只绕轴线作相对刚性转动
Page5
内部变形规律(假设): 相邻横截面只绕轴线作相对 刚性转动
B
:
2M
A: D3
16 M
D3(1
16
4
)
T
AB
M
C Dx
2M
Page29
4、刚度校核
d T
dx GI p
a
a
a
T AB
AB,CD段为危险段
2M
max
m
a
x
B
:
A G
2M
: G D4
32 M
D4(1
32
4
)
dD a
M
C Dx
Page30
➢ 扭转静不定问题
d
dx
dA
T
T
dT
A
A dA
G d 2dA T dx A
定义 A 2dA IP
圆轴扭转角变化率
d T
dx GIP
极惯性矩
Page11
G
d
dx
d T
dx GIP
圆轴扭转剪应力一般公式
T
IP
分布：与 成正比
方向：垂直于半径
Page12
总结
外部变形
平面假设
切应变
d
dx
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
d
DD dd
dA 2d
I p
2dA
D/ 2 2 2d
d/2
(D4 d4)
32
A
WP
IP D/2
(D4 d4)
16D
Page16
例: 画空心轴横截面扭转剪应力示意图
R1 R2
T
T
IP
空心轴
M’
M’
M’
M’
Page17
例：画组合轴横截面扭转切应力示意图
R1 R2 T G2
➢ 薄壁圆管的扭转切应力 1、精确计算
R1 R2
——按空心圆筒的计算办法
2、近似计算
管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布
T= AR0
T
A2R0
2 R02
当R0/10时，足够精确
适用于弹性、非弹性、各向同性、各向异性的均质材料薄壁管。
Page20
§4-3 圆轴扭转强度
➢ 扭转失效与扭转极限应力
取： Dk 77mm
dk Dk 69mm
3、二者重量比β等于横截面面积之比
4
( Dk2
d
2 k
)
/(
4
Ds2 )
39.5%
Page24
➢ 圆轴合理设计
实心轴
空心轴
如果管壁过薄，
管受扭时会产 生皱折现象
过渡处有应力集中
圆角过渡可以减小应力集中
Page25
§4-4 圆轴扭转变形与刚度
➢ 圆轴扭转变形
max
T
WP
max
[
]
根据强度条件设计轴的直径：1）实心轴；
2）=0.9的空心轴
解：1、实心轴直径
T
16
DS3
[ ]
取：Ds=54mm
16T
Ds 3 [ ] 53.5mm
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2、空心轴直径
T
[ ]
D3（1 4）
16 空
max
T
WP
max
[
]
16T
D空 3 (1 4 )[ ] 76.3mm
T1’
T2
T2
M
A,C截面的相对扭转角相等
T Z T AB BC
T1 T2 M T1 T2 0
Page32
扭转极限应力
u
s b
塑性材料 脆性材料
➢ 圆轴扭转强度条件
许用切应力： u
n
塑性材料：[ ] (0.5 ~ 0.577)[ ] 脆性材料： [ ] (0.8 ~ 1.0)[ t ]
工作应力：
max
T
WP
max
强度条件：
max
T
WP
max
[ ]
Page21
强度条件
max
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
Page1
内容
§4-2 圆轴扭转横截面上的应力 §4-3 圆轴扭转强度 §4-4 圆轴扭转变形与刚度计算
Page2
§4-2 圆轴扭转横截面上的应力
➢ 问题的性质 已知条件： 横截面的扭矩 未知量： 横截面上各点的应力 （类型、大小、方向？） o
T
Page3
d T
dx GIP
d T dx
GI P
相距l的两横截面间的扭转角：
l
d
l
T dx GI P
对于常扭矩等截面圆轴的相对扭转角： T l
GI P
M
2M
M
M l1 M l2
GI P
GI P
m
l mx dx
0 GI P
x
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➢ 圆轴扭转刚度条件
M
2M
M
M l1 M l2