材料力学课件：扭转
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材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
材料力学课件——扭转的强度与刚度计算
MMnMnⅢⅢMnMⅢMnDMⅢD DMD
351N· m
468N·
(+)m (-)
702N· m
解 （1）计算外力偶矩：
MA
9550 NA n
9550 36.75 300
1170N m
MB
MC
9550 NB n
9550 11 300
351N m
MD
9550 ND n
9550 14.7 300
P B mB
B
mB （a）
P
mB
B
（b）
本章主要内容
▪ 第一节 概述 ▪ 第二节 扭转时的内力 ▪ 第三节 纯剪切、剪应力互等定理、剪切胡
克定律 ▪ 第四节 圆轴扭转时的应力与变形 ▪ 第五节 圆轴扭转时的强度和刚度计算 ▪ 第六节 密圈螺旋弹簧应力及变形的计算 ▪ 第七节 非圆截面等直杆的纯扭转
扭矩
N(kW ) Me 9550 n(r / min ) （Nm)
•当N为马力 扭矩
N(Ps)
Me 7024 n(r / min )（N m)
二、扭矩 扭矩图
扭矩mn符号规定如下：按右手螺旋法则把mn 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一
致时， mn为正；反之为负。
内力—扭矩
mn
j mn
t dy
nm
x 定理。（rocal
theorem of shear stresses ）
dx
z
▪ 剪应力互等定理（Reciprocal theorem of shear stresses ）
▪ 单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方
向相反（共同指向交线或背离交线）
▪ 类似可证明 —— 每两个邻近边剪应力值相 等
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学扭转(共56张PPT)
例题： ：空心轴和实心轴材料相同，面积相同, α= 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。
解： 1〕确定两轴尺寸关系
面积相同 (1)校核空心轴及实心轴的强度〔不考虑键槽的影响〕；
扭转角单位：弧度〔rad〕 在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。
D1 d1
D d 2 2可G、I见P扭—在矩—载计抗荷算扭相1、2刚同符度的号。条规件定下和，扭空矩2心图轴绘的制重量仅为实2心轴的31% 。
1、扭转杆件的内力〔截面法〕
m
m
左段：
mx 0, T m 0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法那么判断。
+
T
T
-
3、内力图〔扭矩图〕
扭矩图作法：同轴力图：
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮 2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、 12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
二、 扭转杆的变形计算
1、扭转变形：〔相对扭转角〕
d T
dx GI P
扭转变形与内力计算式
d T dx
GIP
T dx
L GIP
1) 扭矩不变的等直轴
Tl GI p
扭转角单位：弧度〔rad〕 GIP——抗扭刚度。
2)各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili GI pi
3)变截面轴
T (x) dx l GI p (x)
2)、设计截面尺寸:
T
Ip
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
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向一致的扭矩为正，反之为负。
扭矩与扭力矩的差异？
7
扭矩图：扭矩随杆轴线变化的图线。
例：画扭矩图。
在AB和BC段分别切开， 分别考察左与右段平衡
AB段： T1 2M BC段： T2 M
画扭矩图。 注意：扭矩图与受扭轴对 齐，标注正负号。
B
2M
A
3M
2M
A
T
T2 M
T1 2M
2M
M
C
M
C
M
x
8
4
➢ 基本概念
外载荷：外力矩的矢量沿轴线
变形：各横截面绕轴线作相对旋转 轴线保持直线
横截面间绕轴线的相对角位移
扭力矩 扭转 扭转角
外力矩的矢量沿轴线，以扭转变形为主要变 形形式的杆件—— 轴
5
轴的动力传递
已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
电机
联轴器
A
B
P M
角速度 2 n 60
dx GIp
扭转切应力公式：
T
Ip
最大扭转切应力：
max
T Wp
公式的适用范围： 圆截面轴； max p
24
例：画横截面扭转切应力分布示意图。
R1
R2
O
T
空心轴
R1
R2
G1
G2
T
组合轴 (G2 G1 )
O
O
25
组合轴扭转切应力分析
设平面假设成立
d
dx
0 R1
G
所以：
G2 G1
横截面
半径仍为直线 间距不变
13
轴内某点的变形规律
dx
（不同位置变形的协调关系）
截取微段
用相距dx的一对横截面 截取微楔
取夹角为d的一
对径向纵截面
R
a Ac
dx
O1
O2
d
b d
B
C
D
14
微楔的变形情况
O1
半径仍为直线
dx
O2
R
d
研究对象：微元体
a
b
dx
b’
d a
A
d
B B’
d’ d
c
b
b’ d
n : 转速 (r min)
功率：KW 力偶矩：N.m
P 103 M 2 n
60
P
M 9549 kW
Nm
n
r / min
6
§4-2 扭矩
1. 扭矩与扭矩图
m
M
A
M
m
B
A
mT
x
M
m
扭矩：矢量方向垂直于横截面 A
m
Tx
的内力偶矩，并用T 表示。 M
m
符号规定：矢量方向(按右手定则)与横截面外法线方
max
T WP
● 材料在比例极限范围内。 (在切应力公式推导时使用了剪切虎克定律)
● 只能用于圆截面轴(包括空心圆截面轴)。 (在非圆截面扭转时，平面假设不成立)
拉压杆应力推导问题也使用变形协调，由应变相等得到应 力相等，但没有使用虎克定律。该结论在应力超过弹性极 限下仍然成立。
22
4. 极惯性矩与抗扭截面系数
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力 §4-3 圆轴扭转强度与动力传递
1
§4-1 引言
工程中的扭转问题
F F
满足强度与刚度条件才 能保证构件正常工作
2
材料力学分析的基本思路
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
3
A
M
B
M M
归纳与比较： 1、受扭圆轴的外力与变形特征如何？ 2、与拉压杆比较的异同？
d
C
D
d’
D’
15
变形几何方程
小变形
O1
tan
bb' ab
d
dx
a
c
d
dx
同一横截面内任一
径线偏转同一个角度
dx
O2
d
b b’
d
d’
d const.
dx
16
d
dx
几何协调关系
O1
O2
2. 物理方程
G
G d
dx
A
B
C
D
使用剪切胡克定律，线弹性范围
分布：与 成正比
公式中还有哪些量未被确定？
分布：与 成正比
方向：垂直于半径
19
总结
外部变形
平面假设
切应变
d
dx
物理方程(应力应变关系) 静力学条件(平衡方程)
横截面上切应力
T
IP
20
➢ 圆轴横截面上最大扭转切应力
T
IP
max
圆轴扭转最大切应力：
max
TR IP
T IP / R
抗扭截面系数
定义
WP
IP R
max
T WP
21
公式的适用范围
几何方面：实验观测
合理假设
连续体的变形协调条件(数学表达)
11
1. 试验与假设
观察外部变形
圆周线： 形状与大小不变
径向无变形
间距不变 纵向线 ： 偏转同一个角度
轴向无变形 周向无变形
结论：相邻圆周线只绕轴线作相对刚性转动
12
内部变形规律(假设): 相邻横截面只绕轴线作相对 刚性转动
平面假设
保持平面，形状与大小不变
例：画扭矩图( m:单位长度的扭力偶矩)。
M 3ml
m
A
B
C
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
2ml
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡
D
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml
CD段： T3 2ml
画扭矩图
x
与轴力图比较考察对应关系
9
2. 对应的轴力图与扭矩图
Ip
2dA
A
•空心圆截面
Dd
dA 2d
d
IP
D/ 2 2 2d D4 (1 4 )
d/2
32
WP
D3
16
(1 4 ),
d
D
•实心圆截面
设 0
D4
IP 32 ,
WP
D3
16
23
圆轴扭转应力小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
扭转变形基本公式： d T
M 3ml
m
A
B
C
D
对应拉压问题 与轴力图
q
F 3ql
l
l/2 l/2
T ml
x
2ml
l
l/2 l/2
FN ql
2ql
x
10
§4-3 圆轴扭转应力
问题分析与研究思路
M
1
T M
2
M
问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。
连续体的静不定问题 。
分析方法：静力学、几何、物理三方面。 关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件
方向：垂直于半径
17
3.静力学方面
微剪力 dQ dA
微力矩 dT dQ
则有：
G
d
dx
dA
T
T
dT
A
A dA
G d 2dA T dx A
定义 A 2dA IP
极惯性矩
圆轴扭转角变化率 d T
dx GIP 18
G
d
dx
d T
dx GIP
圆轴扭转切应力一般公式
T
IP
27
§4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计 一、扭转失效与扭转极限应力
塑性材料 扭断
脆性材料 扭断
扭转极限应力
u
s b
扭转屈服应力，塑性材料 扭转强度极限，脆性材料
28
二、圆轴扭转强度条件
许用切应力： u
n
安全因数
n
工作应力：Leabharlann maxTWP
max
强度条件：
max
T Wp
d
dx
d
dx
0 R2 R2 R1
R1 R2 G2 G1
组合轴 G2 G1
26
➢ 薄壁圆管的扭转切应力 1、精确计算
R1 R2
——按空心圆筒的计算办法
2、近似计算
管壁薄——假设切应力沿 管壁均匀分布
T= AR0 A2R0
T
2 R02
当R0/10时，足够精确
适用于弹性、非弹性、各向同性、各向异性的均质材料薄壁管