材料力学课件扭转

T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
l
T——
T
2r02t
r0
l
薄壁圆筒的实验, 证明剪应力与剪应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪 应力不超过材料剪切比例极限τp,即当p时 剪应力与剪应变成正比。
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16
14
1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16Me πd13
2,max
T2 Wp2
Me Wp2
16Me
πD23 1 4
2. 求D2/d1和二轴重量之比。
由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所
kN·m，许可单位长度扭转角[']=0.3 (°)/m。试选择
轴的直径。
解：1. 按强度条件求所需外直径D
因Wp
πD3 16
14
πD3 15 , 16 16
由 max
Tmax Wp
[ ]有
3
D
16Tmax
3 16 9.56 103 N m 109 103 m
π 15 [ ]
π 15 40 106 Pa
G
该式称为剪切胡克定律。
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
G E
2(1 )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me
dy
y d xd z
'
Fy 0 自动满足
z
a
b
O '
dx
d c
dydz
Fx 0 存在'
Mz 0
x d y d zd x d x d zd y
(5-1)
T m 扭矩 T m
扭矩T的符号规定：
nn
T Me ㈩
T Me ㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
MA
7024 N A n
7024 50 300
用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。
但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，
还要注意加上成本和构造上的要求等因素。
§3-5 扭转变形 扭转刚度计算
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) 来度量。
Me
AD BC
Me
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单 位长度扭转角)为 d T 可知，杆的相距 l
450 , min ; 2 ) max :
45°
0 , max ; 横截面上！
´
结论：
若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；
若材料抗拉能力差，构件沿-45斜截面发生破坏（脆性材料）。
三、 扭转强度计算
1、强度条件： max [ ]
2、强度条件应用：
变截面圆轴:
得
y
切应力互等定理
'
在相互垂直的两个面上，切
dy
z
a
b
O '
dx
d c
x
应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。
'
a
d
单元体在其两对互相垂 直的平面上只有切应力而
无正应力的状态称为纯剪
切应力状态。
b '
c
§3-4 圆轴扭转时截面上的应力
扭转强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
T
A dA
G
d
dx
A
2dA
Ip A 2dA
T
GI p
d
dx
d
dx
T GI p
代入物理关系式
扭转变形计算式
G
d
dx
得：
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
圆轴中τmax的确定
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
16
71.3MPa
[ ] 80MPa
即该轴满足强度条件。
例题
直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分
别为d2和D2，＝ d2/ D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两
轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在
横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以 及两轴的重量比。
1. 分别求两轴的最大切应力
Tmax 180 []
(°)
GIp π
对于精密机器的轴[‘]≈0.15~0.30 (°)/m；
对于一般的传动轴[']≈2 (°)/m。
例题
由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径
之比 = 0.5 。已知材料的许用切应力[ ] = 40 MPa，
切变模量G= 80 GPa。轴的最大扭矩Tmax = 9.56
由此可知：
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切应
力的绝对值最大；
(2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而正
应力的绝对值最大；
45 max 45 min
低碳钢扭转试验演示
低碳钢扭转破坏断口
铸铁扭转破坏试验演示
铸铁扭转破坏断口
圆轴扭转破坏分析
T1 M B 351N m
T2 (M B M C ) 702 N m
T3 M D 468 N m
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§3-3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 10
r0
, r0：为平均半径）
P(kW)的功率相当于每分钟作 功
W = P ×1000×60 (1) kW
外力偶矩
M
所作的功：
e
W = 2nMe
( 2)
(1) = (2) 得
P
×1000×60
kW
=
2n
Me
N .m
M
e
9550
P n
P kW n r/min m N m
Baidu Nhomakorabea
Me
7024
N n
二、扭矩和扭矩图
N PS n r/min mN m
偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
阻抗力偶
Me
主动力偶
mA
me
主要发生扭转变形的杆——轴。
三、两个名词
Me
Me
外扭矩（Me）——使得杆产生扭转变形的外力偶矩
扭转角（）——任意两个横截面的相对转角
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算
右图
设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n (r/min）
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T πd
3
T πd
3
16
16
d
3
1π6T
3
16(1.5103Nm) π(50 106 Pa)
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πD3 16
1 4
16T
π D3(1 4)
16
3 16T
D π(1 4 ) 76.3 mm d D 68.7mm
以两轴的重量比即为其横截面面积之比
π
A2 4 A1
D22
d
2 2
π 4
d12
D22
12
d12
1.1942 1 0.82
0.512
zmax
max
d1
(c)
d2 D2
(d)
切应力的分布规律如图c、d所示，当max＝[]
时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材
料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利
1、实验：
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上 0, 0
0 0
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
D
且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
max
T Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
1）校核强度:
max
Tm a x WP
≤
2）设计截面尺寸:WP ≥
Tm ax
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP [
]
WP
m
D3
16
D
3
16
实 心,
(1 4 )
空 心.
例 已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件设计 实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。
16
16
109mm
2. 按刚度条件求所需外直径D
因 Ip
πD4 32
14
πD4 15 , 32 16
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
d x GIp
的两横截面之间的相对扭转角为
d l T d x
l
0 GIp
当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及
材料的切变模量G为常量时有
Tl
GIp
Ⅱ. 刚度条件
m ax [ ]
(°)
式中的许可单位长度扭转角[']的常用单位是(°)/m。
此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
实心圆截面：
O
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
2π( 4
)
d/2
πd
4
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
二、斜截面上的应力 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一
取：D 76 mm， d 68 mm
3. 重量比较
π (D2 d 2)
4
39.5%
π d2
4
空心轴远比 实心轴轻
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
铸铁试件：
沿与轴线约成45的螺旋 线断开。
材料抗拉能力差， 构件沿45斜截面因拉 应力而破坏（脆性材 料）。
sin2 ; cos2
分析：
1 ) max , min :
450 , max ;
MA Ⅰ MB
Ⅱ
MC
A
C
B
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
22
T图（kN·m）
14
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
22 T图（kN·m）
14
AB段
1,max
T1 Wp1
22 106 N mm
π 120mm3
64.8MPa
16
BC段
2,max
T2 Wp 2
14 106 N mm
π 100mm3
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律：
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为
研究对象
tg DD' Rd
dx dx
微段扭转
变形 d
tg dd d
dx dx
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
1170N m
MB
MC
7024
NB n
7024
15 300
351N m
MD
7024
NC n
7024
20 300
468 N m
NA 50PS, NB NC 15PS, ND 20PS n = 300r/min
351N m
351N m
1170N m
468N m
第3章 扭 转
§3.1 概 述
一、定义
MM ee
MMee
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩 作用下，杆的各横截面产生相对转动的 变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
阻抗力偶
Me
主动力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力