高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2复数的四则运算5.2.1复数的加法与减法北师大版选修2
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
高中数学第5章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算北师大版选修
2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]
(2) －4＋3i ＝2i－[(3＋1)＋(2－3)i]
＝2i－(4－i)＝－4＋3i.
(3)
－2a＋(5b－
(a＋bi)－(3a－4bi)－5i ＝(a－3a)＋(b＋4b－5)i
5)i
＝－2a＋(5b－5)i.
复数加减法法则的记忆： 法一：实部与实部相加减做为实部，虚部与虚部相加减做 为虚部． 法二：把 i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并 同类项．
§2 复数的四则运算
课前预习学案
已知复数 z1＝3＋4i，z2＝－2＋i， (1)z1 对应的向量O→Z1的坐标是什么？z2 对应的向量O→Z2的坐 标是什么？
(2)求出O→Z1＋O→Z2、O→Z1－O→Z2的坐标，那么向量O→Z1＋O→Z2和 O→Z1－O→Z2对应的复数又分别是什么呢？
[提示] (1)O→Z1＝(3,4)，O→Z2＝(－2,1)． (2)O→Z1＋O→Z2＝(1,5)，O→Z1－O→Z2＝(5,3)， 它们对应的复数分别为 1＋5i 和 5＋3i.
1．计算： (1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
பைடு நூலகம்
解析：
序号
结论
理由
原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i (1) －4－10i
＝－4－10i；
(2)
0
原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0；
原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i (3) －a＋(4b－3)i
＝－a＋(4b－3)i.
复数的乘除运算
计算： (1)(1－2i)(2＋i)(4－3i)； (2)－12＋ 23i－12－ 23i； (3)56＋－65ii； (4)13－－24ii2－42－＋3ii2. [思路导引] 直接利用复数的乘除法法则计算，注意乘法 公式及特殊复数的运算结果的应用．
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材基础素材
§1 数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的。
现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用。
复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便。
高手支招1细品教材一、虚数单位i状元笔记i就是-1的一个平方根，-i是-1的另一个平方根。
1.我们把平方等于—1的数用i表示，规定i2=—1，其中的i叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x2+1=0,即x2=—1有解,使实数的开方运算总可以实施(即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于—1的“新数”开始.2。
i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算仍然成立.i可以与实数进行四则混合运算，是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，不提减、除运算，并不是对减、除运算不成立，这和后面在讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理，分清了主次。
二、复数的概念1.复数与复数集我们把形如a+bi （a ，b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi ｜a,b ∈R ｝叫做复数集。
2。
复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示，即z=a+bi （a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz 。
【示例】 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数,哪些是虚数，哪些是纯虚数.4,2-3i ，0，21-+34i,5+2i,6i 。
思路分析：要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2—3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4，6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4，虚部为0;6i=0+6i ，则我们马上可知其实部是0，虚部是6。
高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
《数系的扩充与复数的概念》教学设计【教学目标】1．了解数系的扩充过程，理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；【教学重点】复数的有关概念,复数的代数形式和复数的向量表示【教学难点】复数相等的条件,复数向量表示．【教学方法】点拨教学与小组合作【教学过程】一、创设情景问题 1 从你认识自然数到现在，数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充？2 为什么要进行数系的扩充？设计意图：学生已经学习过一些数集，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，不仅通过对前几次数系扩充进行了的梳理，也为数系的为何要再一次扩充打下了基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能自我总结出数系扩充的一般原则。
二探究新知（一）数系的扩充问题如何在实数范围内解x2 +1=0这样的方程？设计意图由于有了前面问题的铺垫，这个问题的解决，使新数的引入变得自然了，由教师引导同学们回答1 引入新数i数学家欧拉引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它加法和乘法运算，原有的加、乘运算律仍然成立．这样出现了很多新数，如2+i,-3+4i,2i等，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而这些结果可以写成a+bi ，a ,b∈R2形成新数集所有i实数实数形式的都应该在新的数集里面，并+⨯且新的数集里面的数都可以写成这种形式，我们不妨把这种形式写成,,+∈∈，这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有a bi a Rb R的一般形式。
（二）复数的概念1 复数概念形如的数，我们把它们叫做复数．注意（1）复数的代数形式z=a+bi、(a ,b∈R,)a叫实部、b叫虚部.（2）全体复数所形成的集合{}=+∈∈叫做复数集，C a bi a R b R|,一般用字母C表示2 概念运用判断正误（1）z=1-ai (a ∈R)是一个复数（2）z=-2i+0.1实部为-2，虚部为0.1（3）10-2i2＞0（4）z=a+3i其中a为实部设计意图这几个题目采取学生口答形式，通过分析题目，使学生对复数概念的认识达到及时巩固的效果（三）复数分类探究（1） z=a+bi(a ,b∈R)中a,b在什么条件下为实数？（2）复数集C和实数集R之间有什么关系?设计意图采用学生先独立思考在小组讨论方式解决，这样由问题1到2的过渡，让学生对复数集C和实数集R关系的理解能较为容易些。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.5数系的扩充与复数的引入课件 理 新人教B版
然后利用复数的模公式求解.
【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达有
关概念，如a+bi为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi的虚部
是什么等;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.
【例1】(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数 1 ai 为纯虚
2i
数，则实数a为 ( (A)2 (C)- 1
1 i
算.
【创新探究】复数命题新动向
【典例】(2011·陕西高考)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},
N={x||x- 1|＜ 2，i为虚数单位，x∈R},则M∩N为(
i
)
(A)(0,1) (C)［0,1)
(B)(0,1］ (D)［0,1］
【解题指南】集合M为函数值域，N为不等式的解集，其中 | x |为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键.
【即时应用】(1)设z=3i+2,则1- z =
.
(2)1+i+i2+i3=
(3)
Байду номын сангаас
.
.
a 1 i 为实数，则实数a= 1 i 2 (4) 3 i +(3+i)(1-i)= . 1 i
【解析】(1)∵z=3i+2,∴z =2-3i,1- z =1-(2-3i)=-1+3i. (2)1+i+i2+i3=1+i-1-i=0.
【反思·感悟】解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义(
如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复 数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形 式的四则运算.
5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)
一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 OZ ＝ (a，b) 是一一对应的．
2．复数的模 设复数 z＝a＋bi(a， b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a， b)，点 Z 到 原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值， 记
a2＋b2 . 作|z|，显然，|z|＝
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条
答案：0或2
1 9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的 2 模的大小．
1 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i， 2 ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝
1 － 2＋－ 2
3 2 ＝ . 2
2
3 ∵10> ， 2 ∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明 确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚 数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0. 2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示．
解析： 复数 z1， 2 对应的点分别为 Z1(1， 3)， 2(1， 3)， z Z － 关于 x 轴对称． 答案：A
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量 OA ，OB 对应 的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
( A．(－5,5) C．(5,5) B．(5，－5) D．(－5，－5) )
OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2 解析：向量 OA ，
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
i1＋2 3i 2 21005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1005 ＝i＋( ) ＝i＋i1005 －2i ＝i＋i4
×251＋1
＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
1＋i2 6 ＝ ＋ 2
6
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
－2＋2i z1 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，共轭复数 z2 1－i 2 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
1－i 3． 设复数 z＝ ＋(1＋i)2， 则(1＋z)7 展开式的第 1＋i 五项是 ( A．－21 C．－21i B．35 D．－35i )
(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
• 此题是基础题，用到了复数的分类．在对 复数进行分类时要注意，使得虚部和实部 均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝ 0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时， 应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义； 当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保 证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题 时要特别小心.
→ → 解析：如右图，OA与OB对应复数 z1、z2， → → ∴OC、BA分别对应复数 z1＋z2 和 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|， → → ∴|OC|＝|BA|， ∴平行四边形 OACB 为矩形， → → ∴OA⊥OB，即OA⊥OB.
答案：C
• 1．复数的代数运算 • (1)复数代数运算的实质是转化为实数运 算，在转化时常用的知识有复数相等，复 数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质．