广东北江中学实验学校首届“实验杯”基础知识竞赛 数学试题
广东北江实验学校
图1广东北江实验学校2013－2014学年度第一学期阶段测试（一）九年级数学科试卷说明：1、试卷共25道题，满分120分，考试时间为100分钟；2、请把所有答案都写在答题卷的指定位置上，写在其他位置的均属无效答题！一、选择题（每题3分，共30分）1. 实数4的算术平方根等于 A.2 B.2 C.2- D.2±2.下列计算正确的是 A.13334=- B.C.2)2(2=-- D.2212= 3.若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x +的值是 A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 4.若点P )8,(-x 、Q ),7(y 关于原点对称，则y x +等于A.1B.1- C .15 D.15- 5.用配方法解方程x 2﹣2x ﹣1=0时，配方后得的方程为 A ．（x+1）2=0 B ．（x ﹣1）2=0C ．（x+1）2=2D ．（x ﹣1）2=26. 如图1，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是7.若0=+a a ，则=2aA.aB.a -C.a ±D.08. 已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是A.当0=k 时，方程无解B.当1=k 时，方程有一个实数解C.当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D.当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解图2EDCB A图（1）M图（2）9.如图2，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为 A ．2B ．4C ．4D ．810. 如图3，已知CD 是⊙O 的直径，∠EOD=75°，AE 交圆于点B ，且AB=OC ，则∠A= A.20° B.25° C.30° D.35°（1）如图，已知BC=CD=DE=EA ,∠A=20°,那么∠B 的度数是 度.（2）如图，B 、D 、F 在AN 上，C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD ，EC=ED=EF ，∠A=20°， 则∠FEM 度数是 ．（3）如图，∠MON ＝ 30°，点123A A A 、、……在射线ON 上，点123B B B 、、……在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A ……均为等边三角形。
2022-2023学年广东省韶关市北江实验中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省韶关市北江实验中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1．复数z 满足（1﹣i ）z ＝3+2i （i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1+5i 2B ．1−5i 2C ．−1+5i 2D ．−1−5i 22．已知向量a →=(√3，1)，b →是单位向量，若|2a →−b →|=√13，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，且l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α B ．若l ⊂α，n ⊂β，且l ⊥n ，则l ⊥βC ．若m ⊥α，且l ⊥m ，则l ∥αD ．若m ⊥α，n ⊥β，且l ∥m ，l ∥n ，则α∥β4．如图所示，点E 为△ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF →=（ ）A ．13BA →+23BC →B ．43BA →+23BC →C ．−56BA →+16BC →D ．−23BA →+13BC →5．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．16C ．√66D ．√3066．已知cos(α+π6)=17，0＜α＜π，则sin α的值为（ ） A ．3√314B ．5√314C ．1114D ．13147．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y （m ）和时间t （s ）的函数关系为y ＝sin （ωt +φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t 1，t 2，t 3（0＜t 1＜t 2＜t 3），且t 1+t 2＝2，t 2+t 3＝5，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A ．13sB ．23sC ．1sD ．43s8．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点二.多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A 'B 'C 'D '，已知A 'B '＝4，C 'D '＝2，则下列说法正确的是（ ）A ．AB ＝4B ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3C ．A 'D '＝2√2D ．四边形ABCD 的面积为6√210．已知复数z =21+3i，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A ．复数z 的共轭复数的模为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．复数z 是方程x 2+x +1＝0的解D ．复数ω满足|ω﹣z |＝1，则|ω|的最大值为211．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e 1→、e 2→分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ斜坐标系，若OM →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OM→的斜坐标，记为OM →=(x ，y)．在θ=π4的斜坐标系中，a →=(12，√32)，b →=(√3，−1)．则下列结论中，错误的是（ ）A ．a →−b →=(12−√3，√32+1) B ．|a →|=1C ．a →⊥b →D ．b →在a →上的投影向量为(2√2+√35，2√6+35) 12．如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，P 为线段C 1D 1上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）A ．三棱锥M ﹣PNC 的体积为定值B ．异面直线BC 与MP 所成的最大角为45° C ．不存在点P 使得MN ⊥NPD ．当点P 为C 1D 1中点时，过M 、N 、P 三点的平面截正方体所得截面面积为3√34a 2三.填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．设i 是虚数单位，若复数2−a2−i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝ ． 14．已知tan β＝2tan （α+β），则sin(α+2β)sinα= ．15．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为 ；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 ．16．如图，棱长为2正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面AC 的中心，点P 在侧面BC 1内运动且D 1O ⊥OP ，则点P 到底面ABCD 的距离与它到点B 的距离之和最小是 ．四.解答题：本题共6个小题，共70分.17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝4，G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ． （1）求证：AG ⊥平面PCD ； （2）求证：AG ∥平面PEC ；18．（12分）若f(x)=√3cos 2(ωx)−sin(ωx)cos(ωx)−√32+1(ω＞0)的图像的最高点都在直线y ＝m （m＞0）上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π． （1）求ω和m 的值；（2）已知A 是△ABC 的一个内角，若点(A2，1)是函数f （x ）图像的一个对称中心，求函数y ＝f （x ）在[0，3A2]上的值域．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F＝2B1F，BE＝2B1E．（1）证明：点F在平面AD1E内；（2）若AA1＝2AB＝4，求三棱锥D﹣AD1E的体积．20．（12分）从①2c cos A﹣a＝2b，②（2a+b）cos C+c cos B＝0，③b（sin A+4cos C sin A）+a sin B＝0，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答．已知：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．（1）求角C；（2）求sin A+sin B的取值范围．21．（12分）如图所求，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为P A的中点，E为PB中点．（1）求证：PC∥平面BFD；（2）已知M点在PD上满足EC∥平面BFM，求PMMD的值．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足∠BAD＝90°），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD是固定的，路宽AD＝12m．设灯柱高AB＝h（m），∠ACB＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）经测量当θ＝30°，ℎ=4√3时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖AD，求∠ACD；（2）因市政规划需要，道路AD要向右拓宽6m，求灯柱的高h（用θ来表示）；（3）在（2）的条件下，若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S（m），求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．2022-2023学年广东省韶关市北江实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.1．复数z 满足（1﹣i ）z ＝3+2i （i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1+5i 2B ．1−5i 2C ．−1+5i 2D ．−1−5i 2解：∵（1﹣i ）z ＝3+2i ， ∴z =3+2i 1−i =(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+3i+2i−22=12+52i ， ∴z =12−52i ． 故选：B ．2．已知向量a →=(√3，1)，b →是单位向量，若|2a →−b →|=√13，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设a →与b →的夹角为θ，因为a →=(√3，1)，b →是单位向量，所以把|2a →−b →|=√13两边平方可求得：4×4﹣2×2×a →•b →+1＝13， 所以a →⋅b →=1，所以2×1cos θ＝1，所以cos θ=12，所以θ=π3． 故选：B ．3．已知m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，且l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥αB ．若l ⊂α，n ⊂β，且l ⊥n ，则l ⊥βC ．若m ⊥α，且l ⊥m ，则l ∥αD ．若m ⊥α，n ⊥β，且l ∥m ，l ∥n ，则α∥β解：由m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：对于A ，若m ⊂α，n ⊂α，且l ⊥m ，l ⊥n ，则只有当m ，n 相交时，才有l ⊥α，故A 错误； 对于B ，若l ⊂α，n ⊂β，且l ⊥n ，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ⊥α，且l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，故C 错误；对于D ，若m ⊥α，n ⊥β，且l ∥m ，l ∥n ，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D 正确．故选：D ．4．如图所示，点E 为△ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF →=（ ）A ．13BA →+23BC →B ．43BA →+23BC →C ．−56BA →+16BC →D ．−23BA →+13BC →解：AF →=AE →+EF →=12AC →+23EB →=12AC →+23(AB →−AE →)=12AC →+23AB →−13AC →=16AC →−23BA →=16(BC →−BA →)−23BA →=−56BA →+16BC →．故选：C ．5．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．16C ．√66D ．√306解：如图，取A 1B 1的中点Q ，连接PQ ，AQ ，则BC ∥PQ ，所以∠APQ 即为异面直线BC 与AP 所成的角，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，所以B 1C 1⊥平面B 1BAA 1，PQ ⊥平面B 1BAA 1，所以PQ ⊥AQ ，依据题意，不妨设AB ＝CC 1＝2，则AQ =√5，PQ ＝1，AP =√6，所以cos ∠APQ =√66． 故选：C ．6．已知cos(α+π6)=17，0＜α＜π，则sin α的值为（ ） A ．3√314B ．5√314C ．1114D ．1314解：因为cos(α+π6)=17＞0，0＜α＜π， 所以π6＜α+π6＜7π6，可得π6＜α+π6＜π2，所以sin （α+π6）=√1−cos 2(α+π6)=4√37， 则sin α＝sin[（α+π6）−π6]＝sin （α+π6）cos π6−cos （α+π6）sin π6=4√37×√32−17×12=1114． 故选：C ．7．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y （m ）和时间t （s ）的函数关系为y ＝sin （ωt +φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t 1，t 2，t 3（0＜t 1＜t 2＜t 3），且t 1+t 2＝2，t 2+t 3＝5，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A ．13sB ．23sC ．1sD ．43s解：因为t 1+t 2＝2，t 2+t 3＝5，t 3﹣t 1＝T ，所以T ＝3， 又T =2πω，所以ω=2π3， 则y =sin(2π3t +φ)，由y ＞0.5可得sin(2π3t +φ)＞0.5， 所以2kπ+π6＜2π3t +φ＜5π6+2kπ，k ∈Z ，3k +14−32πφ＜t ＜54−32πφ+3k ，k ∈Z ， 因为(3k +54−32πφ)−(3k +14−32πφ)=1，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ． 故选：C ．8．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点解：f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |={cos 2x −sin 2x ，sinx ＜cosx sin 2x −cos 2x ，sinx ≥cosx ={cos2x ，sinx ＜cosx−cos2x ，sinx ≥cosx ．其图象如图：由图可知，f （x ）是周期为2π的周期函数，故A 正确； f （x ）在区间[−π2，π2]上不是单调函数，故B 错误；若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，由|f （x 1）|≤1，|f （x 2）|≤1，则只有|f （x 1）|＝|f （x 2）|＝1，即x 1，x 2只能是函数的最值点的横坐标， 可得x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ），故C 正确；函数g （x ）＝f （x ）+1的图象是把y ＝f （x ）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D 错误． ∴说法正确的是AC ． 故选：AC ．二.多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A 'B 'C 'D '，已知A 'B '＝4，C 'D '＝2，则下列说法正确的是（ ）A ．AB ＝4 B ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3C ．A 'D '＝2√2D ．四边形ABCD 的面积为6√2解：根据斜二测画法的直观图，知AB ＝A 'B '＝4，选项A 正确；CD ＝C 'D '＝2，AD ＝2A ′D ′＝2√12+12=2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3， 所以四边形ABCD 的周长为6+2√2+2√3，选项B 错误； A ′D ′=√2，选项C 错误；四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：AD ．10．已知复数z =21+√3i，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A ．复数z 的共轭复数的模为1 B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 C ．复数z 是方程x 2+x +1＝0的解D ．复数ω满足|ω﹣z |＝1，则|ω|的最大值为2解：z =2(1−√3i)1+3=12−√32i ，∴z =12+√32i ，|z|=1，A 正确；复数z 对应的点为(12，−√32)，在第四象限，B 正确； 解x 2+x +1＝0得，x =−12−√32i 或−12+√32i ，∴复数z 不是方程x 2+x +1＝0的解，C 错误；设ω＝a +bi ，（a ，b ∈R ），则ω−z =(a −12)+(b +√32)i ，|ω−z|=√(a −12)2+(b +32)2=1， ∴(a −12)2+(b +√32)2=1，设a =cosθ+12，b =sinθ−√32，则：a 2+b 2=2+cosθ−√3sinθ=2+2sin(π6−θ)≤4，|ω|=√a 2+b 2的最大值为2，D 正确． 故选：ABD ．11．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e 1→、e 2→分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ斜坐标系，若OM →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OM→的斜坐标，记为OM →=(x ，y)．在θ=π4的斜坐标系中，a →=(12，√32)，b →=(√3，−1)．则下列结论中，错误的是（ ）A ．a →−b →=(12−√3，√32+1) B ．|a →|=1C ．a →⊥b →D ．b →在a →上的投影向量为(2√2+√35，2√6+35) 解：在θ=π4的斜坐标中，a →=(12，√32)，b →=(√3，−1)，a →−b →=（12e 1→+√32e 2→）﹣（√3e 1→−e 2→）＝（12−√3）e 1→+（1+√32）e 2→=（12−√3，1+√32），A 正确；a →=12e 1→+√32e 2→，则|a → |=√(12e 1→+√32e 2→)2=√14+√32e 1→⋅e 2→+34=√1+√32×1×1×√22=√1+√64≠ 1，B 错误；a →⋅b →=（12e 1→+√32e 2→）•（√3e 1→−e 2→）=√32e 1→2+e 1→⋅e 2→−√32e 2→2=√22≠0，C 错误；因为|a →|2＝1+√64，a →⋅b →=√22，b →在a →上的投影向量为a →⋅b →|a →|⋅a→|a →|=a →⋅b→|a →|2⋅a →=√221+√64•（12，√32）＝（2√2−√35，2√6−35），D 错误．故选：BCD ．12．如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，P 为线段C 1D 1上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）A ．三棱锥M ﹣PNC 的体积为定值B ．异面直线BC 与MP 所成的最大角为45° C ．不存在点P 使得MN ⊥NPD ．当点P 为C 1D 1中点时，过M 、N 、P 三点的平面截正方体所得截面面积为3√34a 2解：点P 到平面MNC 的距离为a 为定值，又S △MNC =a 2−12×a ×12a −12×a ×12a −12×12a ×12a =38a 2， 所以V M−PNC =V P−MNC =13×38a 2×a =18a 3，即三棱锥M ﹣PNC 的体积为定值，故 A 正确； 设CD 中点为Q ，连接MQ ，PQ ，则∠PMQ 即为异面直线BC 与MP 所成的角 在Rt △PMQ 中，cos ∠PMQ =MQPM =aPM ≤√22所以异面直线BC 与MP 所成的最小角为45°，故B 不正确； 若P 为C 1D 1中点，则PQ ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥MN ，又MN ⊥NQ ，PQ ∩NQ ＝Q ，所以MN ⊥平面NPQ ，NP ⊂平面NPQ ， 所以MN ⊥NP ，故C 不正确；取DD 1的中点E ，B 1C 1的中点F ，BB 1的中点G ，连接NE 、EP 、PF 、FG 、GM ，所以过M 、N 、P 三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为3√34a 2，故D 正确． 故选：AD ．三.填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．设i 是虚数单位，若复数2−a2−i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝ 5 ． 解：∵2−a 2−i =2−a(2+i)(2−i)(2+i)=2−2a+ai 22+(−1)2=(2−2a 5)−a5i 是纯虚数， ∴{2−2a5=0a 5≠0，解得a ＝5．故答案为：5．14．已知tan β＝2tan （α+β），则sin(α+2β)sinα= ﹣3 ．解：已知tan β＝2tan （α+β）， 则sin(α+2β)sinα=sin[(α+β)+β]sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβsin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=tan(α+β)+tanβtan(α+β)−tanβ=3tan(α+β)−tan(α+β)=−3．故答案为：﹣3．15．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为 4π ；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 8√3．解：由题意知，该半正多面体外接球的半径为1，其表面积为4π． 若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小． 此时，设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为√63a ， 则有(√63a −1)2=1+(√33a)2，解得a =2√6，V min =13⋅√34⋅(2√6)2⋅(√63⋅2√6)=8√3． 故答案为：4π，8√3．16．如图，棱长为2正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面AC 的中心，点P 在侧面BC 1内运动且D 1O ⊥OP ，则点P 到底面ABCD 的距离与它到点B 的距离之和最小是 85．解：以点C 为坐标原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则D 1（2，0，2）、O （1，1，0）、B （0，2，0），设点P （0，y ，z ）（0≤y ≤2，0≤z ≤2）， 所以D 1O →=(−1，1，−2)，OP →=(−1，y −1，z)，因为D 1O ⊥OP ，则D 1O →⋅OP →=1+y −1−2z =0，即y ＝2z ，即点P （0，2z ，z ）， 由题意可得{0≤z ≤20≤2z ≤2，则0≤z ≤1，取点E （0，2，1），则点P 的轨迹为线段CE ，设点B 关于直线CE 的对称点为点B '（0，s ，t ）， 则线段BB '的中点M(0，2+s 2，t2)在直线CE 上，所以2+s2=t ，可得s ＝2t ﹣2 ①，BB ′→=(0，s −2，t)，BB ′→⋅CE →=2(s −2)+t =2s +t −4=0 ②， 联立①②可得s =65，t =85，则点B ′(0，65，85)，由对称性可知PB ＝PB ′， 所以点P 到底面ABCD 的距离与它到点B 的距离之和的最小值， 即为点B '到平面ABCD 的距离，即为85．故答案为：85．四.解答题：本题共6个小题，共70分.17．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝4，G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ． （1）求证：AG ⊥平面PCD ； （2）求证：AG ∥平面PEC ；证明：（1）∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴CD ⊥AD ， ∵P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AG ，PD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AG ，∵P A ＝AB ＝AD ，G 为PD 中点， ∴AG ⊥PD ， ∵CD ∩PD ＝D ， ∴AG ⊥平面PCD ．（2）证明：作EF ⊥PC 于F ，∵面PEC ⊥面PCD ，面PEC ∩面PCD ＝PC ， ∴EF ⊥平面PCD ，又由（1）知AG ⊥平面PCD ， ∴EF ∥AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴AG ∥平面PEC ．18．（12分）若f(x)=√3cos 2(ωx)−sin(ωx)cos(ωx)−√32+1(ω＞0)的图像的最高点都在直线y ＝m （m＞0）上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π． （1）求ω和m 的值；（2）已知A 是△ABC 的一个内角，若点(A2，1)是函数f （x ）图像的一个对称中心，求函数y ＝f （x ）在[0，3A2]上的值域．解：（1）f（x）=√3cos2ωx−sinωxcosωx−√32+1=√32（1+cos2ωx）−12sin2ωx−√32+1=cos（2ωx+π6）+1，由题意得2π2ω=π，即ω＝1，所以f（x）＝cos（2x+π6）+1，由题意得函数的最大值m＝2；（2）因为点(A2，1)是函数f（x）图像的一个对称中心且A为三角形内角，所以A+π6=π2，所以A=π3，3A2=π2，当0≤x≤π2时，π6≤2x+π6≤7π6，故﹣1≤cos（2x+π6）≤√32，故0≤f（x）≤1+√32，故函数的值域为[0，1+√32]．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F＝2B1F，BE＝2B1E．（1）证明：点F在平面AD1E内；（2）若AA1＝2AB＝4，求三棱锥D﹣AD1E的体积．证明：（1）如图，连接BC1，EF，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1D1∥AB，且C1D1＝AB，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，因为C1F＝2B1F，BE＝2B1E，所以B1FB1C1=B1EB1B=13，所以△B1EF∽△B1BC，所以EF∥BC1，所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F四点共面，即点F在平面AD1E内；解：（2）在长方体中，点E到平面ADD1的距离即为点B到平面ADD1的距离，即为BA，所以V D−AD1E =V E−ADD1=13⋅S△ADD1⋅BA=13×(12×2×4)×2=83．20．（12分）从①2c cos A﹣a＝2b，②（2a+b）cos C+c cos B＝0，③b（sin A+4cos C sin A）+a sin B＝0，这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答．已知：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．（1）求角C；（2）求sin A+sin B的取值范围．解：（1）选①：方法一：利用正弦定理，可得2sin C cos A﹣sin A＝2sin B，∴2sin C cos A﹣sin A＝2sin A cos C+2cos A sin C，得﹣sin A＝2sin A cos C，∵sin A≠0，∴cosC=−1 2，∵0＜C＜π，∴C=2π3；选②：由正弦定理可得（2sin A+sin B）cos C+sin C cos B＝0，∴2sin A cos C+sin（B+C）＝0，∴2sin A cos C+sin A＝0，∵sin A≠0，∴cosC=−1 2，∵0＜C＜π，∴C=2π3，选③：由正弦定理，可得sin B sin A+4sin B cos C sin A+sin A sin B＝0，∴2sin A sin B+4sin B sin A cos C＝0，∴2sin A sin B（1+2cos C）＝0，∵sin A≠0，∴cosC=−1 2，∵0＜C＜π，∴C=2π3；（2）由（1）知A+B=π3，∴sin A+sin B=sinA+sin(π3−A)，=12sinA +√32cosA =sin （A +π3）， ∵0＜A ＜π3， ∴π3＜A +π3＜2π3，∴√32＜sin(A +π3)≤1， ∴sin A +sin B 的取值范围为(√32，1]．21．（12分）如图所求，四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，F 为P A 的中点，E 为PB 中点． （1）求证：PC ∥平面BFD ；（2）已知M 点在PD 上满足EC ∥平面BFM ，求PM MD的值．（1）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OF ， ∵在△P AC 中，F 为P A 中点，O 为AC 中点， ∴OF 是△P AC 的中位线， ∴PC ∥FO ，又∵PC ⊄平面BFD ，FO ⊂平面BFD ， ∴PC ∥平面BFD ．（2）解：如图连结FM 交AD 延长线于G ，连结BG 交CD 于N 连结EF ，FN ，PG ，∵EF ∥CN ，EFNC 共面，EC ∥平面BFM ，平面BFM ∩平面EFNC ＝FN ， ∴EC ∥FN ，∴四边形EFNC 为平行四边形， ∴EF =CN =12CD ，∴N 为CD 中点，D 为AG 中点， ∴PM MD=PG FD=2，即PMMD=2．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足∠BAD＝90°），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD是固定的，路宽AD＝12m．设灯柱高AB＝h（m），∠ACB＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）经测量当θ＝30°，ℎ=4√3时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖AD，求∠ACD；（2）因市政规划需要，道路AD要向右拓宽6m，求灯柱的高h（用θ来表示）；（3）在（2）的条件下，若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S（m），求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．解：（1）在△ABC中，当θ＝30°时，∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°，所以AB=BC=ℎ=4√3，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝144，所以AC＝12，在△ACD中，又∠CAD＝90°﹣∠BAC＝60°，AC＝AD＝12，所以△ACD是等边三角形，即∠ACD＝60°；（2）∠BAC＝180°﹣120°﹣θ＝60°﹣θ，∠CAD＝90°﹣∠BAC＝θ+30°，∠ADC＝180°﹣60°﹣（θ+30°）＝90°﹣θ，在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，所以18sin60°=ACsin(90°−θ)，所以AC=12√3cosθ，第21页（共21页） 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC =AB sin∠ACB ，所以AC sin120°=ℎsinθ，所以ℎ=ACsinθsin120°=12√3cosθsinθsin120°=12sin2θ(30°≤θ≤45°)； （3）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC =BC sin∠BAC ，所以12√3cosθsin120°=BC sin(60°−θ)， 所以BC ＝24cos θsin （60°﹣θ）＝24cos θ[sin60°cos θ﹣cos60°sin θ]=12√3cos 2θ−12sinθcosθ=12√3⋅1+cos2θ2−6sin2θ=6√3+6√3cos2θ−6sin2θ； 所以S =AB +BC =12sin2θ+(6√3+6√3cos2θ−6sin2θ)=6√3+6√3cos2θ+6sin2θ=6√3+12(12sin2θ+√32cos2θ)=12sin(2θ+60°)+6√3，因为30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°，所以当2θ+60°＝150°，即θ＝45°时，S 取最小值6+6√3，故S 关于θ的函数表达式为S =12sin(2θ+60°)+6√3(30°≤θ≤45°)，S 最小值为(6+6√3)m 2．。
2023-2024学年广东省韶关市武江区北江实验学校九年级(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年广东省韶关市武江区北江实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.方程的解是( )A. B.C.， D. ，3.如图，在半径为5cm的中，弦，于点C，则( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm4.二次函数顶点坐标是( )A. B. C. D.5.若点在x轴上，则点关于原点对称的点的坐标为( )A. B. C. D.6.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为( )A. B.C. D.7.若，是一元二次方程的两个根，则的值是( )A.B. 10C.D. 168.如图，AB 是的直径，，，则的度数是( )A. B. C. D.9.某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次，设游客每月的平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )A.B.C. D.10.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.已知是二次函数，则______.12.如图，内接于，，则__________.13.若关于x 的一元二次方程没有实数根，则k 的取值范围是______.14.如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______ .15.若a是方程的解，则代数式的值为______ .16.如图所示，在直角坐标系中，点，点，将绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则______.17.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①，②，③，④，⑤若点和在该图象上，则你认为其中正确的信息是______ 填序号三、解答题：本题共8小题，共62分。
广东北江实验学校第三届“实验杯”基础知识竞赛 数学试题
共 2页（第1页）广东北江实验学校第三届“实验杯”基础知识竞赛数 学 试 卷（满分100分，80分钟内完成）4、8（18 —12.5%）=5、（49 +16 ）×18=6、212 ×135 =7、2.24÷（0.4—15 ）—2.24÷0.4—15 = 二、判断题（在括号内对的画“√”，错的画“×”，共4分。
） 1、方程44x +11=33的解是x =1 （ ）2、100增加20%，然后再减少20%，结果是96 （ ）3、圆周上所有点到圆心的距离都相等 （ ）4、把两个同样大小的正方体拼成一个长方体，则这个长方体的表面积是正方体表面积的2倍（ ） 三、填空题（每小题3分，共24分）1、今天是2004年6月27日，那么2004，6，27三个数的最小公倍数是＿＿＿。
2、6.5与2.6的和乘以8.9，再加上3.21，得到的和是＿＿＿＿＿＿。
3、某数的6倍减去1，得到的差为3，那么，这个数的9倍加上4，和是＿＿＿＿＿＿。
4、如果23 a=45b ，那么a ︰b=＿＿＿＿︰＿＿＿＿。
5、含盐20%的盐水300克再加100克的水，得到的盐水含盐百分比是＿＿＿＿＿＿。
6、银行定期存款一年的年利率是1.98%，按规定，存款利息要纳税20%，某人在银行存了一万元的定期一年的存款，一年后，取出全部本金和利息，在扣除利息中的税金后，他所得本息一共＿＿＿＿＿元。
（精确到0.01元）7、两个数相除，得到的商为13，余数为6，如果把被除数、除数、商以及余数都相加，得到的和是137，则被除数是＿＿＿＿＿＿；除数是＿＿＿＿＿＿。
8、如图，△ABD △ACD 都是等腰三角形，，AB=BD ，AD ＝DC ，∠B 和∠ADC 分别是它们的顶角，又∠B＝400，那么∠BAC 的度数是＿＿＿＿＿＿。
四、选择题（每小题只有一个正确答案，将你认为正确答案代号的字母填入下面表格中，每小题3分，共15分）1、李小锋在400米的跑道上跑一圈，用时为1分10秒，按照这种速度计算，李小锋跑60米所用的时间是（）A 、16.5秒B 、10.5秒 C 、10秒 D 、9.5秒2、甲乙两班都有45人，如果从乙班调5人到甲班，则甲班人数就比乙班人数（ ） A 、多10% B 、多12.5% C 、多20% D 、多25%3、如图，一个长形是由四个相同的正方形拼成的，则图中阴影部分的面积与原长方形面积之比是（ ）A 、1︰2B 、3︰4C 、5︰8D 、3︰84、中午12时20分时，钟表上的时针与分针所成的较小角的度数是（ ） A 、1100 B 、1000 C 、1300 D 、12005、把一个长为12.56厘米，宽为5厘米的长方形卷成一个高为5厘米的圆柱，这个圆柱体的容积是是（ ）立方厘米。
广东省北江实验学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】
广东省北江实验学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，△A 1B 1C 1是由△ABC 沿BC 方向平移了BC 长度的一半得到的，若△ABC 的面积为20cm 2，则四边形A 1DCC 1的面积为（）A ．10cm 2B ．12cm 2C ．15cm 2D ．17cm 22、（4分）己知两个变量之间的关系满足y=-x+2,则当x=-1时，对应的y 的值（）A ．3B ．1C ．-1D ．-33、（4化简的结果是（）A ．－2B ．2C ．2±D ．44、（4分）已知一次函数(1)y k x =-.若y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（）A ．1k <B ．1k >C ．k 0<D ．0k >5、（4分）如图，是反比例函数y 1=1k x 和y 2=2k x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲于A 、B 两点，若S △AOB =3，则k 2﹣k 1的值是（）A ．8B ．6C ．4D ．26、（4分）下列函数的图象经过()0,1，且y 随x 的增大而减小的是（）A ．y x =-B ．1y x =-C ．21y x =+D ．1y x =-+7、（4分）下列命题中，是真命题的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．对角形相等的四边形是矩形C ．顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形D ．一组邻边相等的平行四边形是正方形8、（4分）平行四边形所具有的性质是（）A ．对角线相等B ．邻边互相垂直C ．每条对角线平分一组对角D ．两组对边分别相等二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为▲．10、（4分）“绿水青山就是金山银山”．为了山更绿、水更清，某县大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保到2021年实现全县森林覆盖率达到72.75%的目标．已知该县2019年全县森林覆盖率为69.05%，设从2019年起该县森林覆盖率年平均增长率为x ，则可列方程___．11、（4分）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，AC 上的点，且DE ∥AC ，EF ∥AB ，要使四边形ADEF 是正方形，还需添加条件：__________________．12、（4分）如图，在等腰直角三角形ACD ，∠ACD=90°，，分别以边AD ，AC ，CD 为直径面半图，所得两个月形图案AGCE 和DHCF 的面积之和(图中阴影部分)为_____________．13、（4分）有一组数据：(),,,,a b c d e a b c d e <<<<．将这组数据改变为2,,,,2a b c d e -+．设这组数据改变前后的方差分别是2212,S S ,则21S 与22S 的大小关系是______________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）直线L 与y ＝2x +1的交于点A （2，a ），与直线y ＝x +2的交于点B （b ，1）（1）求a ，b 的值；（2）求直线l 的函数表达式；（3）求直线L 、x 轴、直线y ＝2x +1围成的图形的面积．15、（8分）如图，两个全等的Rt △AOB 、Rt △OCD 分别位于第二、第一象限，∠ABO ＝∠ODC ＝90°，OB 、OD 在x 轴上，且∠AOB ＝30°，AB ＝1．（1）如图1中Rt △OCD 可以看作由Rt △AOB 先绕点O 顺时针旋转度，再绕斜边中点旋转度得到的，C 点的坐标是；（2）是否存在点E ，使得以C 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出E 点的坐标；若不存在请说明理由．（3）如图2将△AOC 沿AC 翻折，O 点的对应点落在P 点处，求P 点的坐标．16、（8分）某电冰箱厂每个月的产量都比上个月増长的百分数相同.己知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台.（1）求该厂今年产量的月平均増长率为多少？（2）预计7月份的产量为多少万台？17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+过点(6,m)A 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ．过点C 且与3y x =平行的直线交y 轴于点D ．（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围．18、（10分）甲、乙两个车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天．其间，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙两个车间各自加工零件总数y （单位：件）与加时间x （单位：天）的对应关系如图1所示，由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z （单位：件）与加时间x （单位：天）的对应关系如图2所示，请根据图象提供的信息回答：()1图中m 的值是__________；()2第_________天时，甲、乙两个车间加工零件总数相同.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，直线y=mx与双曲线y=xk交于A、B两点，D为x轴上一点，连接BD 交y轴与点C，若C（0，-2）恰好为BD中点，且△ABD的面积为6，则B点坐标为__________.20、（4分）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，则菱形的对角线交点D的坐标为____；若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点D的坐标为_____．21、（4分）已知一个样本中共5个数据，其中前四个数据的权数分别为0.2，0.3，0.2，0.1，则余下的一个数据对应的权数为________．22、（4分）已知有两点、都在一次函数的图象上，则的大小关系是______（用“<”连接）23、（4分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，岳池县某中学开展“朗读”比赛活动，九年级()1、()2班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示．平均数中位数众数九()1班8585九()2班80()1根据图示填写表格；()2结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；()3如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．25、（10分）如图，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,3A -、()6,0B -、()1,0C -.（1）请直接写出点A 关于原点对称的点的坐标；（2）将ABC ∆绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到111A B C ∆，画出111A B C ∆，直接写出点A 、B 的对应点的点1A 、1B 坐标；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.26、（12分）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．(1)先作出该四边形关于直线成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90o后的图形；(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于_________．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】解：∵△A1B1C1是由ABC沿BC方向平移了BC长度的一半得到的，∴AC∥AC1，B1C=12B1C1，∴△B1DC∽△B1A1C1，∵△B1DC与△B1A1C1的面积比为1：4，∴四边形A1DCC1的面积是△ABC的面积的3 4，∴四边形A1DCC1的面积是：320154⨯=cm2，故选C2、A【解析】将自变量x的值代入函数解析式求解即可．【详解】解：x=-1时，y=-（-1）+2=1+2=1．故选：A．本题考查函数值的计算：（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．3、B【解析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．【详解】=2，故选：B．本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．【解析】∵y 随x 的增大而增大，∴10k ->，1k ∴>，故选B.5、B 【解析】本题主要考察反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识点.【详解】设A （a,b ）,B （c,d ）,代入双曲线得到k 1=ab,k 2=cd.因为三角形AOB 的面积为3.所以12cd-12ab=3.即cd-ab=6.可得k 2﹣k 1=6.即本题选择B.学会将三角形面积的表达与反比例函数的定义联系起来.6、D 【解析】根据一次函数的性质，k ＜0，y 随x 的增大而减小，找出各选项中k 值小于0的选项即可．再把点()0,1代入，符合的函数解析式即为答案.【详解】A.y x =-，当x=0时，y=0，图象不经过()0,1，不符合题意;B.,1y x =-，当x=0时，y=-1，图象不经过()0,1，不符合题意;C.21y x =+，k=2>0，y 随x 的增大而增大,不符合题意;D.y=-x+1，当x=0时，y=1，图象经过()0,1,k=-1<0，y 随x 的增大而减小本题考查了一次函数图像的性质，判断函数图像是否经过点，把点的x 坐标代入求y 坐标，如果y 值相等则函数图像经过点，如不相等则不经过，当k>o,y 随x 的增大而增大，,当k<0，y 随x 的增大而减小.【解析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；B.对角形相等的平行四边形是矩形，此选项不符合题意；C.顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形，此选项符合题意；D.一组邻边相等的矩形是正方形，此选项不符合题意；故选：C．本题考查的知识点是菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理，熟记菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理内容是解此题的关键．8、D【解析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．【详解】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.故选D.此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=12AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，AB=AC，∴AB=1；故答案为：1．10、69.05%（1+x ）2＝72.75%【解析】此题根据从2019年起每年的森林覆盖率年平均增长率为x ，分别列出2020年以及2021年得森林覆盖面积，即可得出方程.【详解】∵设从2019年起每年的森林覆盖率年平均增长率为x ，∴根据题意得：2020年覆盖率为：69.05%(1+x)，2021年为：69.05%(1+x)²=72.75%，故答案为：69.05%(1+x)²=72.75%此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程11、∠A＝90°，AD＝AF(答案不唯一)【解析】试题解析：要证明四边形ADEF 为正方形，则要求其四边相等，AB=AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，则得其为平行四边形，且有一角为直角，则在平行四边形的基础上得到正方形．故答案为△ABC 为等腰直角三角形，且AB=AC ，∠A=90°（此题答案不唯一）．12、1【解析】由勾股定理可得AC 2+CD 2=AD 2，然后确定出S 半圆ACD =S 半圆AEC +S 半圆CFD ，从而得证．【详解】解：∵△ACD 是直角三角形，∴AC 2+CD 2=AD 2，∵以等腰Rt△ACD 的边AD、AC、CD 为直径画半圆，∴S 半圆ACD =12π•14AD 2，S 半圆AEC =12π•14AC 2，S 半圆CFD =12π•14CD 2，∴S 半圆ACD =S 半圆AEC +S 半圆CFD ，∴所得两个月型图案AGCE 和DHCF 的面积之和（图中阴影部分）=Rt△ACD 的面积=12=1；故答案为1．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键.13、2212S S ＜【解析】设数据a ，b ，c ，d ，e 的平均数为x ，根据平均数的定义得出数据2a -，b ，c ，d ，2e +的平均数也为x ，再利用方差的定义分别求出21S ，22S ，进而比较大小．【详解】解：设数据a ，b ，c ，d ，e 的平均数为x ，则数据2a -，b ，c ，d ，2e +的平均数也为x ，222211[(()(]5S a x b x e x =-+-+⋯+-，222221[(2()(2]5S a x b x e x =--+-+⋯++-2221[(()()4()44()4]5a xb x e x a x e x =-+-+⋯+---++-+2221[(()()4()8]5a xb x e x e a =-+-+⋯+-+-+22211[4()8]5S S e a ∴=+-+a e <，2212S S ∴<．故答案为2212S S ＜．本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差2222121[()(()]n S x x x x x x n=-+-+⋯+-，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）a ＝5，b ＝﹣1；（2）y ＝43x +73；（3）直线L 、x 轴、直线y ＝2x +1围成的图形的面积为258．【解析】（1）把A,B的坐标代入解析式即可解答（2）设直线L的解析式为：y＝kx+b，代入A,B的坐标即可（3）求出直线L与x轴交于（﹣74，0），直线y＝2x+1与x轴交于（﹣12，0），即可根据三角形面积公式进行解答【详解】（1）把A（2，a）代入y＝2x+1得a＝2×2+1＝5，故a＝5，把B（b，1）代入y＝x+2得，1＝b+2，∴b＝﹣1，（2）设直线L的解析式为：y＝kx+b，把A（2，5），B（﹣1，1）代入得521k bk b=+⎧⎨=-+⎩，解得：4373kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l的函数表达式为y＝43x+73；（3）∵直线L与x轴交于（﹣7 4，0），直线y＝2x+1与x轴交于（﹣12，0），∴直线L、x轴、直线y＝2x+1围成的图形的面积＝12×（﹣12+74）×5＝258．此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于把已知点代入解析式15、（1）90，180，（1）；（2）存在，E的坐标为（0）或（2，或（0，﹣；（3）P（11）．【解析】(1)先求出OB,再由旋转求出OD,CD,即可得出结论;(2)先求出D的坐标,再分三种情况,利用平行四边形的性质即可得出结论;(3)先判断出四边形OAPC是正方形,再利用中点坐标公式即可得出结论【详解】解：（1）Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先绕点O顺时针旋转90°，再绕斜边中点旋转180°得到的，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，AB ＝1，∴OB ＝，由旋转知，OD ＝AB ＝1，CD ＝OB ，∴C （1），故答案为90，180，（1）；（2）存在，理由：如图1，由（1）知，C （1），∴D （1，0），∵O （0，0），∵以C 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴①当OC 为对角线时，∴CE ∥OD ，CE ＝OD ＝1，点E 和点B'重合，∴E （0），②当CD 为对角线时，CE ∥OD ，CE ＝OD ＝1，∴E （2），当OD 为对角线时，OE'∥CD ，OE'＝，∴E （0），即：满足条件的E 的坐标为（02，或（0）；（3）由旋转知，OA ＝OC ，∠OCD ＝∠AOB ＝30°，∴∠COD ＝90°﹣∠OCD ＝60°，∴∠AOC ＝90°，由折叠知，AP ＝OA ，PC ＝OC ，∴四边形OAPC 是正方形，设P （m ，n ）∵A ，1），C （1），O （0，0），∴12（m+0）＝12（1，12（n+0）＝12（，∴m ＝1﹣，n ＝，∴P （1，）．此题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质和旋转的性质，解题关键在于掌握各性质和做辅助线16、（1）20%；（2）8.64万台．【解析】试题分析：（1）设每个月的月平均增长率为x ，则5月的产量为5(1+x)台，6月份的产量为5(1+x)2台，由此即可根据6月份比5月份多生产1.2万台可得方程：5（1+x ）2﹣5（1+x ）=1.2，解方程即可得到所求答案；（2）根据（1）中所得结果即可按7月份的产量为5(1+x)3，即可计算出7月份的产量了.试题解析：（1）设该厂今年产量的月平均增长率是x ，根据题意得：5（1+x ）2﹣5（1+x ）=1.2解得：x=﹣1.2（舍去），x=0.2=20%．答：该厂今年的产量的月增长率为20%；（2）7月份的产量为：5（1+20%）3=8.64（万台）．答：预计7月份的产量为8.64万台．17、（1）y=3x-10；（2）410 33x-≤≤【解析】（1）先把A（6，m）代入y=-x+4得A（6，-2），再利用点的平移规律得到C（4，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y=3x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；（2）先确定B（0，4），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（103，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=3x+4，然后求出直线y=3x+4与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．【详解】解：（1）把A（6，m）代入y=-x+4得m=-6+4=-2，则A（6，-2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（4，2），∵过点C且与y=3x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y=3x+b，把C（4，2）代入得12+b=2，解得b=-10，∴直线CD的解析式为y=3x-10；（2）当x=0时，y=4，则B（0，4），当y=0时，3x-10=0，解得x=103，则直线CD与x轴的交点坐标为（103，0），易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y=3x+4，当y=0时，3x+4=0，解得x=43-，则直线y=3x+4与x轴的交点坐标为（43-，0），∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为410 33x-≤≤.本题考查了一次函数与几何变换：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，会利用待定系数法求一次函数解析式．18、7701【解析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得m的值；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲的速度、乙引入设备前后的速度，乙停工的天数，从而可以求得第几天，甲、乙两个车间加工零件总数相同．【详解】解：（1）由题意可得，m =720+50=770，故答案为：770；（2）由图可得，甲每天加工的零件数为：720÷9=10（个），乙引入新设备前，每天加工的零件数为：10-（40÷2）=60（个），乙停工的天数为：（200-40）÷10=2（天），乙引入新设备后，每天加工的零件数为：（770-60×2）÷（9-2-2）=130（个），设第x 天，甲、乙两个车间加工零件总数相同，10x =60×2+130（x -2-2），解得，x =1，即第1天，甲、乙两个车间加工零件总数相同，故答案为：1．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（32，-4）【解析】设点B 坐标为(a ，b)，由点C （0，-2）是BD 中点可得b=-4，D （-a ，0），根据反比例函数的对称性质可得A （-a ，4），根据A 、D 两点坐标可得AD ⊥x 轴，根据△ABD 的面积公式列方程可求出a 值，即可得点B 坐标.【详解】设点B 坐标为(a ，b)，∵点C （0，-2）是BD 中点，点D 在x 轴上，∴b=-4，D （-a ，0），∵直线y=mx 与双曲线y=xk交于A 、B 两点，∴A （-a ，4），∴AD ⊥x 轴，AD=4，∵△ABD 的面积为6，∴S △ABD =12AD×2a=6∴a=32，∴点B 坐标为（32，-4）本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象是以原点为对称中心的双曲线，根据反比例函数的对称性表示出A 点坐标是解题关键.20、(1，1)(－1，－1)．【解析】根据菱形的性质，可得D 点坐标，根据旋转的性质，可得D 点旋转后的坐标．【详解】∵菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），得∴D 点坐标为（1，1）．∵每秒旋转45°，∴第60秒旋转45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周，即OD 旋转了7周半，∴菱形的对角线交点D 的坐标为（-1，-1），故答案为：（1，1）；（-1，-1）本题考查了旋转的性质及菱形的性质，利用旋转的性质得出OD 旋转的周数是解题关键．21、0.1【解析】根据权数是一组非负数，权数之和为1即可解答.【详解】∵一组数据共5个，其中前四个的权数分别为0.1，0.3，0.1，0.1，∴余下的一个数对应的权数为1-0.1-0.3-0.1-0.1=0.1，故答案为：0.1．本题考查了权数的定义，掌握权数的定义是解决本题的关键．22、【解析】利用一次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=−3x+n，∴y随x的增大而减小，∵点、都在一次函数y=−3x+n的图象上，且1>−2，∴，故答案为：.此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握函数图象的走势.23、内错角相等,两直线平行【解析】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）详见解析；（2）九()1班成绩好些；（3）九()1班的成绩更稳定，能胜出．【解析】()1由条形图得出两班的成绩，根据中位数、平均数及众数分别求解可得；()2由平均数相等得前提下，中位数高的成绩好解答可得；()3分别计算两班成绩的方差，由方差小的成绩稳定解答．【详解】解：()1九()1班5位同学的成绩为：75、80、85、85、100，∴其中位数为85分；九()2班5位同学的成绩为：70、100、100、75、80，∴九()2班的平均数为70100100758085(5++++=分)，其众数为100分，补全表格如下：平均数中位数众数九()1班858585九()2班8580100()2九()1班成绩好些，两个班的平均数都相同，而九()1班的中位数高，∴在平均数相同的情况下，中位数高的九()1班成绩好些．()3九()1班的成绩更稳定，能胜出．()(22222211[(7585)(8085)(8585)(8585)10085)70(5S ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦九分2)，()(22222221[(7085)(10085)(10085)(7585)8085)160(5S 九⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦分2)，()()2212S S 九九∴<，∴九()1班的成绩更稳定，能胜出．本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．25、(1)()2,-3；（2）图详见解析，()13,2A --，()10,6B -；（3）()5,3--，()7,3-，()3,3【解析】（1）由关于原点O 对称的点的坐标特点即可得出答案；（2）由旋转的性质即可得出答案；（3）分三种情况：①BC 为对角线时；②AB 为对角线时；③AC 为对角线时；由平行四边形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵A （-2，3），∴点A 关于原点O 对称的点的坐标为（2，-3）；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°，如图1所示：A′点的坐标为（-3，-2）；（3）如图2所示：BC 为对角线时，点D 的坐标为（-5，-3）；AB 为对角线时，点D 的坐标为（-7，3）；AC 为对角线时，点D 的坐标为（3，3）；综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为（-5，-3）或（-7，3）或（3，3）．本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、关于原点O 对称的点的坐标特点、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键．26、（1）图见解析；（2）1【解析】（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l 的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可；（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论．【详解】解：（1）作图如图所示：先作出关于直线l 的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形．（2）∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，∴原图形的面积为5，∴整个图案的面积=4×5=1．故答案为：1．点睛：本题考查的是利用旋转及轴对称设计图案，熟知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等是解答此题的关键．。
2024届广东省北江实验学校数学八年级第二学期期末监测模拟试题含解析
2024届广东省北江实验学校数学八年级第二学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分，70分，85分，若依次按30%，30%，40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（ ）A ．78.3B ．79C ．235D ．无法确定2．如图：15DAE DAF ︒∠=∠=，//DE AB ，DF AB ⊥，若6AE =，则DF 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．平面直角坐标系内，将点(, )A m n 向左平移3个长度单位后得到点N ，则点N 的坐标是（ ）A ．(3,)m n +B ．(3,)m n -C ．(,3)m n +D ．(,3)m n - 4．一次函数112y x =-+的图像不经过的象限是：（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．方程2(2)3(2)x x -=-的解是A ．5x =B ．2x =C ．5x =或2x =D ．1x =或2x =6．在平面直角坐标中，点P （1，﹣3）关于x 轴的对称点坐标是（ ）A ．（1，﹣3）B ．（﹣1，3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（1，3）7．河堤横断面如图所示，斜坡AB 的坡度=1：3，BC=5米，则AC 的长是（ ）米．A ．3B ．5C ．15D ．38．在ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或339．若实数a 、b 满足ab ＜0，则一次函数y ＝ax+b 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．计算2(4)-的结果是（ ）A ．16B ．4C ．2D ．-411．下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线相等B ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．有两对邻角互补的四边形是平行四边形12．如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E ，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为( )A ．16B ．19C ．22D ．25二、填空题（每题4分，共24分）13．已知△ABC 的周长为4，顺次连接△ABC 三边的中点构成的新三角形的周长为__________．14．若点(,)a b 在一次函数23y x =+的图像上，则代数式361b a -+的值________。
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试+加试试题答案及评分标准
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准一试一、填空题1已知m ,a ,b ,c 为正整数,且a log m 2+b log m 3+c log m 5=2024,求m +a +b +c 的最小值是.【答案】 30662已知x >0,y >0,-log 3y +3x=y -2x =15⋅32x -1y,则y +x =【答案】 11 .3若A 、 B 为锐角且sin B ⋅sin A +B =sin A ,则tan A 的最大值为.【答案】434数列a n 满足:对任意n ≥2,a n =2024a n -1-n . 如果该数列的每一项都是正数,则a 1的最小值为【答案】40472023240474092529 5投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第i 次投中得分为4-i 分(i =1,2,3),若三次均未投中则得分为0分. 假设甲同学的投篮的命中率为p 0<p <1 ,若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56，则p = ，甲投篮测试的得分的均值为. 【答案】 2.376 .6设x ,y 均为非零实数,且满足x sin π12+y cos π12x cos π12-y sin π12=tanπ3 . 在△ABC 中,若tan C =y x,则sin3A +3sin2B 的最大值为.【答案】327已知虚数z 满足z +2z∈R ,则z 2+2z -3 的最大值为【答案】1033 .8n 是正整数, 3n -1没有12以上的质因子,则所有满足条件的n 和是【答案】 129已知四面体PABC ,点A 1在△PBC 内,满足△A 1BP ,△A 1CP ,△A 1BC 的面积之比为3:2:1,G 在线段AA 1上,直线PG 交平面ABC 于点M ,且AG GA 1=PGGM ,则四面体PABC 与A 1AMB的体积之比为.【答案】 1210如图,在一个10×10的方格表中填入0和1,使得任意一个3×3的方格表中都恰有一个1 ,则满足要求的填法数共有种【答案】 261二、解答题1已知抛物线C :y 2=18x +27的焦点与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 2重合, C 的准线经过E 的左顶点.(1)求E 的方程;(2)已知点F 1为E 的左焦点, P 为E 上的一点(异于左、右顶点), △PF 1F 2外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r ,求R ⋅r 的取值范围.【解析】(1) 易知 C 的顶点坐标为 -32,0 ,p 2=184=92,所以 C 的焦点坐标为 -32+92,0 ,即 3,0 ,C 的准线方程为 x =-32-92=-6,所以 a =6,c =3,b 2=a 2-c 2=27 ,所以 E 的方程为 E :x 236+y 227=1;4 分(2)设 ∠F 1PF 2=θ,PF 1=a 1,PF 2=a 2,由正弦定理可得 2R =F 1F 2sin θ=2csin θ,即R =c sin θ=3sin θ,则 cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2,即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=54cos θ+1, -8 分S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=27sin θcos θ+1=27sin θ2cos θ2cos 2θ2=27tanθ2又 S △PF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =9r , -12 分所以 27tanθ2=9r ,即 r =3tan θ2,所以 R ⋅r =9tan θ2sin θ=92cos 2θ2,又因为当 P 在短轴的端点时, θ 最大,此时, θ=60° , -16 分所以 θ∈0,π3 ,即 θ2∈0,π6 ,所以 cos θ2∈32,1 ,故 R ⋅r =92cos 2θ2∈92,6. -20 分2已知方程ln x +x 1-m =0,m ∈R 有两个不同的零点,分别记为a ,b ,且a <b .(1)求实数m 的取值范围;(2)若不等式t +1<ln a +t ln b 恒成立,求正数t 的取值范围.【解析】(1)设 f x =ln x +x 1-m ,m ∈R 的定义域为 0,+∞ ,f x =1x+1-m ,当 m ≤1 时,因 f x >0,故函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增,不存在两个零点,不合题意;当 m >1 时,设 g x =f x =1x +1-m ,g x =-1x2<0 ,故 g x 在 0,+∞ 上单调递减,即 f x =1x+1-m 在 0,+∞ 上单调递减,由 f x =0,得 x =1m -1,当 0<x <1m -1时, f x >0;当1m -1<x 时, f x <0;所以当 x =1m -1 时, f x 取得最大值.即 f 1m -1=ln 1m -1+1m -11-m =-ln m -1 -1,-⋯⋯-4 分若函数 f x 有两个不同的零点,则 -ln m -1 -1>0即 ln m -1 <-1=ln1e ,解得 m <1+1e,又 m >1当 x 趋近于 0+ 时, 1-m x 趋近于 0, ln x 趋近于负无穷, f x 趋近于负无穷;当 x 趋近于正无穷时, f x 趋近于负无穷.所以若函数 f x 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围 1<m <1+1e.---8 分(2)因为 f x =ln x +x 1-m m ∈R 有两个不同的零点 a ,b ,由题知 0<a <b ,且 ln a +a -am =0ln b +b -bm =0 ,相减得到:m -1=ln a -ln b a -b由 t +1<ln a +t ln b 恒成立,所以 t +1<am -a +t mb -b 恒成立,即 t +1<a +tb m -1 恒成立,---12 分所以 t +1<a +tb ln a -ln b a -b 恒成立,即 t +1<ab+t a b-1ln a b 恒成立.设 k =ab ,则 k ∈0,1 时,不等式 t +1<t +k ln k k -1恒成立,因为 t +k >0,k -1<0 进而得 ln k -t +1 k -1t +k<0 在 k ∈0,1 时恒成立,设 h k =ln k -t +1 k -1t +k, k ∈0,1 ,注意到 h 1 =0 .则 h k =1k -t +1 t +k -k -1 t +k2 ,即 hk =1k -t +1 2t +k2=t 2+k 2-t 2k -kk t +k 2=k -1 k -t 2 k t +k 2, -16 分又因为 k ∈0,1 且 t >0,则k -1k t +k 2<0 ,所以当 t ≥1 时, k -t 2<0,即 h k >0,故 h k 在 k ∈0,1 单调递增,而 k =1 时 ln k -t +1k -1t +k=0,所以 h k <0 恒成立,故 t ≥1 满足题意.当 0<t <1 时,若 k ∈t 2,1 ,由 h k <0,则 h k 在 k ∈t 2,1 单调递减,所以当 k ∈t 2,1 时 h k >0,与题设不符.综上所述,正数 t 的取值范围 t ≥1. ---20 分加试1设有限集A ,B ,C ⊆R ,A ,B ,C 为有限集,对任意x ∈R ,定义:N A ,B ,C x =a ,b ,c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C ,a +b +c =x ∣ . 证明以下结论:(1)存在x ∈R ,使得0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C(2)x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥A2⋅B 2⋅C 2A +B +C 其中:A 表示集合A 中的元素个数, A +B +C ={a +b +c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C } .【解析】(1)x ∈A +B +CN A ,B ,C x =x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C ,a +b +c =x1=a ,b ,c ∈A ×B ×C1=A ⋅B ⋅C由平均值原理,存在 x ∈A +B +C ,使得 0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C. .20 分(2)由柯西不等式x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥X ∈A +B +C N A ,B ,C x 2⋅1A +B +C .. .30 分=1A +B +C x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C a +b +c =x12=1A +B +Ca ,b ,c ∈A ×B ×C12=A2⋅B 2⋅C 2A +B +C. .40 分2如图, AB 为圆O 的一条弦(AB <3R ,R 为圆O 的半径), C 为优弧AB的中点, M 为弦AB 的中点. 点D ,E ,N 分别在BC ,CA和劣弧AB上,满足BD=CE,且AD ,BE ,CN 三线共点于F . 延长CN 至G ,使GN =FN . 求证:∠FMB =∠GMB .【解析一】如图,延长 CM 交圆 O 于 T ,以 T 为圆心, TA 为半径作圆,与 CN 延长线交于 G ∵C 为优弧 AB 中点, ∴B 在圆 T 上,且 CA 与 CB 是圆 T 的切线∵∠AFB =AB+ED2=∠ACB +∠CAB =180°-12∠ATB∴F 在圆 T 上. .10 分∵CT 是圆 O 的直径,所以 ∠TNF =90°∴N 为 FG 的中点, G 与 G 重叠∴AFBG 四点共圆. . .20 分(实际上点出圆心 T 的目的是为了证明 AFBG 的共圆,证明共圆之后这个圆心就再也不会 出现, 只要能够证明 AFBG 共圆无论是否点出圆心都可以获得 20 分)∵CA 与 CB 是圆 T 的切线∴△CAF ∽△CGA ,△CBF ∽△CGB∴AF ⋅BG =AG ⋅BF . .30 分由托勒密定理知, AG ⋅BF =12AB ⋅FG =BM ⋅FG ,且 ∠FBM =∠AGF ∴△BFM ∽△GFA ∴∠BMF =∠FAG同理 ∠BMG =∠FAG ∴BM 平分 ∠FMG .40 分证毕(最后导出等角后面的证明调和四边形, 都是相对平凡的步骤了, 各占 10 分)【解析二】解析二使用了调和点列的一些性质, 答案中会备注使用调和点列的地方, 请审卷 老师注意评分如图,连接 NB ,NA ,CN 交 AB 于 Q ∵C 是优弧 AB 的中点∴∠ANC =∠BNC ∵BD=EC∴∠BFN =BN+EC2=BN +BD2=DN2=∠NAF∴△BNF ∞△FNA∴NF 2=NA ⋅NB .10 分又 NC 平分 ∠ANB ,∴△QNB ∽△ANC ∴NA ⋅NB =NQ ⋅NC∴NF2=NQ⋅NC . . .20 分(每一个相似占 10 分)∵N 为 FG 中点∴NF NC =NQNF, ∴NF-NQNC-NF=NF+NQNC+NF,即FQFC=GQGC∴CFQG 成调和点列 (调和点列的性质) . .30 分(注: 有的学生可能会写成 C,Q;F,G=-1 也代表调和点列,可以给分)∵M 是 AB 中点, ∴CM⊥AB∴MQ 与 MC 分别是 ∠FMG 的内角平分线和外角平分线 (调和点列的性质) . .40 分 证毕。
广东北江实验学校第二届实验杯基础知识竞赛数学试卷
得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人广东北江实验学校第二届“实验杯”基础知识竞赛数 学 试 卷（满分100分，80分钟内完成）题号 一 二 三 四 五 总分 得分一、计算题（要求写出必要的过程，第1至3题每小题3分，第4题5分，共14分）1、42+33=2、12×（7.274—6.3+11.726—3.7）=3、解方程：23 x +12 x =424、计算： 445 ÷67 +0.7（4518 —31336 ）×1.2二、选择题（每小题只有一个正确答案，将你认为正确的答案代号填入下面表格中，每小题3分，共15分。
）5、一个数的516 是3，那么，这个数的56 是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、86、三角形的面积为S 平方米，底边长为a 米，那么，底边上的高是（ ） A 、2S ÷a 米 B 、S ÷2a 米 C 、S ÷2÷a 米 D 、S ÷a 米7、有一个等腰三角形，它的顶角和一个底角度数的比是1︰2，则这个等腰三角形顶角是（ ）度。
A 、300 B 、360 C 、600 D 、7208、下面比较大小的关系式中，正确的是（ ）A 、2 3 ＞710B 、2 7 ＞13C 、5 12 ＞718D 、 6 7 ＞899、有两个棱长都是4厘米的正方体盒子，把它们拼成一个长方体的盒子，则拼成的长方体盒子的表面积是（ ）A 、192平方厘米B 、176平方厘米C 、160平方厘米D 、144平方厘米 三、填空题（前5题每题3分，后5题每题4分，共35分） 10、如果6x —1=3，则9x +4=＿＿＿＿＿＿＿＿11、8，12，16三个数的最小公倍数是＿＿＿＿＿＿；12，51的最大公因数是＿＿＿＿＿。
12、已知比例式56 ︰3=10︰x ，那么，其中的x =＿＿＿＿＿。
13、某项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做则 需36天完成如果两合作，则需要＿＿＿＿天可完成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东北江中学实验学校首届“实验杯”基础知识竞赛
数学试卷
（满分100分，80分钟完成）
一、判断题（对的在括号中打“√”错的打“×”每小题2分，共8分）
1、用0，1，2，3，4组成的最小的五位数是12034 （）
2、如果数A的2倍和数B的5倍一样大，那么数A大于数B （）
3、等底等高的两个三角形的周长相等（）
4、2002年6月30日是星期天，则2002年7月30日是星期二（）
二、选择题（每题都只有一个正确答案，将你认为正确答案的代号填入表格中，每小题2分，共10分）
5、42、5
6、2002的最大公因数是（）
A、2
B、7
C、14
D、21
6、如果
12
a=
36
b，那么a︰b=（）
A、12︰36
B、1︰3
C、3︰1
D、3︰9
7、如果2002□630＞20025630，那么□内最小的数字可以填（）
A、3
B、4
C、6
D、9
8、计算右边图形的面积是（）
A、900
B、800
C、600
D、400
9、把一段6米长，体积是3768立方厘米的圆柱形钢材截成两段，使截得的钢材的表面积比原来钢材
的表面积增加了多少平方厘米？（操作时损耗忽略不计）（）
A、3.14
B、6.28
C、12.56
D、25.12
三、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在括号中）
10、2000000平方米＿＿＿＿＿＿＿＿公顷。
11、12和18的最小公倍数是＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、伍千七百零九万八千零二十三写作＿＿＿＿＿＿＿＿。
13、如果
2
x=
3
4那么3
x+9=＿＿＿＿＿＿。
14、2002除以6的余数＿＿＿＿＿＿。
15、某种铁矿石的出铁率是45%，现已炼出纯铁90吨，则需这钟铁矿石＿＿＿＿吨。
16、把两个边长都相等的三角形拼成一个周长为48的平行四边形，则这两个三角形的边长都等于＿＿
＿＿＿＿＿＿。
17、如上图，已知圆的面积与长方形的面积相等，则图中阴影部分的面积是圆的面积的＿＿＿%
四、计算题（18、19题每小题5分，20、21每小题6分，共22分，要求写出必
要的过程）
18、
1
5+
4
17—
2
85
19、解方程：（3x+4）+x=7（x—5）
20、计算：10÷
1
3
—（1—
2
3）÷[（
1
3÷10）×（
1+25%）] —10
校
：
姓
名
：
报
名
号
：
试
室
号
：
21、计算：（20.02×37—200.2×1.9+2.002×820）÷1÷（1÷2）÷（2÷3）÷（3÷4）
五、应用题（每小题6分，共24分，要求写出必要的过程）
22、广东北江中学受上级委托组织今年的韶关市导游资格考试，考场准备设50
个考室，每个考室需2名监考员，整个考场另需若干名工作人员，已知每个考室平均需要2.4人，问：
除了监考员以外，另需安排多少名工作人员？
23、小张开汽车，小李骑自行车，二人同时从A地去相距90千米的B地。
小张的车速是小李的车速的
3倍，小张比小李早到3小时，问小张和小李的车速分别是每小时多少千米？
24、有浓度为8%的盐水400克，煮沸一段时间后变成了10%的盐水，问水减少了多少克？
25、某食品厂用同样的花生生产花生油，第一次用了花生1400千克，第二次用的花生是第一次的1
3
4倍，
已知第一次比第二次少生产花生油135千克，问两次共生产花生油多少千克？
六、综合题（每小题42分，共12分，请写出必要的解题过程）
26、在2002年日韩世界杯足球赛中，中国队被分到了C组，同组的还有另外三
支球队，根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，问中国队比赛三场后的积分
不可能得多少分？
27、如图是一个连长为4厘米的正方体，现分别在它的前面和后面、左面和右面、上面和下面的中心
位置分别挖去一个长和宽均为1厘米，高为4厘米的长方体形孔（将六个面都挖通），求剩余部分的体
积。
28、已知公式：1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2(n是自然数)
根据给出的公式解下面的题：
有一个工厂第一个月的利润是a1=100万元，第二个月的利润a2比第一个月的利润a1增加了1万元；第
三个月的利润a3比第二个月的利润a1增加了2万元；第四个月的利润a4比第三个月的利润a3增加了3
万元；……依次类推，第200个月利润a200比第199个月的利润a199增加了199万元；问第200个月利
润a200是多少万元？
密
封
线。