三向应力状态简介

uv
3(12)
2E
2m
1 6E 2(123)2
uf uuv
1 6 2E ( 1 1 2 ) 2 m(2 m 3 ) 2 (3 1 1 ) 2 m
3
m
.
3 m
§10-7 强度理论的概念
max [ ] max [ ]
流动破坏 材料破坏的形式主要有两类：
断裂破坏
.
§10-8 常用的四种强度理论
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
1 (2 3 ) b
[ ] b
n
• 第二强度条件： 1(23 ) []
.
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如 端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
单 位 体 积 的 体 积 改 变 为 :
V1 V0
V0
123
3 a
b 1 c
也 称 为 体 积 应 变 。 .
CL10TU30
1231E 2(123)
3(12)123 m
式 当 中 Km： 0 3.(5 1E 213时 1E2， EEE1113 )2 体 0 1323积 3.弹 （（（性模213量 K231
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类：
一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。 一、关于脆断的强度理论
.
1.最大拉应力理论（第一强度理论）
• 它假定：无单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
.
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应变状态如何， 只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉 伸断裂时应变的极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu • 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工
作，则
1 E 11 （ 2.3 ） , uE uE b
m ax1 2347.2M Pa
.
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
解： 1 5 0 M P a
2 50M Pa
3 50M Pa
max
1 3 2
50M Pa
.
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
.
CL10TU34
.
3
2
1
.
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
3
2
1
.
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
3
2
1
.
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
1
2
1 E
2 （ 3 1）
3
1 E
3 （ 1 2） .
2 1
m m
2 m
1 m
3
m
3 m
m
1
2
3
3
变 形3 比(1 能=2 体)积 改1 变 比能2+ 形状3改 变比m 能
u E = uv 3+ .
uK f CL10TU41
u 2 1 E1 2 2 2 3 2 2 (12 23 31 )
.
对于二向应力状态：
1 1 E ( 1 2 )
2
1 E
(
2
1)
3 E ( 1 2 )
.
2 1
CL10TU30
下 面 考 虑 体 积 变 化 ：
V0abc
V 1 a ( 1 1 ) b ( 1 2 ) c ( 1 3 ) 2
a b c ( 1 1 23 )
解：
2 1 1 12 20 02 2 4 40 0 1 2 0 2 4 0 23 021 3 3 0 0M M P a 3 3 30 0M MP Pa a
m ax1 2380M Pa
.
§10-5 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E .
CL10TU35
下 面 计 算 沿 1 方 向 的 应 变 ：
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： .
1 []
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
max
1
3
2
3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
角的平面上，以τ1，3表示 .
CL10TU31
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
.
CL10TU32
解：
1 330 220 30 220 2402 5 4 2 2 .2 .2M M P a
25500M M PPaa
1引 起 的 应 变 为 1
1
E
2
2 、 3 引 起 的 应 变 为
1
2
E
1
3
E
1 3
当 三 个 主 应 力 同 时 作 用 时 ：
1E 11（ 2 . 3）
CL10TU30
广义胡克定律：
1
1 E
1 （ 2 3）
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2）
2
3
3
1
1 1
3 2
. 3
2
3
2
1
.
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
2
3
1
1
3 2.
3
2
1
.
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2
3
1
1
3 2
§10-4 三向应力状态简介
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任. 意斜截面上的应CL力10T: U30
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
） ） ）
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
P
拉压变形能：
U1Pl1PPl P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
l l
uU P2l
2
1
V 2EAAl 2E 2
. CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u2 1112 1222 133 2
1 3
.
变形比能：
u21112122 2133
2 1 E 1 2 1 E12 2 13 2 2 （(1 2 2 3 ）23 31 )