人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 培优练习题
）
G
B
D
F
E
E
G
E
G
A
B
A
B
A
B
C
D
C
D
C
D
H
(1)
(2)
F
H
(3)
F
H
(4)
F
A 4 5 F
练：１、如图：按各组角的位置，判断错误的是（ A、 ∠ 1 与 ∠ A 是 同 旁 内 角 C、 ∠ 5 与 ∠ 6 是 同 旁 内 角 B、 ∠ 3 与 ∠ 4 是 内 错 角 D、 ∠ 2 与 ∠ 5 是 同 位 角
甲 乙 两 同 学 从 此 题 证 明 中 发 现 ，问 题 的 实 质 在 于 AA 2 ，它 与 连 接 A 1 ∥ BA 1 、 A2 两 点 之 间 的折线段无关。 因此， 如图３， 甲 同 学 将 A1 、A3 之 间 的 折 线 段 增 加 到 ４ 条 A1 B1 ，B1 A2 ， A2 B2 ，
M M D C (2) N
A (1) N
B
1
A
B
解 ：（ 1 ）如 图（ 2 ），作 M C ⊥ AB 交 AB 于 点 C ， ND ⊥ AB 交 AB 于 D. 根 据 垂 线 段 最 短 ，知 在 点 C 处对 M 学校的影响最大，在点 D 处对 N 学校的影响最大。 （ 2） 由 A 向 点 C 行 驶 时 对 两 个 学 校 的 影 响 逐 渐 增 大 ； 由 点 C 向 点 D 行 驶 时 ， 对 M 学 校 的 影响逐渐减小，对 N 学校的影响逐渐增大。 练 ： ２ 、 如 图 ， ∠ BAC ＝ 90 ， A D ⊥ BC （ 1） 能 表 示 点 到 直 线 距 离 的 线 段 共 有 （ 2 ） 已 知 AB ＝ 6 ， AC ＝ 8 ， BC ＝ 10 ， 则 AD ＝ 条； 。
B2 A3 . 仍 然 有 ∠ A1 + ∠ A2 + ∠ A3 = ∠ B1 + ∠ B2 . 如 图 ４ ， 乙 同 学 发 现
∠ A1 + ∠ A2 + … + ∠ An ＝
∠ B1 + ∠ B2 + … + ∠ Bn1 ， 即 向 右 凸 出 的 角 之 和 ＝ 向 左 凸 出 的 角 之 和 . 你 认 为 他 们 的 想 法 对 吗？
解 ： 如 图 （ 2 ） ， 过 点 B1 作 B1 E ∥ AA 1 ， 将 ∠ A1 B1 A2 分 成 两 个 角 ∠ 1 ， ∠ 2. ∵ AA 2 1 ∥ BA ∴ B1 E ∥ BA2
(1)
A2
A 1 2
A1 B1 E A2
B (2)
∴ ∠ 1 ＝ ∠ A1 ， ∠ 2 ＝ ∠ A2 . （ 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 ） ∴ ∠ B1 ＝ ∠ 1+ ∠ 2= ∠ A1 + ∠ A2 故 ∠ B1 ＝ ∠ A1 + ∠ A2
0
A
B
方法：
D
C
有些简单的几何问题，如果抓住问题的实质，在实质不变的情况下可以将问题进一步提升得 出一般性结论。 例 3 ： 如 图 (1) ， AA 2 ， 求 证 ∠ B1 ＝ ∠ A 1 ∥ BA 1 + ∠ A2 分 析 ： 将 ∠ B1 通 过 平 行 线 进 行 分 割 。
A
A1 B1
B
相交线与平行线 培优练习题
方法： 将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决问题的法宝 例 1 ： 如 图 ， 平 行 直 线 AB 、 CD 与 相 交 直 线 EF ， GH 相 交 ， 则 图 中 同 旁 内 角 共 有 （ A、 4 对 B、 8 对 C 、 12 对 D 、 16 对 E 分析：从原图形中的四条直线中任意取出一条，得到两类基本图形： 一类为三线中两线平行，有两对同旁内角；另一类三线两两 A 相交，有六对同旁内角。 解 ： （ 1 ） 取 出 EF ， 得 到 基 本 图 形 如 图 （ 1 ） ， 有 2 对 同 旁 内 角 ； （ 2 ） 取 出 GH ， 得 到 基 本 图 形 如 图 （ 2 ） ， 有 2 对 同 旁 内 角 ； C （ 3 ） 取 出 AB ， 得 到 基 本 图 形 如 图 （ 3 ） ， 有 6 对 同 旁 内 角 ； （ 4 ） 取 出 CD ， 得 到 基 本 图 形 如 图 （ 4 ） ， 有 6 对 同 旁 内 角 ； H 故 共 有 2+2+6+6 ＝ 16 对 同 旁 内 角
A B1 B (3) B2
A
A1 A2 A3
B1 B2 B (4)
2
A1 A2 A3 An
Bn-1
方法： 解应用性问题基本步骤： （ 1） 正 确 地 将 实 际 问 题 转 化 为 基 本 定 理 或 基 本 模 型 ， 转 化 来 源 于 对 已 知 条 件 的 综 合 分 析 、 归 纳与抽象，并与熟知的模型相比较，以确定模型种类； （ 2） 运 用 所 学 知 识 进 行 合 理 设 计 并 确 定 最 佳 解 题 方 案 ； （ 3） 用 所 获 得 的 结 果 去 解 释 实 际 问 题 ， 即 是 对 实 际 问 题 进 行 总 结 和 作 答 。 例 2 ： 如 图 （ 1 ） ， 一 辆 汽 车 在 公 路 上 由 A 向 B 行 驶 ， M ， N 分 别 为 位 于 AB 两 侧 的 学 校 ， （ 1 ） 汽车在公路上行驶时会对学校的教学造成影响，当汽车行驶在何处时对学校 影响最大？在 图 上 标 出 来 ； （ 2） 当 汽 车 从 A 向 B 行 驶 时 ， 哪 一 段 上 对 两 个 学 校 的 影 响 越 来 越 大 ？ 哪 一 段上对 M 学校的影响逐渐减小，而对 N 学校的影响逐渐增大？ 分 析 ： 对 学 校 影 响 的 大 小 与 汽 车 到 学 校 的 距 离 的 远 近 有 直 接 关 系 。 汽 车 行 驶 在 直 线 AB 上 ， 用 点到直线的距离中垂线段最短可得到实际问题的解决途径。
第五章相交线与平行线单元试卷(培优篇)(Word版 含解析)
解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D．
【点睛】
本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
2．A
解析：A
【分析】
根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补逐一判断可得．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（）
∴∠C＝∠CEF．（）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
27．如图1．已知直线 ．点 为 ， 内部的一个动点，连接 ， ，作 的平分线交直线 于点 ，作 的平分线交直线 于点 ， 和 交于点 ．
（1）若 ，猜想 和 的位置关系，并证明；
（2）如图2，在（1）的基础上连接 ，则在点 的运动过程中，当满足 且 时，求 的度数．
28．如图1，直线 与直线 交于点 ， ．小明将一个含 的直角三角板 如图1所示放置，使顶点 落在直线 上，过点 作直线 交直线 于点 (点 在 左侧)．
《第5章相交线与平行线》期末复习培优训练(附答案) 2020-2021学年七年级数学人教版下册
2021年人教版七年级数学下册《第5章相交线与平行线》期末复习培优训练（附答案）1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次转弯的角度可以是（）A．先右转45°，再左转45°B．先左转45°，再右转135°C．先左转45°，再左转45°D．先右转45°，再右转135°2．两个角的一组对应边同向平行，另一组对应边反向平行，且这两个角的度数比是5：31，则两个角的度数是（）A．150°30°B．140°40°C．25°155°D．135°45°3．如图所示，将一张长方形纸片ABCD沿着直线EF折叠，A、B两点分别落在A′、B′处，若∠AEA′＝70°，则∠BFE的角度为（）A．40°B．35°C．45°D．30°4．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α，β的角度数之积为定值C．β随α增大而增大D．β随α增大而减小5．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是（）A．55°B．70°C．80°D．90°7．如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路，则C，D两村与B，C两村公路之间夹角的度数为（）A．100°B．80°C．75°D．50°8．如图所示，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的补角的度数为（）A．55°B．75°C．105°D．125°9．如图，AB∥DC，∠ABD＝30°，∠ADB＝85°，求∠ADC和∠A的角度．10．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．11．如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠2、∠3的度数．12．如图，AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝110°，求∠3的度数．13．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝46°，求∠CDE的度数．14．如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A＝64°，求∠EDF的度数．15．如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上．若∠2＝50°，求∠1的大小．16．如图，∠B、∠D的两边分别平行．（1）在图①中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？（2）在图②中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？（3）由（1）（2）可得结论；（4）应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数．17．直线AB∥CD，E、F分别是直线AB、CD上的点．（1）如图1，若G是在直线AB和直线CD内部，在EF的右侧一点，证明：∠G＝∠GEB+∠GFD．（2）如图2，EF⊥AB，射线EI从射线EB位置出发，绕着点E以10度/秒的角速度顺时针旋转．射线FH从射线FD位置出发，绕着点F以15度/秒的角速度逆时针旋转．两条射线同时出发，当射线FH转完一周的时候两射线同时停止．请问在保证射线FH和射线EI有交点G的前提下，过几秒钟时，∠EGF＝50°？18．如图，已知AM∥BN．C为直线BN上一点，且∠MAC＝70°，∠ABC＝80°．点P从A出发，沿AM方向运动，∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D．探究一：①当∠ABP＝20°时，求角ADB的度数；聪明的小华看到这一问题，采用了如下解题方法：如图2，过点D作DE∥AM，于是，他很快就得到了正确答案，即∠ADB＝．探究二：设∠ABP＝α，∠ADB＝β，试探究：①若β不小于α，求α的取值范围；②若点P运动的过程中，是否会出现α与β互补的情况？若会，请求出α与β的值；若不会，请说明理由．19．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．（1）若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为；（2）如图1，∠ACE＝∠；若点E在AC的上方，设∠ACB＝α（90°＜α＜180°），则∠DCE的度数为．（用含α的式子表示）（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合①当BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②当BC∥DA时，直接写出∠ACE的度数是度．（4）在（3）的条件下，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在请直接写出此时∠ACE所有可能的角度数值为度，若不能请说明理由．20．（1）如图1，AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝30°，则∠BPD ＝°；（2）如图2，AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图2中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图3，若∠BPD＝86°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．参考答案1．解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于方向仍与原来相同，所以平行前进，可以得到∠1＝∠2．故选：A．2．解：如图，BC∥ED，AB∥EF，∠B：∠E＝5：31，∴∠B＝∠1，∠1+∠E＝180°，∴∠B+∠E＝180°，∵∠B：∠E＝5：31，设∠B＝5x，∠E＝31x，∴5x+31x＝180°，解得：x＝5，∴∠B＝25°，∠E＝155°，故选：C．3．解：由平行线的性质得，∠AEA'＝∠1＝70°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠BFB'＝70°，由折叠性质得，∠BFE＝∠EFB'＝∠BFB'＝35°，故选：B．4．解：过C点作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，故选：C．5．解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，∵EF∥CH，∴∠EPQ＝∠CQP，∵∠EPQ＝∠E+∠EAG，∴∠CQG＝∠E+∠EAG，∵AD∥BC，∴∠HCK+∠CQG＝180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK＝180°；故③正确；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，设∠AGM＝α，∠MGK＝β，∴∠AGK＝α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+α＝β+α+β，∴β＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④错误，故选：B．6．解：如图，延长ED交BF于C，∵BA∥DE，∴∠BCD＝∠B＝120°，∠FCD＝60°，又∵∠FDE是△CDF的外角，∴∠1＝∠FDE﹣∠DCF＝150°﹣60°＝90°，故选：D．7．解：由题意可得：AN∥FB，DC∥BE，∴∠NAB＝∠FBE＝75°，∵∠CBF＝25°，∴∠CBE＝100°，则∠DCB＝180°﹣100°＝80°．故选：B．8．解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5，∴a∥b，∴∠3＝∠6＝55°，∴∠4的补角的度数为55°，故选：A．9．解：∵AB∥DC，∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，∵∠ADB＝85°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝115°，∠A＝180°﹣（∠ADB+∠ABD）＝65°．10．解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．11．解：∵DE∥BC∴∠1＝∠2＝65°∵AB∥DF∴∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣65°＝115°．故答案为∠2＝65°，∠3＝115°．12．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠4＝∠1，∠3+∠4＝∠2，∴∠3＝∠2﹣∠1＝110°﹣50°＝60°．13．解：∵DE∥BC，∠AED＝46°，∴∠ACB＝∠AED＝46°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝23°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝23°．14．解：∵AC∥ED，∴∠BED＝∠A＝64°，∵AB∥FD，∴∠EDF＝∠BED＝64°．15．解：∵AC∥DF，∴∠2＝∠F，∵AB∥EF，∴∠1＝∠F，∴∠1＝∠2＝50°16．解：（1）∠B＝∠D．理由：∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠B＝∠1，∠1＝∠D，∴∠B＝∠D．（2）∠B+∠D＝180°，理由：∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠B＝∠1，∠1+∠D＝180°，∴∠B+∠D＝180°．（3）由（1）（2）可得结论：若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补．故答案为：若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补．（4）设一个角为x°，则另一个角的（2x﹣30）°，若相等：x＝2x﹣30，解得：x＝30，则这两角分别为：30°，30°；若互补，则x+2x﹣30＝180，解得：x＝70，则这两角分别为：70°，110°；答：这两个角的度数分别为：30°，30°或70°，110°．17．解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠BEG＝∠HGE，∠DFG＝∠HGF，∴∠EGF＝∠HGE+∠HGF＝∠BEG+∠DFG；（2）设过t秒钟时，∠EGF＝50°，由题可得∠BEG＝10t°，∠DFG＝15t°，如图2，当点G在EF右侧时，由（1）可得，∠EGF＝∠BEG+∠DFG，即50°＝10t°+15t°，解得t＝2；如图3，当点G在EF的左侧时，过G作PG∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD，∴∠AEG＝∠PGE，∠CFG＝∠PGF，∴∠EGF＝∠PGE﹣∠PGF＝∠AEG﹣∠CFG，又∵∠AEG＝180°﹣10t°，∠CFG＝15t°﹣180°，∴50°＝（180°﹣10t°）﹣（15t°﹣180°），解得t＝12.4，综上所述，过2秒或12.4秒时，∠EGF＝50°．18．解：探究一：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，∴BN∥DE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D，∴＝35°，∠3＝∠PBC＝（80°﹣20°）＝30°，∴∠ADB＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝65°，故答案为：65°；探究二：①如图2，∵AM∥BN，DE∥AM，∴BN∥DE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠P AC与∠PBC的角平分线相交于点D，∴＝35°，∠3＝∠PBC＝（80°﹣α）＝40°﹣，∴∠ADB＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝75°﹣＝β，∵β≥α，∴75°﹣≥α，∴0＜α≤50，∴α的取值范围是：0＜α≤50．②不会，理由：∵75°﹣＝β，假设α+β＝180°，则75°﹣+α＝180°，解答α＝210°＞180°，∴不会出现α与β互补的情况．19．解：（1）由互余∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，由角的和差得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝50°+90°＝140°，故答案为：140°；（2）∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB；∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝α﹣90°，∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，故答案为：DCB，180°﹣α；（3）①当BE∥AC时，∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°；②当BC∥DA时，∵BC∥DA，∴∠BCD＝∠D＝30°，∴∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°．故答案为：①45；②30；（4）①当AD∥CE时，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；②当BE∥CD时，∴∠ACE＝90°+45°＝135°；③当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°∴∠ACE＝90°+75°＝165°．故答案为：120或135或165．20．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠BOD＝∠B＝60°，∴∠BPD＝∠BOD﹣∠D＝60°﹣30°＝30°．故答案为：30°；（2）∠BPD＝∠B+∠D．如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）延长BP交CD于点E，∵∠1＝∠BMD+∠B，∠BPD＝∠1+∠D，∴∠BPD＝∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD＝86°，∠BMD＝40°，∴∠B+∠D＝∠BPD﹣∠BMD＝86°﹣40°＝46°。
人教版七年级数学下册 第五章 相交线平行线 培优试题
相交线平行线 培优试题一．选择题8 1. 如图，下列条件中，不能判断直线ｌ１∥ｌ２的是（ ）Ａ.∠１＝∠３ Ｂ.∠４＝∠５ Ｃ.∠２＋∠４＝180° Ｄ.∠２＝∠３2. 如图，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＦ∥ＣＧ，则图中与∠Ａ（不包括∠Ａ）相等的角有（ ）Ａ.５个 Ｂ.４个 Ｃ.３个 Ｄ.２个3. 如图9，A 、B 、C 、D 中的哪幅图案可以通过图9平移得到( )4. 同一平面内的四条直线满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，则下列式子成立的是（ ） A ．a ∥b B ．b ⊥d C ．a ⊥d D ．b ∥c5.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角的平分线（ ） A ．互相平行 B.互相垂直 C.交角是锐角 D.交角是钝角6.如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角的平分线（ ） A ．互相平行 B.互相垂直 C.交角是锐角 D.交角是钝角.7.下列句子中不是命题的是（）A 、两直线平行，同位角相等。
B 、直线AB 垂直于CD 吗？（图9）C 、若︱a ︱=︱b ︱，则a 2 = b 2。
D 、同角的补角相等。
8. 如图，能判断直线AB ∥CD 的条件是（） A 、∠1=∠2 B 、∠3=∠4C 、∠1+∠3=180 oD 、∠3+∠4=180 o9. 如图，图中∠1与∠2是同位角的是( )⑴ ⑵ ⑶ ⑷A 、⑵⑶B 、⑵⑶⑷C 、⑴⑵⑷D 、⑶⑷10. 如下图，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD =30°-α，则α=( ) A 、10° B 、15° C 、20° D 、30°11．如上图，CD AB //，且25=∠A ，45=∠C ，则E ∠的度数是（ ）A.60 B.70 C.110 D.80 二. 填空题1 ．命题：“邻补角互补”的题设是________________，结论是____________________.12122 11 2A BPDED CBA2. 某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_____元．3. 如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=50°，则∠2的度数为_______________。
七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典习题(课后培优)
一、选择题1．下列命题中是真命题的有（）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．下列语句是命题的是（）A．平分一条线段B．直角都相等C．在直线AB上取一点D．你喜欢数学吗？B解析：B【分析】根据命题的定义分别进行判断．【详解】A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；B.直角都相等，是命题；C.在直线AB上取一点，为描述性语言，不是命题；D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．3．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A解析：A【分析】根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．【详解】解：同位角不一定相等，①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．4．如图，直线a ，b 被直线c 所截，则1∠与2∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角A 解析：A【分析】 根据同位角的定义求解．【详解】解：直线a ，b 被直线c 所截，∠1与∠2是同位角．故选：A ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．5．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（ ）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=︒C ．90αβγ∠+∠-∠=︒D ．90βγα∠+∠-∠=︒C解析：C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，∵AB//EF ，∴AB//CM //DN //EF ，∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++， 又∵BC CD ⊥，∴BCD 90∠=，∴αβ90γ∠∠∠+=+，即αβγ90∠∠∠+-=，故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．6．如图，下列条件：13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线12l l 的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个B 解析：B【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．故选B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．7．（2017•十堰）如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（）A．40°B．50°C．60°D．70°B 解析：B【解析】试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，∴∠B=∠CDE=40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，故选B．考点：平行线的性质8．如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°C解析：C【解析】 试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.考点：平行线的性质9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒B解析：B【分析】 直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键． 10．如图，将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是400px（1px=0.04cm ），那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．21cm C解析：C【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．注意：1px = 0.04cm ．【详解】∵1px = 0.04cm，∴50px=2cm，400px=16cm，∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF．∵平移距离为2cm，∴AD=EF=2cm，∵△ABE的周长是16cm，∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm．故选：C．【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．二、填空题11．高兴同学在学习了全等三角形的相关知识后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M，另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P，则OP平分∠AOB．若∠BOP＝32°，则∠AMP＝_____°．64【分析】由长方形直尺可得MP//OB再根据作图过程可知OP平分∠AOB进而可得∠AMP的度数【详解】解：∵OP平分∠AOB∴∠MOB＝2∠BOP＝64°由长方形直尺可知：MP//OB∴∠AMP＝解析：64【分析】由长方形直尺可得MP//OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【详解】解：∵OP 平分∠AOB ，∴∠MOB ＝2∠BOP ＝64°，由长方形直尺可知：MP //OB ，∴∠AMP ＝∠MOB ＝64°，故答案为：64．【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．12．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．【分析】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．【详解】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，∴∠B=∠BEF ，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A=∠AEF ，∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，∴∠B+∠BEF=180︒，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A+∠AEF=180︒，∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，∴∠A+∠B=270︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=99︒；故答案为：39︒或99︒．．【点睛】此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．12【分析】根据平移的性质得则可计算则可判断为等边三角形继而可求得的周长【详解】平移两个单位得到的又是等边三角形的周长为故答案为：12【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动会解析：12【分析】根据平移的性质得2BB '=，4A B AB ''==，=60A B C B ∠''∠=︒，则可计算624B C BC BB '=-'=-=，则4A B B C ''='=，可判断A B C ''△为等边三角形，继而可求得A B C ''△的周长．【详解】 ABC 平移两个单位得到的A B C '''，2BB ∴'=，AB A B =''，4AB =，6BC =，4A B AB ∴''==，624B C BC BB '=-'=-=，4A B B C ∴''='=，又60B ∠=︒，60A B C ∴∠''=︒，A B C ∴''是等边三角形，A B C ∴''的周长为4312⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．如图，//,//,62AC ED AB FD A ∠=︒，则EDF ∠度数为___________．62°【分析】首先根据两直线平行同位角相等求出∠DEB 的度数再根据两直线平行内错角相等求出∠EDF 的度数【详解】解：∵AC//DE ∠A=62°∴∠DEB=∠A=62°（两直线平行同位角相等）∵DF/解析：62°【分析】首先根据两直线平行，同位角相等求出∠DEB 的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EDF 的度数．【详解】解：∵AC//DE ，∠A=62°，∴∠DEB=∠A=62°（两直线平行，同位角相等），∵DF//AB ，∴∠EDF=∠DEB=62°（两直线平行，内错角相等）．故答案为：62°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟记平行线的性质．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 15．“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是________________．（填真命题或假命题）真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题根据等腰三角形的定义判断即可【详解】等腰三角形的两条边相等的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题故答案为：真命题【点睛】本题考 解析：真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，根据等腰三角形的定义判断即可．【详解】“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题，故答案为：真命题．【点睛】本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 16．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD ∥BC ，所添的条件是__________．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时根据同位角相等两直线平行可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时根据内错角相等两直线平行可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时根据同旁内角解析：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，故答案是：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.17．如图,点A、B为定点,直线l∥AB,P是直线l上一动点，对于下列各值:①线段AB的长；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数，其中不会随点P的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.①③【分析】求出AB长为定值P到AB的距离为定值再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化∠APB的大小不断发生变化【详解】解：∵AB为定点∴AB长为定值∴①正确；∵点A解析：①③【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．【详解】解：∵A、B为定点，∴AB长为定值，∴①正确；∵点A，B为定点，直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，∴③正确；当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴△PAB的周长发生变化，∴②错误；当P点移动时，∠APB发生变化，∴④错误；故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．18．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．如果两个角相等那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题等角的余角相等写成如果…那么…的形式为：如果两个角是相等角的余角那么这两个角相解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．19．如图，AD∥BC，∠D=100°，CA平分∠BCD，则∠DAC=________度．40°【分析】本题主要利用两直线平行同旁内角互补两直线平行内错角相等以及角平分线的定义进行做题【详解】∵AD∥BC∴∠BCD=180°-∠D=80°又∵CA平分∠BCD∴∠ACB=∠BCD=40°∴解析：40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∠BCD=40°，∴∠ACB=12∴∠DAC=∠ACB=40°．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．20．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________．64【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得出两个三角形大小一样阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB根据线段的和差关系可求出HE的长度再根据梯形的面积公式即可得答案【详解】解析：64【分析】根据平移变化只改变图形的位置，不改变图形的形状，可得出两个三角形大小一样，阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB，根据线段的和差关系可求出HE的长度，再根据梯形的面积公式即可得答案．【详解】∵两个三角形大小一样，∴S△ABC=S△DEF，∴S△ABC-S△HEC=S△DEF-S△HEC，∴S阴影=S梯形ABEH，∵其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，∴DE=AB=10，∵DH=4，∴HE=DE-DH=6，∵平移距离是8，∴BE=8，∴S阴影=S梯形ABEH=12（HE+AB）·BE=12×（10+6）×8=64，故答案为：64【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过观察图形把阴影部分的面积转化为熟知图形的面积是关键的一步．三、解答题21．利用网格画图，每个小正方形边长均为1（1）过点C 画AB 的平行线CD ；（2）仅用直尺,过点C 画AB 的垂线，垂足为E ；（3）连接CA 、CB ，在线段CA 、CB 、CE 中，线段______最短，理由___________． （4）直接写出△ABC 的面积为 _________．解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）CE ，垂线段最短；（4）8．【分析】(1)取点D 作直线CD 即可;(2)取点F 作直线CF 交AB 与E 即可;(3)根据垂线段最短即可解决问题;(4)用割补法，大长方形的面积减去三个小三角形的面积即可;【详解】 解：（1）直线CD 即为所求；（2）直线CE 即为所求；（3）在线段CA 、CB 、CE 中，线段CE 最短，理由：垂线段最短；故答案为CE ，垂线段最短；（4） S △ABC =18﹣12×1×5﹣12×1×3﹣12×2×6=8， ∴△ABC 的面积为8.【点睛】本题主要考查垂线、平行线及其做图，注意作图的准确性.22．如图，已知AC BC ⊥，CD AB ⊥，DE AC ⊥，1∠与2∠互补，判断HF 与AB 是否垂直，并说明理由（填空）．解：垂直，理由如下：∵DE AC ⊥，AC BC ⊥，∴90AED ACB ==︒∠∠（垂直的意义）∴//DE BC （_____）∴1DCB ∠=∠（_____）∵1∠与2∠互补（已知）∴DCB ∠与2∠互补∴_________//________（_____）∴BFH CDB ∠=∠（_____）∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90HFB ︒∠=∴HF AB ⊥．解析：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD ；FH ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【分析】根据平行线的性质及平行线的判定解答．【详解】解：垂直，理由如下：∵DE AC ⊥，AC BC ⊥，∴90AED ACB ==︒∠∠（垂直的意义）∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴1DCB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵1∠与2∠互补（已知）∴DCB ∠与2∠互补∴CD //FH （同旁内角互补，两直线平行）∴BFH CDB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90HFB ︒∠=∴HF AB ⊥．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD ；FH ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点睛】此题考查平行线的判定及性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 23．如图，已知：∠DGA=∠FHC ，∠A=∠F ．求证：DF ∥AC ．（注：证明时要求写出每一步的依据）解析：见解析．【分析】先根据∠DGA=∠EGC 证出AE ∥BF ，再根据平行证明出∠F=∠FBC 即可求证出结论．【详解】证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)又∵∠DGA=∠FHC （已知）∴∠EGC=∠FHC （等量代换）∴AE ∥BF (同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠FBC (两直线平行，同位角相等)又∵∠A=∠F （已知）∴∠F=∠FBC (等量代换)∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)．【点睛】此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．24．如图，有三个论断：①12∠=∠；②B C ∠=∠；③A D ∠=∠，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．解析：答案见解析【分析】先从①②③中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，然后根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明即可．【详解】已知：12∠=∠，B C ∠=∠求证：A D ∠=∠证明：如图：13∠=∠ 又12∠=∠32∴∠=∠//EC BF ∴AEC B ∴∠=∠又B C ∠=∠AEC C ∴∠=∠//AB CD ∴A D ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质以及命题与定理的证明问题，证明的一般步骤包括写出已知、求证、画出图形和证明．25．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在BC 上，EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）CD 与EF 平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B 的度数．解析：（1）CD与EF平行．理由见解析；（2）∠B=35°【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠CDB=∠EFB=90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF∥CD；（2）由EF∥CD，根据平行线的性质得∠2=∠BCD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG∥BC，所以∠ACB=∠3=115°，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）CD与EF平行．理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠EFB=90°，∴EF∥CD；（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=115°，∵∠A=30°，∴∠B=35°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．26．平移三角形ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′．解析：见解析【分析】先分别确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可．【详解】解：如图：连接AA′，在AA′在一条直线上CC′＝AA′，得到C′；再作BB′∥AA′且BB′=AA′，最后顺次连接得到△A′B′C′即为所求三角形．【点睛】本题主要考查了平移作图，根据题意确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′是解答本题的关键．27．如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．解析：（1）证明见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2，证明见详解；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，即可得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【详解】解：（1）如图（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．（2）∠3＝∠2﹣∠1；证明：如图2，过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．证明：如图（3），过P作PQ∥l1∥l2；∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．证明：如图（4），过P作PQ∥l1∥l2；∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．【点睛】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 28．如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，并顺次首尾连接，若AF 恰好经过点G ，且//AF DE ，105D E ∠=∠=︒．（1）求F ∠的度数．（2）连接AD ，当ADE ∠与CGF ∠满足怎样的数量关系时，//BC AD ，并说明理由．解析：（1）75°；（2）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ．【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；（2）根据平行线的判定和性质解答即可．【详解】解：（1）∵AF ∥DE ，∴∠F+∠E=180°，∵105E ∠=︒∴∠F=180°-105°=75°；（2）如图，当∠ADE+∠CGF=180°时，BC ∥AD ，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，∴∠GAD=∠CGF，∴BC∥AD．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．。
初中数学数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(附解析
初中数学数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(附解析一、选择题1．如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF ∥CG ，则图中与∠A （不包括∠A ）相等的角有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．450°4．如图，AB ∥CD ，∠B ＝20°，∠D ＝40°，则∠BED 为（ ）A ．20°B ．30°C ．60°D ．40°5．如图，OC 是∠AOB 的平分线，直线l ∥OB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为（）A ．50°B ．60°C ．65°D ．80°6．如图，//AB CD ，PF CD ⊥于F ，40AEP ∠=︒，则EPF ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒7．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）A ．70°B ．180°C ．110°D ．80°8．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．∠BCD= ∠DCE;B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D ．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180︒.9．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（ ）A ．βαγ∠=∠+∠B ．180αβγ∠+∠+∠=︒C ．90αβγ∠+∠-∠=︒D ．90βγα∠+∠-∠=︒二、填空题11．如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；12．如图，//AB CD ，GF 与AB 相交于点H ，与CD 于F ，FE 平分HFD ∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____； （2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．14．如图，已知AB ∥CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E 1，第二次操作，分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ．若∠E n =1度，那∠BEC 等于________度15．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；（2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；a b，bc ，则a与c的位置关系是________．（3）若//16．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD∥BC，所添的条件是__________．17．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD 的夹角是________度．18．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则∠BOD=__________°．19．如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=62°，则∠2=______.20．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．三、解答题21．如图1，D是△ABC延长线上的一点，CE//AB．（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．（3）如图3，AH//BD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN 平分∠AQG交AH于N，QM//GR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．22．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．（1）求证：// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．23．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．（1）求证：//AD BC ；（2）连结CF ，当//CF AB ，且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．24．如图1．已知直线AB ED ．点C 为AB ，ED 内部的一个动点，连接CB ，CD ，作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ，作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ，BE 和DA 交于点F ．（1）若180FDC ABC ∠+∠=︒，猜想AD 和BC 的位置关系，并证明；（2）如图2，在（1）的基础上连接CF ，则在点C 的运动过程中，当满足CF AB ∥且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数． 25．问题情境（1）如图①，已知360B E D ∠+∠+∠=︒，试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系？并说明理由．小明给出下面正确的解法：直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD ．理由如下：过点E 作//EF AB （如图②所示）所以180B BEF ∠+∠=︒（依据1）因为360B BED D ∠+∠+∠=︒（已知）所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒所以180FED D ∠+∠=︒所以//EF CD （依据2）因为//EF AB所以//AB CD （依据3）交流反思上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？“依据1”：________________________________；“依据2”：________________________________；“依据3”：________________________________．类比探究（2）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时，有//AB CD ．拓展延伸（3）如图，当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时，有//AB CD ．26．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限． （1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；（2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到∠BOC的度数，再根据角平分线即可得出∠3的度数．【详解】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，∴∠1＝∠2＝40°，∴∠BOC＝140°，又∵OE平分∠BOC，∴∠3＝70°．故选：D．【点睛】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线的应用，解题时注意运用：对顶角相等，邻补角互补，即和为180°．2．B解析：B【分析】由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD．【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC；∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE；∵AF∥CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；∵CD∥EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B．3．C解析：C【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．【详解】过点D作DF∥AE，交AB于点F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．C解析：C【分析】过点E作EF∥AB，得∠B=∠BEF=20°，结合AB∥CD知EF∥CD，据此得∠D=∠DEF=40°，根据∠BED=∠BEF+∠DEF可得答案．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF=20°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF=40°，则∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+40°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和平行与平面内同一直线的两直线平行的性质．5．C解析：C【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2．【详解】∵l∥OB，∴∠AOB+∠1=180°∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠BOC＝65°，∴∠2＝∠BOC＝65°．故选：C．【点睛】考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．6．B解析：B【分析】过点P作MN∥AB，结合垂直的定义和平行线的性质求∠EPF的度数．【详解】解：如图，过点P作MN∥AB，∵∠AEP=40°，∴∠EPN=∠AEP=40°∵AB∥CD,PF⊥CD于F，∴PF⊥MN，∴∠NPF=90∴∠EPF=∠EPN+∠NPF=40°+90°=130°故答案为B【点睛】本题考查了平行线的判定定理和性质，作出辅助线构造平行线是解答本题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，所以，AB∥a∥b所以，∠2=180°-∠1+∠3，所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.故选：C【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.8．D解析：D【解析】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.详解：延长DC到H∵AB∥CD，EF∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD∠CE+∠DCE=180°∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.故选D.点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.9．A解析：A【分析】根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．【详解】解：同位角不一定相等，①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．10．C解析：C【分析】分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【详解】如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，∵AB//EF ，∴AB//CM //DN //EF ，∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++，又∵BC CD ⊥，∴BCD 90∠=，∴αβ90γ∠∠∠+=+，即αβγ90∠∠∠+-=，故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．二、填空题11．62【详解】∵，，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析：62【详解】∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.12．65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵∴∠EHF+∠HFD=180°∵∴∠HFD=130°∵平分，∴∠HFE=∠HFD=解析：65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵//AB CD∴∠EHF+∠HFD=180°∵50EHF ∠=︒∴∠HFD=130°∵FE 平分HFD ∠，∴∠HFE=12∠HFD=1130652⨯︒=︒ 故答案为：65°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E 作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF 和∠QEF 的度数，进而得结论；解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．14．2n ．【解析】如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠解析：2n ．【解析】如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=12∠ABE1+12∠DCE1=12∠CE1B=14∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=12∠ABE2+12∠DCE2=12∠CE2B=18∠BEC；…以此类推，∠E n=12n∠BEC．∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为2n ．点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．15．平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由，得出a∥c；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a∥c；根据，，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平解析：平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）．16．∠EAD＝∠B 或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAC＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAB+∠B解析：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C【解析】当∠EAD ＝∠B 时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAC ＝∠C 时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC ；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC ，故答案是：∠EAD ＝∠B 或∠DAC ＝∠C 或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.17．50【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．【详解】∵，，∴，∵，∴，∴直线AB 与BD 的夹角是50度，故答案为：50．【点睛】本题考查了平解析：50【分析】先根据平行线的判定可得//AB CD ，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．【详解】∵AC AB ⊥，AC CD ⊥，∴//AB CD ，∵130CDB ∠=︒，∴18050ABD CDB ∠=︒-∠=︒，∴直线AB 与BD 的夹角是50度，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．18．30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA 平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=解析：30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA 平分∠EOC ，∴∠AOC=12∠EOC=30°（角平分线定义）， ∴∠BOD=30°（对顶角相等）．故答案为：30．【点睛】本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．19．121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B 的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC 的度数；又由AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，即可求得∠BAE 的度数，根据三角形外角的性质即解析：121°【分析】由AC ∥BD ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B 的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC 的度数；又由AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，即可求得∠BAE 的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．【详解】∵AC ∥BD ，∴∠B=∠1=64°，∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，∵AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，∴∠BAE=12∠BAC=59°， ∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．故答案为121°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．20．12【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的 解析：12【解析】分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．故答案为12．点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN ＝12∠ACB ；理由见解析． 【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ，然后通过等量代换即可得出答案；（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ，进而得出∠F ＝12（∠HAD+∠ECD ），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD 的度数，进而可得出答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出12QGR QGD ∠=∠，12NQG AQG ∠=∠，180MQG QGR ∠+∠=︒ ，再通过等量代换即可得出∠MQN ＝12∠ACB ． 【详解】解：（1）∵CE //AB ，∴∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ，∵∠ACD ＝∠ACE+∠ECD ，∴∠ACD ＝∠A+∠B ；（2）∵CF 平分∠ECD ，FA 平分∠HAD ，∴∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ， ∴∠F ＝12∠HAD+12∠ECD ＝12（∠HAD+∠ECD ）， ∵CH //AB ，∴∠ECD ＝∠B ，∵AH //BC ，∴∠B+∠HAB ＝180°，∵∠BAD ＝70°，110B HAD ∴∠+∠=︒，∴∠F ＝12（∠B+∠HAD ）＝55°； （3）∠MQN ＝12∠ACB ，理由如下： GR 平分QGD ∠，12QGR QGD ∴∠=∠． GN 平分AQG ∠，12NQG AQG ∴∠=∠． //QM GR ，180MQG QGR ∴∠+∠=︒ ．∴∠MQN ＝∠MQG ﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR ﹣∠NQG＝180°﹣12（∠AQG+∠QGD ） ＝180°﹣12（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC ） ＝12（∠CQG+∠QGC ） ＝12∠ACB ．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．22．（1）详见解析；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【分析】（1）利用平行线的性质推知180BEF EFD ∠+∠=︒；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥，故结合已知条件GH EG ⊥，易证//PF GH ；（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得49039022∠=︒-∠=︒-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知14522QPK EPK ∠=∠=︒+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ ∠的大小不变，是定值45︒．【详解】解：（1）证明：如图1，//AB CD ，180BEF EFD ∴∠+∠=︒．又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，1()902FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90EPF ∴∠=︒，即EG PF ⊥．GH EG ⊥，//PF GH ∴；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下：如图2，12∠=∠， 322∠=∠∴． 又GH EG ⊥，49039022∠=︒-∠=︒-∠∴．18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴．PQ ∵平分EPK ∠，14522QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠． ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒，∴HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////b c a c ⇒．23．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平分线的定义得出∠ABC ＝3x ，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x 的方程，求解即可；（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF ＝∠CBF ，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ，由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．【详解】解：（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠EDF ＝∠DAB ，∵DF 平分∠EDC ，∴∠EDF ＝∠FDC ，∴∠FDC ＝∠DAB ，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵32CFB DCF∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，∵CF∥AB，∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，∵AD∥BC，∴∠FDC+∠BCD＝180°，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝3x，∴∠BCF＝2x，∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，∴BF∥CD，∴∠CDF +∠BFD＝180°，∵AD∥BC，∴∠CBF +∠BFD＝180°，∴∠CDF＝∠CBF，∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，∴BC∥PQ，∵AD∥BC，∴AD∥PQ，∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．24．（1）AD BC ∥，见解析；（2）108°【分析】（1）//AD BC ，根据角平分线的性质可知EDF FDC ∠=∠，又因为//AB ED ，因此EDF DAB ∠=∠，推出FDC DAB ∠=∠，再结合已知条件即可得出结论；（2）设DCF x ，则32CFB x ∠=，根据平行线的的性质有32ABF CFB x ∠=∠=，再根据角平分线性质可得23ABC ABF x ∠=∠=，又因为//AD BC ，推出3BCD ABC x ∠=∠=，2BCF x ∠=，由//CF AB 得180ABC BCF ∠+∠=︒，从而可解得x 的值，即可得出答案．【详解】解：（1）//AD BC ．证明如下：∵//AB ED ，∴EDF DAB ∠=∠，∵DF 平分EDC ∠，∴EDF FDC ∠=∠，∴FDC DAB ∠=∠，∵180FDC ABC ∠+∠=︒，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∴//AD BC ．（2）∵32CFB DCF ∠=∠， ∴设DCF x ，则32CFB x ∠=， ∵//CF AB ， ∴32ABF CFB x ∠=∠=， ∵BE 平分ABC ∠，∴23ABC ABF x ∠=∠=，由（1）得//AD BC ，∴180FDC BCD ∠+∠=︒，∵180FDC ABC ∠+∠=︒，∴3BCD ABC x ∠=∠=，∴2BCF x ∠=，∵//CF AB ，∴180ABC BCF ∠+∠=︒，即32180x x +=︒，解得36x =︒，∴3108BCD x ∠==︒．【点睛】本题考查的主要知识点是平行线的判定及性质以及角平分线的性质，根据图形找准角与角之间的关系 是解此题的关键．25．（1）两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°；（3）∠B ＋∠E ＋∠D －∠F ＝180°．【分析】（1）根据平行线的性质和判定，平行公理的推论回答即可；（2）过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，根据两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得同旁内角∠ABE ＋∠BEG ＝180°，得到AB ∥GE ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ； （3）过点E 、F 分别作ME ∥FN ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等及已知条件求得同旁内角∠B ＋∠BEM ＝180°，得到AB ∥ME ，再根据平行线的传递性来证得AB ∥CD ．【详解】解：（1）由题意可知：“依据1”：两直线平行，同旁内角互补；“依据2”： 同旁内角互补，两直线平行；“依据3”： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）当∠B 、∠E 、∠F 、∠D 满足条件∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D ＝540°时，有AB ∥CD ． 理由：如图，过点E 、F 分别作GE ∥HF ∥CD ，则∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFD ＋∠CDF ＝180°，∴∠GEF ＋∠EFD ＋∠FDC ＝360°；又∵∠B ＋∠BEF ＋∠EFD ＋∠D ＝540°，∴∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∴AB ∥GE ，∴AB ∥CD ；（3）当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B＋∠E＋∠D－∠F＝180°时，有AB∥CD．如图，过点E、F分别作ME∥FN∥CD，则∠MEF＝EFN，∠D＝∠DFN，∵∠B＋∠BEF＋∠D－∠EFD＝180°，∴∠B＋∠BEM＋∠MEF＋∠D－∠EFN－∠DFN＝180°，∴∠B＋∠BEM＝180°，∴AB∥ME，∴AB∥CD．【点睛】本题考查平行线的判定和性质的综合应用，作出合适的辅助线，灵活运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．26．（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝12∠BCD+12∠A，理由详见解析【分析】（1）由平移的性质可得出答案；（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA＝12∠ABC，∠PDC＝12∠ADC，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，∴D（k+2，2）；（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，∴1(12)(k4)2⨯+⨯+＝111(k2)22522⨯⨯++⨯⨯+，解得：k＝2．（3）∠BPD＝12∠BCD+12∠A；理由如下：过点P作PE∥AB，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝12∠ABC，∠PDC＝12∠ADC，∴∠BPD＝12∠ABC+12∠ADC＝12∠BCD+12∠A．【点睛】本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．。
人教版初一数学7年级下册 第5章(相交线与平行线)培优综合专练(一)(含答案)
人教七年级版下册数学第五章《相交线与平行线》培优综合专练（一）1．已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，①依题意补全图1；②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）2．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠1＝32°，（1）求∠ACE的度数；（2）若∠2＝58°，求证：CF∥AG．3．如图，在△ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3＝∠C．（1）若∠C＝40°，求∠BFD的度数；（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．4．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．（1）求证：EA平分∠BEF；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．5．如图，直线EF交直线AB、CD与点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P．已知∠EMB＝112°，∠PNC＝34°．（1）求证：AB∥CD；（2）若PQ将分∠APN成两部分，且∠APQ：∠QPN＝1：3，求∠PQD的度数．6．如图：O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD是∠BOC的角平分线，OE⊥OC于点O．求∠DOE的度数．（请补全下面的解题过程）解：∵O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝ °．∵OD是∠BOC的角平分线，∴∠COD＝ ∠BOC．（ ）∴∠COD＝65°．∵OE⊥OC于点O，（已知）．∴∠COE＝ °．（ ）∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝ °．7．如图，BD⊥AC，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AC，垂足为点G，∠1＝∠2．（1）试说明：DB∥FE（2）HF与BC的位置关系如何？为什么？（3）若∠1＝x°，求∠C的度数（用含x的代数式表示）注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，（已知）∴DB∥FE．（ ）（2）HF与BC的位置关系是： 理由如下：∵DB∥FE∴∠1＝∠ ．（ ）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠2＝∠ ．∴ ∥ ．（3）8．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGC＝∠ACB＝90°（ ）∴∠DGC+∠ACB＝180° （ ）∴ ∥ （ ）∴∠2＝ （ ）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝ （ ）∴EF∥CD（ ）∴∠AEF＝ （ ）∵EF⊥AB（ ）∴∠AEF＝90°∴∠ADC＝90°∴CD⊥AB．9．已知AB∥CD，点M为平面内一点．（1）如图1，∠ABM和∠DCM互余，小明说过M作MP∥AB，很容易说明BM⊥CM．请帮小明写出具体过程；（2）如图2，AB∥CD，当点M在线段AD上移动时（点M与A，D两点不重合），指出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M在A，D两点外侧运动（点M与E，A，D三点不重合）请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．10．如图，已知AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E、F，EG平分∠MEB，FH 平分∠MFD．∵AB∥CD，根据 可知∠MEB＝∠MFD．又∵EG平分∠MEB，FH平分∠MFD，于是可得∠MEG和∠MFH的大小关系是∠MEG ∠MFH．而∠MEG和∠MFH是EG、FH被直线MN所截得的 角，根据 ，可判断角平分线EG、FH的位置关系是 ．参考答案1．解：（1）①如图所示：②∵∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠BOC＝15°，∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，又∵点O在直线AB上，∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°；（2）分两种情况：①当点C在直线AB上方时，如图1，同理可得，∠BOD＝，∠DOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣90°﹣＝90°﹣；②当点C在直线AB下方时，如图2，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝α，∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝90°﹣α，又∵点O在直线AB上，∴∠AOE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．综上所述，∠AOE的度数为90°﹣或90°+α．2．解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝32°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝32°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，∵∠2＝58°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．3．解：（1）∵∠1与∠2互补，∴AC∥DF，∴∠BFD＝∠C＝40°；（2）DE∥BC，理由如下：由（1）可知：∠BFD＝∠C，∵∠C＝∠3，∴∠BFD＝∠3，∴DE∥BC．4．证明：（1）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴EA平分∠BEF；（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，∴AB∥CD．5．（1）证明：∵∠EMB＝112°，∴∠PMN＝112°，∵NP平分∠EN，∴∠CNE＝2∠CNP，∵∠CNP＝34°，∴∠CNE＝68°，∴∠PMN+∠CNE＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠APN＝∠PMN+∠PNM＝112°+34°＝146°，∵∠APQ：∠QPN＝1：3，∴∠APQ＝36.5°，∵AB∥CD，∴∠PQD＝∠APQ，∴∠PQD＝36.5°．6．解：∵O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°．∵OD是∠BOC的角平分线，∴∠COD＝∠BOC．（角平分线的定义）∴∠COD＝65°．∵OE⊥OC于点O，（已知）．∴∠COE＝90°．（垂直的定义）∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝25°．故答案为：130，，角平分线的定义，90，垂直的定义，25．7．解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，（已知）∴DB∥FE．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）HF与BC的位置关系是：平行，理由如下：∵DB∥FE，∴∠1＝∠F，（两直线平行，同位角相等）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠2＝∠F，（等量代换）∴HF∥BC．（内错角相等，两直线平行），故答案为：平行，F，两直线平行，同位角相等，F，HF、BC；（3）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADH＝∠ADB﹣∠1＝90°﹣x°．∵HF∥BC，∴∠C＝∠ADH＝90°﹣x°．即∠C的度数是90°﹣x°．8．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC∴∠DGC＝∠ACB＝90°（垂直的定义）∴∠DGC+∠ACB＝180°（补角定义）∴DG∥AC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACD（等量代换）∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF＝90°∴∠ADC＝90°∴CD⊥AB．故答案为：垂直的定义；补角定义；DG，AC；同旁内角互补，两直线平行；∠ACD；两直线平行，内错角相等；∠ACD；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠ADC；两直线平行，同位角相等；已知．9．解：（1）如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP＝∠ABM，又∵AB∥CD，∴MP∥CD，∴∠PMC＝∠MCD，又∵∠ABM和∠DCM互余，∴∠ABM+∠MCD＝90°，∴∠BMP+∠PMC＝90°，∴BM⊥CM；（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM＝∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM＝∠FMC，∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；（3）当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC＝∠ABM﹣∠DCM．10．解：如图，已知AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E、F，EG平分∠MEB，FH平分∠MFD．∵AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等可知∠MEB＝∠MFD．又∵EG平分∠MEB，FH平分∠MFD，于是可得∠MEG和∠MFH的大小关系是∠MEG ＝∠MFH．而∠MEG和∠MFH是EG、FH被直线MN所截得的同位角，根据同位角相等，两直线平行，可判断角平分线EG、FH的位置关系是平行．故答案为：两直线平行，同位角相等；＝；同位、同位角相等，两直线平行、平行．。
完整版人教版七年级下册相交线与平行线培优50题含答案
人教版七年级下册相交线与平行线培优50题一．选择题（共20小题）1．如图：直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G，H，若∠1＝105°，则∠2的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°2．如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH 平分∠BEF；②EG＝HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH＝90°．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝72°，∠AED＝58°，则∠C＝（）A．32°B．58°C．72°D．108°4．将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（）第1页（共53页）105°°D．B．60°C．75A．45°，＝4G，BG于点AC的方向平移到△DEF的位置，E交BC5．如图，将直角△ABC沿斜边；平移的距离是4②△ABC，下列结论：①∠A＝∠BED；EF＝10，△BEG的面积为4），正确的有（④CF；四边形GCFE的面积为16③BE＝①②③④D．①②③C．①③④BA．②③．）b，c应满足的条件是（c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，，6．若ab，∥cc，b∥c D．a∥bc B c．a∥c，b⊥C．a ⊥c，ba A．⊥b，⊥）＝（55°，则∠B+∠CAB7．如图，∥DE，∠E＝45°°35D．B125°．55°C．．A B、，按如图所示方式放置，其中°角的直角三角板ABCA．已知直线8m∥n，将一块含30）＝35°，则∠2的度数是（上，若∠两点分别落在直线m、n1°55．D25C°．B°．A3530．°页）53页（共2第9．已知直线l∥l，∠1和∠2互余，∠4＝149°，则∠3的度数（）21A．121°B．120°C．59°D．149°10．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（）A．若∠2＝30°，则有AC∥DEB．∠BAE+∠CAD＝180°C．若BC∥AD，则有∠2＝30°D．如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C11．如图，若直线MN∥PQ，∠ACB的顶点C在直线MN与PQ之间，若∠ACB＝60°，∠CFQ＝35°，则∠CEN的度数为（）A．35°B．25°C．30°D．45°12．若∠A的两边与∠B的两边分别平行，且3∠A﹣∠B＝80°，那么∠B的度数为（）°140°或．°°或．B65115°°或．A80100C40D．°115°或4013．下列条件不能判定AB∥CD的是（）第3页（共53页）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠1+∠2＝180°D．∠3＝∠514．如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向平移到三角形DEF的位置，已知BC＝8，EC ＝5，那么平移的距离为（）A．13B．8C．5D．315．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠A+∠°C C．∠E﹣∠+∠D﹣∠A＝90D＝∠C+∠E16．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l∥l的有（）21A．5个B．4个C．3个D．2个17．如图，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2等于（）B．40°C．50°D．A30°．60°18．如图，AB∥CD，BE⊥EF于E，∠B＝25°，则∠EFD的度数是（）第4页（共53页）30°°D．°A．80°B．65C．45）D的关系是（CDAB∥，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠19．如图，90°B ABE＝3∠D．∠ABE+∠D＝A．∠D D．∠∠C．∠ABE+3D＝180°ABE＝2∠）°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（＝20．如图，BC∥DE，∠111040°D．60°．A25°B．35°C．13小题）二．填空题（共的、分别在MN的交点为．把一张长方形纸片21ABCD沿EF折叠后ED与BCG，D、C．2＝49°，则∠﹣∠1＝EFG位置上，若∠．、∠C、∠P的关系为，则∠．如图，已知22AB∥CDA．ADC，⊥且112A，平分∠BDBCAD如图，23．已知∥，ABC∠＝°，BDCD则∠＝535第页（共页）°，则∠2 ＝度．，若∠24．如图，直线a∥b1＝60．∠则∠1、2、∠3、∠4间的数量关系是P25．如图，若过点P，作直线m的平行线，21．相交，如果∠1＝60°，那么∠2的度数26．如图，CD直线AB∥，EF分别与AB、CD作O，过点和∠ACB的平分线，且交于点．如图，OB，OOC分别是△ABC的∠ABC27．BC ＝2008，则△OEF的周长是BCBCOE∥AB交于点O，OF∥AC交于点F，的位置关系．与AB1，∠＝∠2，试判断CDBC28．如图，已知DG⊥BC，⊥AC，EF⊥AB AC⊥（已知）⊥BC，BC解：∵DG90°（垂直的定义）＝∴∠DGB＝∠DG∴∥∴∠2＝∠）已知∵∠1＝（＝∠∴∠1536第页（共页）∴EF∥）（∴∠AEF＝∠∵EF⊥AB＝90°∴∠AEF）°（∴∠ADC＝90AB．即：CD⊥，，，若ABCBC＝29．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△111．则BB＝1已知这种红色地毯的售价准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．．某宾馆在重新装修后，30 米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．为每平方米32元，主楼道宽231．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是．32．（1）如图1，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，则AB与CD之间的距离为cm；（2）如图2，若∠＝∠，则AD∥BC；（3）如图3，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝50°，则∠EDC＝度；第7页（共53页）度．＝150°，∠D＝145°，则∠C，∠33．如图，已知AB∥DEB＝17小题）三．解答题（共90°．∠1＝AFBC⊥于点C，∠A+34．如图1，；∥）求证：ABDE （1，ABPPE．则∠停止，连接AF运动到点FPB，，点（2）如图2P从点A出发，沿线段？C重合的情况）A与点，D，DEP∠，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P并说明理由．有怎样的数量关系，并FA与∠D＝110°，∠C＝∠，试探索∠°，∠．如图，∠351＝702说明理由．图中′，′CBABC在边长为如图，1个单位的正方形网格中，△经过平移后得到△A′．36′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的对应点B标出了点B：的问题（保留画图痕迹）538第页（共页）′（1）画出△A′BC′；（2）画出△ABC的高BD；，线段AC AA′与CC扫过的图形的面′的关系是′、（3）连接AACC′，那么积为．37．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．38．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OD，OE平分∠AOF．（1）∠BOD与∠DOF相等吗？请说明理由．（2）若∠DOF＝∠BOE，求∠AOD的度数．第9页（共53页）的延长线在DE∥AC，点F上的点，E分别是三角形ABC的边AB，BCDE，39．如图，D A．上，且∠DFC＝∠CF；）求证：AB∥1（的度数．BDE大40°，求∠（2）若∠ACF比∠BDE上一点，且ODF是，OE是CD上一点，∥40．已知：如图，FEOC，AC和BD相交于点．＝∠A∠1DC；1（）求证：AB∥的度数．65＝°，求∠OFE2（）若∠B＝30°，∠1个单位长度．所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．如图，四边形41ABCD ABCD的面积；）求出四边形（1个单位长度后所得的25个单位长度，再向左平移ABCD（2）请画出将四边形向上平移′．C′′DBA四边形′5310第页（共页），D，∠＝∠2C＝∠DF上，BD，CE均与AF相交，∠1，42．如图所示，点BE分别在AC，．求证：∠A＝∠F2，∠1＝∠⊥．已知：如图，AEBC，FG⊥BC43CD）求证：AB∥（1°，求∠C的度数．＝∠3+50°，∠CBD＝70（2）若∠D经过一，在方格纸中将△ABC44．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1′．′、点C和它的对应点C，点次平移后得到△A′B′C′，图中标出来点AB′BC′；（1）请画出平移前后的△ABC和△A′AD；中2）利用网格画出△ABCBC边上的中线（；中AB边上的高CE）利用网格画出△（3ABC．′的面积为′′）△（4ABC5311第页（共页）分别平分、NO2，MO相交于点M、N，且∠1＝∠AB45．如图，直线EF分别与直线、CD的形状，并说明理由．END，试判断△MON∠BMF和∠°，114AOC＝，OF⊥OE，且∠O46．如图所示，直线AB，CD相交于点，OE平分∠BOC的度数．求∠BOF90°．，∠COE＝CD47．已知如图，直线AB、相交于点O的度数；36°，求∠BOE（1）若∠AOC＝AOE的度数；1：5，求∠BOC2（）若∠BOD：∠＝的度数．EOFOF作⊥AB，请直接写出∠O23（）在（）的条件下，过点5312第页（共页）48．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．（1）求∠AOE的度数；（2）若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．49．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．50．如图，已知直线AB和CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC＝50°．（1）求∠AON的度数；（2）求∠DON的余角．第13页（共53页）人教版七年级下册相交线与平行线培优50题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图：直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G，H，若∠1＝105°，则∠2的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】利用平行线的性质求出∠DHF即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠DHF，∵∠1＝105°，∴∠DHF＝105°，∴∠2＝180°﹣∠DHF＝75°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH 平分∠BEF；②EG＝HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH＝90°．其中正确的结论个数是（）第14页（共53页）A．1个B．2个C．3个D．4个＝∠AEF＝∠GEF，根据余角的性质得到∠【分析】根据角平分线的定义得到∠AEGBEH＝∠FEH，于是得到EH平分∠BEF；故①正确，根据平移的性质得到四边形EGFH是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EG∥FH，EG＝HF；故②正确；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠DFE，于是得到FH平分∠EFD；故③正确；根据矩形的性质得到∠GFH＝90°，故④正确．【解答】解：∵EG平分∠AEF，＝∠AEF，∴∠AEG＝∠GEF∵HE⊥GE于E，∴∠GEH＝90°，∴∠GEF+∠HEF＝90°，∴∠AEG+∠BEH＝90°，∴∠BEH＝∠FEH，∴EH平分∠BEF；故①正确，∵平移EH恰好到GF，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG∥FH，EG＝HF；故②正确；∴∠GEF＝∠EFH，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠DFE，＝∠AEF∵∠GEF，＝∠EFDEFH，∴∠∴FH平分∠EFD；故③正确；∵四边形EGFH是平行四边形，∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴∠GFH＝90°，故④正确，∴正确的结论有4个，故选：D．第15页（共53页）【点评】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．3．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝72°，∠AED＝58°，则∠C＝（）A．32°B．58°C．72°D．108°【分析】首先根据∠1+∠EFD＝180°和∠1+∠2＝180°可以证明∠EFD＝∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，进而得到∠ADE＝∠3，再结合条件∠3＝∠B可得∠ADE＝∠B，进而得到DE∥BC，再由平行线的性质可得∠AED＝∠C．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠EFD＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠EFD（同角的补角相等）∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）∴∠ADE＝∠3＝72°（两直线平行内错角相等）∵∠3＝∠B（已知），∴∠ADE＝∠3＝72°（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED＝∠C＝58°（两直线平行同位角相等）．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．4．将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（）第16页（共53页）A．45°B．60°C．75°D．105°【分析】根据平行线的性质和根据三角形的内角和计算即可．解：如图：【解答】90°，＝∠ABE＝∵∠DEC DE，∴AB∥30°，＝∠D＝∴∠AGD∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A ﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故选：D．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质以及三角形的内角和的性质，掌握三角形的内角和是180°是解题的关键．5．如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，E交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（）A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据平行四边形的性质得到∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积的面积＝（6+10）×2＝GCFE公式得到四边形16，故④正确．【解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F 四点在同一条直线上，∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；第17页（共53页）∴四边形ABED是平行四边形，∴∠A＝∠BED，故①正确；∵BG＝4，∴AD＝BE＞BG，∴△ABC平移的距离＞4，故②正确；∵EF＝10，∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，∵△BEG的面积等于4，∴BG?GE＝4，∴GE＝2，的面积＝（6+10）×2＝16，故④正确；∴四边形GCFE故选：C．【点评】本题考查了平移的性质，面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．6．若a，b，c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，b，c应满足的条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥c，b⊥c C．a⊥c，b∥c D．a∥c，b∥c【分析】根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行进行分析即可．【解答】解：A、a⊥b，a⊥c可判定b∥c，故此选项错误；B、a∥b，b⊥c可判定a⊥c，故此选项错误；C、a⊥c，b∥c可判定a⊥b，故此选项错误；D、根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得a∥b，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．7．如图，AB∥DE，∠E＝55°，则∠B+∠C＝（）第18页（共53页）45°°D．B．55°C．35．A125°【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．DE，【解答】解：∵AB∥55°，＝∠BFE＝∴∠E，+∠CB∵∠BFE＝∠°，C ＝55∴∠B+∠．故选：B本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知【点评】识，属于中考常考题型．BA、，按如图所示方式放置，其中，将一块含30°角的直角三角板ABC．已知直线8m∥n）2的度数是（上，若∠m、n1＝35°，则∠两点分别落在直线55°°D．．30°A．35B．°C25即可解决问题．【分析】利用平行线的性质求出∠3解：如图，【解答】，m∵∥n5319第页（共页）∴∠1＝∠3＝35°，∵∠ABC＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝25°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．已知直线l∥l，∠1和∠2互余，∠4＝149°，则∠3的度数（）21A．121°B．120°C．59°D．149°【分析】利用平行线的性质求出∠5即可解决问题．【解答】解：∵直线l∥l，21∴∠1+∠4＝180°，∵∠4＝149°，∴∠1＝31°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝59°，∵直线l∥l，21∴∠5＝∠2＝59°，∴∠3＝180°﹣∠5＝121°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（）第20页（共53页）DE30°，则有AC∥A．若∠2＝°CAD＝180B．∠BAE+∠°2＝30C．若BC∥AD，则有∠C°，必有∠1504＝∠D．如果∠CAD＝1根据已知可求出∠首先要知道一幅三角板中各角的度数；对于①【分析】要解答此题，的位置关系，即可判断；根据角的关系判断E°，结合∠1与∠的度数，再根据∠E＝60；①的结论和平行线的性质定理判断④②，根据平行线的性质定理判断③，结合°，＝302【解答】解：∵∠°，＝60∴∠1°，＝60又∠E，＝∠E∴∠1正确；，故A∴AC∥DE90°，2+∠3＝1+∵∠∠2＝90°，∠正确；°，故°＝180B2+∠3＝90°+90∠即∠BAE+CAD＝∠1+∠2+∠，BC∥AD∵°．＝180∠∠2+∠3+C∴∠1+°，＝90，∠1+∠2＝∵∠C4545°，∴∠3＝不正确；，故°＝45C∴∠2＝90°﹣45°，＝150°，∠∵∠D＝30CAD 180°，+D∠CAD＝∴∵∠，AC∴∥DE D正确．C∴∠4∠＝∠，故．故选：C5321第页（共页）本题侧重考查对知识点的应用能力，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，【点评】同错角相等；内错角相等，两直线平行；同角（等角）的余角相等°，＝60PQ之间，若∠ACB在直线PQ，∠ACB的顶点CMN与11．如图，若直线MN∥）CEN的度数为（∠CFQ＝35°，则∠°D．45C°．30°A．35°B．25即可解决问题．+∠CFQ∥MN，证明基本结论：∠ACB＝∠CEN【分析】如图作CK，CK∥MN【解答】解：如图作，∥CKMN∥PQ，MN∵，∥CK∴PQ，＝∠CFQ＝∠ACK，∠FCK∴∠CEN CFQ，∠ACB＝∠CEN+∴∠+35°，∴60°＝∠CEN25°，∴∠CEN＝B．故选：本题考查平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构【点评】造平行线解决问题．）（＝80°，那么∠B 的度数为且12．若∠A的两边与∠B的两边分别平行，3∠A﹣∠B°140°或40．C°115°或°°或．A8010065．B．D115°或°40°，和已知组成方程组，求出方程组+或∠B＝∠根据已知得出∠【分析】AAB∠＝180第页（共2253页）的解即可．【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，∵3∠A﹣∠B＝80°，∴∠A＝40°，∠B＝40°或∠A＝65°，∠B＝115°故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，题目比较好，难度适中．13．下列条件不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠1+∠2＝180°D．∠3＝∠5【分析】分别利用平行线的判定方法，定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行，分别判断得出即可．【解答】解：∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，∵∠+∠2＝180°，又∵∠2+∠5＝180°，∴∠1＝∠5，∴AB∥CD，∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．14．如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向平移到三角形DEF的位置，已知BC＝8，EC ＝5，那么平移的距离为（）第23页（共53页）．3．5D．13B．8CA对应，根据平移的性质，易得平、FE对应，CB【分析】观察图形，发现平移前后，、3，进而可得答案．﹣5＝移的距离＝BE＝8【解答】解：根据平移的性质，3，﹣5＝易得平移的距离＝BE＝8．D故选：本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平【点评】行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．）满足的数量关系是（、∠C、∠D、∠E15．如图，AB∥EF，则∠A°∠E＝180D B°．∠A﹣∠C+∠+360C A．∠A+∠+∠D+∠E＝D﹣∠A＝90°∠ED＝∠C+D．∠A+∠+．∠C E﹣∠C∠AB，利用平行线的性质即可解问题．，DN∥【分析】作CM∥AB，DN∥AB【解答】解：作CM∥AB，，AB∥EF∵，∥EFAB∥CM∥DN∴180°，+∠EDN＝ACMA＝∠，∠MCD＝∠CDN，∠E∴∠CDE）＝∠﹣∠ACM＝∠﹣∠DCMCDE﹣（∠ACD＝∠＝∠∵∠EDNCDE﹣∠CDNCDE），﹣（∠ACD﹣∠A180°，A﹣∠CDEACD+∠＝∠E∴∠+．故选：B5324第页（共页）【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．16．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l∥l的有（）21A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠2不能得到l∥l，故本条件不合题意；21②∵∠4＝∠5，∴l∥l，故本条件符合题意；21③∵∠2+∠5＝180°不能得到l∥l，故本条件不合题意；21④∵∠1＝∠3，∴l∥l，故本条件符合题意；21⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l∥l，故本条件符合题意．21故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．17．如图，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2等于（）B．40°C．50°D°A．30．60°【分析】证明∠3＝90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【解答】解：∵b∥c，a⊥b，第25页（共53页）∴a⊥c，∴∠3＝90°，∵∠1＝90°+∠4，∴130°＝90°+∠4，∴∠4＝40°，∴∠2＝∠4＝40°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，AB∥CD，BE⊥EF于E，∠B＝25°，则∠EFD的度数是（）A．80°B．65°C．45°D．30°【分析】利用三角形的内角和定理求出∠1，再利用平行线的性质求出∠EFD即可．【解答】解：如图，∵BE⊥EF，∴∠E＝90°，∵∠B＝25°，∴∠1＝65°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠1＝65°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．第26页（共53页）19．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°D＝180°D＝2∠D．∠ABE C．∠ABE+3∠【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠G，再根据两直线平行，同位角相等可得∠G＝∠ABF，然后根据角平分线的定义解答．【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，∵AB∥CD，∴∠D＝∠G，∵BF∥DE，∴∠G＝∠ABF，∴∠D＝∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．20．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（）A．25°B．35°C．40°D．60°【分析】由DE∥BC，推出∠EDB＝∠1＝110°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，求出∠A即可．第27页（共53页）DE∥BC，【解答】解：∵＝110°，∴∠EDB＝∠1∠AED，∵∠EDB＝∠A+A+70°，∴110°＝∠＝40°，∴∠A故选：C．本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握【点评】基本知识，属于中考常考题型．13小题）二．填空题（共的、ND、C分别在MED21．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后与BC的交点为G，．°＝16＝位置上，若∠EFG49°，则∠2﹣∠1°，再根据折叠的性49DEG＝DEG，∠EFG＝∠【分析】先利用平行线的性质得∠2＝∠﹣，然后计算∠2＝98°，接着利用互补计算出∠1GEF质得∠DEF＝∠＝49°，所以∠21．∠BC，解：∵AD∥【解答】°，49＝∠DEG＝∴∠2＝∠DEG，∠EFG，BC的交点为GABCD沿EF折叠后ED与∵长方形纸片°，＝49DEF∴∠＝∠GEF°，°＝98＝2×492∴∠82°，180°﹣98°＝∴∠1＝°．82°＝1698∴∠2﹣∠1＝°﹣°．故答案为16本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角【点评】互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．﹣∠P＝180°．C+∠的关系为、∠、∠，则∠∥．如图，已知22ABCDACP A ∠第28页（共53页）AB＝180°，而CD，根据两直线平行同旁内角互补可知∠C+∠CPE【分析】先作PE∥，再根据两直线平行内错角相∥AB∥CD，利用平行于同一直线的两条直线平行可得PE180°．∠C﹣∠P ＝+＝∠APD，于是有∠A＝∠APC∠CPE，即可求∠A+等可知∠A，PE【解答】解：如右图所示，作∥CD，∵PE∥CD°，+∠CPE＝180∴∠C，又∵AB∥CD，∴PE∥AB A＝∠APD，∴∠P＝180°，∴∠A+∠C﹣∠＝180°．故答案为：∠A+∠C﹣∠P【点评】本题考查了平行线的判定和性质．平行于同一直线的两条直线平行．．°＝则∠＝A112°，且BD⊥CD，ADC124ABC，已知23．如图，AD∥BCBD平分∠，∠ABC112°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠，∠A＝∥【分析】由ADBC的度数，继而求得答案．，求得∠CCD平分∠ABC，BD⊥的度数，又由BD112°，BC，∠A＝∥【解答】解：∵AD°，＝68°﹣∠∴∠ABC＝180A，BD平分∠ABC∵5329第页（共页）＝∠ABCCBD＝34°，∴∠∵BD⊥CD，＝9056°，°﹣∠CBD＝∴∠C124°．180°﹣∠C＝∴∠ADC＝124°．故答案为：此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理．注意掌握两直线平行，同旁【点评】内角互补定理的应用是解此题的关键．60度．＝6024．如图，直线a ∥b，若∠1＝°，则∠2【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1，∵∠1＝60°，∴∠2＝60°．故答案为60．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．25．如图，若过点P，P作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是∠212+∠4＝∠1+∠3．【分析】分别过点P1、P2作PC∥m，PD∥m，由平行线的性质可知，∠1＝∠APC，121CPP＝∠PPD，∠DPB＝∠4，22112所以∠1+∠PPD+∠DPB＝∠APC+∠CPP+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．221112【解答】解：分别过点P、P作PC∥m，PD∥m，2121第30页（共53页）n，∵m∥，∥C∥PDm∥n∴P21，D，∠DPB＝∠4＝∠∴∠1＝∠APC，CPPPP221112＝∠1+∠．3+C∠CPP+∠4，即∠2+∠4∠1+∴∠∠PPD+DPB＝∠AP212211．1+∠3故答案为：∠2+∠4＝∠本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等．【点评】120°60°，那么∠2的度数．如果∠CD26．如图，直线AB∥，EF分别与AB、CD相交，1＝【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝60°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．27．如图，OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线，且交于点O，过点O作OE∥AB 交于BC点O，OF∥AC交BC于点F，BC＝2008，则△OEF的周长是2008．第31页（共53页）可ACAB和∠ACB的平分线和OE∥、OF∥ABC【分析】由OB，OC分别是△的∠ABC OF＝CF，显然△OEF的长度．的周长即为BC＝推出BEOE，ACB的平分线，ABC的∠ABC和∠OC【解答】解：OB，分别是△OCF，∠ACO＝∠．∴∠ABO＝∠OBF，ACOF∥∵OE∥AB＝∠COF，∠∴∠ABO＝∠BOEACO为等腰三角形OCF∴△BOE和△OF∴BE＝EO，＝CF∴△OEF的周长＝BE．BC＝2008+EF+CF＝此题运用了平行线性质，和角平分线性质以及等腰三角形的性质，较为灵活，【点评】难度中等．，试判断的位置关系．CD与ABEFBC，⊥AC，⊥AB，∠1＝∠2DG28．如图，已知⊥BC AC（已知）BC解：∵DG⊥，BC⊥＝DGB∴∠BCA°（垂直的定义）＝∠90DG∥AC∴∴∠2＝∠DCA∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠DCA∴EF∥DC∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF＝90°（垂直定义）∴∠ADC＝90°（等量代换）即：CD⊥AB．第32页（共53页），求出∠DCA，根据平行线的性质得出∠2＝∠【分析】根据平行线的判定推出DG∥AC即ADC，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠1＝∠DCA，根据平行线的判定得出EF∥DC可．⊥AC（已知）BC【解答】解：∵DG⊥，BC＝90°（垂直的定义）∴∠DGB＝∠BCA∥AC，∴DG＝∠DCA，∴∠2），＝∠2（已知∵∠1DCA，∴∠1＝∠DC，∴EF∥（两直线平行，同位角相等），∴∠AEF＝∠ADC（已知），∵EF⊥AB，AEF＝90°（垂直定义）∴∠，ADC＝90°（等量代换）∴∠，即：CD⊥AB，两直线平行，同位角相等，（已知）DC，DCA，，ADC，，故答案为：BCA，ACDCA，∠2（垂直定义），等量代换．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义的应用，能灵活运用平行线的性质【点评】和判定定理进行推理是解此题的关键．，，若BC，＝C．如图，将等腰直角△29ABC沿BC方向平移得到△AB111．＝则BB1【分析】先判断出△PBC是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质利用面积列1式求出BC，然后根据BB＝BC﹣BC代入数据计算即可得解．111【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴平移后∠PBC＝∠CB＝45°，1∴△PBC是等腰直角三角形，1第33页（共53页））＝2C?，（BC∴SB＝11C1PB△2C解得B＝，13＝BB＝BC﹣﹣B2C＝．∴11故答案为：．本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用等腰直角三角形【点评】的长度是解题的关键．B求出C1已知这种红色地毯的售价准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．30．某宾馆在重新装修后，元．2512米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要为每平方米32元，主楼道宽根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得【分析】其面积，则购买地毯的钱数可求．解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为【解答】2.5米，米，5.516平方米，8×2＝∴地毯的长度为2.5+5.5＝8米，地毯的面积为512元．×32＝16∴买地毯至少需要512．故答案为：本题考查平移性质的实际运用，难度不大．解决此题的关键是要利用平移的知【点评】识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．，AOB的外部作∠AOC＝∠OA，OB为始边，在∠AOB．31已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OD的位置关系是垂直与．，则∠BOD＝2∠AOBOC【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD度数．【解答】解：∵∠AOB＝22.5°，∠AOC＝∠AOB＝22.5°，∠BOD＝2∠AOB＝45°，∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD＝22.5°+22.5°+45°＝90°，∴OC与OD的位置关系是垂直．故填垂直．第34页（共53页）先利用角的和差关系求得这个角是90°，再由垂线的定义可得，两直线垂直．【点评】之间的距离为3cm，BC＝2cm，则AB与CD2AB．32（1）如图1，在长方形ABCD中，＝；cm；∥BC2，则AD2（2）如图，若∠1＝∠度；EDC°，则∠＝25BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝503（）如图3，DE∥1）夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．【分析】（2）运用的是平行线判定定理．（3）运用的是角平分线的定义和平行线的性质．（°．B＝90C∥CD，∠＝90°，∠1【解答】解：（）已知四边形ABCD为长方形，则AB．2cm与cm，故ABCD之间的距离为又BC＝2．故填22．BC，根据平行线的判定定理可得∠1＝∠∥（2）要使AD2．故填∠1；∠，DE∥BC3（）已知，＝∠DCBEDC根据平行线判定定理可得∠ACB是∠的平分线，又CD DCB，∴∠ECD＝∠°，ACB＝50∵∠25°．EDC∴∠＝．故填255335第页（共页）此类题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理，考生一定要熟记．【点评】＝65＝145°，则∠C度．D33．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF?∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED?∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．三．解答题（共17小题）34．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．【分析】（1）根据∠A+∠B＝90°，∠A+∠1＝90°，即可得到∠B＝∠1，进而得出AB第36页（共53页）∥DE．（2）分三种情况讨论：点P在A，D之间；点P在C，D之间；点P在C，F之间；分别过P 作PG∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，第37页（共53页）∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判断的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．35．如图，∠1＝70°，∠2＝110°，∠C＝∠D，试探索∠A与∠F有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】要找∠A与∠F的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得∠1+∠2＝180°，则CE ∥BD；根据平行线的性质，可得∠C＝∠ABD，结合已知条件，得∠ABD＝∠D，根据平行线的判定，得AC∥DF，从而求得结论．【解答】解：∠A＝∠F．理由：∵∠1＝70°，∠2＝110°，∴∠1+∠2＝180°，∴CE∥DB，∴∠C＝∠ABD，∵∠C＝∠D，第38页（共53页）ABD，＝∠D∴∠，∥DF∴AC．＝∠F∴∠A本题主要考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错【点评】角、同旁内角是正确答题的关键．图中′，′ABC经过平移后得到△A′BC136．如图，在边长为个单位的正方形网格中，△′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关B标出了点B的对应点：的问题（保留画图痕迹）′AB′C′；（1）画出△ABC的高BD；）画出△（2平行且相等，线段CC′，那么AA′与CCAC扫过的′的关系是）连接（3AA′、图形的面积为10．【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；（2）根据三角形高的定义作图即可得；（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；第39页（共53页）BD即为所求；（2）如图所示，′的关系是平行且相等，）如图所示，（3AA′与CC，××6×1＝线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣210故答案为：平行且相等、10．此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握【点评】平移的性质是解题关键．上的分别是射线OM、OE、ONMON．已知：∠MON＝48°，OE平分∠，点A、B、C37°x．设∠OAC＝B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D、动点（A24°；的度数是）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO（1②当∠BAD＝∠ABD时，x＝108°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝54°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；。
人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线-测试题含答案
图中对顶角有：∠AOC 与∠BOD、∠AOD 与∠BOC，共 2 对．
故选 B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的
两个角．本题关键是分清楚已知的角是哪两条直线相交形成的，根据角的两条边，找出它的
反向延长线形成的夹角即可
8．C
【解析】
【详解】
然后由 AC∥DF，根据平行线的性质得到∠ACD=∠CDF=60°．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，
∴∠CDF=60°．
故选 A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
A．120°
B．125°
C．135°
10．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=(
）
D．145°
)
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A．60°
B．65°
C．50°
D．45°
二、填空题
11．如图， AB、CD 相交于点 O ， OE 平分 AOD ，若 BOC 60 ，则 COE 的度数是
∴∠1=∠EBC=16°，
故选：C．
【点睛】
考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．D
【解析】
【分析】
直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三
条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案．
【详解】
《第五章相交线与平行线》期末复习培优提升训练2020-2021学年人教版七年级数学下册
2020-2021学年人教版七年级数学下册《第5章相交线与平行线》期末复习培优提升训练（附答案）1．如图，若AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠A＝∠D B．∠A＝∠C C．∠ABE＝∠C D．∠ABC＝∠D 2．平面内将一副直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB 上）按图中所示位置摆放，两条斜边EF，BC互相平行，则∠BDE等于（）A．20°B．15°C．12°D．10°3．如图所示，直线m∥n，∠1＝63°，∠2＝34°，则∠BAC的大小是（）A．73o B．83o C．77o D．87o4．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点O，若AB∥OD，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°5．将一块含30°角的直角三角板ABC（∠C＝90°，∠B＝30°）和一把直尺按如图所示的位置放置，若∠CED＝43°，则∠BAF的度数为（）A．47°B．43°C．17°D．13°6．如图所示，CD∥AB，OE平分∠AOD，∠EOF＝80°，∠D＝60°，则∠BOF为（）A．35°B．40°C．25°D．20°7．如图，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，则∠GEF+∠GFE的度数为（）A．110°B．70°C．80°D．90°8．直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∠1＝15°，则∠2＝（）A．15°B．25°C．35°D．20°9．一副三角板按如图所示放置，BC∥DF，则∠ACF的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°10．已知：如图，直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，若∠1＝40°，则∠2＝．11．如图，把一块长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝34°，那么∠BGD'＝度．12．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b 反射，如果被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝37°，那么∠2的度数为．13．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝．14．如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝°．15．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，EP，CP分别平分∠AEF，∠ACF，且EP，CP交于点P，∠EAC＝110°，∠EFC＝m°，则∠EPC的度数为．（用含m的式子表示）16．如图，AB∥CD，∠AGE＝136°，HM平分∠EHD，则∠MHD的度数是．17．如图，AE∥CF，∠BCD＝90°，∠1＝45°，∠B＝25°，则∠2的度数为．18．如图，已知AB∥CD，点P、Q分别是直线AB，CD上两点，点G在两平行线之间，连接PG，QG，点E是直线CD下方一点，连接EP，EQ，且GQ的延长线平分∠CQE，PE平分∠APG，若2∠PEQ+∠PGQ＝120°，则∠CQE的度数是．19．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果第一次的拐角∠A是135°，则第二次的拐角∠B是°．20．已知：如图，点M，N分别在直线AB、CD上，且AB∥CD，若在同一平面内存在一点O，使∠OMB＝60°，∠OND＝35°，则∠MON＝．21．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝43°，则∠2＝．22．如图，AB∥CD，∠B＝100°，∠D＝25°，则∠E的度数为．23．如图，D是AE上的点，AE∥BC，∠1+∠2＝180°．求证：∠A＝∠C．24．如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E，F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB．（1）已知∠B＝20°，求∠DFH；（2）求证：FH平分∠GFD；（3）若∠CFE：∠B＝4：1，求∠GFH的度数．25．如图，在三角形ABC中，BF⊥AC，FG∥BC交AB于点G．点H在AB的延长线上，过点H作HE⊥AC交BC于点D，垂足为E．求证：∠1＝∠2+∠H．26．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，其中A，B，E三点在一条直线上，求证：∠A＝∠C．27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE 的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：∠BCG＝∠DCG．（2）若∠CGD＝50°，∠ABC＝58°，求∠ADE的度数．28．如图，BD∥GE，∠AFG＝∠1＝50°，AQ平分∠F AC，交BD的延长线于点Q，交DE 于点H，∠Q＝15°，求∠CAQ的度数．29．已知，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BME＝35°，∠CNE＝110°，则∠MEN＝°；（2）如图2，∠AME的角平分线MF与∠END的角平分线的反向延长线NF交于点F，且满足∠E﹣∠F＝60°，求∠MEN的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，NG平分∠CNF，交MF于点H，交MG于点G，且∠AMG＝2∠FMG，∠G＝30°，求∠NHF的度数．30．如图，AB∥CD，请你直接写出下面四个图形中∠APC与∠P AB、∠PCD的关系，并从所得到的关系中选第3个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）31．【感知】如图①，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．32．小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠F AD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．参考答案1．解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠C，故选项C正确，故选：C．2．解：如图，BC与DE相交于点M，∵∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，∴∠E＝45°，∠B＝30°，∵EF∥BC，∴∠CMD＝∠E＝45°，∵∠CMD＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠CMD﹣∠B＝15°，故选：B．3．解：∵直线m∥n，∴∠3＝∠2＝34°．∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠1＝63°，∠3＝34°，∴∠BAC＝180°﹣63°﹣34°＝83°．故选：B．4．解：由题意可知，∠B＝45°，∠D＝30°，∵AB∥OD，∴∠BOD＝∠B＝45°，∵∠1＝∠BOD+∠D，∴∠1＝45°+30°＝75°，故选：D．5．解：由题意知DE∥AF，∠CED＝43°，∴∠CAF＝∠CED＝43°，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，∴∠BAF＝∠CAB﹣∠CAF＝60°﹣43°＝17°，故选：C．6．解：∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D＝180°，∵∠D＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠D＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD＝×120°＝60°，∵∠EOF＝80°，∴∠BOF＝180°﹣∠AOE﹣∠EOF＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故选：B．7．解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵∠1+∠2＝110°，∴∠GEF+∠GFE＝180°﹣110°＝70°．故选：B．8．解：延长AB两端，如图所示：∵∠1+∠3＝125°，∠2+∠4＝85°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝210°，∵l1∥l2，∴∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°，∵∠1＝15°，∴∠2＝30°﹣15°＝15°．故选：A．9．解：∵BC∥DF，∴∠BCF＝∠DFC＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝45°﹣30°＝15°．故选：B．10．解：∵∠ABC＝∠C，∴AE∥CD，∴∠2+∠3＝180°．又∵l1∥l2，∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，∴∠2＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140°．11．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝34°，∠BGD'＝∠AEG．由折叠的性质得：∠DEG＝2∠DEF＝68°，∴∠AEG＝180°﹣∠DEG＝180°﹣68°＝112°，∴∠BGD'＝112°．故答案为：112．12．解：∵∠1＝∠4＝37°，∴∠3＝180°﹣37°﹣37°＝106°，∵m∥n，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝74°，故答案为：74°．13．解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠3＝∠2＝40°．故答案为：40°．14．解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠2+∠4＝180°，又∵∠2＝116°，∴∠4＝180°﹣∠2＝64°，又∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝26°，∴∠3＝26°，又∵∠BCD＝∠3+∠4，∴∠BCD＝90°，故答案为：90．15．解：如图，过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠ACF+∠EAC＝180°，∠AEF+∠EFC＝180°，∴∠ACF＝180°﹣∠EAC，∠AEF＝180°﹣∠EFC，∵EP，CP分别平分∠AEF，∠ACF，∴∠PCF＝∠ACF＝90°﹣∠EAC，∠AEP＝∠AEF＝90°﹣∠EFC，∵PQ∥AB∥CD，∴∠CPQ＝∠PCF，∠AEP+∠EPQ＝180°，∴∠CPQ＝90°﹣∠EAC，∠EPQ＝180°﹣∠AEP＝90°+∠EFC，由角的和差，得∠EPC＝∠CPQ+∠EPQ＝90°﹣∠EAC+90°+∠EFC，∵∠EAC＝110°，∠EFC＝m°，∴∠EPC＝90°﹣×110°+90°+•m°＝125°+m°＝（125+m）°．故答案为：（125+m）°．16．解：由题意得：∠AGE＝∠BGF＝136°，∵AB∥CD，∴∠EHD＝180°﹣∠BGF＝44°，又∵HM平分∠EHD，∴∠MHD＝∠EHD＝22°．故答案为：22°．17．解：∵∠1＝45°，∠B＝25°，∴∠BAE＝180°﹣∠1﹣∠B＝110°，∵AE∥CF，∴∠FCB＝∠BAE＝110°，∵∠BCD＝90°，∴∠2＝∠FCB﹣∠BCD＝20°．故答案为：20°．18．解：如图，过点G作GM∥AB，过点E作EN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GM∥CD∥EN，设∠CQF＝x，∠APE＝y，∵QF平分∠CQE，PE平分线∠APG，∴∠EQF＝∠CQF＝x，∠GPE＝∠APE＝y，∵AB∥GM∥CD，∴∠PGM＝180°﹣∠APG＝180°﹣2y，∠MGQ＝∠CQF＝x，∴∠PGQ＝∠PGM+∠MGQ＝180°﹣2y+x，∵AB∥CD∥EN，∴∠APE＝∠PEN＝y，∠CQE＝∠QEN＝2x，∴∠PEQ＝∠PEN﹣∠QEN＝y﹣2x，∵2∠PEQ+∠PGQ＝120°，∴2（y﹣2x）+180°﹣2y+x＝120°，∴x＝20°，∴∠CQE＝2×20°＝40°，故答案为：40°．19．解：∵道路是平行的，∴∠B＝∠A＝135°（两直线平行，内错角相等）．故答案为：135．20．解：分两种情况：当点O在AB，CD之间时，过O作OP∥AB，则OP∥CD，∴∠OMB＝∠POM，∠OND＝∠PON，∵∠OMB＝60°，∠OND＝35°，∴∠POM＝60°，∠PON＝35°，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝60°+35°＝95°；当点O在AB下方时，过O作OP∥AB，则OP∥CD，∴∠OMB＝∠POM，∠OND＝∠PON，∵∠OMB＝60°，∠OND＝35°，∴∠POM＝60°，∠PON＝35°，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝60°﹣35°＝25°；故答案为：95°或25°．21．解：如图，过点E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，∵∠1＝43°，∴∠4＝43°，∵∠M＝30°，∴∠MEN＝∠3+∠4＝90°﹣∠M＝60°，∴∠2＝∠3＝17°，故答案为：17°．22．解：延长EB，交DC于点M，∵AB∥CD，∠B＝100°，∴∠EMN＝∠B＝100°，∵∠EMN＝∠E+∠D，∠D＝25°，∴∠E＝100°﹣25°＝75°，故答案为：75°．23．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠EDC，∵AE∥BC，∴∠C＝∠EDC，∴∠A＝∠C．24．（1）解∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠BFD＝∠B＝20°，∵FH⊥FB，∴∠BFH＝90°，∴∠DFH＝∠BFH﹣∠BFD＝90°﹣20°＝70°,∴∠DFH＝70°．(2)证明:∵∠EFB＝∠B，∠BFD＝∠B，∴∠BFD＝∠EFB，∵FH⊥FB，∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠BFE+∠GFH＝90°，∴∠DFH＝∠GFH，∴FH平分∠GFD．(3)解：∵∠CFB＝∠BFD＝∠B，∠CFE：∠B＝4：1，∴∠CFE：∠EFB：∠BFD＝4：1：1，∵∠CFE+∠EFB+∠BFD＝180°，∴∠EFB＝30°，∴∠GFH＝180°﹣90°﹣30°＝60°．25．证明：∵BF⊥AC，HE⊥AC，∴BF∥EH．∴∠H＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵FG∥BC，∴∠1＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∴∠1＝∠2+∠H．26．证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴DC∥AE，∴∠3＝∠C，∴∠A＝∠C．27．（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形．∵F为BE的中点，∴CF平分∠BCD，即∠BCG＝∠DCG．（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝58°，∴∠BCD＝122°．∵CG平分∠BCD，∴∠GCD＝∠BCD＝61°，∵∠ADE＝∠GCD+∠CGD，∠CGD＝50°，∴∠ADE＝111°．28．解：∵∠EHQ是△DHQ的外角，∴∠EHQ＝∠1+∠Q，∵∠1＝50°，∠Q＝15°，∴∠EHQ＝65°，∵BD∥GE，∴∠E＝∠1＝50°，∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG，∴DE∥AF，∴∠F AQ＝∠EHQ＝65°，∵AQ平分∠F AC，∴∠CAQ＝∠F AQ＝65°．29．解：（1）过点E作EF∥AB，如图，∵EF∥AB，∴∠MEF＝∠BME＝35°．∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FEN+∠CNE＝180°．∵∠CNE＝110°，∴∠FEN＝70°．∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝105°．故答案为：105°．（2）分别过点F、E作FQ∥AB，EP∥AB，如图，又∵AB∥CD，∴AB∥EP∥CD∥FQ．∴∠BME＝∠PEM，∠DNE＝∠PEN，∠AMF＝∠MFQ，∠KND＝∠KFQ．∴∠MEN＝∠BME+∠END，∠MFN＝∠AMF﹣∠KND．∵MF、NK分别平分∠AME与∠END，∴．∴∠MEN＝180°﹣2∠AMF+2∠KND，∠MFN＝∠AMF﹣∠KND．∵∠MEN﹣∠MFK＝60°，∴∠AMF﹣∠KND＝40°，即∠MFK＝40°．∴∠MEN＝100°．（3）如图：过点G作GL∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GL．∴∠AMG＝∠MGL．∵∠MGN＝30°，∴∠AMG＝∠CNG+30°．∵NG平分∠CNF，∴∠CNG＝．∴．∵∠AMG＝2∠FMG，∴．由（2）知∠AMF＝∠MFN+∠CNF，且∠MFN＝40°，∴∠AMF＝40°+∠CNF．∴．∴∠CNF＝20°．∴∠NHF＝130°．30．解：①如图1，∠APC＝∠P AB+∠PCD，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1＝∠P AB，∠2＝∠PCD，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠P AB+∠PCD；②如图2，∠P AB+∠APC+∠PCD＝360°，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1+∠P AB＝180°，∠2+∠PCD＝180°，∴∠1+∠2+∠P AB+∠PCD＝360°，∴∠P AB+∠APC+∠PCD＝360°；③如图3，∠P AB＝∠APC+∠PCD，延长BA，交PC于点E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠PCD，∴∠P AB＝∠APC+∠1＝∠APC+∠P AD；④如图4，∠PCD＝∠P AB+∠APC，∵AB∥CD，∴∠1＝∠PCD，∴∠PCD＝∠1＝∠APC+∠PCD．31．解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠P AB＝50°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图②，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图③，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图④，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．32．解：（1）成立，理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠F AD＝60°，∴∠F AD＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，∴∠EDC＝∠ADC＝30°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．（3）∠BED的度数改变．如图3，过点E作EG∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠F AD＝m°，∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝m°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEG＝m°，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣n°+m°．。
七年级(下)数学 第五章《相交线与平行线 》培优卷
OFED CB AO DCBA 60︒30︒34l 3l 2l 112DC BADCBA第五章 《相交线与平行线》培优卷1.如图所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( • ) A.150° B.180° C.210° D.120°2.如图所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC•的度数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59°（第1题图） （第2题图） （第3题图） 3.如图所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°； B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30； C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°； D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 4.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.若4条不同的直线相交于一点,则图中共有几对对顶角?若n 条不同的直线相交于一点呢?6.如图所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段(第6、7题图) (第9题图) 7.如图所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 8.下列说法正确的有( )①平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;DC BA②平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.如图2所示,AD ⊥BD,BC ⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD 的范围是( ) A.大于acm B.小于bcmC.大于acm 或小于bcmD.大于bcm 且小于acm 10.到直线L 的距离等于2cm 的点有( ) A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定11.点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直线m 的距离为( )A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm12.O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线.(1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,说明理由.13.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( ) A.平行或相交 B.垂直或相交; C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交 14.下列说法正确的是( ) A.经过一点有一条直线与已知直线平行 B.经过一点有无数条直线与已知直线平行 C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行15.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 16.下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线;GH KEDCB A EDCAFED CB A 34DCBA21②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD; ④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个 17.过一点画已知直线的平行线,则( ) A.有且只有一条 B.有两条; C.不存在 D.不存在或只有一条18.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为 .19.直线L 同侧有A,B,C 三点,若过A,B 的直线L 1和过B,C 的直线L 2都与L 平行,则A,•B,C 三点 ,理论根据是 . 20.如图所示,下列条件中,能判断AB ∥CD 的是( ) A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2; C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD (第20题图) (第21题图) (第22题图)21.如图所示,如果∠D=∠EFC,那么( )A.AD ∥BCB.EF ∥BCC.AB ∥DCD.AD ∥EF 22.如图所示,能判断AB ∥CE 的条件是( ) A.∠A=∠ACE B.∠A=∠ECD C.∠B=∠BCA D.∠B=∠ACE 23.下列说法错误的是( )A.同位角不一定相等B.内错角都相等C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行24.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互( ) A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交25.如图所示,已知直线EF 和AB,CD 分别相交于K,H,且EG ⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB ∥CD.d ecb a 341226.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a 与c 平行吗?•为什么?。