图论复习题

（二）图论复习题一、选择题1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( C ) ． A ．deg(v )=2E B ． deg(v )=E C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ [PPT 23] D ．Ev Vv =∑∈)deg(定理1 图G=（V ，E ）中，所有点的次之和为边数的两倍 2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( B )．A ．6B ．5C ．4D ．33、 设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数解释：K n 每个结点的度都为n －1，所以若存在欧拉回路则n －1必为偶数。

n 必为奇数。

4．欧拉回路是（ B ）A. 路径B. 简单回路[PPT 40]C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路5．哈密尔顿回路是（ C ）A. 路径B. 简单回路C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路[PPT 40]：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。

6．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是（ C ） A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边7．下列哪一种图不一定是树（C ）。

A.无简单回路的连通图B. 有n 个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8．在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n 条D.至少有n 条9．下列图为树的是（C ）。

A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a GB 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a GC 、>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a GD 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 10、下面的图7-22是（C ）。

A.完全图；B.平面图；C.哈密顿图；D. 欧拉图。

二、填空题1．无向完全图K 6有 15 条边。

[6×（6-1）]/2=15 2．设连通无向图G 有k 个奇顶点，要使G 变成欧拉图，在G 中至少要 加 k/2 条边。

解：∵任何图中的奇点的个数为偶数∴在每对奇点处多加一条边形成了多重边，G 图就成了欧拉图。

∵连通无向图G 有k 个奇顶点 ∴有k/2对奇顶点∴有多少对奇点就加多少条边 3、n 阶无向完全图K n的边数是(2)1-(n n )，每个结点的度数是(n-1)。

证明：∵1个顶点的图有0条边2个顶点的图有1条边∴满足21221）（-⨯=当3个顶点以上时 假如n=k-1 k>=3时∵k-1个顶点的图有12322)2)(1(2+-=--kk k k 条边 k 个顶点的图有222)1(2kk k k -=-条边 ∴k-1个顶点的图与k 个顶点的图产生的边数为1)22()1232(22-=--+-k kk k k 而又∵k-1个顶点的图的边数加上这条边k-1恰好为2)1()1()1232(2-=-++-k k k k k ∴当n=k 时满足条件∴一个具有N 个顶点的无向完全图的边数为2)1-(n n 4、n 个结点的有向完全图边数是( n(n-1) )，每个结点的度数是( 2n-2 )。

解：仿用握手定理假设把每个顶点看成一个人A 点到B 点相当于A 主动向B 伸手。

每个点要与n-1个点握手。

因为是有向的，所以A 向B 伸手和B 向A 伸手有区别。

总共握手次数是n(n-1) 所以总共边数是n(n-1)5、设有向图G = < V ，E >，},,,{4321v v v v V =的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001001111011010A ，则1v 的入度)(deg 1v -= 3 ，4v 的出度)(deg 4v += 1 ，6、一棵无向树的顶点数为n ，则其边数为 n-1 ，其结点度数之和是 2(n-1) 。

所有的次之和为边数的两倍7、一个无向图有生成树的充分必要条件是(此图为连通图)。

8、设T=〈V,E 〉是一棵树，若|V|>1，则T 中至少存在( 2 )片树叶。

9、任何连通无向图G 至少有( 1 )棵生成树，当且仅当G 是( 树 )，G 的生成树只有一棵。

10、设T 是一棵树，则T 是一个连通且(无圈)的图。

11、设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( 12 )个顶点。

解：∵18条边的次之和为∑∈==Vv E v d 362)(，且每个顶点的度数都是3 ∴顶点数为36/3=12。

如图：12、任一有向图中，度数为奇数的结点有( 偶数 )个。

[PPT 23] 13、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（ 9 ）。

如图：14、设G 是由5个顶点组成的完全图，则从G 中删去（ 6 ）条边可以得到树。

解： ∵5个顶点组成的完全图边数为1021-55=⨯）（ 又∵树有5个顶点∴树的边数应为4∴完全图应删除10-4=6条边可以得到树。

15、已知图G 是相邻矩阵为 则G 的边数为（ B ）。

； ；三、计算题1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v5}，E ={(v1,v 3)，(v2,v 3)，(v2,v4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数；解：(1) (2)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯0110010110110110110000100)(55ij g G(3)、每个结点的度数分别为0 111 0 0 1 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 1 0 0V1→1、V2→2、V3→4、V4→3、V5→22．图G=<V, E>，其中V={a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．解：(1)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯1111111111111111)(55ijgG(3)G图最小生成树的权值为2+1+1+3=8。

四、问答题1、设无向图G=<V,E>，|E|=12。

已知有6个3度顶点，其他顶点的度数均小于3。

问G中至少有多少个顶点解：∵有6个3度顶点∴它们的度数之和为6×3=18.又∵所有点的度数之和为∑∈==VvEvd242)(，∴度数均小于3的其余顶点的度数之和为24-18=6.∴其余顶点的度数均为2时，G的顶点最少∴其余顶点有6/2=3个∴G中至少有6+3=9个顶点2、判断下列图是否为欧拉图说明理由，存在是否哈密尔顿回路。

•••••解：（1）、是欧拉图。

理由：欧拉图判断条件：图中所有节度点均为偶数（2）、不存在哈密尔顿回路。

理由：哈密顿图是基本回路（点不能重复）。

哈密顿图遍历顶点。

3、下列各组数中，哪些能构成无向图①的度数列哪些能构成无向简单图②的度数列（1）1，1，1，2，3 ①√②√（2）2，2，2，2，2 ①√②√（3）3，3，3，3 ①√②√（4）1，2，3，4，5 ①②（5）1，3，3，3 ①√②解：1、构成图的度数列的条件：度数（次）之和∑∈=V vEvd2)(为偶数，并且奇点有偶数个。

∵(1)、(2)、(3)、(4)、(5)的度数（次）之和分别为8、10、12、15、10又∵奇点的个数分别为4、0、4、3、4∴(4)不符合。

也不满足无向简单图。

∴(1)，(2)，(3)，(5)都能构成无向图的度数列2、(5)虽然能构成无向图的度数列，但不能构成无向简单图的度数列。

若G是无向简单图，设G中顶点为a、b、c、d且d(a)=1、d(b)=d(c)=d(d)=3显然，a只能与b、c、d其中一个顶点相邻，若设a与b相邻，则除b可以是3度顶点，c、d都不能是3度顶点，这是矛盾的。

所以(5)中的度数列不能构成不是无向简单图。

4、[1] 哥尼斯堡的居民能否通过建一座新桥来找一条可接受的路线如果可以，该怎么作[2] 哥尼斯堡的居民能否通过建两座新桥来找一条可接受的路线如果可以，该怎么作[3] 哥尼斯堡的居民能否通过拆一座桥来找一条可接受的路线如果可以，该怎么作[4] 哥尼斯堡的居民能否通过拆两座桥来找一条可接受的路线如果可以，该怎么作解：∵七桥示意图的每个节点度为奇数∴它不是欧拉图，不能遍历边∵连通无向图G有n个奇点成为欧拉图的充要条件：在G中至少要添加或删掉n/2条边假设桥为图中的边，解答如下：（1）、（2）∵图中有4个奇点∴要使其变为欧拉回路，即可以在G中添加4/2=2条边∴（1）不满足条件，路线不被接受，（2）的建议则被接受（3）、（4）∵图中有4个奇点∴要使其变为欧拉回路，即可以在G中删掉4/2=2条边∴（3）不满足条件，路线不被接受，（4五．画图•画出一个无向欧拉图，使它具有：（1）偶数个顶点，偶数条边；（2（3（4）奇数个顶点，偶数条边•画出一个有向欧拉图，要求：按数字顺序走遍所有的边，点可以重复。

蓝点是起点。

（1）偶数个顶点，偶数条边；（2）奇数个顶点，奇数条边；（3）偶数个顶点，奇数条边；（4）奇数个顶点，偶数条边。

3. 根据如下的相邻矩阵，画出它所对应的图G。

4、已知无向图G 有12条边，6个3度顶点，其余顶点的 度数均小于3，问图G 至少有几个顶点并画出符合 条件的图形解：∵无向图G 的|E|=12∴图G 的度数之和为∑∈==Vv E v d 242)(又∵6个3度顶点∴这6个3度顶点的度数之和为6×3=18∴度数均小于324-18=6当其余顶点的度数均为2时，图G ∴其余顶点数为6/2=3 ∴图G 至少有6+3=9个顶点。

5、在有7个结点的无向图G 中，2度、3度、4度、5度 顶点的个数分别是1、3、2、1，求G 的边数，试画 出满足条件的图形 解：由题可知，11111 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 01 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0) ( G A7个顶点的度数之和为1×2+3×3+2×4+1×5=24∵所有次之和为边数的两倍∴G图的边数为24/2=12。