电子科技大学研究生试题图论及其应用参考答案
11年研究生试卷(答案)
五．(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学、物理两门课程。问能否安排他们都只上他们熟悉的一门课程，使得每门课程都有人教（用图论方法求解）。
3．设 是图 的推广邻接矩阵，则 的 行 列元 等于由 中顶点 到顶点 的长度为_n_途径数目。
4．完全图 的邻接矩阵的最大特征值为_n_。
5.不同构的3阶单图共有___4___个。
6.设 阶图 是具有 个分支的森林，则其边数 。
7. 阶树( )的点连通度为___1___；边连通度为____1___；点色数为__2___； 若其最大度为 ，则边色数为___ __。
8.图 是 连通的，则 中任意点对间至少有_k__条内点不交路。
9.5阶度极大非哈密尔顿图族为___ ___和__ _____。
10.完全图 能够分解为 个边不相交的一因子之并。
11. 设连通平面图 具有5个顶点，9条边，则其面数为__6_； ( )阶极大平面图的面数等于__ ___； ( )阶极大外平面图的顶点都在外部面边界上时，其内部面共有 个。
A1: LA, S ; A2: MA, LA, G ; A3: MA, G, LA;
A4: G, LA, AC ; A5: AC, LA, S ; A6: G, AC;
A7: GT, MA, LA ; A8: LA,GT, S ; A9: AC, S, LA;
A10: GT, S。人只上一门自己所熟悉的课程。
六．(6分)设 是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图 含完美匹配 ,则 是G的最优匹配。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
电子科技大学-图论第二次作业
复杂性分析：在第 k 次循环里，找到点 u0 与 v0，要做如下运算: (a) 找出所 有不邻接点对----需要 n(n-1)/2 次比较运算；(b) 计算不邻接点对度和----需要做 n(n-1)/2-m(G)次加法运算;(c ),选出度和最大的不邻接点对----需要 n(n-1)/2-m(G)次
2) 若 ek 不在 Ck 中，令 Gk-1=Gk-ek, Ck-1=Ck; 否则转 3); 3) 设 ek=u0v0 ∈Ck, 令 Gk-1=Gk-ek; 求 Ck 中两个相邻点 u 与 v 使得 u0,v0,u,v 依序 排列在 Ck 上，且有：uu0,vv0 ∈E(Gk-1),令：
Ck1 Ck u0v0,uvuu0,vv0
如果在
中有 H 圈
如下： Ck1 (u0 , v0 , v1,..., vn2 , u0 )
我们有如下断言： 在Ck1上，vi , vi1, 使得u0vi , v0vi1 E(Gk )
若不然，设
那么在 Gk 中，至少有 r 个顶点与 v0 不邻接，则
≦(n-1)-r < n-r， 这样与 u0，v0 在 Gk 中度和大于等于 n 矛盾！
图的闭包算法：
1) 令 =G ,k=0;
2) 在 中求顶点 与 ,使得：
dGk (u0 ) dGk (v0 ) max dGk (u) dGk (v) uv E(Gk )
3) 如果 此时得到 G 的闭包；
dGk (u0 ) dGk (v0 ) n
则转 4);否则，停止，
4) 令
,
,转 2).
则 是非 Hamilton 图
(2)因为 是具有二分类 的偶图，又因为
，在这里假设
,则有
,也就是说：对于
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。
定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。
欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。
定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。
推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。
若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。
(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。
所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。
定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。
(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。
电子科大研究生图论考试 附答案
1电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共__2_小时）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2013__年_6__月__20__日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。
2．4个顶点的不同构单图的个数为________。
3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。
4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。
5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。
6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。
7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。
8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。
9. 奇圈的边色数为______。
10. 彼得森图的点色数为_______。
二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学 号 姓 名 学 院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（ ） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。
3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。
电子科大12年研究生图论试卷
电子科技大学研究生试卷学号姓名学院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时 60 学分教学方式讲授考核日期_2012__年___月____日成绩考核方式：（学生填写）一、填空题（填表题每空1分，其余每题2分，共30分)1．阶正则图G的边数=；2．3个顶点的不同构的简单图共有个；3．边数为的简单图的不同生成子图的个数有个；4. 图与图的积图的边数为；5. 在下图中，点到点的最短路长度为；6. 设简单图的邻接矩阵为，且，则图的边数为；7. 设是n阶简单图，且不含完全子图，则其边数一定不会超过；8．的生成树的棵数为;9. 任意图的点连通度、边连通度、最小度之间的关系为；10. 对下列图，试填下表（是类图的打〝√ 〞，否则打〝〞）。
①②③能一笔画的图Hamilton图偶图可平面图①√√②√√③√√√二、单项选择(每题2分，共10分)1．下面命题正确的是 ( B )对于序列，下列说法正确的是：(A) 是简单图的度序列；(B) 是非简单图的度序列;(C) 不是任意图的度序列;(D) 是图的唯一度序列.2．对于有向图，下列说法不正确的是 ( D )(A) 有向图中任意一顶点只能处于的某一个强连通分支中；(B) 有向图中顶点可能处于的不同的单向分支中;(C) 强连通图中的所有顶点必然处于强连通图的某一有向回路中;(D) 有向连通图中顶点间的单向连通关系是等价关系。
3.下列无向图可能不是偶图的是 ( D )(A) 非平凡的树；(B) 无奇圈的非平凡图；(C) 方体；注意：n方体是n正则二部图。
(D) 平面图。
4.下列说法中正确的是 ( C )(A) 连通3正则图必存在完美匹配；(B) 有割边的连通3正则图一定不存在完美匹配；(C) 存在哈密尔顿圈的3正则图必能1因子分解；(D) 所有完全图都能作2因子分解。
07年研究生试卷(答案)备课讲稿
07年研究生试卷(答案)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共_____小时） 课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2007__年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写） 一．填空题(每题2分，共12分) 1．简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G 和空图)的个数是____个； 2．设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_ 6__; m=_9__； 3．一棵树有i n 个度数为i 的结点，i=2,3,…,k,则它有个度数为1的结点； 4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为__20___; 5、某年级学生共选修9门课。
期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要___9__天才能考完这9门课。
二．单项选择(每题2分，共10分)1．下面给出的序列中，不是某简单图的度序列的是( D )学 姓 名 学 院 …………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效…………………… v 5v 4v v v 11624568107496(A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333). 2．下列图中，是欧拉图的是（D）A B3．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B）A D 4．下列图中，是可平面图的图的是（B）A B C D5．下列图中，不是偶图的是（B）A B DC三、 (8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树解：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4……四， 用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分) 证明：此题转换为证明任何一个没有孤立点的简单图至少有两个点的度数相同。
电子科技大学图论及其应用5班第4-5章作业
习题43： 1）、画一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图。
2）、画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图。
3）、画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图4）、画一个既没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图7、证明：将G中的孤立点去掉后的图为G1，则G1也是没有奇度点的，且G1的最小度大于等于2.则G1存在一个圈S1，在G1 –S1中去除孤立的点，得到一个新的图G2，显然G2也没有奇度的点，且G2的最小度大于等于2.这样G2中也存在一个圈S2，这样一直下去，指导Gm中有圈Sm，且Gm-Sm都是孤立的点。
这样E(G) = E(G1)并E(G2)…..并E(Gm).命题得证。
10、证明：1）、如果G不是而连通的图，那么G存在割点v或则G是不连通的，G-v的连通分支数大于等于2.由定理：若G是H图，则对于V的每个飞空真子集S，均有G-S的连通分支数小于等于S的顶点数，知，G是非H图。
2）、G 是2部图，且|X|<|Y|,则有G-X的连通分支数等于|Y|>|X|由上边的定理知，G是非H图。
12、证明：假设G中新加入的一点，为V,它和G中的每一个顶点均相连，这样得到新的图G^,这样G^的度序列为(d1+1,d2+1……,dv+1,V)。
因为不存在正整数m<(v+1)/2,使其满足dm<m和dv-m+1<v-m,即不存在m<(v+1)/2,满足dm+1<=m和dv-m+1<v-m+1 = (v+1) –m。
由定理知，G^中含有Hamilton圈C，这样G^-C就是G的H路，命题得证。
习题51、1）、证明：每个k方体都有完美匹配(k>=2)。
假设K方体的顶点坐标为：(x1,x2…,xk)，取(x1,x2,….,xk-1,0)和(x1,x2,…,xk-1,1)两个顶点之间的边的全体集合为M，这样M,中的边均不相邻，所以M是一个匹配，且|M| = 2^(k-1)。
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电子科技大学研究生试题
《图论及其应用》(参考答案)
考试时间：120分钟
一．填空题(每题3分，共18分)
1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；
2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；
3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;
4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.
5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G
二．单项选择(每题3分，共21分)
1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )
(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).
2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）
3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）
4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）
5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）
A
C D
A B C
D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ）
7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）
三．作图(6分)
1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；
2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；
3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；
解：
四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：
权和为：20.
五．(8
分)求下图G 的色多项式P k
(G). 解：用公式
(G P k -G 的色多项式：
)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.
一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k
另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1
由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k
七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |
v v 1
3 图G
≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
证明：(1) 若不然，设C=v 1v 2…v m v 1为G 的一个奇圈，不妨设v 1∈X,
则：v m ∈X,这样推出v 1与v m 邻接，与G 是偶图矛盾。
(2)若 |X |≠|Y |，设|X |>|Y |，则 ω(G-Y)>|Y |,由H 图的必要条件，G 为非哈密尔顿图。
八．（8分）设G 是边数m 小于30的简单连通平面图，证明:G 中存在顶点v ，使d(v)≤4. 证明：若不然，则对任意的v ∈V(G),有d(v)≥5，这样，一方面有：
2m=∑d(v)≥5n (1)
另一方面，G 为简单连通平面图，有：
m ≤3n-6 (2)
由(1),m n 52≤,把该式代入(2)得：m ≥30,与题设矛盾。
九．(8分) 证明：每个没有割边的3正则图都有完美匹配。
证明：设G 是没有割边的3正则图，S 是V 的真子集，用G 1, G 2,…,G n 表示G-S 的奇
分支，并设m i 是一个顶点在G i 中，另一个端点在S 中的那些边的条数。
由于G 是3
正则图，所以
,)(3)()(i
G V v G V v d =∑∈ 1≤i ≤n (1) 且
S v d S
v 3)(=∑∈ （2）
由(1)式，∑∈-=
)()(2)(Gi V v i i G E v d m 是奇数。
又由于G 没有割边，所以m i
≠1 因此，mi ≥3, 1 ≤i ≤n (3)
由(3)可得：
由托特定理，G 中有完美匹配。