图论模拟题

浙江师范大学《图论》考试卷

（2007－2008学年第一学期）

考试类别 闭卷 使用学生 行知数学 051.052.

考试时间 150 分钟 出卷时间 2008年1月4日

说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、填空题 (25%)

1、给定图G

11

（1）给出图G 的一条最长路＿＿＿＿＿＿＿；

（2）给出图G 的二个参数值λ(G)= ,κ(G)= ；

（3）给出图G 的一个最大独立集 ；

（4）作出子图G[u 2,u 5,u 7,u 9,u 11,u 12]________,G-{u 8,u 9,u 12}____________,

G-{u 1u 3,u 1u 4,u 1u 7,u 1u 10}_________ _______；

2、图G 是二分图的充分必要条件是 ；

3、G=(X,Y,E)是二分图，无孤立点，则β1(G) 与α0(G)的关系是 ；

4、Ramsey 数r(k,t)、r(k-1,t) 和r(k,t-1) 的关系是 ；

5、G 是含有56个顶点的无回路图，且对Ｇ中任两个不相邻的顶点v u ,，Ｇ+uv 有唯一的回

路，则Ｇ的边数为____________;

6、图G 有Euler 环游的充要条件是＿＿＿＿；

二、设七个字母在通迅中出现频率分别为a;25%,b;22%,c;20%,d;12%,e;10%,f;6%，g;5%。编一个

最优前缀码，并画出相应的最优二元树。 (15%)

三、

证明：非平凡连通图G 至少有二个非割点。 (10%) 四、 G 是点色数χ(G)=2的k —正则简单图。证明G 有k 个边不交的完美对集M 1,M 2, ┄, M k ，

使 E(G)= M 1∪M 2∪┄∪M k 。 (13%)

五、 给出平面图G 的顶点数p(G)、边数q(G)、面数 )(G ϕ和连通分支数ω(G)的一个关系式，

并给予证明。 (15%)

六、 G 是p 个顶点的简单图，对G 中每一对不相邻的顶点u 、v,均有d G (u)+d G (v)≥p-1。

（1） 证明G 有Hamilton 路；（2） G 是二连通图吗？为什么？。 (12%)

七、设Ｇ是连通图，若对每个真子集V 0⊆V(G) ，只要∣V 0∣≤k-1，G- V 0仍连通.证明q(G)≥

kp(G)/2 。 (10%)

《图论》试卷参考答案和评分标准

(2007-2008学年第一学期)

命题教师卜月华使用学生行知学院数学051 052 班2008年1月4日

一、填空题

1、（1）C= u5u1u3u2u8u11u12u7u4u10u6u9(2分);

(2) λ(G)=2 ,κ(G)= 2 ；（4分）

(3) {u3,u5,u8,u9,u10,u12} (2分)

(4)

5

9(2分)

32

11

(2分)

u3

11

(2分)

2、不含奇圈的非平凡图(2分)

3、α0(G)=β1(G) (2分)

4、r(k,t)≤r(k-1,t) +r(k,t-1) (2分)

5、55 (2分)

6、G连通且无奇点。(3分)

二、（1）解：用100

w 1=5 w 2=6 w 3=10 w 4=12 w 5=20 w 6=22 w 7=25，用Huffman 算法求得权为5，6，10，12 22，25的最优二元树T 。 (8分 在T 上求一个最优前缀码 A ＝{0000，0001，001，100，101，01，11} 传送这六个字母的最优前缀码为：11表示a ，01表示b ，001表示c ，100表示d ， 101表示e, 0001表示f ，0000表示 (7分) 0000 0001

三、 证明；因为G 是非平凡连通图，故图G 有生成树T ，且至少有二个点。

（3分）

则T 中度为1的顶点个数至少有2个， （2分）

设u 1，u 2是T 中度为1的顶点，则对每一个u i ,T-u i 仍是树，且为G －u i 的生成树（i=1,2）,

因此G －u i 是连通图，也即u 1，u 2都是图G 的个非割点。因此连通因G 至少有2个非割点。 （5分）

四、 证明；因为G 的点色数χ(G)=2，所以图G 不包含长为奇数的回路，由定理5.1.1,G

是k —正则二分图。 （3分）

由推论5.3.3，图G 有完美对集M 1. （4分）

因G 是k —正则二分图，故G －M 1是(k-1)—正则二分图,故当k-1≥1时， 同样由推论

5.3.3，图G －M 1有完美对集M 2，依次类推，可得图G 的k 个边不交的完美对集M 1,M 2, ┄, M k ，

使 E(G)= M 1∪M 2∪┄∪M k （6分）

五、 证明：若图G 连通，则由Euler 公式p(G)-q(G)+)(G ϕ=ω(G)+1。（3分）

设G 的连通分支为G 1，G 2，┄┄，G ω，则对G 的每一个连通分支G i , G i 是连通平面图，

由Euler 公式，有p(G i )-q(G i )+ ϕ(G i )= 2。 （4分）

又对G ，有

p(G)=)(1∑=ωi i G p ,q(G)=)(1∑=ωi i G q , ϕ(G i )=)(1

∑=ωϕi i

G - (ω-1) （3分） 现对式子p(G i )-q(G i )+ϕ(G i )= 2关于i 求和，并将上面三个式子代入，可得

p(G)-q(G)+ϕ(G)= ω+1 （3分）

六、证明：构造图H ：在G 中增加一个不在G 中的顶点w ，使w 与G 中的每一个顶点相邻。

（2分）

现在H 的顶点数为p(G)+1,而且G 中两个顶点不相邻当且仅当这两个顶点在H 中不相

邻，对H 中每一个不同于w 的顶点u ，均有d H (u) ＝d G (u)+1。故对H 中任二个不相邻的顶

点u,v,有d H (u) +d H (v)＝d G (u) +d G (v)+2>p 。即

d H (u) +d H (v) ≥p(H) （4分）